專題10數(shù)列解答題綜合一

十年考點分布

考點十年考情（2016-2025）命題趨勢

2024年：新課標Ⅱ卷求通項、證不等式；

2023年：新課標Ⅱ/Ⅰ卷、全國乙卷、天

津卷均考通項公式、前n項和計算與證明；1.核心考查基本量（首項、公

2022年：新高考Ⅰ卷、天津卷考通項與差）計算，常結(jié)合方程思想2.

考點1：等差數(shù)列通項求和證明；2021年：新高考Ⅰ卷、全國注重定義法證明等差數(shù)列，結(jié)

與前n項和乙/甲卷考通項公式、數(shù)列性質(zhì)證明；2020合遞推關(guān)系或前n項和性質(zhì)

年：天津卷考通項與求和；2019年：全國II3.題型以解答題為主，常與不

卷、天津卷、浙江卷考通項及范圍；2017年：等式、數(shù)列求和綜合

全國II卷、天津卷考通項；2016年：全

國II卷考通項與前10項和

2024年：新課標Ⅱ卷證等比數(shù)列、全國

甲卷/天津卷考通項與求和；2022年：浙

1.重點考查公比、首項求解，

江卷考通項與求和；2021年：浙江卷考通

常與等差數(shù)列結(jié)合命題2.定

項；2020年：山東/海南/全國III卷

考點2：等比數(shù)列通項義法或等比中項法證明等比數(shù)

考通項與求和；2019年：全國II卷、天

與前n項和列，注重通項與前n項和公式

津卷考通項與求和；2018年：全國III/

應用3.題型以解答題為主，常

Ⅰ卷、浙江卷、北京卷考通項與性質(zhì)；2017

與解析幾何、數(shù)列求和綜合

年：全國I卷、北京卷考通項與求和；2016

年：全國I/III卷考通項與證明

2025年：全國一卷證等差數(shù)列求和、天津

1.綜合考查錯位相減、裂項相

卷求元素和；2024年：全國甲卷考求和；

消、分組求和等方法2.常與通

2023年：全國甲卷考求和；2021年：全國

項公式求解、不等式證明結(jié)合，

考點3：數(shù)列求和綜合乙卷考求和證明；2020年：全國I/III卷

強調(diào)運算技巧3.題型以解答

考錯位相減求和；2018年：天津卷考分組/

題為主，注重數(shù)列與函數(shù)、不

裂項求和；2017年：全國III卷考裂項求

等式的綜合應用

和；2016年：全國II卷考分段求和

試卷第1頁，共9頁

1

考點01：等差數(shù)列的通項公式及前n項的和

為奇數(shù)

an6,n

．（新課標卷高考真題）已知a為等差數(shù)列，b，記S，Tn分別為數(shù)列a，b的前

12023·Ⅱ·nn為偶數(shù)nnn

2an,n

n項和，S432，T316．

(1)求an的通項公式；

(2)證明：當n5時，TnSn．

n2n

2．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，且d1．令bn，記Sn,Tn分別為數(shù)列an,bn

an

的前n項和．

(1)若3a23a1a3,S3T321，求an的通項公式；

(2)若bn為等差數(shù)列，且S99T9999，求d．

3．（2023·全國乙卷·高考真題）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知a211,S1040．

(1)求an的通項公式；

(2)求數(shù)列an的前n項和Tn．

4．（2023·天津·高考真題）已知an是等差數(shù)列，a2a516,a5a34．

2n1

求的通項公式和．

(1)anainN

i2n1

*k1k

(2)設(shè)bn是等比數(shù)列，且對任意的kN，當2n21時，則bkanbk1，

kk

（Ⅰ）當k2時，求證：21bk21；

（Ⅱ）求bn的通項公式及前n項和．

Sn1

5．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記Sn為數(shù)列an的前n項和，已知a11,是公差為的等差數(shù)列．

an3

(1)求an的通項公式；

111

(2)證明：2．

a1a2an

6．（2022·天津·高考真題）設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且a1b1a2b2a3b31．

試卷第2頁，共9頁

(1)求an與bn的通項公式；

(2)設(shè)an的前n項和為Sn，求證：Sn1an1bnSn1bn1Snbn；

2n

k

(3)求ak1(1)akbk．

k1

為奇數(shù)

an1,n,

．（新高考全國卷高考真題）已知數(shù)列a滿足a1，a

72021·Ⅰ·n1n1為偶數(shù)

an2,n.

