工程力學(xué)6.4平面彎曲桿件的應(yīng)力與變形§6-4平面彎曲桿件的應(yīng)力回顧與比較：內(nèi)力應(yīng)力FAyFSMTFAyFSM在橫截面上，只有法向內(nèi)力元素

dA才能合成M,只有切向內(nèi)力元素

dA才能合成剪力FS?！?-4平面彎曲桿件的應(yīng)力火車輪軸簡化：梁段CD上，只有彎矩，沒有剪力——純彎曲梁段AC和BD上，既有彎矩，又有剪力——橫力彎曲Fs圖M圖§6-4平面彎曲桿件的應(yīng)力思路：實驗觀察得應(yīng)變

的變化規(guī)律(變形幾何關(guān)系)應(yīng)力

的變化規(guī)律橫截面上任一點的正應(yīng)力公式§6-4.2純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力靜力學(xué)關(guān)系物理關(guān)系一、變形幾何關(guān)系用較易變形的材料制成的矩形截面等直梁作純彎曲試驗:MeMe純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力(1)變形前互相平行的縱向直線，變形后均變?yōu)閳A弧，且凸邊伸長，凹邊縮短；(2)變形前垂直于縱向線的橫向線，變形后仍為直線，且仍與縱向曲線正交。實驗觀察：MeMe純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力實驗分析:(1)平面假設(shè)梁在純彎曲時的平面假設(shè)：

梁的各個橫截面在變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線，只是橫截面繞某一軸旋轉(zhuǎn)了一個角度。MeMe純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力梁的各縱向?qū)踊ゲ粩D壓或牽拉（各縱向?qū)又g無正應(yīng)力），各縱向“纖維”均只受到拉伸或壓縮的作用。(2)單向受力假設(shè)純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力

(3)梁變形后，同一縱向?qū)涌v向纖維的長度相同，即同層各條纖維的伸長（或縮短）相同。純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力中性層中性軸凹入一側(cè)纖維縮短凸出一側(cè)纖維伸長中間一層纖維長度不變——中性層中間層與橫截面的交線——中性軸純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力OO

—中性層的曲率半徑純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力二、物理關(guān)系胡克定理

與y成正比,即正應(yīng)力沿截面高度呈線性變化,中性軸上各點的正應(yīng)力為零。各橫截面圍繞中性軸轉(zhuǎn)動純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力

與y成正比,即正應(yīng)力沿截面高度呈線性變化,中性軸上各點的正應(yīng)力為零。中性軸之下,y>0,

>0，拉應(yīng)力；中性軸之上,y<0,

<0，壓應(yīng)力。當(dāng)M>0時：純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力三、靜力學(xué)條件1）正應(yīng)力的合力即截面上的軸力2）正應(yīng)力對y軸的合力矩即截面上的彎矩My3）正應(yīng)力對z軸（中性軸）的合力矩即截面上的彎矩Mz純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力重要結(jié)論：中性軸z必定通過截面的形心純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力重要結(jié)論：中性軸z必為截面的形心主慣性軸純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力——中性層或軸線的曲率公式梁在外力作用下，橫截面上的彎矩愈大，梁的彎曲程度就愈大；EIz愈大，梁的彎曲程度就愈小。

