甘肅省慶陽市孟壩中學(xué)2024屆高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1?7T.

1.若。是第二象限角且sinO=一,貝()tan(e+—)=

134

177177

A.B.——C.—D.—

717717

2.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足=1+3貝!|z=()

Z

11.11.11.11

A.—+—ZB.------1—1C.-------1D.----------

22222222

3.已知AABC中，角4、3所對(duì)的邊分別是。，b,則是“A>5”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充分必要條件

4.函數(shù)十=，4一。的定義域?yàn)锳,集合5={Nk）g2（x+l）>l},則AB=（）

A.1x|l<x<2j|x|-2<x<3}D.{鄧<x<3}

5.設(shè)/Xx）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)尤之0時(shí)，/（x）=log2（x+l）+ax2_a+i（。為常數(shù)），則不等式/（3彳+4）>—5

的解集為（）

A.(―00,—1)B.(―1,+QO)C.(-oo,-2)D.(-2,+oo)

6.函數(shù)g（x）=Asin3x+0）（A>O,O<0<27T）的部分圖象如圖所示，已知g@=g出,函數(shù)y=/(x)

的圖象可由y=g（x）圖象向右平移三個(gè)單位長度而得到，則函數(shù)/（九）的解析式為（）

A./(x)=2sin2xB./(x)=2sin2x+—

C./(x)=-2sinx2%-y

2x-l,x>0

7.已知fM=<

-x,x<0

2

A.2B.-D.3

3

8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中的最長棱長為()

曾員圖

A.3行B.2亞C.2娓D.2A/7

9.已知集合M={(x,y)|x+y<4,x、yeN*},則集合M的非空子集個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.7D.8

10.若(x—a)(l+3x『的展開式中V的系數(shù)為-45,則實(shí)數(shù)。的值為()

211

A.-B.2C.-D.-

343

Inv

11.已知函數(shù)〃x)=——，g(x)=%]'.若存在%?0,+8),々eR使得/a)=g(W)=M%<。)成立，則

（、2

三i的最大值為()

I%1>

A./B.e

41

c--D--

ee

12.若。<匕<0,則下列不等式不能成立的是()

A.一>—B.------->—C.|a|>|"D.a2>b~

aba-ba

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知以x±2y=0為漸近線的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(4,1),則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

14.已知數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)滿足q+2a2+3%++啊,=2C；+2(〃eN*),則為=.

15.若正實(shí)數(shù)?，滿足=“貝!I的最大值是.

—~~~+一--

16.在正方體ABC。-A4CQ1中，已知點(diǎn)P在直線A片上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題中：①三棱錐。的體積不

變;②。P，D,C；③當(dāng)P為A片中點(diǎn)時(shí),二面角P-AG-C的余弦值為乎；④若正方體的棱長為2,則\DP\+\BP\

的最小值為，8+40；其中說法正確的是(寫出所有說法正確的編號(hào))

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=ln(2x+a)(冗>0,〃>0),曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線在y軸上的截距為1口3-1

(1)求

2無

(2)討論函數(shù)g(x)=f(x)-2x(x>0)和/z(x)=f(x)———(x>0)的單調(diào)性；

2x+l

25—2向1

(3)設(shè)q=三，a.+i=/(%),求證：———<---2<0(n>2).

52%

18.(12分)已知函數(shù)/(%)=5~+M%+21n%,me/?.

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)已知/(%)在％=1處的切線與y軸垂直，若方程/(九)=，有三個(gè)實(shí)數(shù)解玉、%、w(石</<七)，求證：

再+2>%3.

22

19.(12分)已知橢圓E:=+與=1(?！?〉0)的左，右焦點(diǎn)分別為月，工，1月61=2,拉是橢圓E上的一個(gè)動(dòng)

ab

點(diǎn)，且的面積的最大值為JL

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程，

(2)若A(GO),3(0,。)，四邊形A5C。內(nèi)接于橢圓E,AB//CD,記直線A。，3c的斜率分別為匕，k2,求證:左也

為定值.

20.(12分)已知數(shù)列｛4｝中，m=1,其前"項(xiàng)和為S“，且滿足2s〃=(〃+l)a”(〃eN+).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵記么=3"-然3若數(shù)列也｝為遞增數(shù)列，求2的取值范圍.

