安徽省黃山市屯溪三中2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)三模試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.從集合｛—3,—2,-1,1,2,3,4｝中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為根，從集合｛—2,-1,2,3,4｝中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為〃，則在方

2222

程式+乙=1表示雙曲線的條件下，方程L+匕=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的概率為（）

mnmn

98179

A.—B.—C.—D.—

17173535

2.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，且$25=50,則4+&=（）

A.4B.8C.16D.2

尤2v21

3.已知橢圓二+方=1（?！?〉0）的右焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)尸橢圓上，且P尸，AR,若tanNPAF=5,則

橢圓的離心率e為（）

1112

A.—B.—C.—D?一

4323

4.在正方體ABC。—A與GA中，點(diǎn)E，歹，G分別為棱AA，D]D,4耳的中點(diǎn)，給出下列命題：①LEG；

71

②GCUED；③與平面BGG；④班和8瓦成角為一.正確命題的個(gè)數(shù)是（）

4

A.0B.1C.2D.3

5.若樣本1+占,1+々,1+%;,?，1+尤”的平均數(shù)是10,方差為2,則對于樣本2+2石,2+24,2+2%,，，2+2%,下列

結(jié)論正確的是（）

A.平均數(shù)為20,方差為4B.平均數(shù)為11,方差為4

C.平均數(shù)為21,方差為8D.平均數(shù)為20,方差為8

6.如圖，在AABC中，點(diǎn)Q為線段AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P為線段BQ上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，則PA+PC=

()

A

Q

I?57I.IQ27

A.-BA+-BCB.-BA+-BCC.—BA+——BCD.-BA+-BC

33999999

7.已知數(shù)列｛4｝中，％=1,g=2,且當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，4+2-4=2；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，a?+2+l=3（a?+l）.則此數(shù)

列的前20項(xiàng)的和為（）

ol1ool1o112oql2o

A.^—^+90B.^^^+100C.^—^+90D.^-^+100

2222

8.設(shè)(1+/”=1+初，其中a,b是實(shí)數(shù)，貝通+2例=()

A.1B.2C.V3D.75

9.已知平面&和直線a,b,則下列命題正確的是（）

A.若a〃b,b//a,則?！╝B.若；，b±a,則a〃a

C.若a〃b,b-La,則a_LaD.若a_Lb，b//?,則a_La

10.下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）

①已知函數(shù)/Xx）是一次函數(shù)，若數(shù)列｛4｝通項(xiàng)公式為%=/（〃），則該數(shù)列是等差數(shù)列;

②若直線/上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面e的距離相等，貝!I///1；

③在AABC中，"cosA>cosB”是“B>A”的必要不充分條件；

④若。>0力>0,2。+匕=4,則。匕的最大值為2.

A.1B.2C.3D.0

11.已知數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式是4則為+“2+%+…+q2=()

A.0B.55C.66D.78

12.已知集合A={x|y=lg(4-x2)},B={y|y=3x,x>0}時(shí),AAB=()

A.{x|x>-2}B.{x|l<x<2}C.{x|l<x<2}D.0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若(2X+1)6=/+65+1)+。2(%+1)2+…+R(X+1)6，貝!Ia。+%+2a2+3%+4%+5%+60=.

14.正四面體ABC。的一個(gè)頂點(diǎn)4是圓柱。［上底面的圓心，另外三個(gè)頂點(diǎn)5CD圓柱下底面的圓周上，記正四面體

ABCD的體積為匕，圓柱。4的體積為匕，則才的值是.

2-lx+11,%<1

15.已知函數(shù)/(x)=1/函數(shù)g(x)=/(x)+/(—x),則不等式g(x)<2的解集為一.

