第一章反比例函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)：L定義：形如y=&（k為常數(shù)，kWO〕的函數(shù)稱(chēng)為反比例函數(shù)。其中x

是自變量，y是函數(shù)，自變量x的取值是不等于0的一切實(shí)數(shù)。

說(shuō)明：1）y的取值范圍是一切非零的實(shí)數(shù)。

2）反比例函數(shù)可以理解為兩個(gè)變量的乘積是一個(gè)不為。的常數(shù)，因此其解析式也可

以寫(xiě)成xy=k；y=kx1；y=k—（k為常數(shù)，kWO）

3）反比例函數(shù)y=&（k為常數(shù)，kWO）的左邊是函數(shù)，右邊是分母為自變量x的分式，

X

也就是說(shuō)，分母不能是多項(xiàng)式，只能是X的一次單項(xiàng)式，如丫=,，等都是反比例

X1

-X

2

函數(shù)，

但y=’就不是關(guān)于x的反比例函數(shù)。

x+2

2.用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式

由于反比例函數(shù)y=8只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要知道一組對(duì)應(yīng)值，就可以求出k

X

的值，從而確定其解析式。

3.反比例函數(shù)的畫(huà)法：

1）列表；2）描點(diǎn)；3）連線(xiàn)

注：（1）列表取值時(shí)，xWO,因?yàn)閤=0函數(shù)無(wú)意義，為了使描出的點(diǎn)具有代表性，可以“0”

為中心，向兩邊對(duì)稱(chēng)式取值，即正、負(fù)數(shù)各一半，且互為相反數(shù)，這樣也便

于求y值

12〕由于函數(shù)圖象的特征還不清楚，所以要盡量多取一些數(shù)值，多描一些點(diǎn)，這樣便于連

線(xiàn)，使畫(huà)出的圖象更精確

（3）連線(xiàn)時(shí)要用平滑的曲線(xiàn)按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫(huà)成折線(xiàn)

（4）由于xWO,kWO,所以yWO,函數(shù)圖象永遠(yuǎn)不會(huì)與x軸、y軸相交，只是無(wú)

限靠近兩坐標(biāo)軸

4.圖像：反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線(xiàn)。反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)

稱(chēng)圖形。有兩條對(duì)稱(chēng)軸：直線(xiàn)y=x和y=-x；對(duì)稱(chēng)中心是：原點(diǎn)

5.性質(zhì):

說(shuō)明：1）反比例函數(shù)的增減性不連續(xù)，在討論函數(shù)增減問(wèn)題時(shí)，必須有“在每一個(gè)象限內(nèi)”

這一條件。

2）反比例函數(shù)圖像的兩個(gè)分只可以無(wú)限地接近x軸、y軸，但與x軸、y軸沒(méi)有交

點(diǎn)。

3）M越大，圖象的彎曲度越小，曲線(xiàn)越平直.陽(yáng)越小，圖象的彎曲度越大.

4〕對(duì)稱(chēng)性：圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即假設(shè)（a,b）在雙曲線(xiàn)的一支上，那么~b］

在雙曲線(xiàn)的另一支上.

圖象關(guān)于直線(xiàn)尸=士工對(duì)稱(chēng)，即假設(shè)（a,b〕在雙曲線(xiàn)的一支上，那么［b,a］和［-6,

-a）

在雙曲線(xiàn)的另一支上.

6.反比例函數(shù)y=A（kWO〕中的比例系數(shù)k的幾何意義表示反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)向

X

兩坐標(biāo)軸所作的垂線(xiàn)段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積。如圖，過(guò)雙曲線(xiàn)y=-（kWO〕上

X

的任意一點(diǎn)P（X,y）做X軸、y軸的垂雪PA、PB,所得矩形OBPA的面積S=PA?PB=|xy

I=Ik|o

推出：過(guò)雙曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)做坐標(biāo)軸的垂線(xiàn)，連接原點(diǎn)，所得三角形的面積為

7.經(jīng)典例題考察：

1)反比例關(guān)系與反比例函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系：如果xy=k(kWO),那么x與y這兩個(gè)量成反

比例的關(guān)系，這里的x、y可以表示單獨(dú)的一個(gè)字母，也可以代表多項(xiàng)式或單項(xiàng)式。例如y

—1與x+1成反比例，那么y-1=上；假設(shè)y與X?成反比例，那么y=2成反比例關(guān)系，

x+1X

X和y不一定是反比例函數(shù)；但反比例函數(shù)y=&(kWO〕必成反比例關(guān)系。

2)坐標(biāo)系中的求不規(guī)那么圖形的面積

3〕反比例函數(shù)與一次函數(shù)、正比例函數(shù)的綜合題

8反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系.