21.(12分)如圖在四邊形ABC。中，BA=#1,BC=2,E為AC中點(diǎn)，BE=-.

2

(1)求AC；

jr

(2)若。=§，求AACD面積的最大值.

22.(10分)隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的不斷發(fā)展，很多互聯(lián)網(wǎng)公司推出余額增值服務(wù)產(chǎn)品和活期資金管理服務(wù)產(chǎn)品，如螞蟻

金服旗下的“余額寶”，騰訊旗下的“財(cái)富通”，京東旗下“京東小金庫”.為了調(diào)查廣大市民理財(cái)產(chǎn)品的選擇情況，隨機(jī)抽

取1200名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民，按照使用理財(cái)產(chǎn)品的情況統(tǒng)計(jì)得到如下頻數(shù)分布表：

分組頻數(shù)(單位：名)

使用“余額寶”X

使用“財(cái)富通”y

使用“京東小金庫,，30

使用其他理財(cái)產(chǎn)品50

合計(jì)1200

已知這1200名市民中，使用“余額寶”的人比使用“財(cái)富通”的人多160名.

(1)求頻數(shù)分布表中x,＞的值；

(2)已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為2.8%,“財(cái)富通”的平均年化收益率為4.2%.若在1200名使用理財(cái)產(chǎn)

品的市民中，從使用“余額寶”和使用“財(cái)富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人，然后從這7人中隨機(jī)選取

2人，假設(shè)這2人中每個(gè)人理財(cái)?shù)馁Y金有10000元，這2名市民2018年理財(cái)?shù)睦⒖偤蜑閄,求X的分布列及數(shù)學(xué)

期望.注：平均年化收益率，也就是我們所熟知的利息，理財(cái)產(chǎn)品“平均年化收益率為3%”即將100元錢存入某理財(cái)產(chǎn)

品，一年可以獲得3元利息.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

2

由。是第二象限角且sin，=丁知:cos0=-Vl-sin0=---,tan6-----.

135

7Ftan<9+tan4507

所以tan(，+R=

1一tan。tan45017

2、D

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.

【詳解】

-z(l-z)-1-z11.

Z二-----------1

1+i(1+z)(l-0222

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

3、D

【解析】

由大邊對(duì)大角定理結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.

【詳解】

AABC中，角A、3所對(duì)的邊分別是。、b,由大邊對(duì)大角定理知“。>0"n“A>5”,

66A>a>b".

因此，“a>6”是“A>5”的充分必要條件.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查充分條件、必要條件的判斷，考查三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯推理能力，是基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域得集合A,解對(duì)數(shù)不等式得到集合3,然后直接利用交集運(yùn)算求解.

【詳解】

解：由函數(shù)y=54—X2得4—fro,解得—2W九W2,即4={%卜2Vx<2}；

Xlog2(x+1)>1=log22,解得x>l,即3={x|x>l},

則Ac3={x[l<x<2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了交集及其運(yùn)算，考查了函數(shù)定義域的求法，是基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

2

由/(0)=0可得a=1,所以/(x)=log2(x+l)+%(x>0),由/(%)為定義在R上的奇函數(shù)結(jié)合增函數(shù)+增函數(shù)=增

函數(shù)，可知y=/(x)在尺上單調(diào)遞增，注意到/(-2)=-7(2)=-5,再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.

【詳解】

因?yàn)?(左)在R上是奇函數(shù).所以/(0)=0,解得a=L所以當(dāng)時(shí)，

2

/(x)=log2(x+l)+x,且xe[0,+8)時(shí)，/(元)單調(diào)遞增，所以

y=/(x)在R上單調(diào)遞增，因?yàn)?(2)=5,/(—2)=—5,

故有3*+4>-2,解得大〉一2.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用能力，是一道中檔題.

6、A

【解析】

TSTI7171

由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性可得式=L—2x：=u，利用周期公式可得。，再根據(jù)圖像過

2662

可求出9,4,再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.

【詳解】

由圖像可知二-----2x———,即T=兀，

2662

2〃

所以T=——，解得①二2,

又=Asin12x?+9]=0,

JT

所以1+/=左兀(左eZ),由0＜夕＜2乃，

所以。=三或三，

又g⑼=6,

所以Asin°=J§\(A>0),

2兀

所以夕=-^-,A=2f

即g(x)=2sin12x+等

因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖象由y=g(x)圖象向右平移(個(gè)單位長度而得至U,

所以y=/(x)=2sin2(x—+g

=2sin2x.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換，需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則，屬

于基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

利用分段函數(shù)的性質(zhì)逐步求解即可得答案.