(X-1)-,X>1

16.已知AABC的三個(gè)內(nèi)角為A,B,C,且sinA,sinB,sinC成等差數(shù)列，貝！Isin25+2cos5的最小值

為,最大值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)=1,

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

4尤2

(2)當(dāng)0(機(jī)<7時(shí)，判斷函數(shù)g(x)=——m，(x>0)有幾個(gè)零點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；

(3)設(shè)函數(shù)/?(%)=；%--+/(%)-1x---f(x)-cx2,若函數(shù)/z(x)在(0,+s)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)c的取值

NX，X

范圍.

18.(12分)已知在多面體A3CDE產(chǎn)中，平面CDPEL平面ABCD,且四邊形ECDb為正方形，且DC〃AB,

AB=3DC^6,AD=BC=5,點(diǎn)P,。分別是3E,AD的中點(diǎn).

(1)求證：P。//平面EEC。；

(2)求平面與平面PC。所成的銳二面角的余弦值.

19.(12分)在直角坐標(biāo)系xQy中，長為3的線段的兩端點(diǎn)分別在x軸、V軸上滑動(dòng)，點(diǎn)P為線段上的點(diǎn),

且滿足IAP|=2|尸31.記點(diǎn)P的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)若點(diǎn)M、N為曲線E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記OM-ON=m，判斷是否存在常數(shù)使得點(diǎn)。到直線MN的距離為定

值？若存在，求出常數(shù)加的值和這個(gè)定值；若不存在，請說明理由.

20.(12分)如圖，在三棱柱43。-4四。1中，ACVBC,A3，3用，AC=3C=3與，。為.的中點(diǎn)，且CD，叫.

(1)求證：8與，平面ABC

(2)求銳二面角c—G的余弦值?

0102

21.(12分)已知矩陣4=的逆矩陣A-I.若曲線G：—+/=1在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到

a0b04-

另一曲線C2,求曲線。2的方程?

｛%｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且4=(

22.(10分)已知數(shù)列｛an｝和也｝,｛a,,｝前n項(xiàng)和為5?，且S,=川+〃,

,,731

b｛+b2+Z?3=—.

(1)求數(shù)列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛%—4%｝的前〃項(xiàng)和Tn.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

2222

設(shè)事件A為“方程土+匕=i表示雙曲線“，事件3為“方程土+匕=i表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線”，分別計(jì)算出

mnmn

P(AB｝

尸(A),尸(AB),再利用公式P(B/A)=個(gè)(計(jì)算即可.

P⑷

【詳解】

2222

設(shè)事件A為“方程—+^=i表示雙曲線”，事件B為“方程土+匕=1表示焦點(diǎn)在y軸上

mnmn

3x3+4x?173x3Q

的雙曲線”，由題意，P（A）=---------=—,P（AB）=-,則所求的概率為

7x5357x535

…）=3=2.

P（A）17

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用定義計(jì)算條件概率的問題，涉及到雙曲線的定義，是一道容易題.

2、A

【解析】

利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.

【詳解】

25（氏+〉*）

S”=-------士—=50=>tZj+a,5=4=>tzn+a15=4.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，考查基本量的計(jì)算，難度容易.

3、C

【解析】

（b2}1

不妨設(shè)P在第一象限，故尸。,一，根據(jù)tanNPAR=—得到1—e—2e2=0,解得答案.

Ia）2

【詳解】

（b2}廿

不妨設(shè)P在第一象限，故PC—,a1，即儲(chǔ)—ac—2c2=0，

atanNPA/=一^二一

'）a+c2

即1—e—2e2=0,解得e=g,e=-l（舍去）.

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

4、C

【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法對四個(gè)命題逐一分析，由此得出正確命題的個(gè)數(shù).

【詳解】

設(shè)正方體邊長為2,建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，A(2,0,0),q(0,2,2),G(2,l,2),

C(0,2,0),￡(1,0,2),0(0,0,0),4(2,2,2)/(0,0,1),5(2,2,0).

①，ACX=(-2,2,2),EG=(1,1,0),AG-EG=-2+2+0=0,所以AG_LEG,故①正確.

②，GC=(-2,1,-2),ED=(-1,0,-2),不存在實(shí)數(shù)彳使GC=2印，故GC〃ED不成立，故②錯(cuò)誤.

