2024年大連市高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試卷

注意事項(xiàng)：

1.請?jiān)诖痤}紙上作答，在試卷上作答無效.

2.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘.

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合

題目要求.

I.已知集合。={123,4,5,6},集合/={1,2,4},8={1,3,5},則8n務(wù)N=（）

A.{2,4}B.{1,6}C.{3,5}D.{1}

2.為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田.這n塊地的畝產(chǎn)量（單位：像）分別為xi,必

XYI,下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是

A.xi,物…，xn的平均數(shù)B.xi,X2,xn的標(biāo)準(zhǔn)差

C.Xl,XI,...?X”的最大值D.XI,X2,X"的中位數(shù)

22

3.方程上+匕=1表示橢圓，則實(shí)數(shù)步的取值范圍（）

4m

A.m>0B.m>4C.0<m<4D.%>0且加w4

4.已知直線a,b,c是三條不同的直線，平面a,y是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）

A.若a_Lc,b1.C,貝［ja〃力

B.若〃〃6,alia,則6//a

C.若alia,bHa,C_LQ,且。_LZ）,則。_Lo

D.若/_La,/Icr,且，Pl7=Q,則。_1。

5.將458環(huán)六位教師分配到3所學(xué)校，若每所學(xué)校分配2人，其中43分配到同一所學(xué)校，則不同

的分配方法共有（）

A.12種B.18種C.36種D.54種

),且5cos2a=42sin(；—a),則tana=(

6.若■，兀)

431

A.—B.—C.——D.1

343

3-3

7.設(shè)函數(shù)/（X）=sin7ix+e3A3-e'-X+3則滿足〃X）+"3-2x）<4的X的取值范圍是（

A.(3,+co)B.(-a),3)C.(1,+<?)D.(-?,1)

爐2

8.設(shè)耳耳是雙曲線C:二-V4=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)/是雙曲線C右支上一點(diǎn)，若△陽區(qū)

ab

的內(nèi)切圓M的半徑為。（M為圓心），且我eR,使得海+3兩=2鼻耳，則雙曲線。的離心率為（）

A.V3B.75C.2D.275

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知i是虛數(shù)單位，下列說法正確的是（）

A.已知a,b,c,cZeR,若a>c,b=d,貝！]a+6i>c+di

B.復(fù)數(shù)Z],Z2滿足Z]=Z2,則㈤=同

C.復(fù)數(shù)Z滿足|z-i|=|z+i|,則Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為一條直線

D.復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=|1,貝ijz=—isin%）

10.已知函數(shù)"0=5也即+0）（O>0,0<夕<兀），若/1仁]=1,且Vxe（-￡,曾，都有

/（無）<1,則（）

A.y=/（x）在單調(diào)遞減

B.V=/（x）的圖象關(guān)于片1,01寸稱

C.直線y=+：是一條切線

D.了=/（尤）的圖象向右平移;個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）是偶函數(shù)

11.已知函數(shù)“X）是定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)，若/（x+y）=〃x）+是（y）+3中（x+y）,且/（0）=-3,

則（）

A./（x）是奇函數(shù)B.“X）是減函數(shù)

C./（百）=0D.x=l是/（無）的極小值點(diǎn)

第II卷

三、填空題：（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答卷紙的相應(yīng)位置上）

12.“函數(shù)/（x）=a尤2_sinx是奇函數(shù)”的充要條件是實(shí)數(shù)。=.

13.在邊長為4的正方形中，如圖1所示，E,F,M分別為3C,CD,3E的中點(diǎn)，分別沿NE,

2

/尸及所所在直線把和AEFC折起，使B,C,。三點(diǎn)重合于點(diǎn)P,得到三棱錐尸-/跖,

如圖2所示，則三棱錐外接球的表面積是；過點(diǎn)M的平面截三棱錐尸-4E尸外接球

所得截面的面積的取值范圍是.

圖1圖2

14.已知實(shí)數(shù)。>0力>0,且a6(a+86)=4,則。+46的最小值為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖多面體斯中，面面/BCD,為等邊三角形，四邊形48c。為正方形,

3

EF//BC,S.EF=-BC=3,H,G分別為CE,CD的中點(diǎn).

(1)證明：BF1AD;

⑵求平面2CEF與平面FG77所成角的余弦值；

Ap

(3)作平面FHG與平面/BCD的交線，記該交線與直線/。交點(diǎn)為尸，寫出F的值(不需要說明理由,

AD

保留作圖痕跡).