【詳解】

1°§2耳＜。，/。暇§)=-1°§2§=1°§23＞。；

???/[/(log21)]=/(log23)=3-1=2；

故選：A-

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)值的求法，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)注意函數(shù)性質(zhì)的合理應(yīng)用.

8、C

【解析】

根據(jù)三視圖，可得該幾何體是一個(gè)三棱錐S—ABC,并且平面SAC,平面ABC,AC±BC,過S作SDLAC,連

接30,AD=2,AC=2,BC=2,SD=2,再求得其它的棱長比較下結(jié)論.

【詳解】

如圖所示：

由三視圖得：該幾何體是一個(gè)三棱錐S—ABC,且平面SAC,平面ABC,AC±BC,

過S作連接3。，則皿=2,AC=2,BC=2,SD=2,

所以勿=yjDC2+BC2=A/20，SB=J"+BD?=276，SA=y/SD2+AD2=2血，

SC=y/SD2+AC2=2囪，

該幾何體中的最長棱長為2#.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三視圖還原幾何體，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

9、C

【解析】

先確定集合〃中元素，可得非空子集個(gè)數(shù).

【詳解】

由題意"={(1,1),(L2),(2,1)},共3個(gè)元素，其子集個(gè)數(shù)為23=8,非空子集有7個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的概念，考查子集的概念，含有九個(gè)元素的集合其子集個(gè)數(shù)為2"，非空子集有2"-1個(gè).

10、D

【解析】

將多項(xiàng)式的乘法式展開，結(jié)合二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)，即可求得。的值.

【詳解】

V(x-?)(l+3x)6=x(l+3x)6-?(l+3x)6

所以展開式中/的系數(shù)為C啰-a*=135—540。=-45,

二解得a=-.

3

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)的簡單應(yīng)用，指定項(xiàng)系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

11、C

【解析】

由題意可知，g(x)=["),由/(玉)=8(毛)=左(左<o)可得出0<%<1,4<0,利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)丁=/(力

在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(-亂0)上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得出%=e也，由此可得出

衛(wèi)=§=g(%)=3可得出三才=42/,構(gòu)造函數(shù)/?(%)=心3利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)丁=〃(女)在建(7X),0)

/e-

上的最大值即可得解.

【詳解】

?)=竽g(x)V=牛寸⑷,

由于/(石)=三*=左<0,貝!JlnX]<0=>0<%<1,同理可知，x2<0,

函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)椋?。?8），/（力=匕學(xué)＞0對(duì)Vxe（O,l）恒成立，所以，函數(shù)丁=〃力在區(qū)間（0,1）上

X

單調(diào)遞增，同理可知，函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（7,0）上單調(diào)遞增,

XX(Y

，〃石)=8(尤2)=/(*)，則為=*，，二=V=g(%2)=左，則上ek=k2ek,

XleVxiJ

構(gòu)造函數(shù)/1(%)=421，其中k<0,貝!I"(左)=(左2+2左)*=左(0+2)*.

當(dāng)左＜一2時(shí)，"（左）＞0,此時(shí)函數(shù)y=〃（左）單調(diào)遞增；當(dāng)—2〈左＜0時(shí)，〃（左）＜0,此時(shí)函數(shù)y=〃（女）單調(diào)遞減.

4

所以，“（左）3=丸（一2）=7.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查代數(shù)式最值的計(jì)算，涉及指對(duì)同構(gòu)思想的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，有一定的難度.

12、B

【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】

選項(xiàng)A：由于。＜匕＜0,即b-a＞0,所以工―工="@〉0,所以工＞工，所以成立；

ababab

IIb11

選項(xiàng)B：由于avb＜0,即〃—人＜0,所以一-一一=-~-＜0,所以一所以不成立;

a-baa（a-b）a-ba

選項(xiàng)c：由于a＜3＜0,所以一。＞一。＞0,所以|。|＞/I，所以成立；

選項(xiàng)D：由于。＜匕＜0,所以一。＞—6＞0,所以|。|＞屹|(zhì),所以片〉/,所以成立.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查不等關(guān)系和不等式，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

設(shè)雙曲線方程為x2-4y2=4,代入點(diǎn)（4,1）,計(jì)算得到答案.