(1)雙曲線(xiàn)的兩個(gè)分支是斷開(kāi)的，研究反比例函數(shù)的增減性時(shí)，要將兩個(gè)分支分別討論,

不能一概而論.

(2)直線(xiàn)＞=上"與雙曲線(xiàn)

1的關(guān)系:

兩圖象沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)1?時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)

關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).

8.實(shí)際問(wèn)題與反比例函數(shù)的應(yīng)用

1)步驟：分析問(wèn)題，列解析式建立反比例函數(shù)模型一利用反比例函數(shù)解決相關(guān)問(wèn)題，建

立反比例函數(shù)模型是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

思路：題目中已明確兩變量的函數(shù)關(guān)系，常利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式。

題目中不能確定變量間的函數(shù)關(guān)系，找出等量關(guān)系，將變量聯(lián)系起來(lái)就能得到

函數(shù)關(guān)系式，并解決問(wèn)題。

2）反比例函數(shù)的應(yīng)用

（1）反比例函數(shù)在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用。求實(shí)際問(wèn)題中的面積

（2）反比例函數(shù)在其他學(xué)科中的應(yīng)用，

a）物理學(xué)中，電壓一定時(shí)，電阻R與電流強(qiáng)度I成反比例函數(shù)，//

b）當(dāng)在一個(gè)可以改變體積的容器中裝入一定質(zhì)量的氣體時(shí)，當(dāng)改變?nèi)萜鞯捏w積時(shí)，氣體的密

度也會(huì)隨之改變，密度夕〔單位：kg/m3）是體積v的反比例函數(shù)，解析式可以表達(dá)為夕=（

k

C）收音機(jī)刻度盤(pán)的波長(zhǎng)/與頻率/關(guān)系式：/=:

d）壓力F一定時(shí)，壓強(qiáng)P與受力面積S成反比例關(guān)系，即「=二

S

P

e）當(dāng)汽車(chē)輸出功率P一定時(shí)，汽車(chē)行駛速度v與汽車(chē)所受的負(fù)載即阻力F成反比例關(guān)系，v=O

F

（3）反比例函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用：路程問(wèn)題、工程問(wèn)題等。

注：實(shí)際問(wèn)題中一定要注意自變量x的取值范圍。

重點(diǎn):

反比例函數(shù)的概念的理解和掌握，反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)的理解、掌握和運(yùn)用.

難點(diǎn)：

（1）反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)的理解和掌握.反比例函數(shù)的圖像是雙曲線(xiàn)，在利用它的

增、減性解題時(shí)，必須注意“在每一象限內(nèi)”的條件。

（2）反比例函數(shù)的應(yīng)用：從實(shí)際問(wèn)題中抽象出反比例函數(shù)的模型。用待定系數(shù)法求出反比

例函數(shù)的解析式，再用反比例函數(shù)的規(guī)律解決實(shí)際問(wèn)題。

考點(diǎn)：

與反比例函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，幾乎在歷屆中考中都可以找到。其主要命題點(diǎn)為：（1）反比例

函數(shù)的定義；（2〕反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)；（3〕求反比例函數(shù)的解析式；（4）反比例函

數(shù)與實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用；（5）反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合。題型主要有選擇題、填空題、

還有解答題。

二次函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)：

1.定義：一般地，如果y=ax?+bx+c(a,"c是常數(shù)，a，0),那么y叫做x的二次函數(shù).

2.二次函數(shù)〉=。/的性質(zhì)

(1)拋物線(xiàn)y=ax2(aw0)的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸.

