宜賓市普通高中2021級第二次診斷性測試

文科數(shù)學試卷

（考試時間：120分鐘全卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡

上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條

形碼.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，

寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將答題卡交回

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項符合要求.

]已知集合A={N—3<%<3},§={R—1<%<4},則AB=（）

A.{用-3<x<4}B.{x|-l<x<3}

C.{%|-3<x<-l}D.{x|-l<x<4}

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.

【詳解】因為集合4={削—3<x<3},3={x[—l<x<4},

所以A3={x|-l<x<3}.

故選：B.

2.命題“Vx>l,lnx>0”的否定是（）

A.X/x>1,Inx<0B,Vx>1,Inx<0

C.>1,In%<0D,Bx<1,lux<0

【答案】C

【解析】

【分析】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題.

【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定有：命題“v無>1,1皿>0”的否定是：3x>l,liu<0.

故選：C

3.盒中有3個大小質地完全相同的球，其中1個白球、2個紅球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，則

兩次都摸出紅球的概率為()

1125

A.—B.—C.—D.一

3236

【答案】A

【解析】

【分析】利用列舉法列出所有可能結果，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得.

【詳解】記1個白球為A,2個紅球分別為。、b,

現(xiàn)從中不放回地依次隨機摸出2個球，則可能結果有Aa、Ab.aA.ab、bA、ba共6個，

其中兩次都摸出紅球的有ab、ba,

21

所以所求概率尸=二=二.

63

故選:A

4.已知向量a=(l,2)]=(3,1),向量C滿足cJ_a,a//(c+b),則°=()

A.(-2,-1)B.(2,-1)C.(-2,1)D.(2,1)

【答案】C

【解析】

【分析】設出。=(羽y),根據(jù)題意利用向量的坐標運算列式運算求解.

【詳解】設e=(x,y)，則c+3=(無+3,y+l),

由c_La，得x+2y=。,

又&//卜+b），得y+l-2（x+3）=0,即y=2x+5,

x+2y=Qx=-2

聯(lián)立C解得<

y=2x+5g

.?.c=（-2,l）

故選：C.

5.已知a=logs?,/?=5°3,c=logfZ,則（）

A.c<a<bB.a<c<b

C.c<b<aD.a<b<c

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質結合中間量法求解即可.

03

【詳解】a=log52<l,/7=5>l,c=log62<l,

,c1,C1

又a=log52=：1------,c=log62=-------,>l<log25<log26,

log25log26

,11c

所以1〉^-->--7>0,即

log25log26

所以c<a<）.

故選：A.

y-N--------------------

6.根據(jù)調查統(tǒng)計，某市未來新能源汽車保有量基本滿足模型”NA一內，其中y（單位：萬

（%）

輛）為第X年底新能源汽車的保有量，。為年增長率，N為飽和度，%為初始值.若該市2023年底的新

能源汽車保有量是20萬輛，以此為初始值，以后每年的增長率為12%,飽和度為1300萬輛，那么2033

年底該市新能源汽車的保有量約為（）（結果四舍五入保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：

ln0.887?-0.12,ln0.30?-1.2）

A.65萬輛B.64萬輛C.63萬輛D.62萬輛

【答案】B

【解析】

N

y=7\

【分析】把已知數(shù)據(jù)代入模型I、N八一年，求出對應的值即可.

1+-----1e

bo）

【詳解】根據(jù)題中所給模型，代入有關數(shù)據(jù)，注意以2023年的為初始值，

y---1-3-0-0--------1=3-00-----

則2033年底該省新能源汽車保有量為/.1300八旬giol+64e12,

I20）

因為如0.30々-L2,所以12ao.30,

13001300

所以y=?64,

l+64e121+64x0.30

所以2033年底該市新能源汽車的保有量約為64萬輛.

故選：B.

7.已知點P是直線x+y+3=。上一動點，過點尸作圓C:（x+1）2+/=1的一條切線，切點為A,則

線段E4長度的最小值為（）

A.273B.272C.72D.1

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得=-戶,則當歸。取得最小值時，線段E4長度的最小，利用點到直線

的距離公式求出\PC\的最小值即可得解.

