江蘇省2024屆高考數(shù)學模擬試題（二）

一、單選題

1.已知集合人={。/},AB={O,1,2,3},則下列關系一定正確的是（）

A.U5B.{O,1}UB

C.{2,3}cBD.{1,2,3}cB

2.已知數(shù)列{2}是公差為d的等差數(shù)列，對正整數(shù)w,p,若機+”=20,貝!=%是q="的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

3.已知復數(shù)z滿足|z（3+4i）|=5（其中i為虛數(shù)單位），且z的虛部為由，貝心=（）

2

A.±-B.±-+—i

222

r1A/3.n+173.

2222

4.如圖，高速服務區(qū)停車場某片區(qū)有A至”共8個停車位（每個車位只停一輛車），有2輛黑色車和2輛白

色車要在該停車場停車，則兩輛黑色車停在同一列的條件下，兩輛白色車也停在同一列的概率為（）

1111

A.-B.一C.-D.——

54210

5.如圖，已知二面角的平面角為60。，棱/上有不同兩點A3,ACue,BDu0,AC±Z,BD1.1.若

AC^AB=BD^2,則過A氏C,O四點的球的表面積為（）

28而t

D.21TI

~27~

S7TJTJTJT"

6.已知”(：,％),5sin(2?+-)=tan(?+-),則cosa=(

A--TBf2752百

丁"I-

7.已知用工為橢圓C］與雙曲線G公共的焦點，且在第一象限內的交點為P,若G（2的離心率滿

1

13

^—+—=44,則/耳桃=（）

e\e2

71717171

A.-B.—C.-D.一

6432

8.已知點P在曲線f=2y上運動，過河（0,3）作以p為圓心，1為半徑的圓的兩條切線朋A,則叱黑

的值可能是（）

44x/5

A.-B.C.4D.5

55

二、多選題

9.下列說法正確的是（）

A.若隨機變量X?5（2,0.2）,則尸（X=2）=0.2

B.若經(jīng)驗回歸方程￡=%+&中的另>0,則變量x與y正相關

C.若隨機變量x?N（0,52）,且pb<_gj=p,則尸［o<g<gj=g_p

D.若事件A與B為互斥事件，則A的對立事件與B的對立事件一定互斥

10.己知函數(shù)/（xhZsinxcos、，則以下結論正確的是（）

A.兀為一（X）的一個周期

B.AM在［一|■,事上有2個零點

C./（x）在x=-^■處取得極小值

D.對VX］,尤26R,|/（工2）-/（西）|46

11.已知定義在R上的函數(shù)y=/（2x+2）為奇函數(shù)，且對VxeR,都有+=定義在R上的函

數(shù)尸（x）為〃尤）的導函數(shù)，則以下結論一定正確的是（）

A.“X+2）為奇函數(shù)B.dH

C.廣用=-尸圖D.尸⑴為偶函數(shù)

三、填空題

12.小明上學要經(jīng)過兩個有紅綠燈的路口，已知小明在第一個路口遇到紅燈的概率為:，若他在第一個路口

2

3

遇到紅燈，第二個路口沒有遇到紅燈的概率為］，在第一個路口沒有遇到紅燈，第二個路口遇到紅燈的概率為

4

則小明在第二個路口遇到紅燈的概率為.

13.已知若「=$111?112￡+￡：0$次0$￡,則P的最大值為.

14.已知拋物線C:x2=2py(0>O)的焦點為F，直線/與拋物線C相切于點尸(異于坐標原點。)，與尤軸交于

點。，若|PW=2,\FQ\=1,貝”=；向量F尸與尸。的夾角為.

四、解答題

15.某設備由相互獨立的甲、乙兩個部件組成，若兩個部件同時出現(xiàn)故障，則設備停止運轉；若有且只有一個

部件出現(xiàn)故障，則設備出現(xiàn)異常.在一個生產(chǎn)周期內，甲部件出現(xiàn)故障的概率為j，乙部件出現(xiàn)故障的概率為1.

