微分方程的應(yīng)用第五節(jié)第十一章機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束氧氣充足時，酵母增長規(guī)律為下，酵母的發(fā)酵過程中會產(chǎn)生酒精，酒精將抑制酵母的繼續(xù)發(fā)酵，在酵母增長的同時，酒精量也相應(yīng)增加，酒精的抑制作用也相應(yīng)增加，致使酵母的增長率逐漸下降，直到酵母量穩(wěn)定地接近于一個極限值為止。上述過程的數(shù)學(xué)模型如下其中，機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

求解此微分方程，并假定當(dāng)為酵母量最后極限值，是一個常數(shù)。它表示在前期酵母的增長率逐漸上升，到后期酵母增長率逐漸下降。時，酵母的現(xiàn)有量為而在缺氧條件例1.如何求解機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:

方程可變形為兩邊積分即得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束因此所求微分方程的通解為又由初始條件時，可得于是微分方程的特解為即這就是在缺氧條件下，求得的酵母的現(xiàn)有量與時間的函數(shù)關(guān)系。其圖形所對應(yīng)的曲線叫做生物生長曲線，又名Logistic曲線，其圖形為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束在實際應(yīng)用中常常遇到這樣一類變量：變量的增長率與現(xiàn)有量種變量是按Logistic曲線方程變化的。、飽和值與現(xiàn)有量的差都成正比。這在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中常可見到這種類型的模型。例2.力與速度成正比,(t=0)速度為0,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡,得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系.t

足夠大時機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0例3.有一電路如圖所示,電阻

R

和電～解:列方程.已知經(jīng)過電阻R的電壓降為Ri

經(jīng)過L的電壓降為因此有即初始條件:由回路電壓定律:其中電源求電流感L

都是常量,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束～解方程:由初始條件:得利用一階線性方程解的公式可得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流～因此所求電流函數(shù)為解的意義:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.一鏈條掛在一釘子上,啟動時一端離釘子8m,另一端離釘子12m,如不計釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦力,求鏈條滑下來所需的時間.解:

建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)在時刻

t,鏈條較長一段下垂

xm,又設(shè)鏈條線密度為常數(shù)此時鏈條受力由牛頓第二定律,得機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束由初始條件得故定解問題的解為解得當(dāng)x=20m時,(s)微分方程通解:思考:若摩擦力為鏈條1m長的重量,定解問題的數(shù)學(xué)模型是什么?機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束摩擦力為鏈條1m長的重量時的數(shù)學(xué)模型為不考慮摩擦力時的數(shù)學(xué)模型為此時鏈條滑下來所需時間為機動

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