EIz：梁的抗彎剛度，其意義是梁抵抗彎曲變形的能力。

純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力計算梁的彎曲正應(yīng)力的一般公式：當(dāng)M>0且y>0時，中性軸z軸以下為拉應(yīng)力，而z軸以上為壓應(yīng)力。純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力正應(yīng)力分布：正應(yīng)力沿截面寬度方向均勻分布！純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力最大正應(yīng)力：令Wz——抗彎截面系數(shù)，是一個僅與截面的形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。當(dāng)中性軸是橫截面的對稱軸時：拉、壓最大應(yīng)力相等純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力當(dāng)中性軸不是橫截面的對稱軸時：(拉)(壓)C不能用！純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力常見截面的IZ和WZ：矩形截面：箱形截面：純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力常見截面的IZ和WZ：圓截面：空心圓截面：純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力基本公式：注意:(1)計算正應(yīng)力時,M、y等代數(shù)量均以絕對值代入。M>0時,中性軸以下為拉應(yīng)力,中性軸以上為壓應(yīng)力;M<0時則相反。(M>0)純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力(3)上述基本公式由矩形截面梁導(dǎo)出,但它們也適用于其它截面梁的平面彎曲。(2)正應(yīng)力公式中不含彈性模量E，說明正應(yīng)力的大小與材料無關(guān)。但在推導(dǎo)公式的過程中應(yīng)用了胡克定律，因此，公式只適用于材料處于線彈性階段?；竟剑鹤⒁?純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力(4)上述基本公式是在純彎曲(剪力=0)情況下導(dǎo)出的,但在一定條件下同樣適用于非純彎曲(剪力≠0)的情況?；竟剑鹤⒁?純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力橫力彎曲:FS圖M圖梁橫截面上的正應(yīng)力公式推廣上式是在平面假設(shè)和單向受力假設(shè)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)的，實驗證明在純彎曲情況下這是正確的。對于橫力彎曲，由于剪力的存在，橫截面產(chǎn)生剪切變形，使橫截面發(fā)生翹曲，不再保持為平面。梁的正應(yīng)力橫截面發(fā)生翹曲：橫力彎曲正應(yīng)力公式:彎曲正應(yīng)力分布彈性力學(xué)精確分析表明，當(dāng)跨度l

與橫截面高度h

之比l/h>5

（細(xì)長梁）時，純彎曲正應(yīng)力公式對于橫力彎曲近似成立。橫力彎曲最大正應(yīng)力:梁的正應(yīng)力FS圖M圖彎曲正應(yīng)力公式適用范圍：彎曲正應(yīng)力細(xì)長梁的純彎曲或橫力彎曲橫截面慣性積Iyz=0，中性軸過截面形心彈性變形階段梁的正應(yīng)力BAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.C截面上K點正應(yīng)力2.C截面上最大正應(yīng)力3.全梁上最大正應(yīng)力FSx90kN90kN1.求C截面上K點正應(yīng)力解：例題FAyFBy（壓應(yīng)力）30zy180120KFSx90kN90kN2.C截面最大正應(yīng)力C

截面彎矩C

截面慣性矩例題BAl=3mq=60kN/mxC1mFAyFBy30zy180120KFSx90kN90kN3.全梁最大正應(yīng)力最大彎矩截面慣性矩例題BAl=3mq=60kN/mxC1mFAyFBy梁的撓度和轉(zhuǎn)角

在工程實踐中，對受彎構(gòu)件，除要求具有足夠的強(qiáng)度外，還要求變形不能過大，即要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機(jī)器正常工作。一、梁變形計算的目的1、是梁的剛度計算的基礎(chǔ)2、是求解超靜定梁的基礎(chǔ)7-1

橋式起重機(jī)的橫梁變形過大,則會使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。梁的撓度和轉(zhuǎn)角

搖臂鉆床的搖臂或機(jī)床的主軸變形過大，就會影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。梁的撓度和轉(zhuǎn)角7-2二、基本概念梁的軸線變成光滑連續(xù)曲線1、梁的變形梁的撓度和轉(zhuǎn)角y

向下為正轉(zhuǎn)角

：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度

順時針方向為正由于小變形，截面形心在x方向的位移忽略不計撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為：撓曲線方程：撓度y：截面形心在y方向的位移FABxyxy(x)

撓度轉(zhuǎn)角撓曲線2、梁的位移梁的撓度和轉(zhuǎn)角7-2鉸支座——限制截面A、B沿約束反力方向的移動3、約束對位移的影響梁的撓度和轉(zhuǎn)角固定支座——限制截面B沿任意方向的移動和轉(zhuǎn)動梁的撓度和轉(zhuǎn)角撓曲線的近似微分方程：推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力時，得到：忽略剪力對變形的影響：梁的撓曲線的近似微分方程MM由數(shù)學(xué)知識可知：略去高階微量，得小撓度情形下：——彈性曲線的小撓度微分方程梁的撓曲線的近似微分方程梁的撓曲線的近似微分方程yyMM