③，B,F=(-2,-2,-1),=(0,-1,2),BCX=(-2,0,2),BXFBG=^BXFBC}=2^0,故男/，平面BGQ不

成立，故③錯(cuò)誤.

EF?BB[

④，EF=(-1,0,-1),BB,=(0,0,2),設(shè)即和3個(gè)成角為。,則cos)=由于

\EF\-\BB]

^e(0,1,所以9=5,故④正確.

綜上所述，正確的命題有2個(gè).

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查空間線線、線面位置關(guān)系的向量判斷方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

5、D

【解析】

由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系，可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系，方差的關(guān)系，進(jìn)而可得到答案.

【詳解】

樣本1+%1+9,1+工3,,1+x”的平均數(shù)是10,方差為2,

所以樣本2+2和2+2%,2+2%3，-，2+2%的平均數(shù)為2x10=20,方差為2?x2=8.

故選:D.

【點(diǎn)睛】

樣本看,工2，天,?，x”的平均數(shù)是％,方差為$2,則辦1+6,4尤2+。,%+。,?的平均數(shù)為ax+b,方差為a2sL

6^B

【解析】

PA+PC=BA-BP+BC-BP^BA+BC-^BQ,將BQ=BA+AQ=BA+gAC,AC=3C—3A代入化簡即

可.

【詳解】

PA+PC=BA-BP+BC-BP=BA+BC-^BQ

=BA+BC-^(BA+AQ)

=-BA+BC--x-AC

333

1.257

=-BA+BC——(BC-BA)=-BA+-BC.

3999

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道中檔題.

7、A

【解析】

根據(jù)分組求和法，利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求出前20項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)的和，利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求出前20項(xiàng)

的偶數(shù)項(xiàng)的和，進(jìn)而可求解.

【詳解】

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，?！?2-=2,

則數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列,

當(dāng)7為偶數(shù)時(shí),4+2+1=3(%+1),

則數(shù)列中每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)加1是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列.

所以kS*2Q=q+4+43++。20=%+/++。19+%+%+―+。20

10x9

=10x1+--—x2+(tz2+1)+(?4+1)+(tz20+1)-10

3(l—3i。)3H-3

=100+-^------^--10=-~-+90-

1-32

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的前”項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

8、D

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等，可得。力，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：(l+i)a=l+bi,

即。+5=1+初，所以a=l力=1

22

則|a+2bi\=|1+2z|=Vl+2=A/5

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考驗(yàn)計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】

根據(jù)線面的位置關(guān)系，結(jié)合線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

A：當(dāng)aua時(shí)，也可以滿足?！╞,b//a,故本命題不正確；

B：當(dāng)aua時(shí)，也可以滿足。,方，bLa,故本命題不正確；

C：根據(jù)平行線的性質(zhì)可知：當(dāng)a//b,b±a,時(shí)，能得到a_La,故本命題是正確的；

D：當(dāng)aua時(shí)，也可以滿足b//a,故本命題不正確.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面的位置關(guān)系，考查了平行線的性質(zhì)，考查了推理論證能力.

10、B

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的定義，線面關(guān)系，余弦函數(shù)以及基本不等式一一判斷即可；

【詳解】

解：①已知函數(shù)/（x）是一次函數(shù)，若數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=/5）,

可得%包-q=依人為一次項(xiàng)系數(shù)），則該數(shù)列是等差數(shù)列，故①正確；

②若直線/上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面a的距離相等，貝！W與夕可以相交或平行，故②錯(cuò)誤；

③在AABC中，3,4?0,萬），而余弦函數(shù)在區(qū)間（0,乃）上單調(diào)遞減，故“立）54>（：058”可得“8>4”，由“5>A”

可得“cosA>cos8"，故"cosA>cosB"是"B>A”的充要條件，故③錯(cuò)誤；

④若a>03>0,2。+匕=4,則4=2a+622j/Z，所以ab<2,當(dāng)且僅當(dāng)2a=/?=2時(shí)取等號(hào)，故④正確；

綜上可得正確的有①④共2個(gè)；

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的真假判斷，主要是正弦定理的運(yùn)用和等比數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì)，考查運(yùn)

算能力和推理能力，屬于中檔題.

