1.導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系

f\x)>0,k>O,f(x)單調(diào)遞增，fr(x)<0,k<0,/3)單調(diào)遞減

2.極值

(1)極值的定義

/(1)在①=g處先/后\,/(支)在力=g處取得極大值

/(a?)在a;=g處先、后/,f(x)在尤=g處取得極小值

3.兩招破解不等式的恒成立問題

(l)a>/(c)恒成立oa〉/(rr)max；

(2)a恒成立<=>aW/Q)min.

(1)分離參數(shù)法

第一步:將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題;

第二步:利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；

第三步:根據(jù)要求得所求范圍.

(2)函數(shù)思想法

第一步將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；

第二步:利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；

第三步:構(gòu)建不等式求解.

4.常用函數(shù)不等式:

①2+1,其加強(qiáng)不等式:/+①+1;

②ec,其加強(qiáng)不等式ex+(x—1)2.

③x,Inx<c—1,InQ+1)Wc

放縮1——<——)<Vx---<In7<V—^TX2+2X--^-<x—1(0<rc<1)

x2'x7^/xx+122

1——V——<C―VInrcVVx---LV《伉——)<Zx—1(1V7V2)

x22x+1y/x21x7

—^-X2+2X—V1——<—^――￡<\nxVVx---LV!(力——)V力-1(/>2)

22xx+1y/x2'xJ

x+l<ex<一(x<1)，一<a;+1<ex(x>1)

1—x1—x

5.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題3

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法:證明不等式/(力)>gQ)(或/Q)VgQ))轉(zhuǎn)化為證明/Q)—gQ)>0(或/(力)—

gQ)V0),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)九(力)=/(力)—g(%);

(2)轉(zhuǎn)化為證不等式刎>。(或<0),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明h(X)min>0(h(X)max>0),因此只需在所給

區(qū)間內(nèi)判斷〃3)的符號(hào)，從而得到函數(shù)九圓)的單調(diào)性,并求出函數(shù)無(wú)Q)的最小值即可.???

6,證明極值點(diǎn)偏移的相關(guān)問題，一般有以下幾種方法：

（1）證明g+/2V2Q（或g+g>2a）：

①首先構(gòu)造函數(shù)g（力）=/（力）一/（2。一%），求導(dǎo)，確定函數(shù)0=/（力）和函數(shù)g=g（力）的單調(diào)性；

②確定兩個(gè)零點(diǎn)gVaVg，且/（為）=/（a2），由函數(shù)值g（g）與g（Q）的大小關(guān)系，得g（g）=/（g）—

于（2a-Xi）=于3）一/（2。一/1）與零進(jìn)行大小比較；

③再由函數(shù)在區(qū)間（a,+8）上的單調(diào)性得到電與2a—g的大小，從而證明相應(yīng)問題；

2

（2）證明xrx2<。2（或XiX2>a）（力1、/2都為正數(shù)）：

①首先構(gòu)造函數(shù)g（力）=/（力）一八%）,求導(dǎo)，確定函數(shù)0=/（力）和函數(shù)g=g（力）的單調(diào)性；

②確定兩個(gè)零點(diǎn)/<力2,且/Qi）=/（力2），由函數(shù)值g（力1）與g（Q）的大小關(guān)系，得g（g）=/（劣1）—

-X—）與零進(jìn)行大小比較；

③再由函數(shù),=/（0在區(qū)間（a,+8）上的單調(diào)性得到g與止的大小，從而證明相應(yīng)問題；

61

（3）應(yīng)用對(duì)數(shù)平均不等式/加忌<】為一：2<0瞥證明極值點(diǎn)偏移：

①由題中等式中產(chǎn)生對(duì)數(shù)；

②將所得含對(duì)數(shù)的等式進(jìn)行變形得到一二一；

In/1—Ing

③利用對(duì)數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.

。（■陋里酈京■）。

一、問答題

題目［】（2023?吉林?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（土）=—2H+ln2；.

（1）求曲線5=/0）在（1,/（1））處的切線方程；

（2）若對(duì)\/xE（0,+oo）,f（x）力2—2力恒成立.求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

題目叵［(2023?云南紅河?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/㈤=7mc—Inc—l(mCR).