⑵函數(shù)y=ax2的圖像與a的符號(hào)關(guān)系.

①。>。時(shí)O拋物線(xiàn)開(kāi)口向上O頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；

②當(dāng)。<0時(shí)O拋物線(xiàn)開(kāi)口向下。頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)

3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像是對(duì)稱(chēng)軸平行于(包括重合)y軸的拋物線(xiàn).

4.二次函數(shù)>=。/+以+。用配方法可化成：y=a(x-/z)2+人的形式，其中

b74。。一周

P7l:=----9K,--------,

2a4a

5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

(T)y=ax2；@y-ax1+k；?y=a(x-h)2；?y=a(x-h)2+k；@_y=ax1+bx+c.

6.拋物線(xiàn)的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn).

①a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向：

當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a<0時(shí)，開(kāi)口向下；同相等，拋物線(xiàn)的開(kāi)口大小、形狀相同.

②平行于y軸(或重合)的直線(xiàn)記作x=h.特別地，y軸記作直線(xiàn)％=0.

7.頂點(diǎn)決定拋物線(xiàn)的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)。相同，那么拋物線(xiàn)的開(kāi)

口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.

8.求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法

4acb

⑴公式法：y=ax+bx+c=c[x+-^\+~,1.頂點(diǎn)是,

la)4a2a4a

對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-2.

2a

⑵配方法：運(yùn)用配方法將拋物線(xiàn)的解析式化為y=4"步+%的形式，

得到頂點(diǎn)為(力，k),對(duì)稱(chēng)軸是x=h.

⑶運(yùn)用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性：由于拋物線(xiàn)是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)軸的連線(xiàn)的

垂直平分線(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)是頂點(diǎn).

★用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ(chēng)性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失★

9.拋物線(xiàn)y=af+/?x+c中，a,4c的作用

(1)a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與y=a/中的。完全一樣.

⑵。和。共同決定拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置.由于拋物線(xiàn)y="2+fcc+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)尤=_2,故:

2a

①6=0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸；②2>0(即。、〃同號(hào))時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)；

a

③2<0(即。、〃異號(hào))時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè).

a

⑶c的大小決定拋物線(xiàn)y=ax?+bx+c與y軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)x=0時(shí)，y=c,.,.拋物線(xiàn)丁=。必+bx+c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0,c)：

①c=0,拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；②c>0,與y軸交于正半軸；③c<0,與y軸交于負(fù)半軸.

以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，那么2<o.

10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:

函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

y=ax2x=0(y軸)(0,0)

2

y=ax+k當(dāng)a>0時(shí)x=0(y軸)(0,k)

y=a(x-hf開(kāi)口向上x(chóng)=h(肌0)

y=a(x-h)2+k當(dāng)a<0時(shí)x=h(h,k)

開(kāi)口向下

b(b4ac-b2)

y=ax2+bx+cx=---

2a2a4a

11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)一般式：y=+/?x+c.圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式.

⑵頂點(diǎn)式：y=a(x-/zy+左.圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

⑶交點(diǎn)式：圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)玉、x2,通常選用交點(diǎn)式：y=a(x-x}\x-x2).

12.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)

(1)y軸與拋物線(xiàn)y=ax?+8x+c得交點(diǎn)為(O,c)

⑵與y軸平行的直線(xiàn)x=〃與拋物線(xiàn)y=tu，+少x+c有且只有一個(gè)交點(diǎn)(〃，ah2+bh+c).

⑶拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)

二次函數(shù)y+以+。的圖像與％軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)修、%2,是對(duì)應(yīng)一元二次方

程

ax2+bx+c^O的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線(xiàn)與％軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的

判別式判定：

①有兩個(gè)交點(diǎn)o△〉0o拋物線(xiàn)與x軸相交；

②有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)o△=0o拋物線(xiàn)與x軸相切；

③沒(méi)有交點(diǎn)<=>A<0o拋物線(xiàn)與x軸相離.

