高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2東北三省四城市聯(lián)考暨沈陽市2024屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（二）第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所?故選：D.2.拋物線過點(diǎn)，則的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗把點(diǎn)代入拋物線方程，得，解得，所以拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為.故選：B.3.已知向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，，即，故，解得.故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗則，即，又因?yàn)?，故，，，故，因?yàn)?，則，結(jié)合可得，，則.故.故選：C.5.甲、乙、丙三人從事三項(xiàng)工作，乙的年齡比從事工作人的年齡大，丙的年齡與從事工作人的年齡不同，從事工作人的年齡比甲的年齡小，則甲、乙、丙的職業(yè)分別是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得丙的年齡與從事工作人的年齡不同，故從事工作的人不是丙，又從事工作人年齡比甲的年齡小，故從事工作的人不是甲，則推出從事工作的人一定是乙，又從事工作人的年齡比甲的年齡小，故乙的年齡小于甲的年齡，而乙的年齡比從事工作人的年齡大，故從事工作的人是丙，可反推出從事工作的人是甲，顯然甲、乙、丙的職業(yè)分別是.故選：A.6.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，記事件“取出的重卦中至少有1個(gè)陰爻”，事件“取出的重卦中至少有3個(gè)陽爻”．則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，事件“取出的重卦中有3陽3陰或4陽2陰或5陽1陰”，則，則故選：C7.正方體中，為正方形內(nèi)一點(diǎn)（不含邊界），記為正方形的中心，直線與平面所成角分別為，．若，則點(diǎn)在（）A.線段上 B.線段上 C.線段上 D.線段上〖答案〗B〖解析〗直線與平面所成角大小分別為，等價(jià)于直線與直線成角大小分別為，由，可知P在線段上，又，則與所成角更小，則點(diǎn)P在線段上.故選：B.8.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為，則（）A.函數(shù)的最大值為1B.函數(shù)的最小值為1C.函數(shù)最大值為1D.函數(shù)的最小值為1〖答案〗C〖解析〗AB選項(xiàng)，由題意可知，兩個(gè)函數(shù)圖像都在x軸上方，任何一個(gè)為導(dǎo)函數(shù)，則另外一個(gè)函數(shù)應(yīng)該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為，實(shí)線部分為，故恒成立，故在R上單調(diào)遞增，則A，B顯然錯(cuò)誤，對(duì)于C，D，，由圖像可知，恒成立，故單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，也為最大值，，C正確，D錯(cuò)誤.故選：C二、選擇題9.設(shè)方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根分別為，則下列關(guān)于的說法正確的有（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)A，由實(shí)系數(shù)一元二次方程求根公式知，則（與順序無關(guān)），故A正確；對(duì)B，因?yàn)椋?，故B正確；對(duì)C，由A，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由韋達(dá)定理可得，故D正確．故選：ABD10.已知正四棱錐的所有棱長均相等，為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影，則下列說法正確的有（）A.平面平面B.側(cè)面內(nèi)存在無窮多個(gè)點(diǎn)，使得平面C.在正方形的邊上存在點(diǎn)，使得直線與底面所成角大小為D.動(dòng)點(diǎn)分別在棱和上（不含端點(diǎn)），則二面角的范圍是〖答案〗BD〖解析〗已知所有棱長都相等，不妨設(shè)為1．對(duì)于A：過S作直線，因?yàn)?，所以，所以為平面與平面的交線，取中點(diǎn)中點(diǎn)F，連接，由正四棱錐，可得，所以，所以為二面角的平面角，連接，在中，所以平面與平面不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：取中點(diǎn)中點(diǎn)H，連接，因?yàn)?，又平面，平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，所以?dāng)時(shí)，平面，這樣的點(diǎn)P有無窮多，故B正確；對(duì)于C：由已知可知當(dāng)Q在正方形各邊中點(diǎn)時(shí)，與底面所成角最大，，所以，所以不布存Q使得與底面成的角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：作垂直于，連接，因?yàn)槠矫?