【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學模擬卷（新高考Ⅰ卷專用）黃金卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知是實數(shù)集，，，則（

）A． B． C． D．2．已知，若為純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．23．已知為等比數(shù)列且各項均不為0，向量，且，則（

）A．4 B．2 C．8 D．64．已知函數(shù)，若不等式的解集為且，則函數(shù)的極小值是（

）A． B．0 C． D．5．已知橢圓方程為，長軸為，過橢圓上一點向軸作垂線，垂足為，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．6．已知圓：，直線：，為上的動點，過點作圓的切線，，切點分別為，，當四邊形面積最小時，的值為（

）A． B． C． D．7．在和之間插入個數(shù)，組成首項為，末項為的等差數(shù)列，若這個數(shù)列的前項的和，后項的和之比為，則插入數(shù)的個數(shù)是（

）A．個 B．個 C．個 D．個8．已知，，則（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．袋子中有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取5次，每次取一個球．記錄每次取到的數(shù)字，統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)這5個數(shù)字的平均數(shù)為2，方差小于1，則（

）A．可能取到數(shù)字4 B．中位數(shù)可能是2C．極差可能是4 D．眾數(shù)可能是210．已知函數(shù)，點在函數(shù)圖象上，則下列說法正確的是（

）A．有最小值 B．有最小值2C．有最小值 D．若，則有最小值11．下列判斷正確的是（

）A．若是一次函數(shù)，滿足，則B．命題“”的否定是“”C．函數(shù)的定義域為，值域，則滿足條件的有3個D．關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為12．如圖，在棱長為2的正方體中，點滿足，其中，則（

）A．存在點，使得平面 B．存在點，使得平面C．當時，的最大值為1 D．當時，的最小值為0第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，某景區(qū)共有五個景點，相鄰景點之間僅設(shè)置一個檢票口供出入，共有7個檢票口，工作人員為了檢測檢票設(shè)備是否正常，需要對每個檢票口的檢票設(shè)備進行檢測.若不重復(fù)經(jīng)過同一個檢票口，依次對所有檢票口進行檢測，則共有種不同的檢測順序.14．在長方體中，分別是棱上的動點（不含端點），且，則三棱錐體積的取值范圍是.15．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，且，則的取值的集合為.16．斜率為1的直線與雙曲線（）交于兩點，點是曲線上的一點，滿足，和的重心分別為，的外心為，記直線，，的斜率為，，，若，則雙曲線的離心率為.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．（10分）如圖某公園有一塊直角三角形的空地，其中長千米，現(xiàn)要在空地上圍出一塊正三角形區(qū)域建文化景觀區(qū)，其中分別在上．設(shè)．

(1)若，求的邊長；(2)求的邊長最小值．（12分）邊長為4的正方形所在平面與半圓弧所在平面垂直，四邊形是半圓弧的內(nèi)接梯形，且.

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，且二面角與二面角的大小都是，當點在棱（包含端點）上運動時，求直線和平面所成角的正弦值的取值范圍.（12分）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對，，且在處取得極小值，求的取值范圍.（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)求；(2)若，記數(shù)列的前n項和為，求證：．（12分）某排球教練帶領(lǐng)甲、乙兩名排球主力運動員訓練排球的接球與傳球，首先由教練第一次傳球給甲、乙中的某位運動員，然后該運動員再傳回教練.每次教練接球后按下列規(guī)律傳球：若教練上一次是傳給某運動員，則這次有的概率再傳給該運動員，有的概率傳給另一位運動員.已知教練第一次傳給了甲運動員，且教練第次傳球傳給甲運動員的概率為.(1)求，；(2)求的表達式；(3)設(shè)，證明：.22．（12分）已知拋物線：（）上一點的縱坐標為3，點到焦點距離為5.(1)求拋物線的方程；(2)過點作直線交于，兩點，過點，分別作的切線與，與相交于點，過點作直線垂直于，過點作直線垂直于，與相交于點，、、、分別與軸交于點、、、.記、、、的面積分別為、、、.若，求直線的方程.【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學模擬卷（新高考Ⅰ卷專用）黃金卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知是實數(shù)集，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別計算出、，運用并集的定義即可解決問題.【詳解】由，即，即，解得或，所以或，因為，所以，故.故選：A.2．已知，若為純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】先利用復(fù)數(shù)的乘法化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)純虛數(shù)的定義求解.【詳解】解：，因為，且為純虛數(shù)，所以，解得，故選：D3．已知為等比數(shù)列且各項均不為0，向量，且，則（