16.已知函數(shù)/(x)=xlnx+a尤+l(aeR).

⑴若/卜)20恒成立，求°的取值范圍；

(2)當(dāng)x>l時(shí),證明：e1Inx>e(x-1).

17.一個(gè)不透明的盒子中有質(zhì)地、大小均相同的7個(gè)小球，其中4個(gè)白球，3個(gè)黑球，現(xiàn)采取不放回的

方式每次從盒中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，當(dāng)盒中只剩一種顏色時(shí)，停止取球.

(1)求停止取球時(shí)盒中恰好剩3個(gè)白球的概率；

(2)停止取球時(shí)，記總的抽取次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望：

(3)現(xiàn)對方案進(jìn)行調(diào)整：將這7個(gè)球分裝在甲乙兩個(gè)盒子中，甲盒裝3個(gè)小球，其中2個(gè)白球，1個(gè)黑球:

3

乙盒裝4個(gè)小球，其中2個(gè)白球，2個(gè)黑球.采取不放回的方式先從甲盒中每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球，當(dāng)

盒中只剩一種顏色時(shí)，用同樣的方式從乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球顏色和甲盒剩余小球顏色相同，

或者乙盒小球全部取出后停止.記這種方案的總抽取次數(shù)為匕求y的數(shù)學(xué)期望，并從實(shí)際意義解釋X

與y的數(shù)學(xué)期望的大小關(guān)系.

18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)點(diǎn)M滿足

|iiuuruuu'iuuur/Liuruiu\

+=+記點(diǎn)M的軌跡為G.

⑴求曲線G的方程：

(2)若P,C,。為曲線G上的三個(gè)動點(diǎn)，的平分線交x軸于點(diǎn)。(。，0)(。＜-1),點(diǎn)。到直線尸C的

距離為1.

(i)若點(diǎn)0為△尸CD重心，用。表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(ii)若尸求a的取值范圍.

19.對于數(shù)列4%出,%(%€，=1,2,3),定義“T變換”：T將數(shù)列/變換成數(shù)列8：4也也，其中

4=k+「q|(i=L2),且&=鬲這種“7變換”記作臺=?(/)，繼續(xù)對數(shù)列8進(jìn)行“T變換”，得到數(shù)

列eye4,依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時(shí)變換結(jié)束.

⑴寫出數(shù)列出3,6,5經(jīng)過5次“7變換”后得到的數(shù)列：

⑵若%,出,生不全相等，判斷數(shù)列/：%,電,名不斷的變換”是否會結(jié)束，并說明理由；

⑶設(shè)數(shù)列/：2020,2,2024經(jīng)過人次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求人的最小值.

1.C

【分析】由補(bǔ)集和交集的定義運(yùn)算.

【詳解】集合"={123,4,5,6},集合/={1,2,4},8={1,3,5},

則?/={3,5,6},有3口令/={3,5}.

故選：C

2.B

【詳解】評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差或方差，故選B.

點(diǎn)睛:眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平；

中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)(起到分水嶺的作用)，中位數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的中間水平；

平均數(shù)：反映一組數(shù)據(jù)的平均水平；

4

方差：反映一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度，用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動大?。催@批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大

小）.在樣本容量相同的情況下，方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定.

標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，意義在于反映一組數(shù)據(jù)的離散程度.

3.D

【分析】分焦點(diǎn)在x軸，y軸兩種情況討論，寫出加范圍即可.

22

【詳解】方程上+匕=1表示橢圓，

4m

若焦點(diǎn)在x軸上，4>m>0；

若焦點(diǎn)在〉軸上，>4.

綜上：實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍是加>0且相力4

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了學(xué)生概念理解，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.D

【分析】由空間中直線與平面的位置關(guān)系，對各項(xiàng)進(jìn)行分析即可.

【詳解】若“，c,bLc,則0,6可以是平行，也可以是相交或異面，故A錯誤；

若a//6,alia,則b//a或6ua,故B錯誤；

若?！╝,blla,c±a_l.c±Z>,當(dāng)a//。時(shí)，不能證明c_La,C選項(xiàng)錯誤；

若4_La,/la,且/?口7=。，在。上取一點(diǎn)P,作尸。_La,

由面面垂直的性質(zhì)定理可得尸0u￡且PQu7,既。與尸。重合，可得。_Le,故D正確.

