黑龍江省齊齊哈爾市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

一、選擇題

1,已知集合人={削廠-4x+3K0},3={-則A”=()

A,{1,2,3}B,{1,2}C,{2,3}D.{-1,1,2}

【答案】B

【解析】由d—4x+3=(x—l)(x—3)W0,解得

所以A={x[l<xV3},所以AB={1,2}.

故選：B.

2.已知aeR,若2="■為純虛數(shù)，則。=()

2i-l

A.72B.2C.1

【答案】B

〃+i(a+i)(2i+l)a-2+(2a+l)i

【解析】z=\(2i-l)(2i+l)-=5

若Z為純虛數(shù)，則a—2=0,即a=2.

故選：B.

+2X2,X>0

3.己知〃x)=3,為奇函數(shù)，則。=()

[x+ax,x<0

B.2C.1D.-1

【答案】A

【解析】當(dāng)*<0時(shí)，r>0,所以/(%)=—/(f)=—[(—4+2(—%)2]=_?—2/,

通過對比系數(shù)得a=-2.

故選：A.

4.某飲料廠生產(chǎn)A5兩種型號(hào)的飲料，已知這兩種飲料的生產(chǎn)比例分別為40%,60%,且

這兩種飲料中的碳酸飲料的比例分別為20%,80%,若從該廠生產(chǎn)的飲料中任選一瓶，則

選到非碳酸飲料的概率約為()

A.0.12B.0.20C.0.44D.0.32

【答案】C

【解析】由題意，選到非碳酸飲料的概率為40%x(l-20%)+60%x(l-80%)=0.44.

故選：C.

5.已知數(shù)列｛4｝等比數(shù)列，均為正整數(shù)，設(shè)甲：amat=apaq.乙：

m+t=p+q,貝!J()

A.甲是乙的充分不必要條件

B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲是乙的既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為9,首項(xiàng)為％,

若m+t=p+q,則。儲(chǔ)，即金口廣4外,滿足必要性；

當(dāng)q=l時(shí)，對任意正整數(shù)辦f,P，q均有4M=4外,不滿足充分性,

所以甲是乙的必要不充分條件，

故選：B.

4

6.若函數(shù)〃x)=x——alm:單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(7,0]B.(-oo,-4]C.[T,4]D.(-co,4]

【答案】D

2+4

【解析】依題意/,(X)=1+4--=X~T^0>即V—公+4?0對任意x>o恒成

44I4

立，即aV—+x恒成立，因一+x22jxx—=4(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取"=”)，所以aW4.

XXXX

故選：D

7.己知cos[a+《)=；,則$皿]2&一胃=()

【答案】A

jr

【解析】設(shè)。+:=/,

r,兀1.（c兀、.兀、兀

貝!]。=1—,cost=—,sin2a—=sin2t——

64（6）LL6）6

=_cos2z=_（2COS2/_1）=_-]=—

故選：A

8.已知A為雙曲線E:「—4=1（?！?/〉0）的右頂點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，氏C為雙曲線

a~b~

E上兩點(diǎn)，且A3+AC=2AO,直線人民AC的斜率分別為2和工，則雙曲線E的離心

4

率為（）

A.J2B.好C.見D.2

22

【答案】C

22

【解析】A（a,O）,設(shè)5（%,%）,。（―％,—%），則之—烏=1，

ab

故選：C.

二、多選題

9.已知圓4：（%—3）2+/=1,。2：%2+（丁—4）2=16,則下列結(jié)論正確的有（）

A.若圓G和圓G外離，則。>4

B.若圓C1和圓G外切，則。=±4

C.當(dāng)a=0時(shí)，圓G和圓G有且僅有一條公切線

D.當(dāng)。=—2時(shí)，圓G和圓C2相交

【答案】BCD

【解析】C（3,0）,。2（。，a）,|GG|=的+/,==1,々=4.

若C1和G外離，則|GQ|=，9+a2>、+々=5,解得。>4或“<-4,故A錯(cuò)誤;

若C1和外切，|GQ|=J9+a2=5,解得a=±4,故B正確；

當(dāng)a=0時(shí)，|GG|=3=G—和02內(nèi)切，故C正確；

當(dāng)。=一2時(shí)，3<|￡G]=JF<5，G和G相交，故D正確.