）A．4 B．2 C．8 D．6【答案】C【分析】用坐標表示向量的垂直和平行，列式即可求解.【詳解】由得，（對于非零向量的充要條件為）又為等比數(shù)列，所以，又，得．由得，即，所以.故選：C．4．已知函數(shù)，若不等式的解集為且，則函數(shù)的極小值是（

）A． B．0 C． D．【答案】C【分析】依題意可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極小值.【詳解】因為不等式的解集為且，所以，且為的二重根，所以，則，則當或時，當時，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，即.故選：C5．已知橢圓方程為，長軸為，過橢圓上一點向軸作垂線，垂足為，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)，表示出，結(jié)合橢圓方程，代入計算，再由離心率公式，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，，則，，所以，且，所以，即，代入橢圓方程可得，化簡可得，則離心率為.故選：B6．已知圓：，直線：，為上的動點，過點作圓的切線，，切點分別為，，當四邊形面積最小時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓的方程求出圓心和半徑，然后得到四邊形面積為，利用切線長公式可知，當最短時，四邊形面積最小，求解即可得到答案.【詳解】

將化為標準方程為：，所以圓的圓心為，半徑為2，由題意，四邊形面積為，又因為，所以當最短時，四邊形面積最小，此時.故選：C7．在和之間插入個數(shù)，組成首項為，末項為的等差數(shù)列，若這個數(shù)列的前項的和，后項的和之比為，則插入數(shù)的個數(shù)是（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】設(shè)插入的這個數(shù)分別記為、、、，計算出這個數(shù)列的公差，計算出這個數(shù)列前項的和與所有項的和，根據(jù)這個數(shù)列的前項的和占所有項之和的可得出關(guān)于的等式，解出的值，即可得解.【詳解】設(shè)插入的這個數(shù)分別記為、、、，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，這個數(shù)列的公差為，這個數(shù)列所有項的和為，這個數(shù)列的前項的和為，因為這個數(shù)列的前項的和與后項的和之比為，則，即，解得，所有，插入數(shù)的個數(shù)是個.故選：B.8．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合二倍角公式和兩角和差公式化簡即可求得.【詳解】，.，，，，，又因為，所以，則，所以..故選：A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．袋子中有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取5次，每次取一個球．記錄每次取到的數(shù)字，統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)這5個數(shù)字的平均數(shù)為2，方差小于1，則（

）A．可能取到數(shù)字4 B．中位數(shù)可能是2C．極差可能是4 D．眾數(shù)可能是2【答案】BD【分析】對于AC：根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、方差和極差的定義分析判斷；對于BD：舉例說明即可.【詳解】設(shè)這5個數(shù)字為，對于A：若取到數(shù)字4，不妨設(shè)為，則，可得，可知這4個數(shù)中至少有2個1，不妨設(shè)為，則這5個數(shù)字的方差，不合題意，故A錯誤；對于C：因為這5個數(shù)字的平均數(shù)為2，這5個數(shù)字至少有1個1，不妨設(shè)為，若極差是4，這最大數(shù)為5，不妨設(shè)為，則這5個數(shù)字的平均數(shù)，則，可知這3個數(shù)有2個1，1個2，此時這5個數(shù)字的方差，不合題意，故C錯誤；對于BD：例如2，2，2，2，2，可知這5個數(shù)字的平均數(shù)為2，方差為0，符合題意，且中位數(shù)是2，眾數(shù)是2，故BD正確；故選：BD.10．已知函數(shù)，點在函數(shù)圖象上，則下列說法正確的是（

）A．有最小值 B．有最小值2C．有最小值 D．若，則有最小值【答案】ACD【分析】A.利用基本不等式判斷；B.利用重要不等式判斷；C.由，利用基本不等式判斷；D.由，結(jié)合“1”的代換，利用基本不等式判斷.【詳解】解：依題意，，由基本不等式，，當且僅當時，等號成立，則有最小值，選項A正確；，當且僅當時，等號成立，則有最小值4，選項B錯誤；，當且僅當時，等號成立，則有最小值為，選項C正確；因為，所以，，當且僅當，即時，等號成立，則有最小值，選項D正確．故選：ACD．11．下列判斷正確的是（

