第一章分析基礎函數極限連續(xù)—研究對象—研究方法—研究橋梁函數與極限機動目錄上頁下頁返回結束第一章第一節(jié)機動目錄上頁下頁返回結束函數一、數集與鄰域二、函數的概念三、函數的表示法四、函數的特性五、初等函數六、雙曲函數與反雙曲函數機動目錄上頁下頁返回結束一、數集與鄰域N----自然數集Z----整數集Q----有理數集R----實數集例如：10對于數集,記──正整數集──非零實數集──正實數集

20由于實數集中的元素（數）與數軸上的點一一對應，故我們也稱數為“點”．

1.數集——元素都是數的集合注機動目錄上頁下頁返回結束稱為開區(qū)間,記作稱為閉區(qū)間,記作稱為半開區(qū)間,記作稱為半開區(qū)間,記作有限區(qū)間30

區(qū)間是一類特殊的數集．數集數集數集數集機動目錄上頁下頁返回結束無限區(qū)間機動目錄上頁下頁返回結束──一類特殊的開區(qū)間

2.鄰域機動目錄上頁下頁返回結束注機動目錄上頁下頁返回結束定義二、函數的概念1.函數的定義機動目錄上頁下頁返回結束30構成函數的兩要素:定義域與對應法則.①自然定義域（由對應法則（解析式）自然產生）；［約定:自然定義域是使解析式有意義的自變量的一切值］②人為定義域（由人為限定）；③實際定義域（由實際意義確定）．40

定義域的分類:注機動目錄上頁下頁返回結束解(1)不同；(2)相同；(3)不同；(4)相同；機動目錄上頁下頁返回結束2.反函數定義注例1.海倫公式例2.如圖所示,對應陰影部分的面積則在數集自身之間定義了一種映射(滿射)例3.如圖所示,則有(滿射)

(滿射）機動目錄上頁下頁返回結束X(數集或點集

)說明:在不同數學分支中有不同X(≠

)Y(數集)機動目錄上頁下頁返回結束

f稱為X

上的泛函X(≠

)X

f稱為X

上的變換

R

f稱為定義在X

上的為函數映射又稱為算子.的慣用名稱.例如,機動目錄上頁下頁返回結束1.解析法（公式法）20

分段函數──在定義域的不同范圍內，對應法則用不同的式子表示的函數．2.表格法3.圖形法注10

顯函數與隱函數顯函數──因變量由自變量的解析式直接表示出來的函數．隱函數──自變量與因變量的對應關系由一個二元方程來表示的函數．三、函數的表示法機動目錄上頁下頁返回結束(1)符號函數1-1xyo注●幾個特殊的分段函數：機動目錄上頁下頁返回結束

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyoy=[x]([x]表示不超過

的最大整數.)(2)取整函數機動目錄上頁下頁返回結束有理數點無理數點?1xyo(3)狄利克雷函數機動目錄上頁下頁返回結束(4)取最值函數yxoyxo機動目錄上頁下頁返回結束1．函數的有界性四、函數的特性定義機動目錄上頁下頁返回結束30函數f(x)在數集上有界函數f(x)在上既有上界又有下界．10在定義域內有界的函數稱為有界函數．20有界函數的圖形的特征是它被夾在兩條水平直線之間機動目錄上頁下頁返回結束2．函數的單調性定義機動目錄上頁下頁返回結束注oxyxyo機動目錄上頁下頁返回結束3．函數的奇偶性定義機動目錄上頁下頁返回結束偶函數xyxo-xyxox-x奇函數注機動目錄上頁下頁返回結束4．函數的周期性10周期函數的周期通常是指其最小正周期.定義注20并非每個周期函數都有最小正周期.機動目錄上頁下頁返回結束①冪函數1．基本初等函數下列五類函數統(tǒng)稱為基本初等函數：定義②指數函數③對數函數④三角函數⑤反三角函數五、初等函數機動目錄上頁下頁返回結束注在基本初等函數中，以e

為底的指數函數與對數函數特別重要，分別稱為基本指數函數與自然對數函數．2．復合函數定義機動目錄上頁下頁返回結束注10

并不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數.2030一個復合函數也可由兩個以上的函數復合而成．復合函數的定義域為40

相應于復合函數，把基本初函數以及由常數與基本初等函數經過有限次四則運算所構成的函數稱為簡單函數．一個基本初等函數的n次冪（即形如的函數）通常視作復合函數．機動目錄上頁下頁返回結束3．初等函數由常數和基本初等函數經過有限次四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數,稱為初等函數.定義機動目錄上頁下頁返回結束第二節(jié)目錄上頁下頁返回結束解解解∴函數的定義域為：奇函數.偶函數.六、雙曲函數與反雙曲函數1.雙曲函數奇函數,有界函數,雙曲函數常用公式2.反雙曲函數是奇函數,上單調增加．上單調增加．奇函數,上單調增加．▲小結數集區(qū)間鄰域函數分段函數隱函數有界性單調性奇偶性周期性反函數復合函數基本初等函數初等函數基本概念函數的特性且備用題證明證:

令則由消去得時其中a,b,c