2023年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(三)試題及答案

考試時間：180分鐘，滿分：150分

一、選擇題：1~10小題，每小題5分，共50分，下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要

求，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

(1)已知函數(shù)/(x,y)=ln(y+ksinM),貝U()

(A)Vl(°J)不存在，蔣1，1)存在蘇1

(B)瓦|(”)存在，方|(0,l)不存在

(O四且J

(C)均存在(D)).1)均不存在

【答案】A

；1+尸

(2)設(shè)/(%)=的一個原函數(shù)為()

[(x+l)cosx,X>0

[ln(Vl+x2-x),x<0ln(Jl+x2-x)+l,x<0

(A)F(x)=(B)F(x)=

[(x+l)cosx-sinx,x>0(x+l)cosx-sinx,x>0

2

ln(Vl+x+%),x<01II(A/1+X2+X)+1,X<0

(c)F(x)=<(D)F(x)=<

(x+l)sinx+cosx,x>0(x+1)sinx+cosx,x>0

【答案】D

(3)若微分方程y"+即'+勿=0的解在(-8,+8)上有界，則()

(A)a<0,b>0(B)a>0,b>0

(c)a=0,b>0(D)a=0,b<0

【答案】c

(4)已知為＜=1,2,…)，若級數(shù)Z%,與Z〃均收斂，貝絕對收斂”是絕對

n=ln=ln=ln=l

收斂”的()

(A)充分必要條件(B)充分不必要條件

(C)必要不充分條件(D)既不充分也不必要條件

【答案】A

1/5

7斗

(5)設(shè)/,6為”階可逆矩陣，Af*為矩陣M的伴隨矩陣，則)

0B,

伊忸*

-B*G—4*靖

(A)I。(B)I。

7

伊⑶-A*B'

(C)小*J(D)

I。I。即*

7

(6)二次型/(再,%2，X3)=(再+%2)2+(石+&)2_4(%2一毛)2的規(guī)范形為(

77(B)必2—4

(A)K+K

(C)必2+為2-4為2777

2)y^+y2-y3~

【答案】B

「2、

(7)已知向量/=2,%=11=5夕2=°若/既可由名,火線性表示，也可

31

由舟,萬2線性表示，則/=()

’3、

(A)k3,keR(B)k5,keR

J。，

㈠

(c)k1,k&R(D)k5,kGR

5

【答案】D

(8)設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則E(|X-EX|)=()

(A)-(B)-(C)-(D)1

e2e

【答案】C

(9)設(shè)M,占,…,X”為來自總體N(4,")的簡單隨機樣本，?為，…，工為來自總體N(4,2b2)的

一1?—1m

簡單隨機樣本，且兩樣本相互獨立，記x=一￡x,.，y=一￡工，

nz=imi=i

S；=一將應(yīng)=一^匕一斤廁()

i

n-1z=m-\/=1

2/5

§2

(B)巨?/(〃一1,機—1)

(A)T?F(n,m)

s?邑

2s之2Q2

(C)—^~F{n,m)(D)—?Fdm-l)

S；S?

【答案】D

(10)設(shè)區(qū),占為來自總體Nd")的簡單隨機樣本，其中＞0)是未知參數(shù)，記。=-占|,

若E(cr)=。,則。=()

⑻字(C)&(D)427T

【答案】A

二、填空題：11~16小題，每小題5分，共30分，請將答案寫在答題紙指定位置上.

(11)limx2|2-xsin--cos—|=________

%T0°IXX)

2

【答案】-

3

(12)已知函數(shù)/(x,y)滿足力(x,y)=噂當(dāng)，/(i/)=f,則/(G,3)=________

x+y4

【答案】-

3

82n

(13)

士(2〃)!

【答案］

(14)設(shè)某公司在4寸刻的資產(chǎn)為/?),從0時刻到，時刻的平均資產(chǎn)等于出-乙假設(shè)/。)連續(xù)且

t

/(0)=0,則/(。=

【答案】23--1)

ax+x3=1

xa01

x+3+%=0

(15)已知線性方程組I。八有解，其中凡6為常數(shù)，若1a1=4,

玉+2X+ax—0

2312a

axx+bx2—2

\a\

則12a=

ab0

3/5

【答案】8

(16)設(shè)隨機變量X與y相互獨立，且X?5(l,p),y?5(2,夕)，夕e(0,1),則X+V與X—V的相

關(guān)系數(shù)為________

【答案】」

3

三、解答題：17~22小題，共70分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程

或演算步驟.

(17)(本題滿分10分)

已知可導(dǎo)函數(shù)y=y(x)滿足ae*+/+y-ln(l+x)cosy+b=0,且y(0)=0,/(0)=0

(1)求。力的值；

(2)判斷x=0是否為y(x)的極值點

【答案】(1)a=l,b=-l(2)x=0是伏x)的極大值點

(18)(本題滿分12分)

已知平面區(qū)域￡>={(X,y)OWyW

xVl+x

(1)求。的面積

(2)求。繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積

【答案】(1)5=ln(l+V2)

力2

(2)V=7T--

4

(19)(本題滿分12分)

已知平面區(qū)域D={(x/)|(x—1)2+/<1},計算二重積分/=jjpx2+/-i^xdy

【答案】3道一生—必

99

4/5

(20)(本題滿分12分)

設(shè)函數(shù)/(X)在［一華團上具有2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明:

(1)若/(0)=0,則存在Je(—a,a),使得/'砥)=二"僅)+/(-初

a

(2)若「㈤在(-a,。)內(nèi)取得極值,則存在〃e(—a,a),使得［^/⑷一/匚刈

【答案】(1)利用泰勒公式在x=0處展開，再利用介值性定理；

(2)利用泰勒公式在極值點處展開，再利用基本不等式進行放縮;

(21)(本題滿分12分)

/西、