）A．若是一次函數(shù)，滿足，則B．命題“”的否定是“”C．函數(shù)的定義域為，值域，則滿足條件的有3個D．關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為【答案】BC【分析】對于A，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可判斷；對于B，存在量詞命題的否定為全稱量詞命題；對于C，由函數(shù)的值域，解可推斷定義域；對于D，由不等式的解集為，由韋達定理得，求解不等式即可.【詳解】對于A：因為是一次函數(shù)，設(shè)，則，可得，解得或所以或，故選項A錯誤；對于B：存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，選項B正確；對于C：，可得，所以函數(shù)的定義域可以是：或或，滿足條件的有3個，故選項C正確；對于D：關(guān)于的不等式的解集為，則方程的解是或，且，由韋達定理可得，解得，則不等式轉(zhuǎn)化為，因為，所以，解得，則不等式的解集為，故選項D不正確．故選：BC．12．如圖，在棱長為2的正方體中，點滿足，其中，則（

）A．存在點，使得平面 B．存在點，使得平面C．當時，的最大值為1 D．當時，的最小值為0【答案】BC【分析】利用線面垂直的判定定理判斷選項A;利用線面垂直的判定定理證明選項B；根據(jù)時，得，進而確定在平面內(nèi)的軌跡是以為圓心，圓心角為，半徑為1的圓弧，設(shè)即可得，，利用三角函數(shù)討論最值即可求解.【詳解】對于A：由題意得在正方形的內(nèi)部（包括邊界），在正方體中，平面，若平面，則在直線上，不符合題意，A錯誤．對于B：如圖，當與重合時，連接．是正方形，平面平面，平面平面平面．是正方形，平面平面，平面平面平面．平面平面B正確．對于CD：如圖，當時，得，則在平面內(nèi)的軌跡是以為圓心，圓心角為，半徑為1的圓弧，設(shè)則有，得，得，，由，得，則，C正確，D錯誤．故選:BC.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，某景區(qū)共有五個景點，相鄰景點之間僅設(shè)置一個檢票口供出入，共有7個檢票口，工作人員為了檢測檢票設(shè)備是否正常，需要對每個檢票口的檢票設(shè)備進行檢測.若不重復(fù)經(jīng)過同一個檢票口，依次對所有檢票口進行檢測，則共有種不同的檢測順序.【答案】【分析】將個景區(qū)抽象為個點，見個檢票口抽象為條路線，將問題化歸為不重復(fù)走完條路線，即一筆畫問題，分析可得只能從或處出發(fā)才能不重復(fù)走完條路線，再用列舉法列出所有可能結(jié)果，即可得解.【詳解】如圖將個景區(qū)抽象為個點，見個檢票口抽象為條路線，將問題化歸為不重復(fù)走完條路線，即一筆畫問題，從或處出發(fā)的線路是奇數(shù)條，其余是偶數(shù)條，可以判斷只能從或處出發(fā)才能不重復(fù)走完條路線，由于對稱性，只列出從處出發(fā)的路線情形即可.①走路線：，，，，，，共種；②走路線：，，，，，，共種；③走路線：，，，，共種；綜上，共有種檢測順序.故答案為：14．在長方體中，分別是棱上的動點（不含端點），且，則三棱錐體積的取值范圍是.【答案】【分析】直接建立空間直角坐標系或者應(yīng)用等體積法做即可.【詳解】法一：以為原點，分別以直線為軸建立空間直角坐標系.如圖所示，

設(shè)，而，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則所以平面的一個法向量為，點到平面的距離因為設(shè)中的邊上的高為，則，所以（），所以三棱錐的體積的取值范圍是，故答案為：法二：設(shè)，延長到，使得，則，，則，于是，