(4)平行于x軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)

同⑶一樣可能有。個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相

等，設(shè)縱坐標(biāo)為M那么橫坐標(biāo)是62+笈+。=左的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

⑸一次函數(shù)y=履+”(左H0)的圖像/與二次函數(shù)y=a*2+6x+c(aw0)的圖像G的交點(diǎn)，由

方程組

=的解的數(shù)目來(lái)確定：

y=ax2+bx+c

①方程組有兩組不同的解時(shí)o/與G有兩個(gè)交點(diǎn)；

②方程組只有一組解時(shí)。/與G只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無(wú)解時(shí)o/與G沒(méi)有交點(diǎn).

(6)拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：假設(shè)拋物線(xiàn)丁="犬+法+。與x軸兩交點(diǎn)為

A(x1,0),B(X2,0),由于玉、9是方程++bx+c=0的兩個(gè)根，故

bc

無(wú)]+=--，%]?無(wú)2二一

一aa

13.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：

(1)一元二次方程y=ax1+bx+c就是二次函數(shù)y=ax~+bx+c當(dāng)函數(shù)y的值為0時(shí)的情況.

(2)二次函數(shù)y=ax2+6x+c的圖象與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、

沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)二次函數(shù)y=欠2+法+。的圖象與x軸有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)

丁=0時(shí)自變量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c^O的根.

⑶當(dāng)二次函數(shù)丁=依2+法+。的圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，那么一元二次方程

y=+6x+c有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)y=。必+bx+c的圖象與x軸有一

個(gè)交點(diǎn)時(shí)，那么一元二次方程內(nèi)2+公+C=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)

y=ax2+bx+c的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，那么一元二次方程ax?+Z?x+c=。沒(méi)有實(shí)數(shù)根

14、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)

1.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

y=ax2+云+°關(guān)于苫軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y=-冰2；

y=a（x-hf+k關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后,得到的解析式是y=-a{x-hf-k;

2.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y=。尤?-6x+c；

y=a（x-/7）2+左關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后,得到的解析式是y=a（x++%;

3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

y=ax2+bx+c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是丫=-渥+bx-c；

y=a（x-/z）2+上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得至U的解析式是y=-a（x+/z）2-人;

4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（即：拋物線(xiàn)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。〕

y=ax2+bx+c關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y=-加-灰+°-2;

2a

y=［（%一力）2+左關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得至［J的解析式是丁=—"（%一力J+k.

5.關(guān)于點(diǎn)（m,〃）對(duì)稱(chēng)

y=a（x-〃）2+上關(guān)于點(diǎn)（口，對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y=-a（x+〃-2〃z『+2〃-%

根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱(chēng)變換，拋物線(xiàn)的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此同

永遠(yuǎn)不變.求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原那么，選擇

適宜的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線(xiàn)（或表達(dá)式的拋物線(xiàn)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，再

確定其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，然后再寫(xiě)出其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式.

15.二次函數(shù)的應(yīng)用：

⑴二次函數(shù)常用來(lái)解決最優(yōu)化問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題實(shí)際上就是求函數(shù)的最大（?。┲担?/p>

⑵二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面：分析和表示不同背景下實(shí)際問(wèn)題中變量之間的二次函數(shù)

關(guān)系；

運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題中的最大（?。┲?

15.解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的根本思路：（1）理解問(wèn)題；（2）分析問(wèn)題中的變量和常量；（3）用函數(shù)

表達(dá)式表示出它們之間的關(guān)系；（4）利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解；（5）檢驗(yàn)結(jié)果的

合理性，對(duì)問(wèn)題加以拓展等.

重難點(diǎn)：

二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。

考點(diǎn)：

二次函數(shù)在中考中占有很重要的地位，是中考中的必考內(nèi)容。中考的主要命題點(diǎn)為：（1〕

求二次函數(shù)的關(guān)系式（2）拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸（3）二次函數(shù)的最大（小）

值（4）拋物線(xiàn)>="2+法+0（aWO）與a,b,c的符號(hào)（5〕二次函數(shù)與一元二次方程（6）

二次函數(shù)的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題等。題型主要有選擇題、填空題、解答題，還有探究題和開(kāi)放題。

有關(guān)二次函數(shù)的熱點(diǎn)問(wèn)題仍然是函數(shù)型應(yīng)用題與方程、幾何知識(shí)、三角函數(shù)等知識(shí)綜合在