(1)討論函數(shù)/(⑼的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于s的不等式e^+alnx—(a+l)c+a)0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題目叵(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(為=21—比.

(1)求/(6)的最值；

(2)若方程/Q)=aec—ae2H有兩個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

???

題目國(guó)](2023?浙江金華?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知/(x)=ax2-ax--1-lns+e~(a>0).

(1)若當(dāng)①=1時(shí)函數(shù)/(①)取到極值，求a的值；

(2)討論函數(shù)/(乃在區(qū)間(1,+8)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

題目(2022.江蘇南通?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/Q)=(x-a)ex-x2.

(1)若a=i,%e[0,1],求函數(shù)/(%)的最值；

⑵若aez,函數(shù)/O)在力e[0,+co)上是增函數(shù)，求Q的最大整數(shù)值.

??

題目(2023?江蘇徐州??？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(t)=—zd+m/,7TleR,且gQ)=在工e(o,

2)上的極大值為1.

(1)求實(shí)數(shù)m的值；

⑵若b=/(a),c=f(b),a=f(c),^.a,b,c的值.

題目叵(2023?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(乃=ae—e-“，(aCR).

(1)若fQ)為偶函數(shù),求此時(shí)/Q)在點(diǎn)(0J(0))處的切線方程；

(2)設(shè)函數(shù)gQ)=f(x)—(a+1)力,且存在如g分別為gQ)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).

(i)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(ii)若aC(0,1),且g(g)+kg(T2)>0,求實(shí)數(shù)A;的取值范圍.

5

【題目①（2023上?廣東深圳?高三深圳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/Q）=（2―7n）lna;—期其中巾,八

ER.

（1）若7n=n=1,求/（力）在/=1處的切線方程；

（2）已知不等式/（力）＞力恒成立，當(dāng).取最大值時(shí)，求小的值.

題目匡］（2023?廣東韶關(guān)?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（①）=e",gQ）=&&

（1）若/（力）在力=0處的切線與g（力）的圖象切于點(diǎn)P,求P的坐標(biāo)；

（2）若函數(shù)9（力）=/（Q0（力2_0：2）的極小值小于零,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

題目叵（2023?湖北黃岡?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/Q）=aln?-2x+j-x2.

（1）討論函數(shù)/（乃的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）若不等式/㈤Wx（ex+j-x-a-2）-l恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

趣目［T0（2023?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（⑼=+InQ+l）,mGR.

（1）若函數(shù)/（為圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，求加的取值范圍；

（2）當(dāng)S＞力＞1時(shí)，些三半+/（力―2）+?＜/（s—2）+事恒成立，求正實(shí)數(shù)％的最大值.

st——2s——3t——3

題目國(guó)(2023?河北保定?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(為=/(e/+m),小eR.

(1)當(dāng)m=-1時(shí)，求/(0在點(diǎn)A(l,e-1)處的切線方程.

(2)若g(t)=—Ina;—1的圖象恒在①軸上方，求實(shí)數(shù)?n的取值范圍.

題目恒J(2023下?福建寧德?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(⑼=ex+2ax—1,其中a為實(shí)數(shù)，e為自然

對(duì)數(shù)底數(shù)，e=2.71828….

(1)已知函數(shù)cCR,/3)>0,求實(shí)數(shù)a取值的集合；

(2)已知函數(shù)FQ)=/(/)一Q/有兩個(gè)不同極值點(diǎn)g、62,證明26(N1+62)>3/逆2

題目|20J(2023?廣東?統(tǒng)考二模)已知aER,函數(shù)/(2)=(x—l)ln(l—x)—x—acosrr,/(T)為/(C)的

導(dǎo)函數(shù).

⑴當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)/⑺的單調(diào)區(qū)間;

(2)討論〃力)在區(qū)間(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(3)比較57cos乜與In^的大小，并說明理由.

iuiuy

二、證明題

「題目叵(2023?福建?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)/㈤=2/—1—a\nx(a6H).