54

甲部件出現(xiàn)故障，檢修費用為3千元；乙部件出現(xiàn)故障，檢修費用為2千元，在一個生產(chǎn)周期內，甲、乙兩個

部件至多各出現(xiàn)一次故障.

⑴試估算一個生產(chǎn)周期內的平均檢修費用；

⑵求在設備出現(xiàn)異常的情況下，甲部件出現(xiàn)故障的概率.

16.已知等差數(shù)列｛%｝和等差數(shù)歹￡2｝的前〃項和分別為色，T,,4=1,-r=--.

⑴求數(shù)列｛4｝和數(shù)歹U｛2｝的通項公式;

3

(2)若c?=(-2)i--'-f-+—LeN*.

求數(shù)列｛g｝的前〃項和2.

aa

Vnn+lJ

17.在五棱錐尸—ABC正中，ABCF,AEBC,PELPF,ABLBC,PE=PF=AE=2,FC=BC=4,AB=6,

平面PEF±平面ABCFE.

⑴求證：PE1.BF；

(2)若PM=4P3(/l>0),且直線AM與平面PCP所成角的正弦值為名叵，求;I的值.

4

221

18.已知橢圓Cr：A+v與=l(a>b>0)的離心率為不A,B,。分別為橢圓C的左，右頂點和坐標原點，點尸為橢

ab2

圓C上異于A8的一動點，面積的最大值為2g.

⑴求C的方程；

(2)過橢圓C的右焦點歹的直線/與C交于，E兩點，記ODE的面積為S,過線段DE的中點G作直線x=4的

垂線，垂足為N,設直線DV,EN的斜率分別為人，%.

①求S的取值范圍；

S

②求證：后二日為定值,

19.若"，"時，函數(shù)〃x)取得極大值或極小值，則稱機為函數(shù)〃x)的極值點.已知函數(shù)

f(x)^iwc+—^—,g(x)=4ax,其中。為正實數(shù).

⑴若函數(shù)“X)有極值點，求。的取值范圍；

(2)當尤2>玉>。，馬和4的幾何平均數(shù)為歷，算術平均數(shù)為三產(chǎn).

①判斷7A二^與巧和毛的幾何平均數(shù)和算術平均數(shù)的大小關系，并加以證明；

111^2—IRX]

②當。21時，證明：/(x)<g(x).

參考答案：

1.C

5

【分析】由并集運算和集合的包含關系，分析集合B中的元素，結合選項即可判斷.

【詳解】因為集合&=｛。1｝,AB=｛0,l,2,3),

則集合2一定含有2,3,可能含有0,1,

對比選項可知，只有C正確.

故選：C.

2.D

【分析】利用等差數(shù)列的性質和通項公式，結合充分、必要條件的定義即可判斷.

【詳解】因為數(shù)列｛%｝是公差為d的等差數(shù)列，^m+n=2p,等價于1+%=2%=%,

等價于2[q+(p-l)d]=q+(2p-l)d,等價于6=1,

所以冊+。"=是4=d的充要條件.

故選：D.

3.B

【分析】利用復數(shù)的模的運算法則、求得目=1,由復數(shù)的模計算公式，即可計算答案.

【詳解】由|z(3+4i)|=5,有用3+4i|=5,即忖=1,

由Z的虛部為更，設z=4+@i,則有

22

解得八則2=士;+gi.

故選：B

4.A

【分析】設事件A="兩輛黑色車停在同一列"，事件3="兩輛白色車停在同一列"，根據(jù)條件概率公式

P(AB)

尸(叫勾=即可求解.