一起的綜合題、探究題和開(kāi)放題。

圓的根本性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)：

1.圓的有關(guān)概念

m圓心、半圓、同心圓、等圓、弦與弧。

（2）直徑是經(jīng)過(guò)圓心的弦。是圓中最長(zhǎng)的弦?；∈菆A的一局部。

2.圓周角與圓心角

門(mén)）一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

（2〕圓周角與半圓或直徑：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；

90。圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑。

（3）圓周角與半圓或等弧：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；

在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。

3.圓的對(duì)稱(chēng)性

m圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，圓心是它的對(duì)稱(chēng)中心。

（2）圓的旋轉(zhuǎn)不變性：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相

等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其他各組量分別相等。

（3〕圓的軸對(duì)稱(chēng)性：經(jīng)過(guò)圓心都的任意一條直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸。垂徑定理是研究有關(guān)圓

的知識(shí)的根底。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。還可以概

括為：如果有一條直線(xiàn)，1.垂直于弦；2.經(jīng)過(guò)圓心；3.平分弦（非直徑）；4.平分弦所對(duì)的

優(yōu)??；

5.平分弦所對(duì)的劣弧，同時(shí)具備其中任意兩個(gè)條件，那么就可以得到其他三個(gè)結(jié)論。

4.弧長(zhǎng)及扇形的面積

弧長(zhǎng)公式：

圓弧是圓的一局部，假設(shè)將圓周分為360份，1°的圓心角所對(duì)的弧是圓周長(zhǎng)的熹，因

為半徑為r的圓周長(zhǎng)是2?r,所以n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)/的計(jì)算公式為

n-n7ir

----?271r=---（-其-中,/為弧長(zhǎng)，n為弧所對(duì)的圓心角度數(shù)，r為弧所在圓的半徑〕

360180

扇形的面積公式:

1?扇形的定義：一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形,如圖，AB

和半徑OA、0B所組成的圖形是一個(gè)扇形，讀作扇形OAB

2,扇形的周長(zhǎng)

扇形的周長(zhǎng)等于弧長(zhǎng)與兩半徑的長(zhǎng)之和，即/扇花=/+2R

廨形AB

3?扇形是圓面的一局部，假設(shè)將半徑為r的圓分為360份，圓心角1°的扇形面積是圓面

積的擊，因?yàn)榘霃綖閞的圓的面積是萬(wàn)產(chǎn)，所以半徑為?圓心角為n。的扇形面積為

YiTir1

~36Q

4?弧長(zhǎng)為/,半徑為r的扇形面積為S="二=」.也

36021802

5?扇形面積的應(yīng)用（求圓的一局部的面積）：

5.圓錐的側(cè)面積和全面積

圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，如圖，設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為1,底面圓的半徑為r,那么這個(gè)

圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中扇形的半徑即為母線(xiàn)長(zhǎng)1,扇形的弧長(zhǎng)即為底面圓的周長(zhǎng)2nr,根據(jù)扇形

面積公式可知S=L?2nr?1=nrl.因此圓錐的側(cè)面積為S州=nrl.圓錐的側(cè)面積與底面積

2

之和稱(chēng)為圓錐的全面積，全面積為S^nd+nrl.

重點(diǎn)：

1.弦和弧的概念、弧的表示方法和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。

2.用尺規(guī)作圖法對(duì)不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)作圓。

3.垂徑定理。（重中之重：“垂直于弦的直徑平分弦和弧”經(jīng)常考）

4.扇形弧長(zhǎng)和面積、圓錐側(cè)面積和體積的計(jì)算。

難點(diǎn)：

1..對(duì)“不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓”中的存在性和唯一性

的理解

2.圓錐側(cè)面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程需要較強(qiáng)的空間想像能力

3.類(lèi)似螞蟻爬圓錐的計(jì)算問(wèn)題。

4.有關(guān)圓的無(wú)圖多解問(wèn)題。

考八占八?.

1垂直于弦的直徑

2圓周角定理及其推論

3圓內(nèi)接四邊形

4圓周角、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系

5圓的性質(zhì)綜合題

相似三角形

知識(shí)點(diǎn)：

1相似圖形

形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡(jiǎn)單的是相似三角形.