【詳解】

雙曲線漸近線為x±2y=0,則設(shè)雙曲線方程為：%2-4/=2,代入點(diǎn)(4,1),則4=12.

2

故雙曲線方程為：工2一匕=1.

123

故答案為：^-￡=1，

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)漸近線求雙曲線，設(shè)雙曲線方程為4/=兄是解題的關(guān)鍵.

14、n+1

【解析】

由已知寫出用“-1代替〃的等式，兩式相減后可得結(jié)論，同時(shí)要注意%的求解方法.

【詳解】

*.*q+2a,+3%++na==2C^+2①，

”22時(shí)，％+2a2+3a3++(n—V)an_x=2C;^+1②，

①一②得nan=2(。，一C；+J=2c3=n(n+1),

/.a”=〃+1,

又4=2C；=2,

a?-n+l(neN*).

故答案為：n+l.

【點(diǎn)睛】

本題考查求數(shù)列通項(xiàng)公式，由已知條件.類比已知S“求4的解題方法求解.

15、；

3

【解析】

分析：將題中的式子進(jìn)行整理，將-一?當(dāng)做一個(gè)整體，之后應(yīng)用已知兩個(gè)正數(shù)的整式形式和為定值，求分式形式和的

最值的問題的求解方法，即可求得結(jié)果.

=二|+/;二-(，+J=口+:二-二-

,當(dāng)且僅當(dāng)

“賓+軟二+」+2二>="：+會(huì)+芋)<2⑺-7

—;等號(hào)成立，故答案是一.

*U-U/?

點(diǎn)睛：該題屬于應(yīng)用基本不等式求最值的問題，解決該題的關(guān)鍵是需要對(duì)式子進(jìn)行化簡，轉(zhuǎn)化，利用整體思維，最后

注意此類問題的求解方法……相乘，即可得結(jié)果.

16、①②④

【解析】

①AB//二A四〃平面D8C],得出AB1上任意一點(diǎn)到平面D8C1的距離相等，所以判斷命題①；

②由已知得出點(diǎn)P在面。CG2上的射影在。G上，根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)或三垂線定理，可判斷命題②；

③當(dāng)P為A片中點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角系。-孫z,如下圖所示，運(yùn)用二面角的空間向量求解方法

可求得二面角P-4G-C的余弦值，可判斷命題③；

④過A片作平面A耳”交4。于點(diǎn)“，做點(diǎn)。關(guān)于面AgM對(duì)稱的點(diǎn)G,使得點(diǎn)G在平面A3與4內(nèi)，根據(jù)對(duì)稱

性和兩點(diǎn)之間線段最短，可求得當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)4時(shí)，在一條直線上，|。月+忸升取得最小值|G@.可判斷命題

④.

【詳解】

①???A即/DCX,：.AB}//平面DBG,所以A片上任意一點(diǎn)到平面DBC,的距離相等，所以三棱錐D-C.BP的體積

不變，所以①正確；

②P在直線A片上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在面oca。上的射影在。G上，所以O(shè)P在面。CG2上的射影在。。上，又

DC,±CD,,所以。P_L￡>C，所以②正確；

③當(dāng)P為A片中點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角系。-盯z,如下圖所示，設(shè)正方體的棱長為2.

貝(]：A(2,0,0),耳(2,2,2),P(2,1,1),4(2,0,2)，G(0,2,2),C(0,2,0),所以

AG=(―2,2,0),P4i=(0,-l,l),CQ=(0,0,2),

AC,=0—2%+2y=0

設(shè)面AGP的法向量為加=(匹%z),貝!I°1,即八,令x=l,則y=Lz=l,/.m=(l,l,l),

加尸A=0[-y+z=0

丹?AG=0—2x+2y=0

設(shè)面4G。的法向量為〃=(%，yz),???二二八，即。八"二(1」,0),

nCC]=0[22=0

m-n2_

/.cos<m,n>=,由圖示可知，二面角P—AG—。是銳二面角，所以二面角。―AC—。

|m|-|H|百xa3

的余弦值為逅，所以③不正確;