【詳解】圓。：（%+1）2+/=1的圓心。（-1,0）,半徑r=1，

由題意可得AC,

則1PAi=^|PC|2-|AC|2=^|pc|2-r2=,

則當|PC|取得最小值時，線段長度的最小，

\\上

PCL1+0+3|5

1c'-7rzi-72,

【答案】D

【解析】

【分析】化sin12x+E）為cos

,利用二倍角公式即可即可求解.

故選：c

10.在數(shù)列｛%｝中，已知。1=2,4=1,且滿足4+2+?！??！?1，則數(shù)列｛%｝的前2024項的和為

()

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【解析】

【分析】用〃+1去換4+2+?！?4+1中的"，得%+3=4+2-4+1，相加即可得數(shù)列的周期，再利用周

期性運算得解.

【詳解】由題意得4+2=4+1，用72+1替換式子中的〃，得4+3=4+2-4+1，

兩式相加可得4+3=-4，即?！?6=-4+3=4，所以數(shù)列｛4｝是以6為周期的周期函數(shù).

又。］=2,“2=1,a3=—1,a4=—2,a5=—1,a6=l.

所以數(shù)列｛%｝得前2024項和S2024=337(q+a2+L+4)+^+%=3.

故選：A.

Y2v2b

n.設耳，工是雙曲線c：j-斗=1(〃〉0”>0)的左、右焦點，。是坐標原點，尸是漸近線/:y=——x

aba

上位于第二象限的點，若|OP|=a,cos/gPO=g，則雙曲線C的離心率為()

A.6B.石C.2D.3

【答案】D

【解析】

ha

【分析】根據(jù)題意，求出sinNPO6=—,cosNPOB二一一，進而求出sinNP60,在$尸。工中,

cc

由正弦定理列式求得2=2忘，再根據(jù)離心率公式運算得解.

a

b

【詳解】如圖，根據(jù)題意可得tanNPOE=——,

a

ha

sinZPOF2=—,cosZPOF2=——,

cc

又cosNF2Po=與，；.sinNF2Po=',

ZPF2O=n-(ZOPF2+ZPOF2),

又g⑴=一1＜0,g（2）=ln2＞0,所以存在/G（1,2）,使得且伍卜。，即％—2+ln/=。,

/.xe（O,xo）,g（x）＜0,即/'（x）＜0；（九o，+oo）,g（尤）＞0,即/'（九）＞0,

所以函數(shù)/（九）在（0,尤o）上單調遞減，在（5,+"）上單調遞增，

:二鵬，又由％o—2+ln/=。，可得%0e產(chǎn)0=e2,

1—XQ—InXQ1—XQ+XQ-21

x（）e"e2e2.

1

Q>—.

e

故選：A.

1—y-Ini*1—x—Inx

【點睛】思路點睛：由題意問題轉化為a＞----；—,尤＞0,構造函數(shù)/（%）=-----；—,利用導數(shù)

xe%e

求出/（九）的最小值，即只要a＞/（%）..

二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.

13.已知復數(shù)z=一-（，為虛數(shù)單位），貝蛔=__.

1+i

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算計算得z=7,再根據(jù)復數(shù)的模長公式可得結果.

【詳解】?』匕=士匚=出1

1+z（1+0（1-02

.?.|z|=L

故答案為：1.

【點睛】本題考查了復數(shù)的除法運算和復數(shù)的模長公式，屬于基礎題.

14.數(shù)列｛叫中，S”是數(shù)列｛4｝的前“項和，已知q=1,%=7,數(shù)列｛log?（%+1）｝為等差數(shù)列，則

*=

【答案】57

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求出數(shù)列｛log2（%+l）｝的通項，進而求得與，利用分組求和得解.

【詳解】令％=log2（“"+l），Q%=1,%=7,二4=1,4=3,

又數(shù)列｛2｝為等差數(shù)列，所以公差d=l,

:.bn=l+n-l^=n,即log?(a”+1)=〃，

a”=2"-1,

,、＜、2(1-25)

S=%+%+L+%=(2+2~+L+2)-5=--------------5=57,

51一2

故答案為：57.

