專題13復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)

題型01復(fù)數(shù)的概念

1.（2024下?廣東?梅州市一模）已知2-i（其中i為虛數(shù)單位）是關(guān)于%的方程/+川+鄉(xiāng)=0的

一個根，則實(shí)數(shù)P,9分別等于（）

A.2=4,q=5B.p=-4fq=-5

C.p=-4fq=5D.2=4,q=-5

【答案】C

【解析】

【詳解】將2-i代入/+px+q=0得（2—i『+P（2—i）+q=0,

3+2p+q=0

所以《“八，解得夕=-4a=5.

4+p=0

故選：C

2.（2024下?廣東?梅州市一模）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，下列命題是真命題的為（）

A.若zwO,則z-W是純虛數(shù)

B.若=—匕「，則Z是純虛數(shù)

C.若Z；+2；=0,則Z]=0且Z2=0

D.若2]、Z2為虛數(shù)，則Z]Z2+Z/2￡R

【答案】D

【解析】

第1頁共7頁

【詳解】對于A選項(xiàng)，取z=l,則三=1，所以，z-z=O,此時(shí)，z-三不是純虛數(shù)，A錯;

對于B選項(xiàng)，取z=0,則z2=-|z「成立，但z不是純虛數(shù)，B錯；

對于C選項(xiàng)，取z=i,z2=1,則z；+z；=O,但Z]HO且Z2/0,C錯;

對于D選項(xiàng)，若Z]、Z2為虛數(shù)，設(shè)句=。+4，z2=c+di^a,b,c,deR）,

貝！IZ]=a-bi,z2=c-di,

所以，

z/2+z/2=(a+歷)(c-di)+(a-Z?i)(c+di)=(ac+bd)+(be-ad)i+(ac+bd)+(ad-be)i

=2(?c+M)eR,D對.

故選：D.

3.（2024下?廣東大灣區(qū)?校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選）若z滿足z+彳=6,|z|=|2-2i|,則（）

A.z的實(shí)部為3B.z的虛部為1

z1—3i

C.——=----D.Z對應(yīng)的向量與實(shí)軸正方向夾角的正切值為

3-i2

【答案】AB

【解析】

【詳解】設(shè)z=a+6i（a,6eR）,因?yàn)閦+彳=6,所以2a=6,所以。=3.

|z|=|z-2i|=>y/a2+b2=yja2+（b—2）2,解得=1,所以z=3+i,所以A,B正確；

因?yàn)閦對應(yīng)的向量坐標(biāo)為（3,1）,所以Z對應(yīng)的向量與實(shí)軸正方向夾角的正切值為所以D錯誤.

3

故選：AB.

4.（2024下?廣東?廣州天河區(qū)一模）若1+i（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于X的實(shí)系數(shù)一元二次方程

/+6+2=0的一個虛根，則實(shí)數(shù)左=.

【答案】-2

【解析】

【詳解】1+i（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程/+日+2=0的一個虛根,

第2頁共7頁

1-i（i為虛數(shù)單位）也是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程/+丘+2=0的一個虛根,

l+-i）=_后，解得k——2.

故答案為：-2.

題型02復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

2_

1.（2024下?廣東?茂名市一模）已知復(fù)數(shù)2=—,其中i為虛數(shù)單位，則1=,

1+i

【答案】1+i

【解析】

22(f>i,

【詳解】一=幣

(1+1)(1T)

z=1+i-

故答案為：1+i

2⑵24下.廣東大灣區(qū).校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)2=笥’則三=（）

A.6+iB.6—iC.1+6iD.1—6i

【答案】A

2

【詳解】由7+5i可得"年（7+啟5i）（lJ-i）7-7i+5i-5i9=

2

則z=6+i.

故選：A

3.（2024下?廣東?百校聯(lián)考）設(shè)復(fù)數(shù)z=（2+i）'，貝|］彳=（）

A.l-2iB.l+2i

C.-l-2iD.-l+2i

【答案】B

【解析】

【詳解】由題意得復(fù)數(shù)z=（2+i）i3=（2+i）（_i）=l_2i,

故彳=1+2i,

第3頁共7頁

故選：B

4.（2024下廣東廣州市二中模擬）已知i為虛數(shù)單位，2為復(fù)數(shù)z的共粗復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z滿足i3z=1+i,

則團(tuán)=（）

A.1B.V2C.2D.V3

5.（2024下?廣東?佛山禪城一模）（多選）已知復(fù)數(shù)Z,W均不為0,則（）

A.|z+i|=|z-i|C.z+w=z—wD-|zw|=|z||w|

B-H-2

【答案】ABD

6.（2024下?廣東?省一模）記復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)為亍，若z（l+i）=2-2i,貝力句=()

A.1B.V2C.2D.

