高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2湖北省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以．故選：B.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗，所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限．故選：A.3.下列結(jié)論錯誤的是（）A.零向量與任一向量共線 B.零向量與任一向量的數(shù)量積為0C.方向相反的兩個向量是相反向量 D.模長等于1個單位長度的向量稱為單位向量〖答案〗C〖解析〗A：零向量與任意向量共線，故A正確；B：零向量與任意向量的數(shù)量積都等于0，故B正確；C：相反向量的概念是方向相反且長度相等的兩個向量，故C錯誤；D：單位向量的概念是模為1個單位長度的向量，故D正確.故選：C.4.如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由圖可知：.故選：A.5.在中，內(nèi)角所對的邊分別為．下列各組條件中，使得有兩個解的是（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗A：當(dāng)時，由正弦定理，得，所以，又A為鈍角，B必為銳角，即只有1個解，故A不符合題意；B：當(dāng)時，由正弦定理，得，所以，若B為鈍角，A為銳角，則，與矛盾，所以B只能為銳角，即只有1個解，故B不符合題意；C：當(dāng)時，由正弦定理，得，所以，此時B有1個解，故C不符合題意；D：當(dāng)時，由正弦定理，得，所以，又A為銳角且，所以B可以有2個解，故D符合題意.故選：D.6.已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，即，所以，可得在上的投影向量為．故選：D.7.如圖，為了測量河對岸的塔高，某測量隊選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)與．現(xiàn)測量得米，在點(diǎn)處測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為，則塔高（）A.米 B.米 C.米 D.米〖答案〗A〖解析〗設(shè)該塔的高度為米，則，在中，，即，由，解得，即塔高為30米.故選：A.8.若函數(shù)在內(nèi)有兩個零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，令，可得．因?yàn)?，所以，則．要使在內(nèi)有兩個解，則，解得．故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗設(shè)復(fù)數(shù)，由，得，所以解得所以，則.故選：AC.10.已知函數(shù)，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)榍叶x域?yàn)镽，所以是奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)和都是增函數(shù)，所以是增函數(shù)，因?yàn)椋?，即，故A正確，B錯誤；因?yàn)?，所以，故C正確，D錯誤.故選：AC.11.如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系為斜坐標(biāo)系，若，則把有序數(shù)對叫做向量的斜坐標(biāo)，記為在的斜坐標(biāo)系中，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.與的夾角為〖答案〗ACD〖解析〗A：，，所以，故A正確；B：，則，故B錯誤；C：，所以，故C正確；D：，，則，又，所以，故D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．12.已知函數(shù)，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所?故〖答案〗為：.13.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知則角B的最大值為______．〖答案〗〖解析〗易知，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故〖答案〗為：.14.在中，，O是的外心，，則的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗在中，外接圓半徑，由正弦定理得，所以，由余弦定理，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即的取值范圍為．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)（1）求的最小正周期；（2）求的最大值及取得最大值時x的取值集合．解：（1），所以的最小正周期．（2），則函數(shù)最大值為0，當(dāng)取得最大值時，，即，所以的最大值為0，取得最大值時的取值集合為16.已知向量．（1）若，求；（2）若，求與的夾角的余弦值．解：（1）由可得，整理得．因，所以，解得，所以，所以．（2），因?yàn)椋?，解得，所以，又，所以，所以與的夾角的余弦值為．17.已知為奇函數(shù)．（1）求a的值；（2）若，求m的取值范圍．解：（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，則，化簡得，即，所以，解得或（舍去），故的值為－1．（2），的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，．令函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，所以也是增函數(shù)，則．故的取值范圍是．18.某時刻，船只甲在處以每小時30海里的速度向正東方向行駛，與此同時，在處南偏東方向距離甲150海里的處，有一艘補(bǔ)給船同時出發(fā)，準(zhǔn)備與甲會合．（1）若要使得兩船同時到達(dá)會合點(diǎn)時補(bǔ)給船行駛的路程最短，補(bǔ)給船應(yīng)沿何種路線，以多大的速度行駛？（2）要使補(bǔ)給船能追上甲，該補(bǔ)給船的速度最小為多少？當(dāng)該補(bǔ)給船以最小速度行駛時，要多長時間追上甲？（參考數(shù)據(jù)：取，）解：（1）假設(shè)甲行駛的路線為，過作的垂線，點(diǎn)到的最短距離為，要使補(bǔ)給船行駛的路程最短，補(bǔ)給船需沿正北方向，即方向行駛，，甲行駛到處所需時間為小時，補(bǔ)給船行駛的速度為海里/小時，故要使得兩船同時到達(dá)會合點(diǎn)時，補(bǔ)給船行駛的路程最短，補(bǔ)給船應(yīng)沿正北方向，以海里小時的速度行駛．（2）設(shè)補(bǔ)給船以海里/小時的速度從處出發(fā)，沿方向行駛，小時后與甲在處會合，在中，，由余弦定理得，所以，即，當(dāng)，即時，取得最小值，即，所以補(bǔ)給船至少以海里/小時的速度行駛才能追上甲，當(dāng)補(bǔ)給船以最小速度行駛時，要小時追上甲．19.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求.（2）若，點(diǎn)是邊上的兩個動點(diǎn)，當(dāng)時，求面積的取值范圍.（3）若點(diǎn)是直線上的兩個動點(diǎn)，記.若恒成立，求的值.