3

④過A用作平面交4。于點(diǎn)做點(diǎn)。關(guān)于面A4M對(duì)稱的點(diǎn)G,使得點(diǎn)G在平面45用4內(nèi),

則DP=GP,ZM=GA,DG，A3],所以|￡陽+忸月=|GP|+忸,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)片時(shí)，。遇,5在一條直線上,

|。8+忸尸|取得最小值

因?yàn)檎襟w的棱長為2,所以設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為G(2,〃z,“)，DG=(2,m,n),做=(0,2,2),所以

DGAB1=2m+2n=0,

所以根=―〃9又D4=GA=2,所以加=—n=，

所以G(2,一行,、口)，3(220),儂=J(2一2)2+(―0—2『+(0—0『=,8+40，故④正確.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間里的線線，線面，面面關(guān)系，幾何體的體積，在求解空間里的兩線段的和的最小值，仍可以運(yùn)用對(duì)稱的

思想，兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行求解，屬于難度題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)67=1(2)g(x)=/(x)-2x(x>0)為減函數(shù)，h(x)=f(x)-----:—(x>0)為增函數(shù).(3)證明見

1+2%

解析

【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù)/(X),求出切線方程，令％=0得切線的縱截距，可得。(必須利用函數(shù)的單調(diào)性求解)；

(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性；

(3)不等式—2變形為由g(x)遞減，得g(x)>g(0)=0(x>0),即/(%)<2x,即

…依次放縮,…“會(huì)一.."％、

12無

不等式一一2<0,h(x)=/(%)———遞增得//(%)>〃(0)(%>0),

a?2x+l

熱＞°亮＜》七一2T14先吟一2=志一2＜0,然后同樣放縮得出結(jié)論.

【詳解】

2

解：(1)對(duì)/(%)=如(2%+〃)求導(dǎo),#/(%)=-——

2x+a

2

因此f(l)=——.又因?yàn)?(1)=ln(2+。)，

2+a

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴處的切線方程為

2

y-ln(2+〃)=------(x-1),

2+a

22

即y=------x+ln(2+〃)--------.

2+Q2+Q

22

由題意，ln(2+〃)--------=ln3—.

2+a3

顯然a=l,適合上式.

2

令0(。)=ln(2+。)------(a>0),

2+a

12

求導(dǎo)得。'(。)=-----1------7>0,

2+a(2+a)

因此9(a)為增函數(shù)：故a=1是唯一解.

2x

(2)由(1)可知，g(x)=ln(2x+1)-2x(x>0),h(x)=ln(2x+1)--------(x>0),

2x+l

24JC

因?yàn)間'(x)=^---2=--―-<0,

2x+l2x+l

所以gM=f(x)-2x(x>0)為減函數(shù).

224%

因?yàn)閔\x)=--------------------=---------->0,

2x+l(2x+l)2(2x+l)2

2尤

所以h(x)=于(x)———(x>0)為增函數(shù).

1+2%

2

(3)證明：由q=1，%+|=/(%)=ln(2a“+l),易得a.〉0.

5-2n+112”

---------<------2oa,,<——

2"45

由(2)可知，g(x)=/(x)-2x=ln(2x+l)-2x在(0,+oo)上為減函數(shù).

因此,當(dāng)x>0時(shí)，g(x)<g(O)=O,BPf(x)<2x.

令X=4T(〃22),得/(%)<2%_1，BPan<2an_x.

r\n

2n-1

因此，當(dāng)“22時(shí)，an<2an_x<2an_2<■■■<20i=y

5-2"1

所以=L<一一2成立.

2"%

下面證明：--2<0.

an

2尤2尤

由(2)可知，h(x)=/(%)———=ln(2x+l)——'在(0,+8)上為增函數(shù).

2x+l2x+l

因此，當(dāng)天>0時(shí)，〃(x)>〃(0)=0,

2九

即/(X)>^一->0.

2%+1

111

因此<+1,

/W2%

Ic1門△

即------2<-——2.

于(X)2晨)

11"--2^

令x=a〃T("N2),#—~~r-2<--

21an-1)

11/1)

即——2<-------2.

an21%)

當(dāng)〃=2時(shí)，

--2=--2=—-2=^n-2

=———2.

lnl.8

因?yàn)镮n1.8>In百>lnVe,

2

所以^—一2<0,所以，一2<。.