【詳解】設事件A="兩輛黑色車停在同一列"，事件3="兩輛白色車停在同一列”,

則所求概率為尸(可可,

因為尸(A)="等，P(AB)=C-A；；A；XA；

所以叫小常二MP6x2x2x21

「IaJNJx八62x4x6x55

6

故選：A

5.B

【分析】根據(jù)垂直關系可得/。2知已是二面角-6的一個平面角，過。2作平面ABC的垂線和&平面4步

的垂線，得交點。為外接球球心，利用勾股定理即可求出R,由表面積公式即可求解.

【詳解】因為二面角的大小為60o,AC=AB=8D=2,AC_L/,8r)_L/,

如圖，所以平面ABC與平面觀所成角的大小為60。,

取AO的中點。一BC的中點Q,。一4為△鈿￡＞，「.ABC的外心，

取AB的中點連接MO2,則aM_LAB,OXM1AB,

所以Z0.M0,是二面角0一/一￡的一個平面角，則NQMQ=60。,

過。2作平面ABC的垂線和過。?作平面4町的垂線，交于點。，。即為外接球球心,

所以。a?_L平面。1B,平面D4B,連接?！ǎ琌,M=O2M=^BD=\,

-TT

所以易證得：△01"。與△QMO全等，所以NOMO1=NOMQ=7，

6

所以在直角三角形0幽0/短30。=普=華=坐

MOX133

OD=R=go；+0尸=R+［回=卜(國=軍,

則過A、B、C、。四點的球的表面積為S=4兀斤=等，故B正確.

故選：B.

6.A

【分析】利用已知結合同角的三角函數(shù)關系化簡求得tana=2,再由同角三角函數(shù)基本關系即可求解.

【詳解】因為5sin（2c+無）=5cos2c=米0廠當5（1-tan2a

2coscr+sina1+tan2a

/兀、1+tan?？?3兀兀、⑷1一,

tan（6r+—）=-----------,且一一一--）,貝（Jtana>l或tana<—1,

41—tana44

7

由5sin(2cr+—)=tan(a+-),得,O3n_1+tana,

241+tan2a1-tantz

nn5(l-tancr)1“日

BP-----2一-=-------，角牛得tana=2,

1+tana1-tancr

3ITIT

貝!Ja￡(--,貝！Jcosa<0,

42

sinoc

又sin2a+cos?a=1,tan<7=-----，故4cos2a+cos2a=1,

cosa

解得cosa=一手，

故選：A

7.C

213

【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，余弦定理可以得到斗=產(chǎn)黑，利用離心率的定義化簡條件下+石=4,

2

n1—cos28exe2

可得房=3d，故可得產(chǎn)胃=3,解此方程即可求出結果.

1-cos2c/

22

【詳解】不妨設橢圓的方程為：[+[=1(。>6>0),

ab

22

雙曲線方程為鼻-斗=1?！?gt;0,">0),

m"rT

因為耳，工為橢圓CI與雙曲線a公共的焦點，

所以"一k=nr+zz2=c2;

由橢圓的定義知：1尸71+1尸工l=2a,

兩邊平方得：I尸6『+1尸月『+21尸用.?尸工|=4a2,

△尸耳工中，設/F\PF]=20,由余弦定理得：

|"耳F+|「居『-2|"耳卜|%|cos29=|4&|2=4C2,

2h2

所以4a2-21理|?|尸制|(1+cos20=4c2,即|刊計|PR|=~；

-1+cos20

由雙曲線的定義知：I尸不—1次第=2加，

兩邊平方得：I理|&+1%*21尸印?I尸耳|=W,

在△尸耳瑪中,由余弦定理得：|「用2+|尸同|2-2|尸耳|」%|852。千耳瑪『=4/,

?n2

所以4m2+219|?|PE,|(1—cos2。)=4c2,即|尸耳|?|尸居|=-------；

1-cos20

22

匚u【、i2Z?2"nnb1+cos26

l+cos291-cos20n21-cos20

8

1,3a23m°b2+c23（/-，/）

因ra為下+三一4,所以=+^=4,R即n——+-5—^~^=4,

222

6e2cccc-

所以房=3也所以:+COS：/=3,解得COS20=1，

1-COS26>2

由于2。40,兀），所以20=：.