2比例線(xiàn)段的相關(guān)概念

如果選用同一單位量得兩條線(xiàn)段a)的長(zhǎng)度分別為利九，

那么就說(shuō)這兩條線(xiàn)段的比是4=%,或?qū)懗?m:〃.

bn

注意：在求線(xiàn)段比時(shí)，線(xiàn)段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位.

在四條線(xiàn)段a,dc,d中，如果a和。的比等于c和d的比，

那么這四條線(xiàn)段a,b,c,d叫做成比例線(xiàn)段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線(xiàn)段.

注意：

(1)當(dāng)兩個(gè)比例式的每一項(xiàng)都對(duì)應(yīng)相同，兩個(gè)比例式才是同一比例式.

⑵比例線(xiàn)段是有順序的，如果說(shuō)。是"c,d的第四比例項(xiàng)，那么應(yīng)得比例式為：2=4.

ca

3比例的性質(zhì)

根本性質(zhì)：

(1)a:b=c:d<^>ad=bc；(2)a:c-c:b^>c2-a-b.

注意：

由一個(gè)比例式只可化成一個(gè)等積式，而一個(gè)等積式共可化成八個(gè)比例式，如=

除

了可化為a:Z?=c:d,還可化為a:c=人：d,c:d=a:b,b:d=a:c,b:a=d:c,

c:a=d:b,d:c=b:a,d:b=c:a.

更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：

反比性質(zhì)(把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換)：-=4^-=--

bdac

合比性質(zhì)：厘=4.

bdbd

注意：實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號(hào)左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之

間

b-a_d-c

發(fā)生同樣和差變化比例仍成立.如：@=aC等等.

bda-b_c-d

+bc+d

等比性質(zhì)：

心廠(chǎng)中〃cem7「八、a+c+e-\—+ma

如果一=—=—=-=—Sz7+d+/+???+〃wO),那么--------------=一.

bdfnb+d+f-\--1-nb

注意：

(1)此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)左法”,這種方法是有關(guān)比例計(jì)算，變形中一種常用方

法.

(2)應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零.

(3)可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性

fl2c+3g

質(zhì)也成立.如：-=-=-^-=—=—^~=￡,其中b—2d+3//0.

bdfb-Id3/b-2d+3fb

4比例線(xiàn)段的有關(guān)定理

平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理：三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn)，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例.

推論：

（1）平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例.

（2）平行于三角形一邊并且和其它兩邊相交的直線(xiàn)，所截得的三角形的三邊與原三角形

三邊對(duì)應(yīng)成比例.

定理：如果一條直線(xiàn)截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，

那么這條直線(xiàn)平行于三角形第三邊.

5黃金分割

把線(xiàn)段分成兩條線(xiàn)段AC,5aAe>30,且使AC是A環(huán)口8C的比例中項(xiàng)，叫做把

線(xiàn)段黃金分割，點(diǎn)。叫做線(xiàn)段A8的黃金分割點(diǎn)，其中AC=避匚回心0.618AB.

2

6相似三角形的概念

對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形.

相似用符號(hào)“S”表示，讀作“相似于”.

相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）.

相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.

注意：

①對(duì)應(yīng)性：即兩個(gè)三角形相似時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上，這樣

寫(xiě)比擬容易找到相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊.

②順序性：相似三角形的相似比是有順序的.

③兩個(gè)三角形形狀一樣，但大小不一定一樣.

④全等三角形是相似比為1的相似三角形.二者的區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等，而

相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例.

7相似三角形的根本定理

定理：平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其它兩邊（或兩邊延長(zhǎng)線(xiàn)）相交，所構(gòu)成的三角形與

原

三角形相似.

定理的根本圖形：

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是：.DE//BC,:.^ADE^AABC.

8相似三角形的等價(jià)關(guān)系

⑴反身性：對(duì)于任一MBC有AABCsAABC.

⑵對(duì)稱(chēng)性：假設(shè)AABCSAABC,那么AABCSAABC.

⑶傳遞性：假設(shè)AABCsAA'〃C',且AA'BC'sAA"6"C",那么AABCsAA"6"C".

