專題19數(shù)列的求和一、單選題1．（2019·商丘市第一高級中學(xué)高二期中（理））數(shù)列的前n項和為，若，則（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】,.故選：C2．（2018·甘肅省武威十八中高二課時練習(xí)）化簡的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵Sn=n+（n﹣1）×2+（n﹣2）×22+…+2×2n﹣2+2n﹣1①2Sn=n×2+（n﹣1）×22+（n﹣2）×23+…+2×2n﹣1+2n②∴①﹣②式得；﹣Sn=n﹣（2+22+23+…+2n）=n+2﹣2n+1∴Sn=n+（n﹣1）×2+（n﹣2）×22+…+2×2n﹣2+2n﹣1n+2﹣2n+1=2n+1﹣n﹣2故答案為：D3．（2020·江西省江西師大附中高三月考（理））數(shù)列的前項和的值等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】,故選：A4．（2019·福建省莆田一中高三期中（文））等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的前20項和等于（）A．-10 B．-20 C．10 D．20【答案】D【解析】，解得，所以，故選D．5．（2020·珠海市第二中學(xué)高一開學(xué)考試）已知數(shù)列且滿足：，且，則為數(shù)列的前項和，則（）A．2019 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【解析】由，，所以，，，所以數(shù)列是以為周期的數(shù)列，，所以.故選：D6．（2018·廈門市華僑中學(xué)高二期中）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則數(shù)列的前項和為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】當時，不成立，當時，，兩式相除得，解得：，即，，，，兩式相減得到：，所以，故選D.7．（2019·福建省廈門第六中學(xué)高二期中（理））已知數(shù)列滿足a2=102,an+1-aA．25 B．26 C．27 D．28【答案】B【解析】因為數(shù)列{an}中，a2=102,a4-a3=4(2+3+4+?+n-1)=2(n+1)(n-2)，所以an=2≥22n×98n-2=26，當且僅當8．（2020·江蘇省高二期中）設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項和的方法，求得的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，設(shè)，則，兩式相加得，因此，.故選：B.二、多選題9．（2020·海南省高三其他）已知數(shù)列的首項為4，且滿足，則（）A．為等差數(shù)列B．為遞增數(shù)列C．的前項和D．的前項和【答案】BD【解析】由得，所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，故A錯誤；因為，所以，顯然遞增，故B正確；因為，，所以，故，故C錯誤；因為，所以的前項和，故D正確.故選：BD10．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，首項為1，公差為2，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，首項為1，公比為2，設(shè)，Tn為數(shù)列{cn}的前n項和，則當Tn＜2019時，n的取值可以是下面選項中的（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】AB【解析】由題意，an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，，2?2n﹣1﹣1＝2n﹣1，則數(shù)列{cn}為遞增數(shù)列，其前n項和Tn＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）＝（21+22+…+2n）﹣n2n+1﹣2﹣n．當n＝9時，Tn＝1013＜2019；當n＝10時，Tn＝2036＞2019．∴n的取值可以是8，9．故選：AB11．（2020·山東省高二期末）已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論正確的有（）A．為等比數(shù)列B．的通項公式為C．為遞增數(shù)列D．的前項和【答案】ABD【解析】因為，所以，又，所以是以4為首項，2位公比的等比數(shù)列，即，為遞減數(shù)列，的前項和.故選：ABD12．（2019·江蘇省蘇州實驗中學(xué)高二月考）已知等差數(shù)列的首項為1，公差，前n項和為，則下列結(jié)論成立的有()A．數(shù)列的前10項和為100B．若成等比數(shù)列，則C．若，則n的最小值為6D．若，則的最小值為【答案】AB【解析】由已知可得:,,,則數(shù)列為等差數(shù)列,則前10項和為.所以A正確;成等比數(shù)列,則,即,解得故B正確;因為所以,解得,故的最小值為7,故選項C錯誤;等差的性質(zhì)可知,所以,當且僅當時,即時取等號,因為,所以不成立,故選項D錯誤.故選:AB.三、填空題13．（2020·寧夏回族自治區(qū)銀川一中高三三模（理））等差數(shù)列的前n項和為，，則_____.【答案】【解析】，，故，故，.故答案為：.14．（2020·全國高三月考（文））已知數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的前項和__________.【答案】【解析】由已知，，當時，，又滿足上式，所以，.故答案為：15．（2020·安徽省高三一模（理））已知數(shù)列中，，，記為的前n項和，則=____________.【答案】【解析】因為，，所以.又，所以數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項是以為首項，2為公比的等比數(shù)列.故.故答案為：.16．（2020·山東省臨沂第一中學(xué)高二期中）已知數(shù)列滿足，，設(shè)的前項和為，則__________，__________．【答案】1010【解析】由，，有，…………則數(shù)列是以3為周期的數(shù)列.又，所以，故答案為：(1).(2).1010四、解答題17．（2019·全國高一課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)，計算.【答案】2011【解析】解：由已知，，設(shè)，，即18．（2020·福建省高三其他（文））已知數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，，為方程的兩根．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）；（2）．【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，為方程的兩根，且數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，所以，所以，所以，即數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）得，所以，所以數(shù)列的前n項和．19．（2020·畢節(jié)市實驗高級中學(xué)高一期中）已知數(shù)列是等差數(shù)列,其前項和為,.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求和：.【答案】（1）.（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則有：,,,所以數(shù)列的通項公式為：.（2）由（1）可知：,∴,∴20．（2020·合肥市第十一中學(xué)高一期中）數(shù)列滿足：，且.（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由，得，又數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，由，，，…，，，.21．（2020·合肥市第十一中學(xué)高一期中）已知等差數(shù)列的前項和滿足.（1）求的通項公式；（2）設(shè)求數(shù)列的前項和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項為，∵∴即，解得∴的通項公式為（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴①①式兩邊同乘以，得②①-