故選：c.

【分析】依據(jù)題意對目標式進行轉化，利用導數(shù)確定最值即可.

由題意得=\MB\,由勾股定理得|M4|2=|MP|2-1,

|AM||MB|_|AM|2-向，令片網(wǎng)一向，

則

\MP\~\MP\

」

而y'=\MP\-----r=1+

1IIJ11故＞在R上單調遞增,

\MP\|MP|2

設P(%,%),由兩點間距離公式得=九2-4%+9,

由二次函數(shù)性質得當%=2時，|"尸|取得最小值，此時|MP|=右，

故》的最小值為逑，即yN拽，顯然B,C,D正確.

5-5

故選：BCD

9.BC

【分析】本題考查了二項分布，回歸直線方程與兩個變量的相關關系，正態(tài)分布的概率，互斥事件與對立事件,

根據(jù)選項，逐一分析判斷即可.

9

【詳解】對于A,根據(jù)二項分布的概率計算尸(X=2)=7(0.2)2=0.04,可知A錯誤；

對于B,若回歸直線a=的斜率另>0,則回歸直線是從左到右是上升的，則散點圖也是從左到右是上升

的，故變量尤與y正相關，故B正確；

對于C,因為隨機變量無?N(0,$2),且=p,所以P(x>1)=P,則P(0<xvg)=g_p,故C正確;

對于D,若A、8為互斥事件，但A的對立事件與B的對立事件可能同時發(fā)生，所以不一定互斥，故D錯誤;

故選：BC.

10.BC

【分析】對于A：根據(jù)周期性的定義分析判斷；對于B：解方程求零點即可判斷；對于C：求導，利用導數(shù)判

斷原函數(shù)單調性，進而可得極值點；對于D：根據(jù)單調性結合周期性、奇偶性分析一(X)的最值，進而可得結果.

x+n

【詳解】/(X+K)=2sin(x+兀)cos?=-2sinxsin2^7t/(x),故A錯誤;

2

yY

令f(%)=。,gp2sinxcos2—=0,得sinx=0或cos—=0,

22

當xe一時，解得％=0或1=兀，

故/(X)在信號]上有2個零點，故B正確;

X+2TI

/(%+2兀)=2sin(%+2兀)cos?=2sinxcos2=/(%),

2

所以/⑺的最小正周期為2兀,

因為〃%)的定義域為R,關于原點對稱，

且/(-尤)=2sin(-x)cos2(一曰=-2sinxcos21=-/(x),可知/(%)為奇函數(shù),

又因為/(%)=2sinxcos2=sinx+sinxcosx,

則/r(x)=cosx+cos2x—sin2J;=2COS2X+COSX-1=(COSX+1)(2COSX-1),

?JT1

當無€時，貝！j-lVcOSXV],可得了'(X)WO;

當時，則gvcosxWl,可得/'(x)>0；

可得/(X)在-兀，-5內單調遞減，在1全0內單調遞增，

所以F(x)在x=處取得極小值，故C正確；

且〃一兀)=〃0)=0"

10

可知"X)在[-兀,0]內的最小值為一呼，

結合奇函數(shù)對稱性可知：外力在[0,可內的最大值為學，

所以/(X)在[-7T,句內的最小值為一空，最大值為率，

結合周期性可知：/(X)在R內的最小值為一乎，最大值為學，

故V%,X2GR,,故D錯誤；

故選：BC.

11.ACD

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性判斷AD；利用賦值法結合導數(shù)運算、函數(shù)性質判斷BC.