9三角形相似的判定方法

1、定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似.

2、平行法：平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）相交，

所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

3、判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這

兩

個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似.

4、判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且

夾

角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相

似.

5、判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，

那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似.

6、判定直角三角形相似的方法：

(1)以上各種判定均適用.

(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角

邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似.

(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似.

直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊

是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。

公式如圖，RtaABC中，ZBAC=90°,AD是斜邊BC上的高，那么有射影定理如下：

⑴(AD)2=BD?DC,

⑵(AB)2=BD?BC,

2

⑶(AC[=CD?BCo

證明：在A(yíng)BAD與4ACD中，ZB+ZC=90°,ZDAC+ZC=90°,AZB=ZDAC,又：

ZBDA=ZADC=90°,，ABADs^ACD相似，I.AD/BD=CD/AD,即

(AD)2=BD-DCo其余類(lèi)似可證。

注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。由公式12)+[3)得：

(AB)2+(AC)JBD?BC+CD?BC=(BD+CD)?BC=(BC)2,

即(AB〕2+(AC)2=(BC)2。

這就是勾股定理的結(jié)論。

10相似三角形性質(zhì)

(1)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.

(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比和對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比.

(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.

(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方.

(5)相似三角形性質(zhì)可用來(lái)證明線(xiàn)段成比例、角相等，也可用來(lái)計(jì)算周長(zhǎng)、邊長(zhǎng)等.

11相似多邊形

如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)多邊形叫做相似多

邊形.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比(相似系數(shù)).

12相似多邊形的性質(zhì)

(1)相似多邊形周長(zhǎng)比，對(duì)應(yīng)對(duì)角線(xiàn)的比等于相似比.

(2)相似多邊形中對(duì)應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比.

(3)相似多邊形面積比等于相似比的平方.

注意：相似多邊形問(wèn)題往往要轉(zhuǎn)化成相似三角形問(wèn)題去解決，因此，熟練掌握相似三

角形知識(shí)是根底和關(guān)鍵.

13與位似圖形有關(guān)的概念

1.如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)都交于一點(diǎn)，那么這樣的

兩個(gè)圖形叫做位似圖形.

2.這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱(chēng)為位似比.

拓.

(1),位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)相交于一

點(diǎn).

(2〕位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.

(3)位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或共線(xiàn).

14位似圖形的性質(zhì)

位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.拓展：位似圖形有許

多性質(zhì)，它具有相似圖形的所有性質(zhì).

15畫(huà)位似圖形

1.畫(huà)位似圖形的一般步驟：

m確定位似中心

(2)分別連接原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)和位似中心，并延長(zhǎng)(或截取〕.

〔3〕根據(jù)的位似比，確定所畫(huà)位似圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的位置.

(4)順次連結(jié)上述得到的關(guān)鍵點(diǎn)，即可得到一個(gè)放大或縮小的圖形.

2.位似中心的選取：

(1)位似中心可以在圖形外部，此時(shí)位似中心在兩個(gè)圖形中間，或在兩個(gè)圖形之外.

〔2〕位似中心可取在多邊形的一條邊上.

(3)位似中心可取在多邊形的某一頂點(diǎn)上.

說(shuō)明：位似中心的選取決定了位似圖形的位置，以上位似中心位置的選取中，每一種方

法都能把一個(gè)圖形放大或縮小.

16相似三角形常見(jiàn)的圖形

(1)假設(shè)DE〃BC(A型和X型)那么△ADES^ABC

(2)射影定理假設(shè)CD為Rt^ABC斜邊上的高(雙直角圖形〕

那么RtAABCRtAACDRtACBD且AC=AD?AB,CD=AD?BD,BC=BD?AB；

⑶滿(mǎn)足1、AC=AD?AB,2、ZACD-ZB,3、ZACB=ZADC,都可判定△ADCS^ACB.

Ar)4F

(4)當(dāng)叱=/或AD?AB=AC?AE時(shí)，△ADES^ACB.