故選：BCD.

10.己知函數(shù)/（x）=cos2x+aco&x+2,則下列說法正確的有（）

A.當(dāng)a=0時(shí)，”力的最小正周期為兀

B.當(dāng)。=1時(shí)，/（%）的最小值為《

C.當(dāng)0=3時(shí)，”力在區(qū)間[0,2可上有4個(gè)零點(diǎn)

D.若“X）在（0，T上單調(diào)遞減，則a?2

【答案】AB

【解析】當(dāng)a=0時(shí)，/（x）=cos2x+2,所以〃力的最小正周期為兀，A選項(xiàng)正確;

、,（1Y77

當(dāng)a=0時(shí)，/（x）=cos2x+cosx+2=2cos2x+cosx+l=2lcosx+—I+—>—,

7

所以〃龍）的最小值為g,B選項(xiàng)正確；

8

當(dāng)a=4時(shí)，/(x)=cos2x+女osx+2=2cos'+3cosx+1=(2cosx+l)(cosx+1),

令/(X)=O,解得COSX=-工或COSX=-L,此時(shí)X=空或1=色或X=7l,

v7233

〃九)在區(qū)間［0,2可上有3個(gè)零點(diǎn)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

/(x)=cos2x+QCOSX+2=2cos，+acosx+1,設(shè)/=COST,

cosx在H上單調(diào)遞減，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，

g(/)=2/+m+l在上單調(diào)遞增，所以一￡三〈，解得2,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

J42

故選:AB.

11.已知四面體ABCD的各個(gè)面均為全等的等腰三角形，且C4=CB=2A6=4.設(shè)E為

空間內(nèi)任一點(diǎn)，且A5CRE五點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則()

A.AB±CD

B.四面體A3CD的體積為2m

C.當(dāng)AE=2jJ時(shí)，點(diǎn)E的軌跡長度為4兀

D.當(dāng)三棱錐E-A3C的體積為平時(shí)，點(diǎn)E的軌跡長度為30兀

【答案】AC

【解析】對于A,依題意，可知QA=CB=Z)5=AC=4,DC=AB=2,

設(shè)F為A3的中點(diǎn)，連接CEDE,則CA3,。尸，AB,

而CbDF=F,CF,DFu平面CFD,故A31平面C￡D,

CDu平面CED,故ABLCD,A正確；

對于B,將四面體A3CD放入長方體中，設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為％%z,

則+>2=4,x2+z2=16,y2+z2=16,解得x=y=A/2,Z=y/14,

由于z=J1W，即異面直線AB和CD的距離為，且AB/平面。廠D,,

所以四面體ABC。的體積為nrF-AB=-x-x2x714x2=^^,B錯(cuò)誤;

3-323

對于C,由以上分析可知，四面體ABCD的外接球半徑為+二+z?=￡1,

22

由AE=26，知點(diǎn)E的軌跡為一個(gè)圓，設(shè)軌跡圓的半徑為，

則/—/+半:=(26『，解得『=2，

所以E的軌跡長度為2兀廠=4兀，C正確；

對于D,由題意可得B=收一1=.sinZABC=叵,

4

148

_x___=___

故，ABC的外接圓半徑為2呵一亞,

丁

所以球心到一ABC所在平面的距離為

設(shè)三棱錐E-ABC的高為〃,

2

由三棱錐E—ABC的體積為恒時(shí)，可得工5,flr./i=ix-x2xV4-lxA^^,

62ABC326

故h=^=,

V30

又由?虛>某，故E點(diǎn)軌跡為外接球上平行于平面ABC且到平面ABC的距離為

2回

5

坐的兩個(gè)截面圓,

V30

其中一個(gè)圓為外接球的大圓,

所以點(diǎn)E的軌跡長度大于27rx迪=30兀，D錯(cuò)誤,

2

故選：AC.

三、填空題

12.第33屆奧運(yùn)會(huì)于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，某高校需要選派4

名大學(xué)生去當(dāng)志愿者，已知該?，F(xiàn)有9名候選人，其中4名男生，5名女生，則志愿者中

至少有2名女生的選法有種（用數(shù)字作答）.