【詳解】因為/(2x+2)為奇函數(shù)，貝U/(—2x+2)=-/(2x+2),

可得〃r+2)=-〃x+2),所以“x+2)為奇函數(shù)，故A正確；

又因為/卜+￡|=/[一"，可得〃x+l)=〃l一x),

則/(尤)=/(2—x)=—/(x+2),可得f(尤)=—/(x+2)=—[-/(x+4)]=/(x+4),

所以/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

可得/(1)=/,：)，但沒有足夠條件推出/[3]=/1-3),故B錯誤；

因為〃尤+1)=〃1一無)，則/(尤+1)=—/(1—尤)，

令人一;，則-[1]=一/1|]，故c正確；

因為〃—x+2)=—〃x+2),則尸(r+2)=/'(x+2),可得尸(r)=尸(*+4),

又因為/3=/'(尤+4),則/(-%)=尸⑺,

所以尸(x)為偶函數(shù)，故D正確,

故選：ACD.

1人

12.-/0.25

【分析】根據(jù)全概率公式即可求解.

【詳解】由全概率公式可得小明在第二個路口遇到紅燈的概率為:+=

11

故答案為：—

4

13.-

4

【分析】P=Jsii?2/3+cos?0.sin(o+0)，分別求JsiY2/?+cos?分與sin(a+?)的最大值得尸的最大值.

【詳解】將尸=sinasin24+cosocos/?視為。的函數(shù)，故尸=Jsii?24+cos?6?sin(a+夕)，其中

71

所以當a+°=?時sin(a+e)的最大值為1,

Z=^/sin22/7+cos2/7=y]-4cos4J3+5cos213,當cos2〃=|■時，，取得最大值;，所以P的最大值為

故答案為：Y

4

【點睛】關鍵點點睛：此題求解關鍵是將尸=sinasin24+cosacos分視為。的函數(shù)，使用輔助角公式轉化，再

分別求Jsii?2/3+aC0與sin(a+cp)的最大值.

571

14.1——

6

【分析】根據(jù)拋物線的方程求出焦點坐標，利用導數(shù)的幾何意義及直線的點斜式方程，結合兩點間的距離公式

及向量的夾角公式即可求解.

【詳解】如圖所示，

由必=2加，得尸；設尸m，

由/=2py,得>=一，求導>=—,

2Pp

tf2t

所以直線l得斜率為k=~,則直線/的方程為y-^-=-(x-t),

P2pp'

12tt

令y=0,貝！)一丁=—(x-f),解得x=7，

2Pp2

所以。g",

12

所以|尸司二二十4解得P=1（負值舍去）t=±A/3.

112P2

當/時，F(xiàn)P=(AI),P2=[-^,-|

\乙)

則"哈茴青y/3

~2

又因為抨,PQ?O,可，所以",尸。=不，

故向量EP與尸。的夾角為三5兀.

0

當t=_囪時，同理可得向量EP與尸2的夾角為一57r.

0

兀

綜上所述，向量EP與尸。的夾角為芋5.

O

5兀

故答案為：1;—.

6

【點睛】：關鍵點睛：涉及拋物線的切線問題，通常利用導數(shù)的幾何意義及表示出切線方程.利用兩點的距離公

式及向量的夾角公式即可.

15.(1)1.1千元

（2）1

【分析】（1）由題意知，設一個周期內檢修費用為X,X取值為。,2,3,5,依次求出相應的概率，再利用期望

公式計算E（X）,即可得到答案;

（2）由條件概率公式即可得到結果.

【詳解】（1）一個周期內檢修費用X的所有可能取值為0,2,3,5

411

5丁M

111

X—=——

5420

3131

,一個周期內的平均檢修費用E（X）=0x三+2x三+3x布+5x癡=1.1千元

JJ乙U

（2）記設備出現(xiàn)異常為事件A,甲部件出現(xiàn)故障為事件8

13

3

_3

20--

:.P(B\A)=77

一

20

16.(l)an=2n-l,bn=n

⑵勺=1-(-2)”?——

"v'2”+l

【分析】（1）利用等差數(shù)列前〃項和的性質，結合%=1,即可求得;

(2)由c“=(-2)Np-+2],〃eN*,

把％表達式求出后，可直接求和.

a

1%?+J

【詳解】（1）

t>?(“t2〃-1+12nn

設4=Z(2〃—1),則”〃二.,又％=k=1,

所以為=2〃-1,bn=n.

