§8.2偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法二、高階偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法

類(lèi)似地

可定義函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)

偏導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)的某一鄰域內(nèi)有定義

若極限存在

則稱(chēng)此極限為函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)

記作>>>一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)

如果函數(shù)z

f(x

y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x

y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在

那么f(x

y)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)是x、y的函數(shù)

這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)z

f(x

y)對(duì)x的偏導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)偏導(dǎo)數(shù))

記作偏導(dǎo)函數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)偏導(dǎo)函數(shù)偏導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)>>>偏導(dǎo)函數(shù)

偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)例如

三元函數(shù)u

f(x

y

z)在點(diǎn)(x

y

z)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)定義為其中(x

y

z)是函數(shù)u

f(x

y

z)的定義域的內(nèi)點(diǎn)

偏導(dǎo)數(shù)的求法求函數(shù)對(duì)一個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)

只要把其它自變量看作常數(shù)

然后按一元函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)即可

偏導(dǎo)函數(shù)討論

下列求偏導(dǎo)數(shù)的方法是否正確？

例1

求z

x2

3xy

y2在點(diǎn)(1

2)處的偏導(dǎo)數(shù)

解

例2

求z

x2sin2y的偏導(dǎo)數(shù)

解

解

證

例3

例4

證

本例說(shuō)明一個(gè)問(wèn)題

偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體記號(hào)

不能看作分子分母之商

例5

已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù))

求證偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

fx(x0

y0)

[f(x

y0)]x

fy(x0

y0)

[f(x0

y)]y

z

f(x

y0)z

f(x0

y)

是截線(xiàn)z

f(x

y0)在點(diǎn)(x0

y0)處的切線(xiàn)Tx對(duì)x軸的斜率

是截線(xiàn)z

f(x0

y)在點(diǎn)(x0

y0)處的切線(xiàn)Ty對(duì)y軸的斜率

偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性

對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō)

即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在

也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)

例如但函數(shù)在點(diǎn)

并不連續(xù)

在點(diǎn)(0

0)

有fx(0

0)

0

fy(0

0)

0

提示：提示：當(dāng)點(diǎn)P(x

y)沿直線(xiàn)y

kx趨于點(diǎn)(0

0)時(shí)

有因此函數(shù)f(x

y)在(0

0)的極限不存在

當(dāng)然也不連續(xù)

二、高階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)

如果函數(shù)z

f(x

y)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x

y)、fy(x

y)也具有偏導(dǎo)數(shù)

則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為函數(shù)z

f(x

y)的二階偏導(dǎo)數(shù)

函數(shù)z

f(x

y)的二階偏導(dǎo)數(shù)有四個(gè)

其中fxy(x

y)、fyx(x

y)稱(chēng)為混合偏導(dǎo)數(shù)

類(lèi)似地可定義三階、四階以及n階偏導(dǎo)數(shù)

解

此例中兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)是相等的

那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等

定理