【答案】105

【解析】由題意可得恰有兩名女生人選的選法有C；xC；=60種，

恰有3名女生人選的選法有C；xC；=40種，

恰有4名女生人選的選法有C：xC；=5種，

所以至少有兩名女生人選的選法有60+40+5=105（種），

故答案為：105.

22

13.己知尸為橢圓C:上+2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過尸作圓M:（x—1-+丁=2的兩條切

93

線，切點(diǎn)分別為A3,則的最小值為.

【答案】當(dāng)

【解析】設(shè)尸

由已知M4，AP,由對稱性可得ABLPM,

TT7T

所以NPAB+NMAB=—,NMPA+NPAB=—,

22

則|AB|=2拒cos。，NMPA=NMAB=6,

且sin6=f

\PM\

因?yàn)?7（x-i）2+r

因?yàn)椤?MxV3,

所以1PM?亞，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)等號(hào)成立,

1122

又T回,

所以sin。=

所以cos0=71-sin23>1—下

忑一下

所以|入口=2Jicos，22JIx容=考。.

所以的最小值為2叵.

5

14.若直線y=2%為曲線＞=6"+'的一條切線，則ab的最大值為.

【答案】4

e

【解析】設(shè)/(無)=，則f(x)=ae3b,

設(shè)切點(diǎn)為(%,6網(wǎng)。+。，則/'(%)=姐/+。

則切線方程為y—e嘰+"=ae^+〃(x—%),整理可得y=ae幽+與+(1—曲卜嘰+》,

所以］0］匕°卜°=°,解得曲=工,茂也+—+&=2,

照5=2a

22b

所以〃二F，所以=f,

ee

_/x2x皿，/、2(l-x)

設(shè)g(x)=F，貝1g(%)=」^，

ce

當(dāng)xe(—co,l)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

2

所以當(dāng)x=l時(shí)，g(x)取得最大值g6=v，

e

所以ab的最大值為

e

四、解答題

15.睡眠是生命健康不可缺少的源泉，然而許多人被睡眠時(shí)長過短、質(zhì)量不高等問題所困

擾.2023年3月21日是第23個(gè)世界睡眠日，這一天某研究小組隨機(jī)調(diào)查了某高校100名學(xué)

生在某一天內(nèi)的睡眠情況，將所得數(shù)據(jù)按照[5.75,6.25),[6.25,6.75),[6.75,7.25),

[7.25,7.75),[7.75,8.25),[8.25,8.75]分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖:

(1)求。的值，并由頻率分布直方圖估計(jì)該校所有學(xué)生每一天的平均睡眠時(shí)長(同一組的

數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(2)每一天睡眠時(shí)長不低于7.75小時(shí)認(rèn)定為睡眠充足，以頻率代替概率，樣本估計(jì)總

體，在該高校學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，求至少有兩人每一天睡眠時(shí)長充足的概率.

解：(1)(0.06+0.08+a+0.34+0.56+0.72)x0.5=1,解得a=0.24,

依題意，該校學(xué)生每一天的平均睡眠時(shí)長為：

6x4+6.5x12+7x28+7.5x36+8x17+3x8.5①ccu,工、

--------------------------------------------------------------=7.295(小時(shí))；

100

17+3

(2)100名學(xué)生的睡眠充足的頻率為-----=0.2,

100

以頻率代替概率，樣本估計(jì)總體，該校學(xué)生睡眠充足的概率為0.2,

所以至少有兩人睡眠時(shí)長充足的概率為P=C；x(O.2/x(l—02)+0.23=0.104.

16.記_ABC的內(nèi)角A,3,C的對邊分別為a,b,c,已知B=—,4bcosC=+2a.

4

（1）求tanC；

3

(2)若45c的面積為一，求5c邊上的中線長.