11、D

【解析】

先分〃為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計(jì)算出sin（爸1萬］的值，可進(jìn)一步得到數(shù)列｛a,｝的通項(xiàng)公式，然后代入

%+%+%「---卜/轉(zhuǎn)化計(jì)算,再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】

.(2〃+1.(7r\.(.3?

解：由題意得，當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，sin1---?J=sin]〃乃+萬J=sin[乃+耳J=sin—=一1,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，sin12乃］

-sinnn-\——=sin—=1

12)2

2

所以當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，an=-n；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

所以q+%+。3---1-〃12

=-12+22-32+42----112+122

=(22-l2)+(42-32)+---+(122-ll2)

=(2+l)(2-l)+(4+3)(4-3)+---+(12+11)(12-11)

=l+2+3+4+…+11+12

_12x0+12)

一2

=78

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問題，以及數(shù)列求和，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔

題.

12、B

【解析】試題分析：由集合A中的函數(shù)二「，一Z-,得到-二.：二:，解得：-二<二，二.??集合

Z=(-|-2<C<2],由集合B中的函數(shù)U=得到二：：1,...集合二=〔口|口>7],貝！J

二「二={Z二<二，故選B.

考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、13

【解析】

由導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用得：設(shè)“了)=(2尤+1)6,g(無)=旬+4(*+1)+°2(龍+1)2+...+%(尤+1)6，

所以/''(X)=12(2尤+1)，,g，(無)=q+21(無+1)+…+6&(無+1)，,又/(x)=g(x),所以/''(x)=g'(x),即

12(2x+1)，=q+2a、(x+1)+...+6a6(x+1)，，

由二項(xiàng)式定理：令X=0得：+2a2+3a3+4a4+5as+6a6,再由g(0)=/(0),求出4,從而得到

4+%+2a2+3q+4g+5a5+6a6的值；

【詳解】

2

解：設(shè)/(x)=(2x+Ip,g(x)=%+(x+1)+a2(x+1)+…+4(%+1)6,

5

所以尸(尤)=12(2%+1)5,，(%)=%+2a2(x+1)+...+6a6(x+1),

又7(無)=g(x)，所以/'(x)=g'(x),

即12(2x+1)，=%+2a2(x+1)+...+6a$(無+1)、，

取%=0得：q+2a2+3a3+44+54+6a6=12,

又g(O)=f(O),

所以4=1,

苗(%+q+2a,+3%+4a4+5/+6a$=1+12=13,

故答案為：13

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用、二項(xiàng)式定理，屬于中檔題

14、昱

【解析】

設(shè)正四面體的棱長為。，求出底面外接圓的半徑與高，代入體積公式求解.

【詳解】

解：設(shè)正四面體的棱長為。，

則底面積為Lxax3。=走后，底面外接圓的半徑為且心

43

V6

------Cl?

3

.?.正四面體的體積hJxYI/x逅a

134312

圓柱Q4的體積匕="乂^-a=^-a37r.

I3J39

v旦3

則.12V3

4%

故答案為：B.

4萬

【點(diǎn)睛】

本題主要考查多面體與旋轉(zhuǎn)體體積的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

15、［-2,2］

【解析】

3+%,%<—13-x,x>1

/(%)=<<x<1,/(-x)=<l+x,-l<x<l,

(x-1)2,x>1(x+1)2,x<-1

爐+3x+4,x<—1

所以g(%)=<2,-1<X<1

x2-3x+4,x>1

所以g(x)<2的解集為［-2,2］。

點(diǎn)睛：本題考查絕對值不等式。本題先對絕對值函數(shù)進(jìn)行分段處理，再得到了(-%)的解析式，求得g(x)的分段函數(shù)

解析式，再解不等式g(x)<2即可。絕對值函數(shù)一般都去絕對值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)處理。

16、6+1

22

【解析】

2,2_r2

根據(jù)正弦定理可得26=a+c,利用余弦定理cos3="以及均值不等式,可得角3的范圍，然后構(gòu)造函數(shù)

lac

f(B)=sm2B+2cosB,利用導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)性質(zhì)，可得結(jié)果.