而長方體的對角面是矩形，則有，又平面，平面，于是平面，所以到平面的距離等于到平面的距離，由等體積法可知，又，故，所以，故答案為：15．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，且，則的取值的集合為.【答案】【分析】由可得，由函數(shù)在上是增函數(shù)可得，然后對的取值逐一驗證，然后可得取值.【詳解】由可知，，得，所以，又函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即，所以，所以，的可能取值為.當時，由解得，經(jīng)檢驗，時不滿足題意；當時，由解得，經(jīng)檢驗，時滿足題意.所以，的可能取值為.故答案為：【點睛】本題綜合考查了三角函數(shù)的單調(diào)性、最值、周期之間的關(guān)系，關(guān)鍵在于能從已知中發(fā)現(xiàn)周期的所滿足的條件，然后根據(jù)周期確定的可能取值，再通過驗證即可求解.16．斜率為1的直線與雙曲線（）交于兩點，點是曲線上的一點，滿足，和的重心分別為，的外心為，記直線，，的斜率為，，，若，則雙曲線的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)直線與雙曲線的性質(zhì)，得出二級結(jié)論斜率之積為定值，取的中點，得到，再由，，結(jié)合所以，求得，利用，即可求解.【詳解】若直線與雙曲線有兩個交點，設(shè)的中點為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，又由在直線上，可得，所以，所以，即直線與雙曲線相交線的中點與原點的連線的斜率與直線的斜率之積為定值，如圖所示，取的中點，因為的重心在中線上，的重心在中線上，所以，，可得，即，又由，可得，可得因為，且的外心為點，則為線段的中點，可得，因為，所以，所以，所以，所以.故答案為：.

【點睛】知識方法：求解圓錐曲線的離心率的常見方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程或不等式，結(jié)合離心率的定義求解；3、特殊值法：根據(jù)特殊點與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用取特殊值或特殊位置，求出離心率問題.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．（10分）如圖某公園有一塊直角三角形的空地，其中長千米，現(xiàn)要在空地上圍出一塊正三角形區(qū)域建文化景觀區(qū)，其中分別在上．設(shè)．

(1)若，求的邊長；(2)求的邊長最小值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)幾何關(guān)系列方程求解即可；（2）利用正弦定理和輔助角公式求解最小值即可.【詳解】（1）設(shè)的邊長為千米，由得，中，為等邊三角形，，故，即的邊長為.（2）設(shè)的邊長為千米，所以，中，，由正弦定理得，，故，其中，當時，取得最小值，即的邊長最小值為.18．（12分）邊長為4的正方形所在平面與半圓弧所在平面垂直，四邊形是半圓弧的內(nèi)接梯形，且.

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，且二面角與二面角的大小都是，當點在棱（包含端點）上運動時，求直線和平面所成角的正弦值的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）通過證明面得平面平面；（2）根據(jù)條件求得，，建立空間直角坐標系，設(shè)，求得平面的法向量，直線和平面所成角的正弦值為，利用函數(shù)求范圍即可.【詳解】（1）在正方形中，∵面面面，面面，∴面，∵面,∴，∵在以為直徑的半圓上，∴，又∵面，面，又面，∴面面，（2）∵，∴又∵為二面角的平面角，∴，同理.在梯形中，.取的中點，以為軸正半軸，以平行于的方向為軸正半軸，以平面內(nèi)垂直于的方向為軸正半軸，建立如圖空間直角坐標系：