故選：D

5.B

【分析】先平均分組，再利用全排列可求不同分配方法的總數(shù).

【詳解】將余下四人分成兩組，每組兩人，有2種分法，

2

故不同的分配方法共有半xA；=18種，

故選：B.

6.A

【分析】先利用三角恒等變換公式化簡可得cosa+sina=（,結(jié)合cos?a+sin2a=1可得cosa,sina,進(jìn)

而可得tana.

5

、

【詳解】由5cos2a=V^sin-a]得5(cos2a-sin2a)=^^——cosa——^-sina,

即5(cosa-sina)(cosa+sina)=cosa-sina,

因?yàn)槲臁晡?兀)，所以cosa-sinaw0,

所以cosa+sina=",結(jié)合cos?a+sin2a=1,且cosa<0,sina>0,

3.4

得ZHcosa=——，sina=一,

55

亡LI、isina4

所以tana=----=

cosa3

故選：A.

7.C

【分析】觀察題設(shè)條件與所求不等式，構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x+l)-2,利用奇偶性的定義與導(dǎo)數(shù)說明其奇

偶性和單調(diào)性，從而將所求轉(zhuǎn)化為g(x-l)<g(2x-2),進(jìn)而得解.

【詳解】因?yàn)閒(x)=sinTix+e3x-3-e3-3x-x+3,

所以/(X+1)=sin(7LT+兀)+e3x+3-3_Q3-3x-3_%_J+3

——sinTIX+e'"—e'+2,

設(shè)8(%)=/(工+1)_2=_5由右+?3'_?一3》_X,顯然定義域?yàn)镽,g(x-l)=f(x)-2,

又g(_x)=_sin(-7ix)+e-3x-e3x+x=<_sin兀x4e3x-e-3x=一《》,

所以g(x)為R上的奇函數(shù)，

又g'(x)-一兀cosTIX+3e3x+3e-3x一12—兀cosx+2,3e“3-"-1=5-兀cosx〉0，

所以g@)在R上單調(diào)遞增，

又/(x)+f(3-2x)<4,則"(x)-2]+"(3-2x)-2]<0,

所以8(彳-1)+8(2—2耳<0,BRg(x-l)<-g(2-2x)=g(2x-2),

所以x—l<2x—2,解得x>l,

則滿足/(x)+/(3-2x)<4的x的取值范圍是(1,+與.

故選：C.

6

8.A

【分析】向量坐標(biāo)化并結(jié)合雙曲線定義與等面積得|雅；|=3c+a，H聞=3c-/點(diǎn)點(diǎn)距列方程得4（3a,4〃）

代入雙曲線求出離心率.

【詳解】設(shè)由對稱性不妨設(shè)N在第一象限，此時(shí)M也在第一象限，

UULILUULILUULU

因?yàn)?=,所以為+3y〃=0,"=4yM=4a,

所以S"百=-2c-Aa=-{\AF^+\AF^2c\a,又娟一工|=2a,

解得MW=3c+凡以閭=3c-a,片（-C,0）,

22

所以\AFX|=d（x&+c）=]（X/+c）+b[；1]=Jx；+2x?+q2=不鉆A+a[=exA+a,

所以M/|=a+ex「解得乙=3a,所以/（3a,4a）,代入雙曲線方程得："一”=1,

ab

解得b=6a,c-\la2+b2=也a，所以e=—=V3.

a

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查雙曲線的離心率，關(guān)鍵是向量坐標(biāo)化并充分利用曲線定義確定/的坐標(biāo).

9.BCD

【分析】根據(jù)虛數(shù)不能比較大小可知A錯誤；根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的定義可判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可判

斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，可判斷D.

【詳解】對A,虛數(shù)不能比較大小，可知A錯誤；

對B,根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的定義知，當(dāng)Z1=Z2時(shí)，Z=Z2，

則㈤=聞，故B正確；

對C,因?yàn)閺?fù)數(shù)Z滿足+

則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)到（0,1）,（0,-1）兩點(diǎn)間的距離相等，

則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為兩點(diǎn)構(gòu)成線段的中垂線，

即z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為一條直線，故C正確；

因?yàn)閦（l+i）=|l_?t2,

22(1)

則z二--------=l-i,

1+i(l+i)(「i)

7

又z=.isin：]=血—=1-i,

故D正確，

故選：BCD.