【詳解】

由sinA,sinB,sinC成等差數(shù)列

所以2sin5=sinA+sinC

所以2b=a+c=>b=-----

2

22f

222a+C

又Da+c-b

2aclac

抬—r4口C3/+3C2-2ac、6ac-2ac1

化n簡可得cosB=--------------->-------------=-

SacSac2

當(dāng)且僅當(dāng)a=。時(shí)，取等號(hào)

又8?0,外，所以Be］。,(

令〃5）=sin25+2cos5,Be

則f（B）=2cos2B-2sinB=2-4sin2B-2sin5

/（B）=-2^sinB-1^（sinB+l）

當(dāng)sin3〉g,即於牛時(shí)，/,（B）＜0

當(dāng)sinB＜；,即時(shí)，/'（B）＞0

則/（3）=sin23+2cos^?遞增，在已[遞減

所以加密（8）=/[2]=sin?+2cos、=孚

Voy3o2

由/（0）=sin0+2cos0=2,

（乃）.2717173

t—二sin-----b2cos—=-----Fl

U）332

所以糯（6=」。=*+1

所以sin25+2cos5的最小值為1+1

2

最大值為空

2

故答案為：立+1,遇

22

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列、正弦定理、余弦定理，還考查了不等式、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)在于根據(jù)余弦定理以及不等式求

出,考驗(yàn)分析能力以及邏輯思維能力，屬難題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)單調(diào)增區(qū)間(0,2),單調(diào)減區(qū)間為(-8,0),(2,一)；(2)有2個(gè)零點(diǎn)，證明見解析；(3)

【解析】

(1)對函數(shù)“X)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)/'(%)的正負(fù)判斷函數(shù)/(光)的單調(diào)區(qū)間即可；

2

(2)函數(shù)g(x)=。-九(x20)有2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理即可證明；

12-I

(3)記函數(shù)F(x)=/(%)-(%--)=—-x+-,x>0，求導(dǎo)后利用單調(diào)性求得F(l)-F(2)<0,由零點(diǎn)存在性定理及單

調(diào)性知存在唯一的/e(1,2),使口(/)=0,求得雙％)為分段函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論：①當(dāng)x〉x0時(shí)，利用函數(shù)的單

調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為2c<u(x)min的問題;②當(dāng)0<x<x°時(shí)，當(dāng)cWO時(shí),〃(x)>0在(0,%)上恒成立，從而求得c的取

值范圍.

【詳解】

/、,、2x-e-x2-ex(2-x)門士上一

(1)由題意知,/(%)=,%、2=%，列表如下：

(e)e

X(-00,0)0(0,2)2(2,+oo)

/'(x)—0+0—

/(x)極小值極大值

所以函數(shù)〃尤)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2),單調(diào)減區(qū)間為(-8,0),(2,+8).

X

(2)函數(shù)g(x)=-—%(尤20)有2個(gè)零點(diǎn).證明如下:

ex

44

因?yàn)椤?lt;根<二■時(shí)，所以且(2)=萬一相>0,

ee

因?yàn)間⑺==義,所以g(%)〉。在(0,2)恒成立,g?)在(0,2)上單調(diào)遞增,

由g(2)>0,g(0)=-m<0,且g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增且連續(xù)知,