ACAB

(3)⑷

重點(diǎn)：

相似三角形的判定方法及相似三角形的有關(guān)性質(zhì)

難點(diǎn)：

相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用

考P八占、、?,

圖形的相似是平面幾何中極為重要的內(nèi)容。中考的主要命題點(diǎn)為：

(1)比例的性質(zhì)和黃金分割

(2)相似三角形的定義及相似三角形的判定

(3)相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用

(4)相似多邊形的定義和性質(zhì)

(5)位似圖形及其作圖等。

題型主要為選擇題、填空題、解答題等，選擇題、填空題將注重“相似三角的判定與性質(zhì)”

等根底知識(shí)的考查，將在解答題中加大知識(shí)的橫向與縱向聯(lián)系及應(yīng)用問(wèn)題的力度。

九下第一章解直角三角形

知識(shí)點(diǎn):

銳角三角函數(shù)的定義：

在RTAABC中，ZC=90°,a、b、c分別是NA、NB、ZC

的對(duì)邊，那么：

常用變形：a=c.sinA；c=，等，由同學(xué)們自行歸納。

sinA

銳角三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：

1、當(dāng)0°<ZA<90°時(shí)，0<sinA<l；0<cosA<l；tanA〉O；

2、在0°90°之間，正弦、正切（sin、tan）的值，隨角

度的增大而增大；余弦（cos）的值，隨角度的增大而減

小。

同角三角函數(shù)的關(guān)系：

常用變形：sinA=Vl-cos2AcosA=71-sin2A（用定義證明，易得，同學(xué)自行完成）

四、正弦與余弦，正切與余切的轉(zhuǎn)換關(guān)系:

如圖1,由定義可得：sinA=—=cosB=cos(90°-A)同理可

五、特殊角的三角函數(shù)值:

三角函數(shù)sinacosatana

j_A/3

30°旦

2~T

45°~TT1

]_

60°百

22

六、解直角三角形的根本類(lèi)型及其解法總結(jié)：

類(lèi)型條件解法

重點(diǎn)：

2

兩直角邊a、bc=da+b9tanA=—9/B—90°—

b一、三角函數(shù)

兩邊

1.特殊

直角邊a,斜邊cb=y]c2-a2,sinA=-,ZB=90°-ZA

c角的三角函

數(shù)值：

一邊直角邊a,銳角A4=90。-"b=acotA,c=-^~

sinA

一銳角

斜邊c,銳角AZB=90°-ZA,a-osinA,b=acosA

0°30°45°60°90°

sin

a

cos

a

tga||/

2.互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：sin（90°-a）=cosa；…

3.三角函數(shù)值隨角度變化的關(guān)系

二、解直角三角形

1.定義：邊和角（兩個(gè)，其中必有一邊〕一所有未知的邊和角。

2.依據(jù)：①邊的關(guān)系：a2+b2=c2

②角的關(guān)系：A+B=90°

③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義。

注意：盡量防止使用中間數(shù)據(jù)和除法。

三、對(duì)實(shí)際問(wèn)題的處理

1.俯、仰角：2.方位角、象限角：3.坡度:

兩個(gè)直角三角形中，都缺

角三角形的條件時(shí)，可用

程的方法解決。

1、銳角三角函數(shù)的概念

2、直角三角形的解法

3、三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運(yùn)用

考點(diǎn)：

1.中考重點(diǎn)考查正弦、余弦的根本概念和求特殊角的三角函數(shù)值，及利用正弦和余弦解決

一些比擬簡(jiǎn)單的直角三角形問(wèn)題.

2.中考側(cè)重考查求特殊角的正切值、余切值，利用正切求線(xiàn)段的長(zhǎng).以及綜合應(yīng)用三角函

數(shù)解決測(cè)量問(wèn)題.

3.考查三角形的邊角關(guān)系是中考常見(jiàn)題型，解決此類(lèi)問(wèn)題的方法是將一般圖形轉(zhuǎn)化為解直

角三角形的知識(shí)來(lái)解決。有時(shí)需要添加輔助線(xiàn).

4.中考中的三角函數(shù)與圓的綜合題是熱點(diǎn)題型.解決這類(lèi)問(wèn)題的方法是利用勾股定理、銳

角三角函數(shù)關(guān)系式.