1211

(2)?！?(-2嚴----------1----------=（一2嚴-(-2)

2〃一12〃+12n-\2n+l

P=1-(-2)1-1+(-2))-1-(-2)2-1-+

n+(-2嚴?------(—2)"

2/7-1-------2/7+1

1

=1-(-2)"-

2n+\

17.⑴證明見解析

（2）幾=J

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質、結合面面垂直的性質定理進行證明即可；

（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.

【詳解】（1）證明：延長AE,CT交于點DABCF,AEBC,AB±BC

四邊形ABC。為矩形，DE=DF=2,ZDFE=ZCFB=45^BFE=9Q

BF1ER.?.平面PEF_L平面ABCFE,平面尸EB1平面ABCFE=EF

8Fu平面ABCFE,BP_L平面PEF,:.BFLPE,即PEYBF.

（2）如圖建系，*0,0,0）,P（0,O，碼,4一20,20,0）,A（30,0,0）

14

ZA

8(0,4&,0),PB=卜"40,PM=卜&,4&,-a)

.-.AM=AP+PM(-2A/2,-V2,72)+(-722,4722,-A/22)

FP=(6,0,塔,FC=926,26,0)

設平面PCF的一個法向量H=（x,y,z）,

n-FP=0'/lx+A/2Z=0

=><=(u,-i)

n-FC=0[-2缶+20=0

_2回n________4后(1_彳)____________2M

\AM\\n\15^2(2+2)2+2(42-1)2+2(1-2)2-7315

=^(22-l)(2-4)=0,0<2<l,.-.2=1.

x2v2

18.(1)—+^=1

43

3-

;②證明見解析

22

【分析】（1）根據(jù)離心率以及E4B面積的最大值，構造方程解方程可得C的方程為土+匕=1；

43

（2）①聯(lián)立橢圓與直線方程得出的面積S的表達式，利用對勾函數(shù)單調性即可求得S的取值范圍為

H］；

②利用中點坐標公式求得G（-^―,目、］，-4^7^，得出斜率表達式即可得％-瓦|=回二對=—

3m+43m+4J13m+4J112133

S3

可得為定值.

15

a2=b2+c1

r*1

【詳解】(1)由題意知一=彳，解得a=2,b=6，

a2

-x2ab=2y/3

12

22

所以C的方程為工+匕=1；

43

(2)①易知網(wǎng)1,0),

設直線DE方程為x=〃沙+1,。&,%),￡(孫％)。(%,%),如下圖所示:

x=my+1

2

所以△=36〃22+36（31+4）=144（m+l）>0,

口6m9

且％+%=a2;，X

3m+423m2+4'

22

?1/7\2/1\2y/m+16y1m+1

可得S=So?E7』=245+%）一4yM=2.3蘇+4=3療+4'

令J療+1=力1之1，

q_6%_6

由對勾函數(shù)性質可得y=3r+1在欄1時單調遞增；

可得3產(chǎn)+1一夕+1

t

t

s=6<—5_3

所以可得2,’1一2二屋

t1

即S的取值范圍為（0,|

②易知為=空=/-3m-3m24

,,..XQ-°11一,，

%?+43m+43m+4

-T4日/4-3m

可倚°〔3/+4,3療+，

16

3m3m3m

%+—3--M+■F--%+

37n之+4

所以|尢-閆=]3加2+413加2+4

玉—4myx-3my2-3

-3H沖「3）、+3m

%+3m2+4

lj^+3卜一X)J^+3卜-X)

〃/%>2-3m(％+%)+9-9m218m2?

7~~r+9

3m2+4T+3m2+4

[％一%|=25

--3-一3；

S3

因此正田=5為定值.

19.⑴H）

（2）①答案見解析；②證明