（1）記bna2n，寫出b1，b2，并求數(shù)列bn的通項公式；

（2）求an的前20項和.

21

8．（2021·全國乙卷·高考真題）記Sn為數(shù)列an的前n項和，bn為數(shù)列Sn的前n項積，已知2．

Snbn

（1）證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列;

（2）求an的通項公式．

9．（2021·全國甲卷·高考真題）已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，記Sn為an的前n項和，從下面①②③中選取兩個

作為條件，證明另外一個成立．

①數(shù)列an是等差數(shù)列：②數(shù)列Sn是等差數(shù)列；③a23a1．

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．

10．（2021·全國甲卷·高考真題）記Sn為數(shù)列an的前n項和，已知an0,a23a1，且數(shù)列Sn是等差數(shù)列，證明：

an是等差數(shù)列.

11．（2020·天津·高考真題）已知an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a1b11,a55a4a3,b54b4b3．

（Ⅰ）求an和bn的通項公式；

2*

（Ⅱ）記an的前n項和為Sn，求證：SnSn2Sn1nN；

3an2bn

,n為奇數(shù),

anan2

（Ⅲ）對任意的正整數(shù)n，設(shè)cn求數(shù)列cn的前2n項和．

a

n1為偶數(shù)

,n.

bn1

12．（2019·全國II卷·高考真題）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，4an13anbn4，4bn13bnan4.

（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；

（2）求{an}和{bn}的通項公式.

試卷第3頁，共9頁

1

13．（2019·全國I卷·高考真題）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S9=－a5．

（1）若a3=4，求{an}的通項公式；

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．

14．（2019·天津·高考真題）設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，公比大于0，已知a1b13，b2a3，b34a23.

（Ⅰ）求an和bn的通項公式；

為奇數(shù)

1,n,

（）設(shè)數(shù)列滿足求*

Ⅱcncnbn為偶數(shù),a1c1a2c2a2nc2nnN.

n

2

15．（2019·浙江·高考真題）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a34，a4S3，數(shù)列{bn}滿足：對每

nN,Snbn,Sn1bn,Sn2bn成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列{an},{bn}的通項公式；

a

n

（2）記Cn,nN,證明：C1C2+Cn2n,nN.

2bn

16．（2017·全國II卷·高考真題）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項和為Tn，且a11，b11，

a2b24.

（1）若a3b37，求bn的通項公式；

（2）若T313，求S5.

*

17．（2017·天津·高考真題）已知{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn(nN)，{bn}是首項為2的等比數(shù)列，且公比大

于0，

b2b312,b3a42a1,S1111b4.

（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項公式；

*

（Ⅱ）求數(shù)列{a2nbn}的前n項和(nN).

18．（2016·全國II卷·高考真題）等差數(shù)列{an}中，a3a44,a5a76.

（Ⅰ）求{an}的通項公式；

（Ⅱ）設(shè)bn[an]，求數(shù)列{bn}的前10項和，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]=0,[2.6]=2.

試卷第4頁，共9頁

考點02：等比數(shù)列的通項公式及前n項的和

22

19．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線C:xymm0，點P15,4在C上，k為常數(shù)，0k1．按照

如下方式依次構(gòu)造點Pnn2,3,...：過Pn1作斜率為k的直線與C的左支交于點Qn1，令Pn為Qn1關(guān)于y軸的對稱點，

記Pn的坐標為xn,yn.

1

(1)若k，求x,y；

222

1k

(2)證明：數(shù)列xy是公比為的等比數(shù)列；

nn1k

(3)設(shè)Sn為PnPn1Pn2的面積，證明：對任意正整數(shù)n，SnSn1.

20．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且2Sn3an13.

(1)求an的通項公式；

(2)求數(shù)列Sn的前n項和.

21．（2024·天津·高考真題）已知an為公比大于0的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且a11,S2a31．

(1)求an的通項公式及Sn；

k,nak

(2)設(shè)數(shù)列bn滿足bn，其中kN*．

bn12k,aknak1

*且

（?。┣笞C：當nak1kN,k1時，求證：bn1akbn；

Sn

（）求．

ⅱbi

i1

9

22．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列a的前n項和為S，a，且4S3S9.

nn14n1n

（1）求數(shù)列an的通項；

*

（2）設(shè)數(shù)列bn滿足3bn(n4)an0(nN)，記bn的前n項和為Tn，若Tnbn對任意nN恒成立，求實數(shù)

的取值范圍.