In1.8%

所以，當(dāng)時(shí),

1c1(1c)

——2<--------z<——-------2<…<——-----2<0.

2Ian-2J21a2y

2、an-l，

所以，當(dāng)“22時(shí)，工-2<0成立.

5-21

綜上所述，當(dāng)〃22時(shí)，———2<0成立.

2"%

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式.本題中不等式的證明，考查了轉(zhuǎn)

化與化歸的能力，把不等式變形后利用第(2)小題函數(shù)的單調(diào)性得出數(shù)列的不等關(guān)系：an<2an_x,

1-1/1c、

--2<-(——2)522).這是最關(guān)鍵的一步.然后一步一步放縮即可證明.本題屬于困難題.

an2a,-

18、⑴①當(dāng)相》一2后時(shí)，/(%)在(0,+。)單調(diào)遞增,②當(dāng)機(jī)<-2后時(shí)，/(%)單調(diào)遞增區(qū)間為

-m-yjm-8m+Jm*2-8］、，(-m-Jm2-8-m+Jm2-8

一1--------,+8，單調(diào)遞減區(qū)間為1--------,-------:--------

，2

(2)證明見解析

【解析】

(1)先求解導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)參數(shù)機(jī)分類討論，分析出每種情況下函數(shù)/(尤)的單調(diào)性即可；

(2)根據(jù)條件先求解出機(jī)的值，然后構(gòu)造函數(shù)0(x)=/(x)-/(2-x)(0<x<2)分析出％之間的關(guān)系，再構(gòu)造

函數(shù)。2(X)=/(X)-/(4-x)(l<X<4)分析出%,x3之間的關(guān)系，由此證明出石+2>%.

【詳解】

(1)f(x)=—+/m+21nx,/'(x)=x++工=%+nu+2=0后)+m+2直

2xxx

①當(dāng)相2-2拒時(shí)，/'(x)20恒成立，則在(0,+。)單調(diào)遞增

②當(dāng)機(jī)<—20時(shí)，令/'(%)=0得/+3+2=0,

解得寸三m-m+，加2一8

%=-2—

|%+%=.m>0

:.0<%!<X

［玉々-2>02

,八—m—y/m2-8|、(、

.?.當(dāng)xe0,-----------------時(shí)，/(%)>0,/(九)單調(diào)遞增；

\)

當(dāng)1€「加一『^一加+『i］時(shí),r(x)<o,小)單調(diào)遞減；

當(dāng)xem+d；§,+8時(shí)，((%)>0,/(%)單調(diào)遞增.

\7

(2)依題意得，/'(1)=3+加=0,則m=—3

由⑴得，/(九)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增

，若方程/(尤)=/有三個(gè)實(shí)數(shù)解七廣2，演(菁<*2<七)，

則0<玉<1<犬2<2<犬3

法一：雙偏移法

224fr-D2

設(shè)0(x)=/(x)—/(2—x)(0<x<2),則05)=—+^^——4==

x2-xx(2-X)

...0(%)在(。,2)上單調(diào)遞增，,以€(0,1),9i(x)<9?)=0

%)一/(2—番)<0(0</<1),BPA(x1)</z(2-%1)

；/(%)=/(%2)=/，?,?/(/)</(2-石)，其中w?l,2),2—%e(1,2)

???/(九)在(1,2)上單調(diào)遞減，二馬>2—石，即石+%〉2

設(shè)9，(X)=/(X)—/(4—X)(1<X<4),^；(X)=-+-^-—2=2^2\>0

x4-xx(4-x)

.?.%(力在(1,4)上單調(diào)遞增，，以?1,2),外(力</(2)=0

；?0(%)=/(%)—/(4一%)<。(1<%<2),即/(%)</(4—9)

；/(%)=/(七)=匕,/(毛)</(4一%2)，其中毛e(2,”)，4-x2e(2,3)

；/(x)在(2,~hx>)上單調(diào)遞增，x3<4-x2,即々+與<4<%+%+2

/.Xj+2>x3.