15.所有棱長均為6的三棱錐，其外接球和內切球球面上各有一個動點/、N,則線段MV長度的最大值

為.

【答案】2底

【解析】

【分析】根據(jù)題意，正四面體的外接球和內切球的球心重合且在正四面體的內部，求出外接球半徑R,

內切球半徑"，線段"N長度的最大值為R+r得解.

【詳解】由正四面體的棱長為6,則其外接球和內切球的球心重合且在正四面體的內部，

設球心為。，如圖，連接A0并延長交底面5CD于〃，

則AHL平面5CD,且H為底面△3CD的中心，

所以BH=?x6=2布,

3

在RtAAHB中，可求得AH=^AB2-BH2=^62一=2屈，

設外接球半徑為R,內切球半徑為「，

則7?2=收+0以2=12+(2卡—町，

解得R=域,r=0H=2瓜—R=^，

22

所以線段MN長度的最大值為R+r=2

故答案為：2乖.

A

16.已知尸為拋物線。：必=-8y的焦點，過直線/：y=4上的動點/作拋物線的切線，切點分別是

P,Q,則直線P。過定點.

【答案】（O,T）

【解析】

【分析】設。（%,%）,0（%，％），4（/，4），根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切線過點從

而可確定直線尸。的方程，進而可得出答案.

【詳解】設尸&,乂）,。（々,％），”（/，4），

由x?=-8y,得y=-豆x?,貝Uy，=——x,

則拋物線C在點P處得切線方程為y-％（x—%）,

nn112

即y=_W西x+［玉+x，

21

又再=一8%，所以,

又因為點M&4）在切線Mq上，所以4=—；芯/—%,①

同理可得4=_；工2/_為，②

由①②可得直線PQ的方程為4=一工方—y,

4.

所以直線尸。過定點（0,-4）.

故答案為：(OT).

【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：

(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；

(2)“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方

程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；

(3)求證直線過定點(%,%)，常利用直線的點斜式方程y—%=左(4—/)或截距式＞=自+6來證明?

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟第17-21題為必考題，每

個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必做題：共60分.

17.在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,4c,J=L2Z?cosA=ccosA+acosC

(1)求角A的大??；

(2)若a=J7,6+c=4,求的值.

JT

【答案】(1)y

(2)3

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理將已知的式子統(tǒng)一成角的形式，再利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡計算可求

出角A,

(2)利用余弦定理結合已知條件直接求解

【小問1詳解】

S2/?cosA-ccosA+acosC,

所以由正弦定理得，2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC,

所以2sinBcosA=sin(A+C)=sin(萬一5)=sinB,

因為sin5w0,所以cosA='，

2

rr

因為Aw(O,?)，所以A=§

【小問2詳解】

因為Q=b+c=4,A=—,

?rr

所以由余弦定理得a?=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccos—,

3

所以7=16—3Z?c,解得6c=3

18.如圖，在四棱錐P—A5CD中，。。，平面人5。,45//。。，

AB，AD,AB=2PD=2C￡>=2AD=4,E是叢的中點.

(2)求三棱錐P-BCE的體積.

【答案】(1)證明見詳解

⑵-

3

【解析】

【分析】(1)先證明1平面R4。，再根據(jù)線面垂直的判定定理證明；

(2)根據(jù)題意匕“CE="c-PBE，又CD//平面PAB,所以Vp-BCE=VJPBE=yD-PBE得解?

【小問1詳解】

因為？D=A￡>，E是P4的中點，所以。E，/%,

又P￡)_L平面ABC￡>,ABu平面ABCD,

：.PD±AB，又ABLAD,AD,PDu平面QA。，

.:AB1平面PAD,DEu平面QAD,

..DE±AB,尸448<=平面243,

二。石,平面？A5.

【小問2詳解】

根據(jù)題意，得Vp_BCE=L.PBE，

又CD//AB,CD（Z平面？AB，ABu平面MB，

所以CD//平面R43，

所以點C到平面PAB的距離等于點D到平面PAB的距離，

又SVPBE=：PE.AB=；X①乂4=2母,又平面B43，DE=g，

：』

"BCE=VE=VD-PB￡=|X2V2XV2=|.