23．（2020·山東·高考真題）已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2a420,a38．

（1）求{an}的通項公式；

*

（2）記bm為{an}在區(qū)間(0,m](mN)中的項的個數(shù)，求數(shù)列{bm}的前100項和S100．

24．（2020·海南·高考真題）已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2a420,a38．

試卷第5頁，共9頁

1

（1）求{an}的通項公式；

n1

（2）求a1a2a2a3(1)anan1.

25．（2020·全國III卷·高考真題）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1a24，a3a18．

（1）求{an}的通項公式；

（2）記Sn為數(shù)列{log3an}的前n項和．若SmSm1Sm3，求m．

26．（2019·全國II卷·高考真題）已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a12,a32a216.

（1）求{an}的通項公式；

（2）設(shè)bnlog2an，求數(shù)列{bn}的前n項和.

，

27．（2018·全國III卷·高考真題）等比數(shù)列an中，a11a54a3．

（1）求an的通項公式；

n

（2）記Sn為an的前項和．若Sm63，求m．

an

28．（2018·全國I卷·高考真題）已知數(shù)列a滿足a1，na2n1a，設(shè)bn．

n1n1nn

，，

（1）求b1b2b3；

（2）判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由；

（3）求an的通項公式．

29．（2017·全國I卷·高考真題）記Sn為等比數(shù)列an的前n項和，已知S2=2，S3=-6.

（1）求an的通項公式；

（2）求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數(shù)列．

，

30．（2019·天津·高考真題）設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列.已知a14,b16b22a22,b32a34.

（Ⅰ）求an和bn的通項公式；

1,2kn2k1,

（）設(shè)數(shù)列滿足其中*

Ⅱcnc11,cnkkN.

bk,n2,

（）求數(shù)列的通項公式；

ia2nc2n1

n

（）求*

iia2ic2inN.

i1

試卷第6頁，共9頁

31．（2018·浙江·高考真題）已知等比數(shù)列an的公比q1，且a3a4a528，a42是a3,a5的等差中項．數(shù)列bn

2

滿足b11，數(shù)列bn1bnan的前n項和為2nn．

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）求數(shù)列bn的通項公式．

32．（2018·北京·高考真題）設(shè){an}是等差數(shù)列，且a1ln2,a2a35ln2.

（Ⅰ）求{an}的通項公式；

（Ⅱ）求ea1ea2ean.

1

33．（2016·全國I卷·高考真題）已知a是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列b滿足b=1，b=，abbnb．

nn123nn1n1n

（Ⅰ）求an的通項公式；（Ⅱ）求bn的前n項和．

34．（2017·北京·高考真題）已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．

（Ⅰ）求an的通項公式；

…

（Ⅱ）求和：b1b3b5b2n1．

35．（2016·全國III卷·高考真題）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn1an，其中0．

（Ⅰ）證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式；

31

（Ⅱ）若S，求．

532

考點03：數(shù)列求和綜合

aa1

36．（2025·全國一卷·高考真題）設(shè)數(shù)列a滿足a3，n1n

n1nn1n(n1)

(1)證明：nan為等差數(shù)列；

2m

(2)設(shè)f(x)a1xa2xLamx，求f(2)．

37．（2024·全國甲卷·高考真題）記Sn為數(shù)列an的前n項和，已知4Sn3an4．

(1)求an的通項公式；

n1

(2)設(shè)bn(1)nan，求數(shù)列bn的前n項和Tn．

試卷第7頁，共9頁

1

nan

38．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)a是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列b滿足b．已知a1，3a，9a成等差

nnn323

數(shù)列．

（1）求an和bn的通項公式；

Sn

（2）記S和Tn分別為a和b的前n項和．證明：T．

nnnn2

39．（2020·全國I卷·高考真題）設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項．

（1）求{an}的公比；

（2）若a11，求數(shù)列{nan}的前n項和．

40．（2020·全國III卷·高考真題）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，an13an4n．

（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；

（2）求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．

41．（2017·全國III卷·高考真題）設(shè)數(shù)列an滿足a13a2(2n1)an2n.

（1）求an的通項