，又平面，所以，又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)閯t為二面角的平面角，當(dāng)都無限向點(diǎn)B靠攏時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以二面角范圍是，故D正確．故選：BD.11.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則下列說法正確的有（）A.若，則數(shù)列單調(diào)遞減B.若對(duì)任意，都有，則C.若，則對(duì)任意，都有D.若的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)之和為正數(shù)，則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，由條件知，，而，結(jié)合，知，所以，所以，即數(shù)列單調(diào)遞減，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，首先有.若，則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，從而必成立；而當(dāng)n為奇數(shù)且時(shí)，由，知，，從而，即，這意味著.所以只要，就一定有恒成立，所以由恒成立不可能得到，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，顯然當(dāng)同為奇數(shù)或同為偶數(shù)時(shí)，必有同號(hào)，故；而當(dāng)?shù)钠媾夹圆煌瑫r(shí)，為奇數(shù)，此時(shí)不妨設(shè)分別是奇數(shù)和偶數(shù)，則因?yàn)?，故為偶?shù)，而為奇數(shù)，所以，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，首先顯然的是，最大項(xiàng)必定是某個(gè)第偶數(shù)項(xiàng)，最小項(xiàng)必定是某個(gè)第奇數(shù)項(xiàng).當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，要讓最大，即要讓最??；而當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，要讓最小，即要讓最小.設(shè)和分別是到距離最小的正偶數(shù)和正奇數(shù)，則條件相當(dāng)于.而，故條件等價(jià)于，即.這表明，條件等價(jià)于，到距離最小的正奇數(shù)到的距離，大于到距離最小的正偶數(shù)到的距離.若，則到距離最小的正奇數(shù)和正偶數(shù)分別是1和2，而由可知，不符合條件；若，是正奇數(shù)，則到距離最小的正奇數(shù)到的距離為0，不可能大于到距離最小的正偶數(shù)到的距離，不符合條件；若，且不是正奇數(shù)，設(shè)到的距離最近的正偶數(shù)為，則.此時(shí)到距離最小的正偶數(shù)到的距離為，從而到距離最小的正奇數(shù)到的距離大于，進(jìn)一步知任意正奇數(shù)到的距離都大于.從而，，這意味著，，所以.綜上，，，故D正確．故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題12.已知函數(shù)，則________．〖答案〗〖解析〗，，，故〖答案〗為：13.已知，若平面內(nèi)滿足到直線的距離為1的點(diǎn)有且只有3個(gè)，則實(shí)數(shù)________．〖答案〗或〖解析〗設(shè)點(diǎn)，由可得：，兩邊平方整理得：，即點(diǎn)的軌跡是圓,圓心在原點(diǎn)，半徑為2.若該圓上有且只有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則圓心到直線的距離，解得．故〖答案〗為：或.14.有序?qū)崝?shù)組稱為維向量，為該向量的范數(shù)，范數(shù)在度量向量的長度和大小方面有著重要的作用．已知維向量，其中．記范數(shù)為奇數(shù)的的個(gè)數(shù)為，則______；______．（用含的式子表示）〖答案〗40〖解析〗根據(jù)乘法原理和加法原理得到．奇數(shù)維向量，范數(shù)為奇數(shù)，則的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，即1的個(gè)數(shù)為1，3，5，…，，根據(jù)乘法原理和加法原理得到，兩式相減得到故〖答案〗為：2；.四、解答題15.在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，角的平分線交邊于點(diǎn)，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面積.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，故?（2）由題意可知，即，化簡可得，在中，由余弦定理得，從而，解得或（舍），所以.16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）若對(duì)任意，有恒成立，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，所以切線方程為．（2）當(dāng)時(shí)，，．令，，故在R上單調(diào)遞減，而，因此0是在R上的唯一零點(diǎn)即：0是在R上的唯一零點(diǎn)當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：x00極大值的單調(diào)遞增區(qū)間為：；遞減區(qū)間為：的極大值為，無極小值（3）由題意知，即，即，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以，所以17.