法二：直接證明法

,/%；+2>2,x3>2,/(%)在(2,+0。)上單調(diào)遞增,

，要證Xi+2>x3,即證/(jq+2)>y(x3)=r=/(x1)

設(shè)Q(X)=/(X+2)-/(X)(X>0),則(p{x)=--—2+2=2。-6+l)(x+6+l)

%+2xx(x+2)

九)在(o,百-1)上單調(diào)遞減，在(百-1,+00)上單調(diào)遞增

V石C(0,1),0(%)20(百一1)=/(6+1)-/(G—1)=2[ln(2+6)+百一3]>0

"(%)=/(%+2)-/(為)>。,即〃石+2)>/(%)=/(七)

(注意：若111(2+8)+班—3〉0沒有證明，扣3分)

關(guān)于ln(2+0)+若―3〉0的證明：

(1)Vx>0且XH』時(shí)，lnx<ex-2(需要證明)，其中e<2.72<6+1

e

.,.ln(2-73)<e(2-A/3)-2<(^+l)(2-^)-2=^-3

ln(2+73)=In—==-ln(2-揚(yáng)〉3-石

2-V3

.,.1II(2+A/3)+A/3-3>0

(2)?.,君+l〉2.73〉e，Aln(4+2^)=2ln(l+^)>2Ine=2

Ain2+ln(2+73)>2,BPln(2+A/3)>2-In2

V210=1024,e1>2,77>1046?A210<e7.貝!I101n2<7nln2<0.7

.,.ln(2+V3)>2-ln2>2-0.7=1.3>3-A/3

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)與倒導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較難.(1)對(duì)于含參函數(shù)單調(diào)性的分析，可通過分析參數(shù)的臨界值，由此分

類討論函數(shù)單調(diào)性；(2)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常用方法：構(gòu)造函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值，從而達(dá)到

證明不等式的目的.

22

19、(1)2-+上=1(2)證明見解析

43

【解析】

(1)設(shè)橢圓E的半焦距為c,由題意可知，當(dāng)M為橢圓E的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，△孫心的面積取得最大值班，

求出”,仇c,即可得答案

(2)根據(jù)題意可知A(2,0),B(0,V3),因?yàn)锳B//CD,所以可設(shè)直線的方程為

y=一，%)，。(乙，為)，將直線代入曲線的方程，利用韋達(dá)定理得到%，%的關(guān)系，再代入斜

率公式可證得人上為定值?

【詳解】

(1)設(shè)橢圓E的半焦距為c,由題意可知,

當(dāng)M為橢圓E的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，耳耳的面積取得最大值拒.

C=1

1

所以《—x2cxb=^3,所以。=2,b=出,

2

a1-b2+c2

22

故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為L+匕=1.

43

(2)根據(jù)題意可知4(2,0),3(0,退)，因?yàn)锳B//CD,

所以可設(shè)直線CD的方程為y=-

22

工+匕=1

43

由＜廠,消去y可得6元2—46mx+4加2—12=0,

弋3

y—x+m

2

匚匚、

112y/3mBrl2y/3m

所以芯+X2=；'即——%

直線AD的斜率勺=2?

%—2Xj—2

,..［、,,人“/o—1Y+加-

直線5c的斜率心__2

K2————

%2%2

所以

6,

-------xx+m

k&=--~--

玉一2（Xi-2）X2

3G2y/3m3(2也m),不

—帆,-......F5------X?+YY\(YYl-v3)

(國-2)%2

3_3

_4'^2~2'"2=-,故%也為定值.

(玉―2)々4

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、橢圓中的定值問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)

算求解能力，求解時(shí)注意坐標(biāo)法的運(yùn)用.

20、(1)an=n｛neN+)(2)(-<?,2)

【解析】

(1)項(xiàng)和轉(zhuǎn)換可得啊,+i=5+l)?！?，繼而得到%="==%=1,可得解；

nn-11

,令

(2)代入可得bn=3"-An-,由數(shù)列｛b,,｝為遞增數(shù)列可得，2<2|彳c,=,可證明｛g｝為遞增數(shù)列,

即4<q,即得解

【詳解】

(1)???2S"=(〃+1)%,

2s“+]=(〃+2)an+1,

?，-2%+1=5+2)a“+i-5+1)a“，

即“%+i=("+1)a,：.,

nn+1n

aa

???-n-_----n-l—__—-^-1_-1J.,

nn-11

/.an=n(neN+).

(2)d=3〃—/11.