19.某企業(yè)積極響應政府號召，大力研發(fā)新產(chǎn)品，爭創(chuàng)世界名牌.為了對研發(fā)的一批最新產(chǎn)品進行合理定

價，該企業(yè)將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)（%.，K）（i=L2,,5）,如表所示:

單價X（千

45678

元）

銷量y（百

6764615850

件）

（1）若變量乂丁具有線性相關關系，求產(chǎn)品銷量v（百件）關于試銷單價x（千元）的線性回歸方程

y=bx+a；

（2）用（1）中所求的線性回歸方程得到與玉對應的產(chǎn)品銷量的估計值少.當銷售數(shù)據(jù)（務X）對應的殘

差的絕對值花一刈,,1時，則將銷售數(shù)據(jù)（七,y）稱為一個“精準銷售”.現(xiàn)從5個銷售數(shù)據(jù)中任取2個,

求“精準銷售”至少有1個的概率.

55

參考數(shù)據(jù)：2%%=1760,2%,2=190

i=li=l

_n

2七%一加?》

參考公式：線性回歸方程中b,a的估計值分別為B=號----------,a=y-bx

%2-nx—2

Ei=l

【答案】19.y=-4x+84

9

20.—

10

【解析】

【分析】（1）按照所給的參考公式，計算可得到線性回歸方程；

（2）先求出5個銷售數(shù)據(jù)中精準銷售的個數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率公式計算.

【小問1詳解】

--67+64+61+58+50…

由題意，n=5,X=6，y=-------------------------=60,

結合參數(shù)數(shù)據(jù)得限*"=4.?.a=60-(-4)x6=84,

所以線性回歸方程為§=Tx+84.

【小問2詳解】

當x=4時，3=68，%=67,則［所以（玉,乂）為一個精準銷售，

當x=5時，￡=64，%=64,貝心2—%|=041，所以（%，%）為一個精準銷售，

當％=6時，%=60，%=61，則校3—%|="1，所以（%%）為一個精準銷售，

當x=7時，孔=56，％=58,則位廠以|=2>L所以（%%）不是一個精準銷售，

當％=8時，丸=52,第=50,貝川%―%|=2>1,所以（%，%）不是一個精準銷售.

記三個精準銷售為A,B,C,兩個非精準銷售為m,n,

則從5個銷售數(shù)據(jù)中任選2個，對應的基本事件有：

AB,AC,Am,An,BC,Bm,Bn,Cm,Cn,mn,

其中滿足要求的共有9個，

9

所以“精準銷售”至少有1個的概率為2=二.

20.己知橢圓。：「+2=1（。〉6〉0）的上下頂點分別為4，2，左右頂點分別為A，4,四邊形

ab

4月人生的面積為66，若橢圓C上的點到右焦點距離的最大值和最小值之和為6.

（1）求橢圓。的方程；

（2）過點（—1,0）且斜率不為o的直線/與。交于RQ（異于A，4）兩點，設直線4尸與直線4。交于

點M,證明：點M在定直線上.

22

【答案】20.—+^=1

95

21.證明見解析

【解析】

【分析】(1)設橢圓C上的一點丁(私〃)，則—aVmVa,表達出T(m，M到右焦點的距離d=二--。

從而得到最大值,最小值,得到方程,求出。=3,根據(jù)四邊形姬鵬的面積求出帥=3也，得到人=75，

求出橢圓方程；

(2)先考慮過點(-1,0)且斜率不存在時，得到點M在直線％=-9,再考慮過點(-1,0)且斜率存在且不為

。時，設直線/方程為x=-1+叼，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，得到m%方=-4%-4%,

表達出&P,AQ的方程，聯(lián)立后結合〃》%=-4%—4%得到(％+2%乂—1—9)=0,求出點M在直線

X=-9上，證畢.