由上式進(jìn)行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。梁撓曲線的近似微分方程：1）略去了剪力的影響2）略去了高階微量梁的撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程：積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：再積分一次得撓度方程為：7-3積分法計算梁的位移

積分常數(shù)C、D

由梁的位移邊界條件和變形連續(xù)條件確定。

積分常數(shù)C、D

由梁的位移邊界條件和變形連續(xù)條件確定。位移邊界條件變形連續(xù)條件積分法計算梁的位移AAAAAAA鉸支座處：固定支座處：連續(xù)桿件某點處：鉸結(jié)點處：例求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知。解：1）寫出x截面的彎矩方程2）列撓曲線近似微分方程并積分積分一次：再積分一次：積分法計算梁的位移ABF3）由位移邊界條件確定積分常數(shù)代入求解：4）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程ABF積分法計算梁的位移例求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知。5）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度積分法計算梁的位移例求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知。ABF()()例求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求A截面轉(zhuǎn)角和C截面撓度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解：1）由梁整體平衡分析得：2）彎矩方程AC

段：CB

段：積分法計算梁的位移3）列撓曲線近似微分方程并積分AC段：CB

段：4）由邊界條件確定積分常數(shù)位移邊界條件：變形連續(xù)條件：4）由邊界條件確定積分常數(shù)位移邊界條件：變形連續(xù)條件：5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC段：CB段：5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程轉(zhuǎn)角方程：撓度方程：6）確定A截面轉(zhuǎn)角和C截面撓度()()例:

用積分法求圖示外伸梁自由端C的截面轉(zhuǎn)角和撓度，其中。解：取圖示的坐標(biāo)系，求支座反力得：y積分法計算梁的位移彎矩方程：梁撓曲線的近似微分方程：位移邊界條件：變形連續(xù)條件：位移邊界條件：變形連續(xù)條件：將積分常數(shù)回代得到轉(zhuǎn)角方程和撓度方程！自由端C的截面轉(zhuǎn)角和撓度：轉(zhuǎn)角方程和撓度方程：()()lllFlF用積分法求位移時，應(yīng)分幾段來列撓曲線的近似微分方程？分別列出確定積分常數(shù)時常用的邊界條件和變形連續(xù)條件：分段數(shù)取決于彎矩方程的分段情況：分3段x1x2x3位移邊界條件：變形連續(xù)條件：x疊加法計算梁的位移疊加原理：梁在幾個荷載同時作用時，其任一截面處的轉(zhuǎn)角（或撓度）等于各個荷載單獨作用時梁在該截面處的轉(zhuǎn)角（或撓度）的代數(shù)和。y撓度和轉(zhuǎn)角與荷載均呈線性關(guān)系例如：在一組荷載共同作用下，梁上的截面B:疊加法計算梁的位移7-4疊加法適用條件:1)材料處于彈性階段且服從胡克定律2)小變形1）梁在簡單荷載作用下?lián)隙取⑥D(zhuǎn)角已知或有變形表可查；

2）疊加法適用于求梁個別截面的撓度或轉(zhuǎn)角值。疊加法的特點：yC1yC2yC3例1已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C

截面的撓度yC

；B截面的轉(zhuǎn)角

B1）將梁上的荷載分解解:疊加法計算梁的位移yC1yC2yC3例1已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C

截面的撓度yC

；B截面的轉(zhuǎn)角

B疊加法計算梁的位移2）查表得3種情形下C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。yC1yC2yC3例1已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C

截面的撓度yC

；B截面的轉(zhuǎn)角

B疊加法計算梁的位移2）查表得3種情形下C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。yC1yC2yC3例1已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C

截面的撓度yC

；B截面的轉(zhuǎn)角

B疊加法計算梁的位移2）查表得3種情形下C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。yC1yC2yC3例1已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C

截面的撓度yC

；B截面的轉(zhuǎn)角

B疊加法計算梁的位移3）應(yīng)用疊加法，將簡單荷載作用時的結(jié)果求和yC1yC2yC3例1已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C

截面的撓度yC

；B截面的轉(zhuǎn)角

B疊加法計算梁的位移3）應(yīng)用疊加法，將簡單荷載作用時的結(jié)果求和yC例2已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI