專題2-3雙曲線(考點清單，3種題型典例剖析+考場練兵)

才知鈉導(dǎo)圖

/^一?雙曲線的定義

★雙曲線9----------?雙曲線的標準方程

雙曲線的性質(zhì)

年考克儕單

一.雙曲線的定義

雙曲線(Hyperbola)是指與平面上到兩個定點的距離之差的絕對值為定值的點的軌跡，也可以定義為到定

點與定直線的距離之比是一個大于1的常數(shù)的點之軌跡.雙曲線是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平面的交

截線.雙曲線在一定的仿射變換下，也可以看成反比例函數(shù).兩個定點尸1,F2叫做雙曲線的焦點(focus),

定直線是雙曲線的準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.

標準方程

22

①號-%=].(a,6>0),表示焦點在x軸上的雙曲線；

22

②%-工亍=1(a,6>0),表示焦點在y軸上的雙曲線.

性質(zhì)

22

這里的性質(zhì)以9-%=1(a,6>0)為例講解：

2-

①焦點為(土C,0),其中C2=02+62；②準線方程為：x=土且③離心率0=￡>1;④漸近線：》=±

ca

—x；⑤焦半徑公式：左焦半徑：/=政+嚇右焦半徑：尸=依-4

a

【命題方向】

這里面的兩個例題是最基本的，必須要掌握，由于雙曲線一般是在倒數(shù)第二個解答題出現(xiàn)，難度一般也是

相當大的，在這里可以有所取舍，對于基礎(chǔ)一般的同學(xué)來說，盡量的把這些基礎(chǔ)的分拿到才是最重要的，

對于還剩下的部分，盡量多寫.

雙曲線的標準方程

雙曲線標準方程的兩種形式：

（1）4-看=1（a>0，6>0）,焦點在X軸上，焦點坐標為廠（土C,0）,焦距「LF2|=2C；

（2）^—-^.=1（a>0,b>0）,焦點在y軸上，焦點坐標為尸（0,土c）,焦距「LF2|=2C.

兩種形式相同點：形狀、大小相同；都有。>0,b>0；c2=b2+a2

兩種形式不同點：位置不同；焦點坐標不同.

標準方程

-=1（。>0,b>0）=1（a>0,6>0）

2,2-1?2,2x

abab

中心在原點，焦點在X軸上中心在原點，焦點在丁軸上

圖形y」

y>卜

-/ZIM

\/

\/1--------------------?

/OX

rI*.____A

ox

F”\F2/<

/\1

頂點（。，0）和（-a,0）(0,a)和(0,-q)

對稱軸工軸、》軸，實軸長2〃，虛軸長2b%軸、》軸，實軸長2q,虛軸長2b

焦點在實軸上焦點在實軸上

焦點Fi(-。，0),F2(c,0)Fi(0,-c),尸2(0,c)

焦距

|FIF2|=2C(C>0)\FIF2\=2C(C>0)

c2=a2+b2c2=a2+b2

離心率e=—(e>l)e=—(e>l)

aa

漸近線3=0

2,2u2k2

abab

即產(chǎn)土且r即尸土包X

ab

22

準線x=±-^—y=±——

cc

三.雙曲線的性質(zhì)

雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì)

標準方程

鼻-J=l(40,b>0)(a>0,b>0)

2,2,*■2,2x

abab

圖形▲

//

v....盡r---------X

T)/(一.■

AK

焦點Fi(-c,0),Fi(c,0)Fi(0,-c),Fi(0,c)

焦距

|FIF2|=2C\FXF2\=2C

范圍\x\^a,jGR[y]2a,xGR

性

對稱關(guān)于x軸，y軸和原點對稱

頂點(-Q,0).(Q,0)(0,-a)(0,a)

軸實軸長2Q,虛軸長2b

離心率e=—(e>l)

a

22

準線x=±-5—y=±A_

質(zhì)cC

漸近線三土工=0工土工=0

abba

典例剖析

雙曲線的定義（共3小題）

1.(2022春?臺江區(qū)校級期末)焦點在x軸上，且漸近線方程為夕=±2》的雙曲線的方程可以是()

【分析】利用焦點在x軸上，且漸近線方程為>=±2》的雙曲線的方程，結(jié)合選項，即可得出結(jié)論.

2

【解答】解：由題意，焦點在X軸上，且漸近線方程為>=±2》的雙曲線的方程可以是=

故選：A.

【點評】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，比較基礎(chǔ).

2.(2023春?井岡山市校級期末)已知點"(-6,0),N(60),動點尸滿足條件|9|-|尸N|=4.則動點

尸的軌跡方程為()

丫2L

A.--J;2=l(xV2)B.y-y2-l(x-V2)

2

c.0一V=i(x2)D.^--y-l(x-2)

44

【分析】根據(jù)題意得到|?"IT尸N|=4<|MN1=2A/I,結(jié)合雙曲線的定義，即可求解.

【解答】解：由點”(-右,0),N(行,0),可得|近|=2君，

又由|PM|-|PN|=4,可得|尸〃|一|PN|=4<|ACV|=2下,

根據(jù)雙曲線的定義，可得點P的軌跡表示以M,N為焦點的雙曲線的右支，

且2a=4,2c=2-\/5,可得a=2,c=V5,貝!j/=c2—/=1,

所以點P的軌跡方程為:-V=l(x2).

故選：C.

【點評】本題主要考查軌跡方程的求法，雙曲線的定義，考查運算求解能力，屬于中檔題.

________________________________22

3.(2022春?長寧區(qū)校級期末)若將方程|J(x-4>+「一/a+40+廿|=6化簡為0-看=1的形式,則

’ab

a2—b2=2

【分析】方程|J(x-4)2+了2-J(X+4)2+_/|=6,表示點(x,y)到(4,0),(-4,0)兩點距離差的絕對值為6,

由此可得雙曲線的方程，從而可得結(jié)論.

【解答】解：方程1J(X-4)2+/-J(X+4)2+/1=6,表示點(x,y)到(4,0),(-4,0)兩點距離差的絕對值為

6,

.?.軌跡為以(4,0),(-4,0)為焦點的雙曲線，方程為女-彳=1

a2-b-=2

故答案為：2

【點評】本題考查雙曲線的定義與方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

二.雙曲線的標準方程（共5小題）

4.（2023春?黃浦區(qū)校級期中）從某個角度觀察籃球（如圖1）,可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示,

籃球的外輪形狀為圓。，將籃球表面的粘合線看成坐標軸和雙曲線的一部分，若坐標軸和雙曲線與圓。的

交點將圓。的周長八等分，且/8=8C=CD=2,視/。所在直線為x軸，則雙曲線的標準方程方程為

=1

圖1圖2

【分析】由已知結(jié)合雙曲線的性質(zhì)先求出°,然后把已知點的坐標代入雙曲線方程可求.

22

【解答】解：設(shè)所求雙曲線方程為：a>Q,b>0,

ab

則根據(jù)題意可得。=1,點在雙曲線上，

9

.2.2=1

7

.?.所求曲線方程為/-馬匚=1.

9

故答案為：x2-^=l.

9

【點評】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)在雙曲線方程求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2023春?普陀區(qū)校級月考）若雙曲線C的一條漸近線經(jīng)過點（1,-2）,且焦點到該漸近線的距離為2,則

222

該雙曲線的方程為X?-匕=1或匕-土=1.

—4—164—

【分析】直接利用雙曲線的性質(zhì)求出雙曲線的方程.

【解答】解：①當雙曲線的焦點在x軸上時，

雙曲線的漸近線方程為歹=±9》,

a

由于雙曲線C的一條漸近線經(jīng)過點（1,-2）,所以6=2°,

由焦點到該漸近線的距離為2,整理得「姐=2,解得6=2,故。=1,

yja2+b2

2

故雙曲線的方程為V-匕=1.

4

②當雙曲線的焦點在夕軸上時，

雙曲線的漸近線方程為y=±qx,

b

由于雙曲線C的一條漸近線經(jīng)過點(1,-2),所以。=26,

由焦點到該漸近線的距離為2,整理得/姐二=2,解得6=2,故“=4,

yja2+b2

22

故雙曲線的方程為土-匕=1.

164

222

故答案為：/一匕=1或匕一二=1.

4164

【點評】本題考查的知識要點：雙曲線的方程的求法，雙曲線的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能

力，屬于基礎(chǔ)題和易錯題.

6.(2023春?黃浦區(qū)校級期中)雙曲線「經(jīng)過兩點4(-0,-G),8(半,行)，則雙曲線「的標準方程是

工2V_1

X-----1?

3-

【分析】可設(shè)雙曲線方程為小2一町2=1,把/、3兩點的坐標代入組成方程組求解即可.

【解答】解：設(shè)雙曲線方程為：-肛2=1,

2m-3〃=1m=l

由雙曲線過/、3兩點，得?5，解得■1

—m—2n=ln=—

133

2

所以雙曲線的標準方程為：V—匕=1.

3

2

故答案為：--匕=1.

3

【點評】本題考查了雙曲線的標準方程求法問題，是基礎(chǔ)題.

7.(2022春?寶山區(qū)校級期中)若雙曲線的一個焦點坐標為(5,0),實軸長為6,則它的標準方程是

22

L-匕=1.

916—

【分析】根據(jù)焦點坐標和實軸長，建立關(guān)于a,b,c的方程組，可得答案.

【解答】解：由焦點(5,0),可得。=5,由實軸長為6,即2〃=6,可得q=3,b=Ic1-a1=4,

故雙曲線的標準方程為二-二=1.

916

r2v2:

故答案為：土-匕=1.

916

【點評】本題主要考查雙曲線的標準方程，屬于基礎(chǔ)題.

2

8.(2022春?黃浦區(qū)校級期末)在平面直角坐標系xQy中，若雙曲線f一==1。>0)經(jīng)過點(3,4),則該雙

曲線的漸近線方程是_>=+41x

【分析】把已知點的坐標代入雙曲線方程，求得6,則雙曲線的漸近線方程可求.

2

【解答】解：?.?雙曲線—一方=1(6>0)經(jīng)過點(3,4),

32-iy=l,解得"=2,即6=血.

b2

又4=1,二.該雙曲線的漸近線方程是y=士缶.

故答案為：y=±42x.

【點評】本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的簡單性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

三.雙曲線的性質(zhì)(共15小題)

22

9.(2023春?長寧區(qū)校級期中)雙曲線A-4=l(a>0,6>0)的一個焦點為耳，左、右頂點分別為4，4,

ab

p為雙曲線上任意一點，則分別以線段尸耳，44為直徑的兩個圓的位置關(guān)系為()

A.相切B.相交

C.相離D.以上情況都有可能

【分析】畫出圖象，考查兩圓的位置關(guān)系，就是看圓心距與半徑和或與半徑差的關(guān)系，分情況尸在左支、

右支，推導(dǎo)結(jié)論.

【解答】解：如圖所示，設(shè)分別以線段尸￡,44為直徑的兩個圓的圓心為：Q,。2,半徑為外，2，

若尸在雙曲線坐支，則IQ.匕W1+20)=；|尸片|+0=4+U，

即圓心距為半徑之和，兩圓外切；

若尸在雙曲線右支，貝/002|=4-4，兩圓內(nèi)切，

所以兩圓相切；

故選：A.

【點評】本題考查圓與圓的位置關(guān)系及其判定，雙曲線的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，是基礎(chǔ)題.

10.（2023春?浦東新區(qū)期中）在下列雙曲線中，與Y一匕=1共漸近線的為（）

4

A.片一廣=1B.片-廣=1C.二-丁=1D./一亡=]

16441622

【分析】由雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線漸近線方程的求法求解即可.

2

【解答】解：雙曲線爐-?=1的漸近線方程為＞=±2》，

Y2V21

對于選項4,雙曲線土一匕=1的漸近線方程為歹=±'x,即選項4不符合題意；

1642

22

對于選項5,雙曲線土-二=1的漸近線方程為＞=±2',即選項5符合題意；

416

2/T

對于選項C,雙曲線、-/=1的漸近線方程為卜=士學(xué)X,即選項C不符合題意；

2

對于選項。，雙曲線/-、=1的漸近線方程為/=±亞，即選項。不符合題意.

故選：B.

【點評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，重點考查了雙曲線漸近線方程的求法，屬基礎(chǔ)題.

11.（2023春?上海月考）已知西、%是關(guān)于x的方程/一2彳+（2加-1）=0（m€2）的兩個不同實數(shù)根，則經(jīng)

過兩點“（X；,再）、8（考，馬）的直線與雙曲線?-/=1的交點個數(shù)為（）

A.0B.1

C.2D.根據(jù)的值來確定

【分析】由題意可得%+%=2,x；-2占+（2機-1）=0,求得的斜率，得直線方程，可得直線N3平行

雙曲線的一條漸近線，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案.

【解答】解：王、%是關(guān)于x的方程x?-2x+（2%-1）=0的兩個實數(shù)根，

可得玉+%2=2，x；-2再+（2加-1）=0,且△=4一4（2冽-1）＞0,

即有加＜1,

經(jīng)過兩點/（X；,為）、3（后，X?）的直線的斜率為二=々一

X2一%％2+國2

可得AB的方程為V一項二；（x-x；）,即為y=；x-；x：+%，

即有y=+加，

雙曲線9-1的漸近線方程為尸土m,

r1八

meZ,m--w0,

2

則直線y=gx+m-g與雙曲線的一條漸近線了=3》平行，

.?.經(jīng)過兩點/（X；,%）、B?,馬）的直線與雙曲線亍-「=1的交點個數(shù)為1?

故選：B.

【點評】本題考查兩點的直線方程的求法和平行直線系問題，考查直線與雙曲線位置關(guān)系的判定，是中檔

題..

12.（2024春?楊浦區(qū)校級月考）已知雙曲線方程為=i,則該雙曲線的漸近線方程為y=±-Lx.

4―.2—

【分析】利用雙曲線方程，直接求解即可.

i

【解答】解：雙曲線方程為則該雙曲線的漸近線方程為：y=±-x.

42

故答案為：y=+—x.

2

【點評】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，是基礎(chǔ)題.

13.（2023春?楊浦區(qū)校級月考）雙曲線f-/=1的兩條漸近線的夾角大小為_90。_.

【分析】求得雙曲線的兩漸近線方程，可求兩條漸近線的夾角大小.

【解答】解：?.?雙曲線尤2-必=］的兩條漸近線方程為y=±x,

，兩漸近線互相垂直，，兩條漸近線的夾角大小為90。.

故答案為：90°.

【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

14.（2024春?嘉定區(qū)校級月考）已知點P為雙曲線5-gw右支上的一點，片，耳分別為雙曲線的左、

4

右焦點，點/為^PFE的內(nèi)心，若SAIPFI=S./%+尢Sg成立，則2的值為

【分析】設(shè)乙的內(nèi)切圓半徑為，由|PGH"|=2a,|月耳|=2c,用△心鳥的邊長和:?表示出等

式中的三角形的面積，解此等式求出2.

【解答】解：雙曲線---=1的a=4,b=3,c=J16+9=5,

169

設(shè)△尸片鳥的內(nèi)切圓半徑為尸，

由雙曲線的定義得|尸片|-|巴冒=2。，|甲管=2°,

s：\=/尸片U,s"；咋卜廠,

&1。

S“IFiF=--2c-r=cr,

由S"PF]=S"PF?+2*SAIF'F?，

g|PFtU=g|PF2|?r+Xcr,

【點評】本題考查雙曲線的定義和簡單性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)的值是關(guān)鍵，考查方程思想和運算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

r223

15.（2023春?楊浦區(qū)校級期中）若雙曲線\-5v=1（“>08>0）的漸近線方程為>=土士x,則雙曲線的離

ab~2

心率e=_____

一2

【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程為y=±gx,求出。，6之間的關(guān)系，再代入離心率e結(jié)合a,b,。之

間的關(guān)系即可求出結(jié)論.

r223

【解答】解：因為雙曲線1-占v=1（。＞0,6＞0）的漸近線方程為〉=±±》,

ab2

2

【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其方程.雙曲線離心率的求法，是基礎(chǔ)題.

2A

16.（2023春?上海期中）已知雙曲線1-/=1（。＞0）的漸近線與圓X?+/一4了+3=0相切，貝IJa=_組

a3

【分析】求出雙曲線的漸近線方程，利用圓心到漸近線的距離等于圓的半徑可求得a的值.

【解答】解：由一+/-4了+3=0得x2+（y-2）2=l,所以圓心為（0,2）,半徑為1,

雙曲線的漸近線方程為/=±±，即x土即=0,

aa

因為雙曲線二-「=1（。＞0）的漸近線與圓工2+必一4"+3=0相切，

a

所以之蟲=1,化簡得3/=1,解得。=@或〃=-@（舍去）.

33

故答案為：心.

3

【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題.

22

17.（2023春?黃浦區(qū)校級期中）已知《，片為雙曲線=l的兩個焦點，P,。為C上關(guān)于坐標

原點對稱的兩點，且|PQH片工I，則四邊形尸片。外的面積為

【分析】判斷四邊形期0居為矩形，利用雙曲線的定義及勾股定理求解即可.

【解答】解：因為P,。為C上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且|尸0|=|「招I，

所以四邊形打退入為矩形，

設(shè)|PFX|=m,|PF2\=n,

由雙曲線的定義可得||S|-1尸6|Hm-n\=2a=S,

所以加2-2mn+/=64,

因為|『+1Pg『=1224(a2+62)=100,

FXF2|=4C=

即冽2+*=I。。，

所以加二18，

所以四邊形PFXQF2的面積為I助II桃|=冽〃=18.

故答案為：18.

【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，雙曲線的定義，考查方程思想與運算求解能力，屬于中檔題.

22

18.（2024春?金山區(qū)校級月考）已知片，凡分別是雙曲線。:--斗=1（。>0,6>0）的左、右焦點，過點罵

ab

且垂直X軸的直線與。交于N,8兩點，且tanNN《K=亭，若圓（x-2）2+必=4與C的一條漸近線交于

4A/S

M,N兩點，貝！||〃^|=_三_

【分析】令X=c,求得I工小，解直角三角形/片用可得雙曲線的漸近線方程，再由直線和圓相交的弦長公

式，計算可得所求弦長.

【解答】解：設(shè)耳（―c,0）,8（c,0）（c=+?。?

令x=c,可得1一與"二1，即有〉=±d,

aba

￡

可得|月川=￡,12!144耳￡=四』=撞=衛(wèi)b2c2-a2

2a124工I52c2ac2ac

解得￡=后即有6=2*

a

所以漸近線方程為y=±2x,

由對稱性，不妨取y=2x進行計算,

由圓心(2,0)到直線2x-y=0的距離d=已患4

可得弦長|MN|=2A/F2-d2=2卜—g=.

故答案為：竽

【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運算能力，屬于中檔

題.

22

19.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知雙曲線￡:二-5=1（。>0,6>0）的左，右焦點分別為片，F(xiàn),,過左焦

ab

點大作直線/與雙曲線交于4,B兩點（2在第一象限），若線段的中垂線經(jīng)過點鳥，且點片到直線/的

距離為則雙曲線的離心率為—巫

一2一

【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的定義可得|N8|=4“，再由勾股定理列出方程即可得到a,c的關(guān)系，進而求

解結(jié)論.

【解答】解：設(shè)雙曲線的半焦距為c,c>0,

|BF2HAF2I，根據(jù)題意得到I班H*i1=2a，

又|盟|一|4片|=|BF2\-\AFl|=2a,

故\48|=|8中|-|4片|=4a,設(shè)48的中點為C,

在ZCQ中，|5|=60,\AC\=2a,

故Mg|=J(2a>+(氐下=3a,

則|Z片|=a,|CFX|=3a,

根據(jù)耳『+22

IC1eg|=|FXF2I,

可知(3a)2+(氐)2=(2c)2,

故7a2=2c°，可得e=§=.

a2

故答案為：—.

2

【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題.

20.(2023秋?浦東新區(qū)校級期末)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯用不同的平面截同一圓錐，得到了三種圓錐

曲線，其中的一種如圖所示.用過M點且垂直于圓錐底面的平面截兩個全等的對頂圓錐得到雙曲線的一部

分，已知高|?。|=2,底面圓的半徑為4,"為母線尸8的中點，平面與底面的交線48,則雙曲線兩

漸近線所夾銳角的余弦值為—士

5

【分析】以過河點且垂直于圓錐底面的平面的中心為原點，平行于圓錐的軸為X軸建立坐標系，求出

￡坐標代入雙曲線方程，進而求得漸近線方程，先求出兩漸近線所夾銳角的正切值，再求余弦值即可.

【解答】解：設(shè)EF交OB于N,

以過M點且垂直于圓錐底面的平面的中心為原點，平行于圓錐的軸為x軸建立如圖所示坐標系，

因為圓錐的高|POHO'N|=2,"是總中點，且截面垂直于底面,

所以|MV|=；|PO|=1,所以M(1,O),

又因為底面圓半徑|03|=4,

所以|ON|=g|031=2,|EN|=7lOE^-\ON|2=273,所以E(2,2g),

22a=1

設(shè)雙曲線方程為2=1,將M(l,o),￡(2,2君)，代入解得

abb=2

則雙曲線的兩條漸近線方程為y=±-x=2x,

a

由對稱性可知兩條漸近線所夾銳角的正切值為I1=I,

3

所以雙曲線兩漸近線所夾銳角的余弦值為

5

故答案為：I

【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

21.（2023春?寶山區(qū)期末）己知雙曲線C:[-2=l（a>0,6>0）的左，右焦點分別為￡（-c,0）,鳥（c,0）,

直線y=/>0）與雙曲線C在第一、三象限分別交于點N、B,O為坐標原點.有下列結(jié)論：

①四邊形耳是平行四邊形；②若軸，垂足為￡,則直線的斜率為:4；

③若|CU|=c,則四邊形疝弦鳥的面積為〃；

④若A4O耳為正三角形，則雙曲線C的離心率為6+1.

其中正確命題的序號是①②⑷.

[分析]根據(jù)雙曲線的對稱性,得到。為片工的中點，也是AB的中點，可判定①正確；設(shè)/（國，弘），則8（-西,

-M），不妨設(shè)國>0,聯(lián)立方程組,求得B,E的坐標,結(jié)合斜率公式,可判定②正確；由|CMH。片|=|O^|=c,

得至IjNG，/工，結(jié)合勾股定理和雙曲線的定義，得至11/4|=助?，求得&/丹=/，可判定③錯誤；

求得M居|=限，可求雙曲線的離心率，判斷④.