10.BC

【分析】依題意可得7=兀即可求出。，再根據(jù)函數(shù)的最大值求出。，即可求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦

函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B、D,設(shè)切點(diǎn)為|x°,sin[2x0+^,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出修,即可判斷C.

【詳解】對A,因?yàn)?(x)=sin(o尤+0)(0>0,0</<無)，所以f(x)1mx=1,

又/【一$“Ml，且磚色,引，都有/'(x)<L

所以八-訃兀，所以7喏=兀，解得I,

即/(x)=sin(2x+e),

7T7T57r

所以---\-(p=—+2kn,kGZ,角犁得夕=---\-2kji,keZ,

326

又0<夕<無，所以。=三Sir，所以/(無)=sin|2x+—I,

6I6J

、“『八5兀)?-5兀57i5兀5兀5兀

當(dāng)龍e'正時(shí)2x+1G,又〉二sinx在上不單調(diào),

6~6^

所以y=/(x)在上不單調(diào)，故A錯誤;

771.(c7兀5兀

對B,因?yàn)?sin2x----1--=---sin27c=0,

12I126,

所以y=/(x)的圖象關(guān)于石對稱，故B正確;

cosf2x+^j,設(shè)切點(diǎn)為,o,sin

對C,因?yàn)?'(x)=2

，2cos

貝I/(x0)=

所以cos

所以2x0+—=—+2hr,keZ或2x(,+—=-—+2kn,keZ,

6666

8

5Jr

角畢得/=左兀,左￡Z或/=---+kjt,keZ,

6

1

又sin+2*

1,即-14-后解得一立4/4走,

因?yàn)?IVsin

262

所以%=0,

即直線了=-百尤+g是函數(shù)f(x)在

處的切線，故C正確;

715兀

對D,將了=/(x)的圖象向右平移三個(gè)單位長度后得到g(x)=sin2b+一=sinf2%號1,

6

顯然g(x)是非奇非偶函數(shù)，故D錯誤.

故選：BC

11.ACD

【分析】令無=了=0求出1(0),令y=-X可確定奇偶性，將V當(dāng)作常數(shù)，X作為變量，對原式求導(dǎo)，然

后可通過賦值，解不等式求單調(diào)性及極值.

【詳解】令x=V=0,得/'(0)=0,令夕=一》，得0=/(無)+/(r),所以/(x)是奇函數(shù)，A正確；

(x+了)=/(x)+/(力+3x2y+3xy2f'(x+y)=f'(x)+6yx+3y2

令》=0"(力=((0)+3/，

又/(0)=-3,：.f'(y)=3y2-3,.-.f(y)=y3-3y+c,

/(O)=0,c=0,/(y)=/-3y，-3x,(V3)=0,

令/'(尤)=0，，X=±1,/'(尤)>0,X<-1B￡X>1,/,(X)<0,-1<X<1

???/(X)在(-8廠1)和(1,+8)上為增函數(shù)，/(無)在上為減函數(shù)，

：.X=1是/(X)的極小值，故CD正確，B錯誤.

故選：ACD.

12.0

【分析】結(jié)合三角函數(shù)奇偶性、幕函數(shù)奇偶性以及奇偶性的定義即可運(yùn)算求解.

【詳解】若函數(shù)/(x)=a/-sinx是奇函數(shù)，

9

則當(dāng)且僅當(dāng)/'(x)=a/_sinX=_［a(-x『一sin(-X)］=_/(-x),

也就是2ax2=0恒成立，從而只能a=0.

故答案為：0.

13.24兀［兀,6兀］

【分析】補(bǔ)體法確定外接球直徑進(jìn)而求得表面積；利用球的截面性質(zhì)確定面積最值.

【詳解】由題意，將三棱錐補(bǔ)形為邊長為2,2,4長方體，如圖所示：

A

￡一

三棱錐P-NEF外接球即為補(bǔ)形后長方體的外接球，所以外接球的直徑(2尺丫=2?+22+4?=24,R=&,

所以三棱錐尸尸外接球的表面積為S=4成2=24兀，

過點(diǎn)M的平面截三棱錐P-N所的外接球所得截面為圓，其中最大截面為過球心O的大圓，此時(shí)截面圓

的面積為TIR2=TI(A/6)2=6兀,

最小截面為過點(diǎn)"垂直于球心。與"連線的圓，此時(shí)截面圓半徑

［=：〃2一0必=卜一(多2=1(其中"N長度為長方體前后面對角線長度)，

故截面圓的面積為nr2=兀，

所以過點(diǎn)M的平面截三棱錐尸-/EF的外接球所得截面的面積的取值范圍為［兀,6司.