【答案】C

【解析】

2-2i_(2_2i)(l-i)-4i2.

【詳解】依題意,z=--------(l+i)(l-i)=丁一~」因此I=2i，

1+i

所以R|=2.

故選：C

2im-

7.（2024下?廣東?深圳市一模）已知i為虛數(shù)單位，若2=17r則z.z=)

A.41B.2C.-2iD.2i

【答案】B

【解析】

2i2i(l-i)_2i(l-i)

【詳解】因?yàn)閦=l+i,所以亍=l-i,

1+i(l+i)-(l-i)2

z?zF=(l+i).(l-i)=2

故選：B.

題型03復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)Z滿足|z—5|=|z_l|=|2+i|.則⑶=(

1.（2024下?廣東?番禺）)

D.5

第4頁共7頁

【答案】c

【解析】

【詳解】設(shè)2=。+歷（a/eR）,由題意得（a—1）?+/=/+s+i）2=（。-5）?+/,解得。=3,

b=-3,所以目=132+（—3）2=3夜

故選：C

2.（2024下?廣東?廣州市一模）已知復(fù)數(shù)z滿足|z-3+4i|=l,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】4-z=x+ji,|z-3+4i|=1,.,.（x-3）2+（j+4）2=1,

（兀了）在以（3,-4）為圓心，1為半徑的圓上，位于第四象限，選D.

3.（2024下廣東河源?一模）若復(fù)數(shù)z=2+i,且z和z?在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)分別為尸，Q,。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，貝l]cos/POQ=()

AV5R275亞2V5

Cr.----n\J.----

5555

【答案】D

【詳解】因?yàn)閦=2+i,z2=（2+i）2=3+4i,

所以z和z2在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)分別為尸（2，1）,0（3,4）,故°尸=（2,1）,。°=（3,4）,

10PHV5-55

故選：D.

4.（2024下?廣東肇慶?聯(lián)考）關(guān)于復(fù)數(shù)z與其共朝復(fù)數(shù)7,下列結(jié)論正確的是（）

A.在復(fù)平面內(nèi)，表示復(fù)數(shù)z和7的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱

B.z-z>0

C.z+=必為實(shí)數(shù)，z-彳必為純虛數(shù)

D.若復(fù)數(shù)z為實(shí)系數(shù)一元二次方程辦2+加+,=0的一根，則亍也必是該方程的根

【答案】D

【詳解】對于選項(xiàng)A,表示復(fù)數(shù)z和彳的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，故A錯誤：

對于選項(xiàng)B和選項(xiàng)C,當(dāng)z=0時(shí)均不成立，故BC錯誤；

對于選項(xiàng)D,若方程依2+瓜+。=°的AW0可得z為實(shí)數(shù)，即z=7,符合題意；

第5頁共7頁

byJ4ac-b2,byJ4ac-b2.

———?------------------]-------------------------------1

若A<0,則方程辦2+樂+。=0的兩個復(fù)數(shù)根為2a2a和2a2a,

此時(shí)兩根互為共軟復(fù)數(shù)，因此D正確.

故選：D

5.(2024下■廣東珠海?一模)棣莫弗公式(cosx+i-sinx)"=cos(”x)+i-sin(“x)(其中i為虛數(shù)單位)

是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667-1754)發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)卜0$]+「立1：|在復(fù)平

面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

(兀..兀丫2兀..2兀173.

cos—+i-sin—=cos--1-1-sin——=---1----1

【詳解】(33)3322；

J9

在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為iA在第二象限.

故選：B.

6.(2024下?廣東?江門一模)(多選)下列說法正確的是()

A.z-z=|zr，zeC

B.i2024=_l

C.若目=1,zwC,則匕―2|的最小值為1

D.若-4+3i是關(guān)于x的方程/+px+q=0(