(1)討論/Q)的單調(diào)性；

(2)若/(0有兩個(gè)極值點(diǎn)X1,電，記過點(diǎn)4勾,/(3))，8(%/(叫))的直線的斜率為％，若gC(1,0),

證明：2——^-</c<0.

e—1

題目巨(2023?福建龍巖?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)效)=Inx,gQ)=①一*

(1)若熱滿足/(g)=泡土;，證明：曲線9=/(/)在點(diǎn)/(g,lng)處的切線也是曲線y=e”的切線;

g—1

(2)若F(x)=f(x)—gQ),且尸(力i)=尸'(力2)(力iW力2)，證明：F(%i)+F(①2)<41n2—7.

題目［23］(2023?浙江?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(/)=NCOSN+asinz.

⑴若a=—1,證明：當(dāng)0V6V1時(shí),/(x)>—今；

O

(2)求所有的實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)沙=/(2)在［—兀，兀］上單調(diào).

???

題目叵(2023下?江蘇南京?高三南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(乃=

也和函數(shù)gQ)=宜出有相同的最大值.

exax

(1)求Q的值；

(2)設(shè)集合A={力|/(力)=b}9B={x\g(x)=b}(b為常數(shù)).

①證明:存在實(shí)數(shù)b,使得集合力UB中有且僅有3個(gè)元素；

②設(shè)AUB={如/2,g}，gv力2Vg,求證：劣1+23>2%

題目I25](2023?云南大理?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(6)=2(/—sin/).

(1)判斷函數(shù)/Q)的單調(diào)性；

(2)已知函數(shù)g(c)=/(①)—46+其中若存在gQi)=。(力2)(卬￡力2)，證明：力1+g>1+

Inm.

???

［題目［26j(2023上?湖南?高校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(c)=21nx-ax+l(aER).

(1)討論函數(shù)/(力)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)已知函數(shù)g(rc)=eax—ex2(aER),當(dāng)0VaV時(shí)，關(guān)于力的方程/⑺=g(0有兩個(gè)實(shí)根如亞

(gVg)，求證：^i—Ve<-....)=.(注：e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

題目區(qū)(2023?吉林長(zhǎng)春?東北師大附中?？家荒?已知函數(shù)/Q)=In/—強(qiáng)+1.

(1)討論函數(shù)/(切的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)g(rc)=￡-，求證:當(dāng)aE時(shí)，g(x)>f(x)+kx—l.

CLX'/」

題目區(qū)(2023?河北滄州??？既?已知函數(shù)/(c)=In：+aa;—2,aCR.

(1)若/O)>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)證明：對(duì)任意的kCN*,(l++)(1+/)。+木)…(l+f)<e,e為自然對(duì)數(shù)的底

數(shù).

題目叵(2023?山西臨汾??？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/Q)=alnQ+1)+](/-l)2(aCR).

(1)若a=2，求/(力)的圖像在力=0處的切線方程；

(2)若/(劣)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)21，力2,且力1<力2.

①求Q的取值范圍；

②求證：2/(/2)>力1+1.

13

題目|30)(2023?湖南?湖南師大附中校聯(lián)考一模)已知/(*)=*,g(x)=asinc,直線八是n=f(x)在力

=1處的切線，直線。是？/=9(乃在±=0處的切線，若兩直線"、22夾角的正切值為2,且當(dāng)①>0時(shí)，

直線。恒在函數(shù)U=gQ)圖象的下方.

⑴求a的值；

(2)設(shè)尸(C)=/(*)+q(c),若g是尸(c)在(一兀,0)上的一個(gè)極值點(diǎn)，求證：◎)是函數(shù)尸3)在(—兀,0)

上的唯一極大值點(diǎn)，且0<F(g)<2.

［題耳@(2023?湖北武漢?華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(①)=ae2bi—+

(1)若a=0,證明:/3)>-x3;

(2)設(shè)g(工)=Hf(x)+%,若V■>1，召(二")<9()恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題目|迎](2023上?北京?高三北京市八一中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)/Q)=ccosa;-aa;+a,xE

[0,y],(a^O).

(1)當(dāng)a>1時(shí)，求/3)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證:/(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

題目岡(2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/Q)=—/和gQ)=旦土皿在同一處取得相同的最

ae