問津教育聯(lián)合體2025屆高二5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（考試用時(shí)：120分鐘試卷滿分：150分）2024.5一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.2.某商場進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，滿500元可以參與一次擲飛鏢游戲.每次游戲可擲7只飛鏢，采取積分制，擲中靶盤，得1分，不中得0分，連續(xù)擲中2次額外加1分，連續(xù)擲中3次額外加2分，以此類推，連續(xù)擲中7次額外加6分.小明購物滿500元，參加了一次游戲，則小明在此次游戲中得分的可能取值有（）種A.10 B.11 C.13 D.143.若，，，則（）A. B. C. D.4.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.5 B.10 C. D.155.已知隨機(jī)變量的分布列如下所示，則的最大值為（）123A. B. C. D.6.下列說法中正確的是（）①設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則②一批零件共有20個(gè)，其中有3個(gè)不合格.隨機(jī)抽取8個(gè)零件進(jìn)行檢測，則至少有一件不合格的概率為③小趙、小錢、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件“4個(gè)人去的景點(diǎn)互不相同”，事件“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則；④；.A.①② B.②③ C.①③④ D.①②③7.“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中.“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（）A.B.記第行的第個(gè)數(shù)為，則C.第30行中第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)之比為13:18D.第2023行中從左往右第1011個(gè)數(shù)與第1012個(gè)數(shù)相等8.已知過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著無窮無盡的美，尤以對(duì)稱美最為直觀和顯著.回文數(shù)是對(duì)稱美的一種體現(xiàn)，它是從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22，121，3443，94249等，顯然兩位回文數(shù)有9個(gè)：11，22，33，…，99；三位回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，…，191，202，…，999.下列說法正確的是（）A.四位回文數(shù)有45個(gè) B.四位回文數(shù)有90個(gè)C.（）位回文數(shù)有個(gè) D.（）位回文數(shù)有個(gè)10.現(xiàn)有編號(hào)為1，2，3的三個(gè)口袋，其中1號(hào)口袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；2號(hào)口袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；3號(hào)口袋內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球；第一次先從1號(hào)口袋內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號(hào)的口袋中，第二次從該口袋中任取一個(gè)球，下列說法正確的是（）A.在第一次抽到2號(hào)球的條件下，第二次也抽到2號(hào)球的概率是B.在第一次抽到3號(hào)球的條件下，第二次抽到1號(hào)球的概率是C.第二次取到1號(hào)球的概率D.如果第二次取到1號(hào)球，則它來自3號(hào)口袋的概率最大11.甲盒中裝有3個(gè)藍(lán)球、2個(gè)黃球，乙盒中裝有2個(gè)藍(lán)球、3個(gè)黃球，同時(shí)從甲、乙兩盒中取出（）個(gè)球交換，分別記交換后甲、乙兩個(gè)盒子中藍(lán)球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列滿足，，則______.13.若，則______.14.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）在①各項(xiàng)系數(shù)之和為；②常數(shù)項(xiàng)為；③各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為1536這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答問題.在的展開式中，______.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）（1）求展開式中項(xiàng)的系數(shù)；（2）求被7除的余數(shù).16.（本小題滿分15分）已知數(shù)列滿足，且，其前項(xiàng)和記為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和記為，求證：.17.（本小題滿分15分）某商場為了回饋顧客，開展一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在抽獎(jiǎng)箱中放8個(gè)大小相同的小球，其中紅球4個(gè)，白球4個(gè).規(guī)定：①每次抽獎(jiǎng)時(shí)顧客從抽獎(jiǎng)箱中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，如果摸出的兩個(gè)小球顏色相同即為中獎(jiǎng)，顏色不同即為不中獎(jiǎng)；②每名顧客只能選一種抽獎(jiǎng)方案進(jìn)行抽獎(jiǎng)，方案如下：方案一：共進(jìn)行兩次抽獎(jiǎng)，第一次抽獎(jiǎng)后將球放回抽獎(jiǎng)箱，再進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)；方案二：共進(jìn)行兩次抽獎(jiǎng)，第一次抽獎(jiǎng)后不將球放回抽獎(jiǎng)箱，直接進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng).（1）顧客甲欲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，請從中獎(jiǎng)的數(shù)字特征角度為顧客甲提供決策依據(jù)；（2）已知有300位顧客按照方案二抽獎(jiǎng)，則其中中獎(jiǎng)2次的人數(shù)為多少的概率最大？18.