故答案為：24兀;［兀,6兀］

14.273

【分析】利用消元法得到。+46的函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性后可求最小值.

4

【詳解】(。+46)2=a2+Sab+16b2=a(a+86)+16/=—+16Z)2,

設(shè)g(b)=j+1662,其中b>0,貝隈，(6)=_巴+326=1^-,

當(dāng)時(shí),g,(Z>)<0,當(dāng)時(shí),g<6)>0,

10

故g(6)在I。，1]上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),

故g(6)m,n=g([=12,此時(shí)°=-2+2行＞0,

故〃+46的最小值為2君.

故答案為：2省.

15.(1)證明見解析

⑵等

22

Ap1

(3)受=),作圖見解析

AD4

【分析】(1)由面面垂直得到線面垂直，從而證明出線線垂直；

(2)由面面垂直得到線面垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到平面的法向量，進(jìn)而利用

平面法向量求出面面角的余弦值；

(3)作出輔助線，得到線線平行，進(jìn)而得到結(jié)論.

【詳解】(1)在正方形4BCD中，AD1AB,

平面FAB，平面ABCD,平面FABPl平面ABCD=N3,40u平面ABCD,

二40_1平面尸48,又AFu平面尸48,

.-.BFLAD-,

(2)???AF/B為等邊三角形，設(shè)45中點(diǎn)為O,。尸，

又平面平面N8CD,FAB^ABCD=AB,OF^FAB,則

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)5,OG,。尸為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

因?yàn)镋/=18C=3,則8C=4,則8（2,0,0）（（2,4,0）,尸（0,0,261￡9,3,2@）〃1j不,@4,0）,

所以麗=卜2,0,26）,芯=（0,4,0）,而jg，向，行《0,4,-獷3，

設(shè)平面BCEF的一個(gè)法向量為防=(x,y,z)

11

r,m-BF=Qf-2x+2島=0

則—二取z=1得x==0,所以應(yīng)=（6,0』）,

m-BC=014y=0

設(shè)平面FGH的一個(gè)法向量為元=(a,b,c)

?7

n-FH=0a+—b—y/3c=0「o3

則_.='2,取c=g得〃=所以河=

n-FG=Q4b-28c=0'一

_n-m

所以COSZZ/Lwpj

22

所以平面與BCEF與平面FGH成角的余弦值為叵；

22

(3)如圖所示：在/。上取一點(diǎn)P,使得。2=￡尸，連接尸尸，尸G,

因?yàn)镋F//BC,ADHBC,所以斯//3,即斯//。尸,

所以￡7了。為平行四邊形，故以7/ED,

因?yàn)椤?，G分別為C￡,CO的中點(diǎn)，所以GH//DE,

故GH11PF,即G,",尸，尸共面，

16.(1)?>-1

(2)證明見解析

【分析】(1)參變分離，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出最值，得到答案；

(2)法一：在(1)的基礎(chǔ)上得到e'lnr>"7),x>1,再構(gòu)造函數(shù)得到e*>ex,得到>e(x-l),

XX

從而得到結(jié)論;

12

y―1y_1

法二：即證原>J,構(gòu)造函數(shù)6(切=扇-土7，求導(dǎo)后再對分子求導(dǎo)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，得

ee

到G(x)>G(l)=O,證明出結(jié)論.

【詳解】(1)由已知得，-。4向+：在(0,+動上恒成立，

設(shè)g(尤)=]nx+±g，(x)」--=

XXXX

gr(x)>0,解得x〉l,g'(x)<o,解得

，g(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+8)上為增函數(shù),

??g(x)—g⑴=1，即-441,

/.a2-1；

(2)法一：由(1)知。2-1時(shí)，/(尤)20恒成立，

V—1

取。=-1,得lux〉---成立，X=1時(shí)取等號.

X

所以當(dāng)X>1時(shí)，6'2叫1),

X

設(shè)力(x)=e'—ex,〃'(%)=e'—e,故x>l時(shí)，/(x)>0,

A(x)=e"-ex在(1,+8)上為增函數(shù)，

/./z(x)>/z(l)=0,

/.ex>ex.