則，設(shè)，，則，設(shè)平面的法向量為則，令，則，設(shè)直線和平面所成角為，則，設(shè)，則，令，當時，，當時，，令，任意，，因為，所以，，，所以，所以在上為減函數(shù)，故，所以，所以，所以，所以直線和平面所成角的正弦值的取值范圍..19．（12分）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對，，且在處取得極小值，求的取值范圍.【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）首先由恒成立得出，然后求出，求出的根，根據(jù)根的大小分類討論得出單調(diào)性及極值，從而得參數(shù)范圍．【詳解】（1）當時，，定義域為.，令，可得，當變化時，和的變化情況如下：0--0+單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因為對恒成立，所以對恒成立，顯然不恒成立，不合題意，則，解得.令，可得或，當時，，因為，（當且僅當時，）所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值，不滿足題意；當時，，和的變化情況如下：0+0-0+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)在處取得極小值，滿足題意；當時，，和的變化情況如下：0+0-0+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)在處取得極大值，不滿足題意.綜上，實數(shù)的取值范圍為.20．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)求；(2)若，記數(shù)列的前n項和為，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)公式，消去，轉(zhuǎn)化為關(guān)于數(shù)列的遞推關(guān)系式，構(gòu)造等比數(shù)列，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，可知，再根據(jù)放縮法求得的范圍，即可證明不等式.【詳解】（1）當時，，解得；當時，，，則，因為，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即；（2）由（1）知，依題意，因為，，則，即；因為，所以，而，故，即．綜上所述，．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問考查數(shù)列，不等式，放縮法的綜合應(yīng)用問題，第二問的難點是證明，關(guān)鍵是證明，后面的問題迎刃而解.21．（12分）某排球教練帶領(lǐng)甲、乙兩名排球主力運動員訓練排球的接球與傳球，首先由教練第一次傳球給甲、乙中的某位運動員，然后該運動員再傳回教練.每次教練接球后按下列規(guī)律傳球：若教練上一次是傳給某運動員，則這次有的概率再傳給該運動員，有的概率傳給另一位運動員.已知教練第一次傳給了甲運動員，且教練第次傳球傳給甲運動員的概率為.(1)求，；(2)求的表達式；(3)設(shè)，證明：.【答案】(1)，(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合互斥事件和獨立事件概率公式進行求解即可；（2）根據(jù)互斥事件和獨立事件概率公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式進行求解即可；（3）利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系、等比數(shù)列的前項和公式進行證明即可.【詳解】（1），，；（2）由已知，∴，即，∴是以為公比的等比數(shù)列，∴，∴.（3）.設(shè)，，∴，∴在上單調(diào)遞增，顯然，則，∴，則，即，∴.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意利用獨立事件概率公式得到遞推關(guān)系式.22．（12分）已知拋物線：（）上一點的縱坐標為3，點到焦點距離為5.(1)求拋物線的方程；(2)過點作直線交于，兩點，過點，分別作的切線與，與相交于點，過點作直線垂直于，過點作直線垂直于，與相交于點，、、、分別與軸交于點、、、.記、、、的面積分別為、、、.若，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合拋物線定義即可.（2）設(shè)經(jīng)過，兩點的直線方程為：（），與拋物線方程聯(lián)立得，.將每條直線表達出來，、、、表達出來，再由得出即可.【詳解】（1）設(shè)，由題意可得，即，解得或（舍去），所以拋物線的方程為.（2）如圖，

設(shè)經(jīng)過，兩點的直線方程為：（），與拋物線方程聯(lián)立可得，即，∴，.∵，則，∴，∴過點作的切線方程為，令，得，即.同理，過點作的切線方程為，令，得，即.∴.聯(lián)立兩直線方程，解得，即，則到直線的距離.又∵過點作直線垂直于，令，得，即.同理，直線的方程為，令，得，即.∴.聯(lián)立兩直線方程，解得，整理后可得，即，則到直線的距離.由上可得，，，，∴，得，∴直線的方程為即.【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學模擬卷（新高考Ⅰ卷專用）黃金卷·參考答案（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。12345678ADCCBCBA二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9101112BDACDBCBC第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．3214．16．16.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．（10分）【詳解】（1）設(shè)的邊長為千米，由得，中，為等邊三角形，，故，即的邊長為.......................................5分（2）設(shè)的邊長為千米，所以，中，，由正弦定理得，，故，其中，當時，取得最小值，即的邊長最小值為.......................................10分18．（12分）【詳解】（1）在正方形中，∵面面面，面面，∴面，∵面,∴，∵在以為直徑的半圓上，∴，又∵面，面，又面，∴面面，......................................5分（2）∵，∴又∵為二面角的平面角，∴，同理.在梯形中，.取的中點，以為軸正半軸，以平行于的方向為軸正半軸，以平面內(nèi)垂直于的方向為軸正半軸，建立如圖空間直角坐標系：

則，設(shè)，，則，設(shè)平面的法向量為則，令，則，設(shè)直線和平面所成角為，則，設(shè)，則，令，當時，，當時，，令，任意，，因為，所以，，，所以，所以在上為減函數(shù)，故，所以，所以，所以，所以直線和平面所成角的正弦值的取值范圍.......................................12分19．（12分）【詳解】（1）當時，，定義域為.，令，可得，當變化時，和的變化情況如下：0--0+單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為.......................................5分（2）因為對恒成立，所以對恒成立，顯然不恒