（本小題滿分17分）已知函數(shù)（）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.（本小題滿分17分）AI機(jī)器人，即人工智能機(jī)器人，是一種基于人工智能（AI）技術(shù)的機(jī)器人，目前應(yīng)用前景廣闊．我國某企業(yè)研發(fā)的家用AI機(jī)器人，其生產(chǎn)共有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道工序是出廠檢測工序，包括智能自動(dòng)檢測與人工抽檢，其中智能自動(dòng)檢測為次品的會(huì)被自動(dòng)淘汰，合格的進(jìn)入流水線進(jìn)行人工抽檢.已知該家用機(jī)器人在生產(chǎn)中前三道工序的次品率分別為，，.（1）已知某批次的家用機(jī)器人智能自動(dòng)檢測顯示合格率為99%，求在人工抽檢時(shí)，工人抽檢一個(gè)家用AI機(jī)器人恰好為合格品的概率；（2）該企業(yè)利用短視頻直播方式擴(kuò)大產(chǎn)品影響力，在直播現(xiàn)場進(jìn)行家用AI機(jī)器人推廣活動(dòng)，現(xiàn)場人山人海，場面火爆，從現(xiàn)場抽取幸運(yùn)顧客參與游戲，游戲規(guī)則如下：參與游戲的幸運(yùn)顧客，每次都要有放回地從10張分別寫有數(shù)字1～10的卡片中隨機(jī)抽取一張，指揮家用機(jī)器人運(yùn)乒乓球，直到獲得獎(jiǎng)品為止，每次游戲開始時(shí)，甲箱中有足夠多的球，乙箱中沒有球，若抽的卡片上的數(shù)字為奇數(shù)，則從甲箱中運(yùn)一個(gè)乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的數(shù)字為偶數(shù)，則從甲箱中運(yùn)兩個(gè)乒乓球到乙箱，當(dāng)乙箱中的乒乓球數(shù)目達(dá)到9個(gè)時(shí)，獲得獎(jiǎng)品優(yōu)惠券400元；當(dāng)乙箱中的乒乓球數(shù)目達(dá)到10個(gè)時(shí)，獲得獎(jiǎng)品大禮包一個(gè)，獲得獎(jiǎng)品時(shí)游戲結(jié)束.①求獲得“優(yōu)惠券”的概率；②若有32個(gè)幸運(yùn)顧客參與游戲，每人參加一次游戲，求該企業(yè)預(yù)備的優(yōu)惠券總金額的期望值.問津教育聯(lián)合體2025屆高二5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.B2.C3.C4.B5.A6.D7.B8.D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.BD10.AC11.ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.13.14.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.【詳解】（1）選條件①各項(xiàng)系數(shù)之和為，取，則，解得此時(shí)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為；選條件②常數(shù)項(xiàng)為，由，則常數(shù)項(xiàng)為，解得；選條件③各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為1536，即的各項(xiàng)系數(shù)之和為1536，取，則，解得.（注：若選②③賦分同①）（2），，所以被7除的余數(shù)為6.16.【詳解】（1）由得，當(dāng)，，所以，即，故為公差是1的等差數(shù)列，又當(dāng)時(shí)，，即，且，所以，所以，故通項(xiàng)公式為；（2）∵由（1）知為等差數(shù)列，∴，，∴，即.17.【詳解】（1）方案一：設(shè)中獎(jiǎng)次數(shù)為，若第一次抽獎(jiǎng)后將球放回抽獎(jiǎng)箱，再進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，則每次中獎(jiǎng)的概率為，因?yàn)閮纱纬楠?jiǎng)相互獨(dú)立，所以中獎(jiǎng)次數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，所以的數(shù)學(xué)期望為，方差為；方案二：設(shè)中獎(jiǎng)次數(shù)為，若第一次抽獎(jiǎng)后不將球放回抽獎(jiǎng)箱，直接進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)次數(shù)的所有可能取值為0，1，2，則，，，所以的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望為，方差，，，兩種方案中獎(jiǎng)次數(shù)的期望相同，但方案一的方差較小，中獎(jiǎng)的波動(dòng)性小，穩(wěn)定性較好，故從中獎(jiǎng)的數(shù)字特征角度來看，顧客甲選方案一較好.（2）每位顧客按照方案二抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)2次的概率為，則300位顧客按照方案二抽獎(jiǎng)，其中中獎(jiǎng)2次的人數(shù)，恰有人中獎(jiǎng)2次的概率為，，，令，解得，于是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，最大，所以300位顧客按照方案二抽獎(jiǎng)，則其中中獎(jiǎng)2次的人數(shù)為60的概率最大.18.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，令即，①當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.②當(dāng)，即時(shí)，令，得；令，得或，又因?yàn)?，令，即所以?dāng)時(shí)，在和遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上遞增；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，設(shè)，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，，即，在上遞減，，故.19.【詳解】（1）設(shè)家用機(jī)器人經(jīng)過前三道工序后是合格品的概率為，則，設(shè)家用機(jī)器人智能自動(dòng)檢測合格為事件，人工抽檢合格為事件，則，，所以，即在人工抽檢時(shí)，工人抽檢一個(gè)家用AI機(jī)器人恰好為合格品的概率約為；（2）①設(shè)乙箱中有個(gè)球的概率為（），第一次抽到奇數(shù)，家用機(jī)器人運(yùn)1個(gè)乒乓球，概率為，即，乙箱中有2個(gè)球，有兩類情況，所以，乙箱中有（）個(gè)球的情況有：ⅰ家用機(jī)器人已運(yùn)個(gè)球，又抽出偶數(shù)，其概率為；ⅱ家用機(jī)器人已運(yùn)個(gè)球，又抽出