所以x>l時(shí)，->e,即e'』T)>e(x_i).

由此可證，當(dāng)x>l時(shí)，e*hu>e'(xT)結(jié)論得證.

X

法二：當(dāng)x〉l時(shí)，若證e*lnx〉e(x-l)成立.即證lnx>W」，x>\

x-1、1ex-1—(x—l)ex-1ex-1+x2-2x

設(shè)G(x)=ln?M，x>l,GW=-^，

設(shè)m(x)=eA-1+x2-2x,=ex-1+2x—2=ex-1+2(x-l),

當(dāng)x〉1時(shí)，mf(x)>0,「.加3在(1,+8)上為增函數(shù).

/.>m(l)=0,/.G'(x)〉0,

13

G(x)在(l,+8)上為增函數(shù)，G(x)>G(l)=0,

由此可證，當(dāng)無>1時(shí)，e*lnx>e(x-l)成立.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法，使不等

式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足

的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通

過兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.

3

17.(1)—

35

77

⑵分布列見解析，E(X)=g

40

(3)￡(r)=y,在將球分裝時(shí)，甲盒取完后直接取乙盒，此時(shí)甲盒中還有其它球，該球干擾作用已經(jīng)消

失，所以同樣是要剩余同一顏色，調(diào)整后的方案總抽取次數(shù)的期望更低.

【分析】(1)利用古典概型的概率公式可求A得概率；

(2)先確定X的取值，再就每一個(gè)取值的意義結(jié)合古典概型的概率公式可求分布列，再利用公式可求

期望.

(3)先確定y的取值，再設(shè)甲盒、乙盒抽取次數(shù)分別為3Y2,根據(jù)題設(shè)得到三者之間的關(guān)系，再結(jié)合

古典概型的概率公式可求分布.

【詳解】(1)設(shè)“停止取球時(shí)盒中恰好剩3個(gè)白球”為事件A,

113

則尸(/)=c得A｝A=最a；

(2)X的可能取值為3,4,5,6,

尸(X=***，尸"4)二必產(chǎn)■

35)(01'

/\70/\7

尸(刀二加受靖］，

所以X的分布列為

X3456

1424

P

353577

14

14?4?7

X的數(shù)學(xué)期望￡（x）=3x至+4xx+5x]+6x]=；；

（3）丫的可能取值為3,4,5,6,設(shè)甲盒、乙盒抽取次數(shù)分別為乂、為，

因?yàn)橐液兄袃煞N小球個(gè)數(shù)相同，所以無論甲盒剩余小球什么顏色，乙盒只需取完一種顏色即可，

1A21

P（Y=3）=P（Yl=l）P（Y2=2）=-^=-,

尸（y=4）=p（x=l）尸（毛=3）+Pa=2）P（}S=2）=；x_2^1+：x§=|，

尸（丫=5）=尸（乂=1）尸（刃=4）+尸（乂=2）尸（乂=3）

_1（C；A；A：互）2C；A；A\_7

=其A：+或J+3=18'

尸（丫=6）=尸（耳=2）尸化=4）=（^U弓,g,

177140

y的數(shù)學(xué)期望5（y）=3x—+4x—+5x—+6x—=——，

v71891839

在將球分裝時(shí)，甲盒取完后直接取乙盒，此時(shí)甲盒中還有其它球，該球干擾作用已經(jīng)消失，所以同樣是

要剩余同一顏色，調(diào)整后的方案總抽取次數(shù)的期望更低.

18.（l）y2=-4x

⑵（i）（ii）a<—：

lULLUl'UUU-iUUUT/UUT'ULUl\

【分析】⑴對四+煙=。河（。/+。5）+2向量坐標(biāo)化，整理得曲線軌跡方程；

\a-x.+myn|

（2）法一：由條件得尸結(jié)合斜率和重心坐標(biāo)公式得尸坐標(biāo)，由角分線意義得?/°「匕1,

Vl+m

平方化簡得冽，〃是方程（1-靖/+2（%-力卬-（/-4=o的兩根，直線與曲線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求

出尸坐標(biāo)，即可求解；法二：由圓切線方程抽方程可知直線”的方程為（與-〃）（x-Q）+JV=I,與圓

聯(lián)立得勺+與=2y：（/；a）,結(jié)合韋達(dá)定理得尸坐標(biāo)，即可求解.