解：（1），由正弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，由，可得，即，所以，由正弦定理可得，則，得，則或（舍去），所以.（2）設(shè)，在中，由正弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，所以，的面積，因?yàn)椋?，則，故面積的取值范圍為.（3）因?yàn)?，所以，則，即，又是定值，所以是定值，所以，因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以，故的值為.湖北省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以．故選：B.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗，所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限．故選：A.3.下列結(jié)論錯誤的是（）A.零向量與任一向量共線 B.零向量與任一向量的數(shù)量積為0C.方向相反的兩個向量是相反向量 D.模長等于1個單位長度的向量稱為單位向量〖答案〗C〖解析〗A：零向量與任意向量共線，故A正確；B：零向量與任意向量的數(shù)量積都等于0，故B正確；C：相反向量的概念是方向相反且長度相等的兩個向量，故C錯誤；D：單位向量的概念是模為1個單位長度的向量，故D正確.故選：C.4.如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由圖可知：.故選：A.5.在中，內(nèi)角所對的邊分別為．下列各組條件中，使得有兩個解的是（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗A：當(dāng)時，由正弦定理，得，所以，又A為鈍角，B必為銳角，即只有1個解，故A不符合題意；B：當(dāng)時，由正弦定理，得，所以，若B為鈍角，A為銳角，則，與矛盾，所以B只能為銳角，即只有1個解，故B不符合題意；C：當(dāng)時，由正弦定理，得，所以，此時B有1個解，故C不符合題意；D：當(dāng)時，由正弦定理，得，所以，又A為銳角且，所以B可以有2個解，故D符合題意.故選：D.6.已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，即，所以，可得在上的投影向量為．故選：D.7.如圖，為了測量河對岸的塔高，某測量隊選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)與．現(xiàn)測量得米，在點(diǎn)處測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為，則塔高（）A.米 B.米 C.米 D.米〖答案〗A〖解析〗設(shè)該塔的高度為米，則，在中，，即，由，解得，即塔高為30米.故選：A.8.若函數(shù)在內(nèi)有兩個零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，令，可得．因?yàn)?，所以，則．要使在內(nèi)有兩個解，則，解得．故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗設(shè)復(fù)數(shù)，由，得，所以解得所以，則.故選：AC.10.已知函數(shù)，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)榍叶x域?yàn)镽，所以是奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)和都是增函數(shù)，所以是增函數(shù)，因?yàn)?，所以，即，故A正確，B錯誤；因?yàn)?，所以，故C正確，D錯誤.故選：AC.11.如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系為斜坐標(biāo)系，若，則把有序數(shù)對叫做向量的斜坐標(biāo)，記為在的斜坐標(biāo)系中，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.與的夾角為〖答案〗ACD〖解析〗A：，，所以，故A正確；B：，則，故B錯誤；C：，所以，故C正確；D：，，則，又，所以，故D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．12.已知函數(shù)，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?故〖答案〗為：.13.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知則角B的最大值為______．〖答案〗〖解析〗易知，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故〖答案〗為：.14.在中，，O是的外心，，則的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗在中，外接圓半徑，由正弦定理得，所以，由余弦定理，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即的取值范圍為．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)（1）求的最小正周期；（2）求的最大值及取得最大值時x的取值集合．解：（1），所以的最小正周期．（2），則函數(shù)最大值為0，當(dāng)取得最大值時，，即，所以的最大值為0，取得最大值時的取值集合為16.已知向量．（1）若，求；（2）若，求與的夾角的余弦值．解：（1）由可得，整理得．因，所以，解得，所以，所以．（2），因?yàn)?，所以，解得，所以，又，所以，所以與的夾角的余弦值為．17.已知為奇函數(shù)．（1）求a的值；（2）若，求m的取值范圍．解：（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，則，化簡得，即，所以，解得或（舍去），故的值為－1．（2），的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，．令函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，所以也是增函數(shù)，則．故的取值范圍是．18.某時刻，船只甲在處以每小時30海里的速度向正東方向行駛，與此同時，在處南偏東方向距離甲150海里的處，有一艘補(bǔ)給船同時出發(fā)，準(zhǔn)備與甲會合．（1）若要使得兩船同時到達(dá)會合點(diǎn)時補(bǔ)給船行駛的路程最短，補(bǔ)給船應(yīng)沿何種路線，以多大的速度行駛？（2）要使補(bǔ)給船能追上甲，該補(bǔ)給船的速度最小為多少？當(dāng)該補(bǔ)給船以最小速度行駛時，要多長時間追上甲？（參考數(shù)據(jù)：取，）解：（1）假設(shè)甲行駛的路線為，過作的垂線，點(diǎn)到的最短距離為，要使補(bǔ)給船行駛的路程最短，補(bǔ)給船需沿正北方向，即方向行駛，，甲行駛到處所需時間為小時，補(bǔ)給船行駛的速度為海里/小時，故要使得兩船同時到達(dá)會合點(diǎn)時，補(bǔ)給船行駛的路程最短，補(bǔ)給船應(yīng)沿正北方向，以海里小時的速度行駛．（2）設(shè)補(bǔ)給船以海里/小時的速度從處出發(fā)，沿方向行駛，小時后與甲在處會合，在中，，由余弦定理得，所以，即，當(dāng)，即時，取得