正四棱臺(tái)的下底面邊長為，，為中點(diǎn)，已知點(diǎn)滿足，其中．（1）求證；（2）已知平面與平面所成角的余弦值為，當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：方法一：∵，∴．∵∴∴．∴，即．方法二：以底面ABCD的中心O為原點(diǎn)，以O(shè)M方向?yàn)閥軸，過O點(diǎn)平行于AD向前方向?yàn)閤軸，以過點(diǎn)O垂直平面ABCD向上方向?yàn)閦軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正四棱臺(tái)的高度為h，則有，，，，，，，，，．故，所以．（2）解：設(shè)平面ABCD的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，，則有，即，令，則．又題意可得，可得．因?yàn)椋?jīng)過計(jì)算可得，，．將代入，可得平面的法向量．設(shè)直線DP與平面所成角的為θ．18.以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓半徑分別為和，為大圓上一動(dòng)點(diǎn)，大圓半徑與小圓相交于點(diǎn)軸于于點(diǎn)的軌跡為．（1）求點(diǎn)軌跡的方程；（2）點(diǎn)，若點(diǎn)在上，且直線的斜率乘積為，線段的中點(diǎn)，當(dāng)直線與軸的截距為負(fù)數(shù)時(shí)，求的余弦值．解：（1）設(shè)，則，消去得，所以點(diǎn)軌跡的方程為.（2）方法一：設(shè)，直線的方程為，，消去y得，，即由韋達(dá)定理知，，所以，整理得，即，當(dāng)時(shí)，直線的方程為當(dāng)時(shí)，直線的方程為，恒過點(diǎn)，不合題意設(shè)，將，將M、N兩點(diǎn)代入到橢圓得，兩式相減得，即，所以，故，設(shè)與y軸負(fù)平軸所形成的夾角為，因?yàn)?，所以，設(shè)與x正半軸所形成的夾角為，因?yàn)?，所以?方法二：設(shè)，直線的方程為消去y可得：從而，故，將代入直線的方程可得，所以，又，將式點(diǎn)M中的k換成得到，，下面同方法一方法三：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立新的直角坐標(biāo)系，新坐標(biāo)系下橢圓方程，在新坐標(biāo)系下設(shè)，直線的方程為將橢圓方程變形可得：將直線的方程與橢圓方程結(jié)合，構(gòu)成其次分式可得，整理得即：，所以，故，直線的方程為，下面同方法一方法四：設(shè)，直線的方程為消去y可得：因?yàn)槭巧鲜鲆辉畏匠痰膬蓚€(gè)根，所以①又，整理得：，，在①式中令得：②令得：③可得：整理得，下面同方法一19.入冬以來，東北成為全國旅游和網(wǎng)絡(luò)話題的“頂流”．南方的小土豆們紛紛北上體驗(yàn)東北最美的冬天，這個(gè)冬天火的不只是東北的美食、東北人的熱情，還有東北的洗浴中心，擁擠程度堪比春運(yùn)，南方游客直接拉著行李箱進(jìn)入．東北某城市洗浴中心花式寵“且”，為給顧客更好的體驗(yàn)，推出了和兩個(gè)套餐服務(wù)，顧客可自由選擇和兩個(gè)套餐之一，并在App平臺(tái)上推出了優(yōu)惠券活動(dòng)，下表是該洗浴中心在App平臺(tái)10天銷售優(yōu)惠券情況．日期12345678910銷售量（千張）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4經(jīng)計(jì)算可得：，，．（1）因?yàn)閮?yōu)惠券購買火爆，App平臺(tái)在第10天時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)異常，導(dǎo)致當(dāng)天顧客購買優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（結(jié)果中的數(shù)值用分?jǐn)?shù)表示）；（2）若購買優(yōu)惠券的顧客選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為，并且套餐可以用一張優(yōu)惠券，套餐可以用兩張優(yōu)惠券，記App平臺(tái)累計(jì)銷售優(yōu)惠券為張的概率為，求；（3）記（2）中所得概率的值構(gòu)成數(shù)列．①求的最值；②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列，若對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，，（是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)），則稱數(shù)列收斂于．根據(jù)數(shù)列收斂的定義證明數(shù)列收斂．參考公式：，．解：（1）剔除第10天數(shù)據(jù)的，，，，所以，故，所以．（2）由題意可知，其中，所以，又，所以是首項(xiàng)為的常數(shù)列，故，所以，又，所以是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，即.（3）①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，最大值為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，最小值為；綜上：數(shù)列的最大值為，最小值為.②證明：對(duì)任意總存在正整數(shù)，（其中表示取整函數(shù)），當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列收斂.東北三省四城市聯(lián)考暨沈陽市2024屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（二）第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?故選：D.2.拋物線過點(diǎn)，則的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗把點(diǎn)代入拋物線方程，得，解得，所以拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為.故選：B.3.已知向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，，即，故，解得.故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗則，即，又因?yàn)?，故，，，故，因?yàn)?，則，結(jié)合可得，，則.故.故選：C.5.甲、乙、丙三人從事三項(xiàng)工作，乙的年齡比從事工作人的年齡大，丙的年齡與從事工作人的年齡不同，從事工作人的年齡比甲的年齡小，則甲、乙、丙的職業(yè)分別是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得丙的年齡與從事工作人的年齡不同，故從事工作的人不是丙，又從事工作人年齡比甲的年齡小，故從事工作的人不是甲，則推出從事工作的人一定是乙，又從事工作人的年齡比甲的年齡小，故乙的年齡小于甲的年齡，而乙的年齡比從事工作人的年齡大，故從事工作的人是丙，可反推出從事工作的人是甲，顯然甲、乙、丙的職業(yè)分別是.故選：A.6.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，記事件“取出的重卦中至少有1個(gè)陰爻”，事件“取出的重卦中至少有3個(gè)陽爻”．則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，事件“取出的重卦中有3陽3陰或4陽2陰或5陽1陰”，則，則故選：C7.正方體中，為正方形內(nèi)一點(diǎn)（不含邊界），記為正方形的中心，直線與平面所成角分別為，．若，則點(diǎn)在（）A.線段上 B.線段上 C.線段上 D.線段上〖答案〗B〖解析〗直線與平面所成角大小分別為，等價(jià)于直線與直線成角大小分別為，由，可知P在線段上，又，則與所成角更小，則點(diǎn)P在線段上.故選：B.8.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為，則（）A.函數(shù)的最大值為1B.函數(shù)的最小值為1C.函數(shù)最大值為1D.函數(shù)的最小值為1〖答案〗C〖解析〗AB選項(xiàng)，由題意可知，兩個(gè)函數(shù)圖像都在x軸上方，任何一個(gè)為導(dǎo)函數(shù)，則另外一個(gè)函數(shù)應(yīng)該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為，實(shí)線部分為，故恒成立，故在R上單調(diào)遞增，則A，B顯然錯(cuò)誤，對(duì)于C，D，，由圖像可知，恒成立，故單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，也為最大值，，C正確，D錯(cuò)誤.故選：C二、選擇題9.設(shè)方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根分別為，則下列關(guān)于的說法正確的有（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)A，由實(shí)系數(shù)一元二次方程求根公式知，則（與順序無關(guān)），故A正確；對(duì)B，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)C，由A，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由韋達(dá)定理可得，故D正確．故選：ABD10.已知正四棱錐的所有棱長均相等，為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影，則下列說法正確的有（）A.平面平面B.側(cè)面內(nèi)存在無窮多個(gè)點(diǎn)，使得平面C.在正方形的邊上存在點(diǎn)，使得直線與底面所成角大小為D.動(dòng)點(diǎn)分別在棱和上（不含端點(diǎn)），則二面角的范圍是〖答案〗BD〖解析〗已知所有棱長都相等，不妨設(shè)為1．對(duì)于A：過S作直線，因?yàn)?，所以，所以為平面與平面的交線，取中點(diǎn)中點(diǎn)F，連接，由正四棱錐，可得，所以，所以為二面角的平面角，連接，在中，所以平面與平面不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：取中點(diǎn)中點(diǎn)H，連接，因?yàn)椋制矫?，平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，所以?dāng)時(shí)，平面，這樣的點(diǎn)P有無窮多，故B正確；對(duì)于C：由已知可知當(dāng)Q在正方形各邊中點(diǎn)時(shí)，與底面所成角最大，，所以，所以不布存Q使得與底面成的角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：作垂直于，連接，因?yàn)槠矫?，又平面，所以，又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)閯t為二面角的平面角，當(dāng)都無限向點(diǎn)B靠攏時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以二面角范圍是，故D正確．