函數(shù)g?)在(0,2)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，

由⑴可得MO時(shí)"(x)"(2)=/(x)11M

V24

即上故xNO時(shí)，優(yōu)>/,

e*金

由">必得弟〉百，平方得弟〉耳，所以g(吃)<0,

mm7m

因?yàn)間'⑺=x(j「),所以g'(x)<0在(2,a)上恒成立，

44

所以函數(shù)gO)在(2,a)上單調(diào)遞減，因?yàn)?<機(jī)</,所以赤〉2,

由g(2)>0,g(靠)<0,且g(x)在(2,一)上單調(diào)遞減且連續(xù)得

g(x)在(2,+co)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，

X2

綜上可知：函數(shù)g(%)=-—m,(120)有2個(gè)零點(diǎn).

ex

1X21

(3)記函數(shù)尸(%)=/(%)—(%—士)=L—九+±,%〉0,下面考察方(%)的符號(hào).

xexx

求導(dǎo)得/(x)=M2：x)—1一A，工〉。.

ex

當(dāng)％之2時(shí)尸(x)<0恒成立.

當(dāng)0<x<2時(shí)，因?yàn)?lt;(2_x)V[X+(2-x)2=],

2

所以Ff(x)=l(2<X)=--y<0.

ex~ex~xx

k(x)<0在(0,+s)上恒成立，故E(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

143

VF(l)=->0,F(2)=---<0,AF(l)-F(2)<0,又因?yàn)榇?x)在工2]上連續(xù),

ee2

所以由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理得存在唯一的/e(1,2),使E(x0)=0,

:.x€(0,x0),F(x)>0;xG(x0,+co),F(x)<0,

因?yàn)镮尸(%)|=X----/(X)，所以旗x)=<X

X2

-----CX,X>XQ

1H---2cx,0<xV/

X

/.h\x)=<

X2-x)

--------2cx,x>xQ

1r2

因?yàn)楹瘮?shù)h(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增,F(x0)=x0------=0,

X。

所以/?(%)20在(0,不)，(X。,+℃)上恒成立.

①當(dāng)X〉/時(shí)，M2-x)一2次-o在(%,+8)上恒成立,即2c<上三在(/,+8)上恒成立.

exe

記式(%)=——,x>x0,貝!|M(x)=——,x>x0,

當(dāng)X變化時(shí)，“'(X),“(X)變化情況如下表：

X(%,3)3(3,+8)

/(%)—0+

w(x)極小值T

...”(X)min=M玲極小="(3)=_7，

故2cV〃(X)min=一『，即二廠

②當(dāng)0<%</時(shí)，/z(x)=l+Z—2cx,當(dāng)cWO時(shí)，"00>0在(0,%)上恒成立.

X

綜合(1)(2)知，實(shí)數(shù)。的取值范圍是c<-

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值和利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、利用分離參數(shù)法求參數(shù)

的取值范圍;考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力;通過構(gòu)造函數(shù)尸(龍),利用零點(diǎn)存在性定理判斷其零

點(diǎn)，從而求出函數(shù)例：x)的表達(dá)式是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強(qiáng)、難度大型試題.

17

18、(1)證明見解析；(2)—.

【解析】

(1)構(gòu)造直線P。所在平面尸“Q,由面面平行推證線面平行；

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，再由法向量之間的夾角，求得二面角的

余弦值.

【詳解】

(1)過點(diǎn)PHLBC交BC于H點(diǎn),連接如下圖所示：

因?yàn)槠矫鍯D尸平面ABC。，且交線為CD,

又四邊形CDEE為正方形，故可得CELCD,

故可得CEJL平面ABC。，又CBu平面ABC。，

故可得CELCB.

在三角形CBE中,因?yàn)镻為班中點(diǎn)，PH±CB,CE±CB,

故可得PH〃CE,H為CB中點(diǎn);

又因?yàn)樗倪呅蜛BC。為等腰梯形，”,。是。5,4。的中點(diǎn)，

故可得HQ//CD；

又PHcHQ=H,CDcCE=C,

且PH,HQu平面PHQ,CD,CEu平面DFEC,

故面〃面EEDC,

又因?yàn)镻Qu平面

故P。//面莊C￡>.即證.