If

【詳解】⑴設(shè)點(diǎn)M（x,y）,Q/（-1,2）,2（-1,-2）,

UUUlUUUUULILULILULU

,\MA=（-l-x,2-y）,MB=（-l-x,-2-j）,（W={x,1，CM4一ij,OB?！狪,—?

15

uumUUUUULUULU

即+A?=(-2-2x,-2了),O/+03=(-2,0),

Iuuuruuu'i------------------------------------------------------------------

:.\MA+MB\=7(-2-2x)2+(~2y)2=^4x2+4v2+8x+4,

uuur,LiuruuLH\

OM-(OA+OB\+2=(x,y)-(-2,Q)+2=-2x+2,

Iuuuruuii,iuuur',uufuui\,-------------------------------

Q圈+即=加.(。4+0毋+2,“4/+4了2+8%+4=-2尤+2,

化簡得曲線G的方程：y2=-4x；

(2)(i)解法1：設(shè)。(匹,為),。(%,%),尸國,％),P。為APCD的角平分線.

???Q為JCD重心；.PQ為APCD的中線，S三線合一可得PQ±CD

Q左s=J=

-M+%一j'

4

Q為△PCD重心?..乂)+必+%=0

kpQ,kcD=-1P(a一4,±2J4-a)(1^)

設(shè)直線尸。方程為：x-%=冽(y-%),直線尸。方程為：x-%=〃(y-%),

???夕。是ZCPD的平分線，點(diǎn)Q到直線PC的距離為1,???點(diǎn)Q到直線PD的距離為1,

+叫J

一4+/一，

可得(]-端蘇+2(%-a)比加％-a)?=0

同理(1-%+2(/_Q)為〃-(/_02=0,

即加〃是方程(1—需)r+2國_力卬―(/—。2=0的兩根，:.m”=2(/2;)盟,

%—1

....xx0m[y%)聯(lián)立可得：y2+4%y+4/_4叼0=0,

Iy=-4x

???y0+yi=-4wy,=-4m-y0,同理力=-4〃-%,;.%+%=-4(m+n)-2y0,

,、(2(x-a)v、

；點(diǎn)。為APCD重心，；.%+%+%=0，即_4(加+同_%=-4\n,:”-n---%=0,

I%T)

16

8。+1

/=丁

又.:y；--4%o，「.<

Jo=±y/-8a-l

故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為②

17

聯(lián)立①②可得"F即尸

2（%-。）%

（ii）由（i）知加+〃=

T

?卜=%一%=-4~4________22（歹；T）

,%—再弘+%-4（m+?）-2y02（xO—Q）%心功一1%，

QkpQ=,kPQ-kCD=-1,

-----%----------Qa

4

16d!2+4^—816a2+4?—8八

二.K2=-----------,「.----------->0

°-4a-9-4a-9

Qa<-1,:.I，礦+4”8n。等價(jià)于_4fl_9>0<-2時(shí)滿足題意.

-4a-94

（i）解法2：

「尸。是/CP。的平分線，點(diǎn)。到直線尸C的距離為1,，點(diǎn)。到直線尸。的距離為1,

直線PC、與圓0:（x-a）2+y2=i相切,

設(shè)直線尸C、PD與圓的切點(diǎn)分別為后（西,以）,尸仁,力）,

設(shè)直線尸。上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為尸（xj）,則麗?班=0,可得必-力（國-凡必）=0,整理得

（x1-x）（x1-a）+j1（y1-y）=0,

結(jié)合（占-。）2+了；=1,進(jìn)一步可得直線尸C方程為：（國-°）卜-°）+弘夕=1,

同理直線尸。方程為卜2-。）（》-“）+力歹=1,

因?yàn)辄c(diǎn)P（不，九）在兩條直線上，

所以可知直線EF的方程為伉-a）（x-4）+=1,

代入圓方程可得：（x-a）2+y2=［（尤

17

即：(]_尺),2_2(%0_Q)(X_Q)%V+[]_(/_Q)J(x—tz)2=0

設(shè)直線。E的斜率左=&」，直線。尸的斜率為左2=/",

xx-ax2-a

2

-2^o(xo-^)—^―-+l-(xo-47)=0

即勺+《=2%(%；O,

一1一%

y2=_4x

聯(lián)立直線P