【解答】解：對于①中，根據(jù)雙曲線的對稱性，可得。為片鳥的中點，且。也是的中點，

所以片居與疝?互相平分，四邊形4片8鳥為平行四邊形，所以①正確；

對于②中，設(shè)/（X],乂），則8（-西，-必），不妨設(shè)再>0,

所以直線2E的斜率為做E=：k,所以②正確;

對于③中，不妨設(shè)點4位于第一象限，

因為|。山=|06|=|。耳六。，所以/,工,與三點共圓，所以/片，/乙，

可得|/耳『+|/耳「=|G|2=4C2,

又由橢圓的定義得|/4|+1/呼=2a,所以|/印2+21"；IMB?+1/8「=4a2,

222

可得\AFX"|=2a-2c=2b，

島

所以△AFXF2的面積為S.AF=^\AF{\-\AF2\=b\

所以/月8瓦的面積為2尸，所以③錯誤；

對于④中，因為名|=|。⑶=1。片Hog1=。，所以《，耳，耳三點共圓，所以/片，/乙，

所以瑪|=J（2c）2—c2=瓜,

所以6c—2c=2。，解得e=￡=——=V3+1,所以④正確.

aV3-1

故答案為：①②④.

【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)以及直線與雙曲線的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

22.（2023春?松江區(qū)校級期中）外形是雙曲面的冷卻塔具有眾多優(yōu)點，如自然通風(fēng)和散熱效果好，結(jié)構(gòu)強

度和抗變形能力強等，其設(shè)計原理涉及到物理學(xué)、建筑學(xué)等學(xué)科知識.如圖1是中國華電集團的某個火力

發(fā)電廠的一座冷卻塔，它的外形可以看成是由一條雙曲線的一部分繞著它的虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)而成，其軸

截面如圖2所示.已知下口圓面的直徑為80米，上口圓面的直徑為40米，高為90米，下口到最小直徑圓

面的距離為80米.

（1）求最小直徑圓面的面積；

（2）雙曲面也是直紋曲面，即可以看成是由一條直線繞另一條直線旋轉(zhuǎn)而成，該直線叫做雙曲面的直母

線.過雙曲面上的任意一點有且只有兩條相交的直母線（如圖3）,對于任意一條直母線/,均存在一個軸截

面和它平行，此軸截面截雙曲面所得的雙曲線有兩條漸近線，且直母線/與其中一條平行.廣州電視塔（昵

稱“小蠻腰”，如圖4）就是根據(jù)這一理論設(shè)計的，極大地方便了建造、節(jié)約了成本（主鋼梁在直母線上，鋼

筋不需要彎曲）.若圖1中的冷卻塔也采用直母線主鋼梁，求主鋼梁的長度（精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)：

圖⑴圖(2)圖(3)圖（4）

22：

【分析】（1）由題中圖2的建系可設(shè)截面雙曲線的方程為［-2=1,得到雙曲線上兩點的坐標，代入雙曲

線方程求得。2,即可得到最小直徑圓面的面積；

（2）由（1）可得雙曲線的漸近線的斜率，結(jié)合己知求得沿x軸方向的長，再由勾股定理求主鋼梁的長度.

22

【解答】解：（1）由圖2建系可設(shè)截面雙曲線的方程為［-2=1,

它過點(20,10)及(40,-80),

400100

，解得

16006400

b2=2000

，最小直徑圓面的面積為幽萬；

21

（2）由（1）可知，漸近線的斜率左=2=@

由題意知，母線平行于漸近線且高為90,

主鋼梁的長度為M+（駕H梁=150^|?150x0.655=98.25m.

【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查運算求解能力，正確理解題意是關(guān)鍵，是中檔題.

23.（2023春?黃浦區(qū)校級期中）如圖：雙曲線=1的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,過耳作直線/交y

軸于點。.

（1）當直線/平行于：T的一條漸近線時，求點可到直線/的距離；

（2）當直線/的斜率為1時，在：T的右支上是否存在點尸，滿足而?而=0?若存在，求出P點的坐標；

若不存在，說明理由.

【分析】（1）利用雙曲線漸近線相關(guān)知識可解;

（2）設(shè)「右支上的點尸的坐標為（x,y）,分別表示隋，而，從而可解.