(2)連接AE,AC,作DAf交AB于M點(diǎn)，

由(1)可知CE_L平面ABC。，又因?yàn)镈FHCE,故可得D-，平面ABCD,

又因?yàn)锳B〃CD,DMLAB,故可得DMLOC

即DM，DC,Z)廠兩兩垂直，

則分別以DM，DC,DF為x,y,￡軸建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

￡>(0,0,0),F(0,0,2),E(0,2,2),

A(E-2,0),p,3,1,C(0,2,0)

設(shè)面AEE的法向量為加=(x,y,z),則在=(0,2,0),A7/=(_0T,2,2),

m-FE=02y=0

則｛=>

m-AF=0-J21x+2y+2z=0

可取加=(2,0,721),

設(shè)平面PDC的法向量為〃=(x,y,z),則=(0,2,0),浮,3,11

2y=0

n-DC=0

則V21c，

n-DP=02%+o3y+z=0

可取〃=(2,0,—后)，

可知平面AEF與平面PC。所成的銳二面角的余弦值為

八12x2-21117

COS0—_n一7——-------=—?

|n||m|2?+2125

【點(diǎn)睛】

本題考查由面面平行推證線面平行，涉及用向量法求二面角的大小，屬綜合基礎(chǔ)題.

19、(1)匕+%2=1(2)存在；常數(shù)加=0,定值35

45

【解析】

(1)設(shè)出的坐標(biāo)，利用AP=2P6以及|4@=3,求得曲線￡的方程.

(2)當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，求得。到直線MN的距離d.聯(lián)立直線MN的方程和曲線E的

方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合OM.ON=加以及d為定值，求得機(jī)的值.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證

由此得到存在常數(shù)加=0,且定值d=2叵.

5

【詳解】

(1)解析：(1)設(shè)尸(x,y),A(xo,O),B(O,yo)

由題可得AP=2PB

x=3x

X0

x-xQ=-2解得13

y=2(%-y)[%=5y

又|AB|=3,即焉+y；=9,

,消去%0，為得：—+x2=1

4

(2)當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為丫=履+6

設(shè)M(4K),N(x2,y2)

由OM-ON=m可得：占％2+%%=m

,\b\,2

由點(diǎn)。到MN的距離為定值可得d=蘇言(d為常數(shù))即〃2=b

k2+l

y=kx+b

2得：(k2+4)x2+2kbx+b1-4=Q

匕v+d=l17

14

.-.A=4k2及-4(^+4)(&2-4)>0

即k2-b2+4>0

-2kbZ?2-4

+ME

2

又y；-y2={kxx+Z?)(fcv2+Z?)=lcxxx2+kb[xx+x2)+Z?

5/—4/—4

...m=石々+%%=~~r^

.-.5￡,2=4(P+l)+m(F+4)

5b2m(E+4)

?下+i一+r+i

?5/一4+業(yè)刊

??JC/CIIc

左2十1

為定值時(shí)，m=0,此時(shí)d=撞，且符合/>0

5

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為X=〃

由題可得5"=4+機(jī)，..?加=0時(shí)，“=±拽，經(jīng)檢驗(yàn)，符合條件

5

綜上可知，存在常數(shù)加=0,且定值d=上

5

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查軌跡方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查橢圓中的定值問題，屬于難

題.

20、(1)證明見解析；(2)姮.

5

【解析】

(1)證明CDLAB后可得CD,平面從而得。。，3當(dāng)，結(jié)合已知得線面垂直；

(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB為％軸，CG為V軸，C4為z建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CG=2,寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求

出二面角的面的法向量，由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：因?yàn)锳C=BC,。為中點(diǎn)，

所以CDLAB,又CDLDA，AB\D=D,

所以CD,平面又平面相用^,

所以又BiBLAB,ABCD=D,

所以耳3,平面ABC.

（2）由已知及（1）可知CB,CG，C4兩兩垂直，所以以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB為x軸，CQ為y軸，C4為z建

立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CG=2,則

C（0,0,0