小問1詳解】

設右焦點坐標為&(c,0),橢圓C上的一點則—aV/nWa,

2

,,m/2b2m2

故一5-+F=1，即〃2=6-----廠，

a2b2a2

則T(m,n)到右焦點的距離d=^m-c)2+n2=J療—2cm+c2+b2-空^

I~22

cmc2cm

二J——2cm+a=------a,

Vaa

」cmcm

因為一所以-eV——<c,-c-a<------a<c-a,

aa

cm

故a-cV------a<a+c,

a

即橢圓C上的點到右焦點距離的最大值為,最小值為"C,

故Q+C+Q-C=2Q=6,解得a=3,

又四邊形片與劣與面積為3|44卜4周=3義2心26=2仍=6百，

故ab=3后,所以b=

22

橢圓方程為工+匕=1;

95

要想(X+2%)(f—9)=0恒成立，則%=-9,

故點M在定直線x=-9上，

綜上，點/在定直線％=-9上.

【點睛】方法點睛：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；(2)直接推理計算，并在

計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

21.己知函數(shù)/(x)=e*+ax+d

(1)若/(%)是R上的單調遞增函數(shù)，求。的取值范圍；

(2)當。=0時，/(x)+siiu>0對xeR恒成立，求b的取值范圍.

【答案】(1)a>Q

(2)b>l

【解析】

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)解析式，求出函數(shù)導函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)單調性的關系求解即可；

(2)根據(jù)已知條件先對函數(shù)放縮，探究621時，/(%)+511?>0對兀三1i恒成立；再利用換元法探究

當621與匕<1時的情況，從而求得力的取值范圍.

【小問1詳解】

因為/(x)=ex+ax+b,a,beR,所以/'(x)=e*+a,

若〃%)是R上的單調遞增函數(shù)，則在R上有了'(%)20恒成立，

即e*+a?0，所以有aN—e“xwR)，令g(x)=-e"

根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=e，的性質有：］>0,則—1<0，

所以g(x)e(-<?,0)(xeR),所以a20,

綜上，八％)是R上的單調遞增函數(shù)，a>Q.

【小問2詳解】

當a=0時，令/(x)=/(x)+sinx=eA4-sinx+Z?,

/(x)+sinx>0對xeR恒成立，即尸(x)>0對xeR恒成立,

F（x）=e'+sinx+^>ev+b-l>b-l,

當621時，E（x）>0對xeR恒成立，即/（x）+sinx>0對xeR恒成立；

當b<］時，令x=12k_：］兀，F(xiàn)（2左一g］兀二e〔"T"+b_i,

因為尸（2左為單調遞增函數(shù)，令J?"；>+匕—1=0，解得左=；山（J,

k//7C/

mkeZ,k<------——-+-,F2k——兀=el2）+b-l<0,

2|_7i2J［I2J

此時，E（x）>0不恒成立，即/（x）+sinx>0不恒成立;

綜上，當。=0時，/（x）+sinv>0對xeR恒成立，b>l.

【點睛】方法點睛：利用分離參數(shù)法確定不等式/（x"）NO（xeD,2為參數(shù)）恒成立問題中參數(shù)范

圍的步驟：

1.將參數(shù)與變量分離，不等式化為fM>f.（%）或工（彳）三人（x）的形式；

2.求力（%）在％w。時的最大值或者最小值；

3.解不等式工⑷之力（%）_或工⑷（力（x）1rali,得到2的取值范圍.

（二）選做題：共10分.請考生在第22、23題中選一題作答.如果多做，則按所做的第一題

計分

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

x=3+3cost

22.在平面直角坐標系中，點P是曲線G：〈、.（/為參數(shù)）上的動點，以坐標原點。為極

［y=3smf

點，無軸的正半軸為極軸建立極坐標系，以極點。為中心，將線段OP逆時針旋轉90得到。。，設點。

的軌跡為曲線

（1）求曲線。1，。2的極坐標方程；

（2）在極坐標系中，點M的坐標為［8,射線/:。=m（夕>0）與曲線分別交于A,B兩點，求

AMAB的面積.

【答案】（1）曲線G的極坐標方程為夕=6cos。，曲線C2的極坐標方程為夕=6sin。

（2）6（73-1）

【解析】

%二夕cos9

【分析】（1）先求出曲線C的普通方程，再根據(jù)