2

解：(1)由正弦定理可得一^；=/^,所以4sinBcosC=V5sinC+2sinA,

sinCsinB

即2缶osC=V^sinC+2sinA，又4+5+。=兀，

所以20cosc=V2sinC+2sin［：+=2后sinC+VicosC,

LL1

整理得J5cosc=2后sinC，解得tanC=-；

(2)依題意，—acsmB=—acx,解得〃c=3j^i，

2222

—1—tanC

1-tanC

sin_A__3

所以A為鈍角，所以由＜cosA

sin2A+cos2A=1

?4341

解得sinA=.——,cosA=-7=

A/10V10

,一,csinCJs6i—

由正弦定理可得一=—^=斗=二「，又ac=3叵,

asinA33

M

_■RA/2x-_

所以a=3,c=42,b=CS11\=----1-=V5,

sinCJ_

忑

設(shè)BC的中點(diǎn)為D,則AD=g(A3+AC),

―222+5+2x^x昌

所以4爐=1(AB+AC)2J』+2ACOSA=_________________LVioJ

444

所以邊上的中線長為好.

2

17.如圖1,在平面四邊形Q45c中，PA±AB,CD//AB,CD=2AB=2PD=

2AD=4.點(diǎn)E是線段PC上靠近P端的三等分點(diǎn)，將△尸。C沿CD折成四棱錐

P-ABCD,且AP=2?，連接PA,PB,BD,如圖2.

圖1圖2

（1）在圖2中，證明：24〃平面5DE；

（2）求圖2中，直線AP與平面所成角的正弦值.

（1）證明：連接AC交3。于點(diǎn)尸，連接ABUCD,CD=2AB,

Ap1

?.ABFCDF,——=-,

AC3

(2)解：在圖1中，PALAB,ABHCD,:.PA±CD,PD±CD,AD±CD,

在圖2中，AD=PD=2,PA=2A/2,AAP2=AD2+DP2,

PD±AD,4￡^8=。,4￡),0)<=平面450),

..PD,平面ABC。，

AD,CDu平面ABCD,

所以PD，AD,P￡>，CD,

而AD，C￡),

由此以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4（2,0,0）,5（2,2,0）,。（0,4,0）,。（0,0,2）,3。=（一2,2,0）,。3=（2,2,-2）,

,、m-BC=-2x+2y=0

設(shè)平面尸的法向量為加=(羽y,z),則＜

m-PB=2x+2y-2z=0

可取用=(1,1,2),又AP=(—2,0,2),

APm

所以cosAP,加二

API-|m|~6

所以直線AP與平面PBC所成角的正弦值為

~6

18.在平面直角坐標(biāo)系X0V中，點(diǎn)/。為動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的圓與x軸相切，記

P的軌跡為F.

（1）求：T的方程；

（2）設(shè)M為直線y=-1上的動(dòng)點(diǎn)，過M的直線與F相切于點(diǎn)A,過A作直線M4的垂

線交：T于點(diǎn)B,求△MZLB面積的最小值.

解：（1）設(shè)P（x,y）,則線段EP的中點(diǎn)坐標(biāo)為

因?yàn)橐訮尸為直徑的圓與x軸相切，

所以苫^=3怛耳=3正2+（丁—1）2，

化簡得f=4y,所以「的方程為爐=4了

(2

(2)設(shè)A尤0,—（%片0），由y=3,y'=］，則點(diǎn)A處切線斜率為今,

、4,

2

XX

所以直線M4方程為y-T=T（x-%）,整理為y=—0x丫----0-

24

令y=—i,則%=9_2,所以股(三_2,一1],

2%I2/J

2Y22

易知直線A3斜率為一一，所以直線—==——(%-x),整理為

%4%007

2君

y=--X+—+2,

~4

與必=分聯(lián)立可得當(dāng)—?=—2(x—%),有—2(%—%)=曰獸0，

v7v7

■44x0x04

88

又閡+同"2當(dāng)且僅當(dāng)％=±2時(shí)，等號(hào)成立,

1&

所以△M45的面積最小值為一x4=16.

4

r\

19.已知函數(shù)/(%)=lnx+——.

x+1

(1)設(shè)函數(shù)g(x)=3"(x)-則，討論g(x)的單調(diào)性；

XX

⑵設(shè)%,%分別為/(%)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，證明：|/(%)—

2(a-2)16—2a

a—1

、―/\x+1\luxx+11lalux12a

⑴解：???g(x)=?"(x)-丁=丫lnx+------——=lnx+——,

x+1xx

,(x_12a_x-2a

???g(九)=]一?=%2