2s

【解答】解：(1)雙曲線=1,焦點在X軸上，a=V3,Z>=l,c=V3+l=2,則雙曲線左、右焦點分

別為耳(-2,0),且(2,0),

過工作直線/,設(shè)直線/的斜率為左，/交y軸于點。.

當直線/平行于「的一條漸近線時，

不妨令人=晝，則直線/的方程為：y=~^=(x-2),即x-J§y-2=0,

l2|

則點片到直線/的距離為d=-^z2z=2；

(2)當直線/的斜率為1時，/的方程為y=x-2,故。(0,-2),

又■.?片(-2,0),.?.亞=(2,-2),

設(shè)T右支上的點尸的坐標為(x,y),(%>0),則鼻聲=(x+2,y),

由不?瓶=0,得2(x+2)-2y=0,即x+2-y=0,

x+2-y=0

2

<x,消去y得：2x2+12x+15=0,

-----y2=1

I3-

由根與系數(shù)的關(guān)系知，此方程無正根，

所以，在雙曲線「的右支上不存在點尸，滿足而?用0=0.

【點評】本題考查雙曲線的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查直線與雙曲線

的交點與△的關(guān)系，考查計算能力，屬于難題

考場練兵

填空題(共12小題)

22

1.(2023春?奉賢區(qū)校級期中)已知雙曲線C:版-3=1(6>0),其右焦點到漸近線的距離為2,則該雙曲

線的離心率為一號

【分析】根據(jù)點到直線的距離公式求出6,并根據(jù)離心率公式求解即可.

【解答】解：由于對稱性，右焦點到兩條漸近線的距離都為2,

由題可知，過一三象限的漸近線為y=2》，即及-即=0,

a

1M

所以右焦點（c,0）到漸近線的距離為J=處=6=2,

yla2+b2。

又力=16,

/.c=y/a2+b2=2A/5,

cV5

€———----.

a2

故答案為：—.

2

【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2222

2.（2023春?松江區(qū)校級期末）已知0>6>0,雙曲線二-斗=1的兩個焦點為耳，F(xiàn),,若橢圓一+2=1

abab

的兩個焦點是線段公大的三等分點，則該雙曲線的漸近線方程為_?=±正工_.

-2—

【分析】由橢圓，雙曲線的方程可得它們焦點的坐標，再由題意可得a,b的關(guān)系，進而求出雙曲線的漸近

線的方程.

22

【解答】解：由題意可得三+4=1的兩個焦點分別為（±J?二0）,

ab

22

而雙曲線三-』=1的兩個焦點分別為（土4r二廬，0）,

ab

由題意可得2，？一名=、242+Z?,整理可得2=拽，

3a5

所以雙曲線的漸近線的方程為y=±gx.

故答案為：y=±^-x.

【點評】本題考查橢圓，雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2023春?奉賢區(qū)期末）設(shè)雙曲線G:5-：=1（°>0,6>0）,以G的實軸為虛軸，以￡的虛軸為實軸的

ab

雙曲線叫做G的共軌雙曲線，通過研究可以得到雙曲線G和它的共軌雙曲線c2有很多相同的性質(zhì)，請

寫出其中的一個性質(zhì)：有相同漸近線.

【分析】根據(jù)共軌雙曲線定義得到兩雙曲線方程，進而可表示出對應(yīng)漸近線方程.

2222

【解答】解：根據(jù)定乂可得G:——七■=1（。>0,6>0）,C2------=\{a>0,Z?>0）,

abba

故他們的漸近線方程均為>=±2%.

a

故答案為：有相同漸近線.

【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

r2V24

4.（2023?嘉定區(qū)二模）雙曲線------=1的禺心率為一

97-3

【分析】由雙曲線方程求得。與b,再由隱含條件求解c,則離心率可求.

【解答】解：由雙曲線二―之=1,得Q=3,b=S，

97

/.c-<9+7=4,

...雙曲線《一片=1的離心率為3.

973

故答案為：