故選：BD.11.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則下列說法正確的有（）A.若，則數(shù)列單調(diào)遞減B.若對(duì)任意，都有，則C.若，則對(duì)任意，都有D.若的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)之和為正數(shù)，則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，由條件知，，而，結(jié)合，知，所以，所以，即數(shù)列單調(diào)遞減，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，首先有.若，則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，從而必成立；而當(dāng)n為奇數(shù)且時(shí)，由，知，，從而，即，這意味著.所以只要，就一定有恒成立，所以由恒成立不可能得到，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，顯然當(dāng)同為奇數(shù)或同為偶數(shù)時(shí)，必有同號(hào)，故；而當(dāng)?shù)钠媾夹圆煌瑫r(shí)，為奇數(shù)，此時(shí)不妨設(shè)分別是奇數(shù)和偶數(shù)，則因?yàn)椋蕿榕紨?shù)，而為奇數(shù)，所以，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，首先顯然的是，最大項(xiàng)必定是某個(gè)第偶數(shù)項(xiàng)，最小項(xiàng)必定是某個(gè)第奇數(shù)項(xiàng).當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，要讓最大，即要讓最小；而當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，要讓最小，即要讓最小.設(shè)和分別是到距離最小的正偶數(shù)和正奇數(shù)，則條件相當(dāng)于.而，故條件等價(jià)于，即.這表明，條件等價(jià)于，到距離最小的正奇數(shù)到的距離，大于到距離最小的正偶數(shù)到的距離.若，則到距離最小的正奇數(shù)和正偶數(shù)分別是1和2，而由可知，不符合條件；若，是正奇數(shù)，則到距離最小的正奇數(shù)到的距離為0，不可能大于到距離最小的正偶數(shù)到的距離，不符合條件；若，且不是正奇數(shù)，設(shè)到的距離最近的正偶數(shù)為，則.此時(shí)到距離最小的正偶數(shù)到的距離為，從而到距離最小的正奇數(shù)到的距離大于，進(jìn)一步知任意正奇數(shù)到的距離都大于.從而，，這意味著，，所以.綜上，，，故D正確．故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題12.已知函數(shù)，則________．〖答案〗〖解析〗，，，故〖答案〗為：13.已知，若平面內(nèi)滿足到直線的距離為1的點(diǎn)有且只有3個(gè)，則實(shí)數(shù)________．〖答案〗或〖解析〗設(shè)點(diǎn)，由可得：，兩邊平方整理得：，即點(diǎn)的軌跡是圓,圓心在原點(diǎn)，半徑為2.若該圓上有且只有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則圓心到直線的距離，解得．故〖答案〗為：或.14.有序?qū)崝?shù)組稱為維向量，為該向量的范數(shù)，范數(shù)在度量向量的長度和大小方面有著重要的作用．已知維向量，其中．記范數(shù)為奇數(shù)的的個(gè)數(shù)為，則______；______．（用含的式子表示）〖答案〗40〖解析〗根據(jù)乘法原理和加法原理得到．奇數(shù)維向量，范數(shù)為奇數(shù)，則的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，即1的個(gè)數(shù)為1，3，5，…，，根據(jù)乘法原理和加法原理得到，兩式相減得到故〖答案〗為：2；.四、解答題15.在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，角的平分線交邊于點(diǎn)，且.（1）求角的大??；（2）若，求的面積.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，故?（2）由題意可知，即，化簡可得，在中，由余弦定理得，從而，解得或（舍），所以.16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）若對(duì)任意，有恒成立，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，所以切線方程為．（2）當(dāng)時(shí)，，．令，，故在R上單調(diào)遞減，而，因此0是在R上的唯一零點(diǎn)即：0是在R上的唯一零點(diǎn)當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：x00極大值的單調(diào)遞增區(qū)間為：；遞減區(qū)間為：的極大值為，無極小值（3）由題意知，即，即，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以，所以17.正四棱臺(tái)的下底面邊長為，，為中點(diǎn)，已知點(diǎn)滿足，其中．（1）求證；（2）已知平面與平面所成角的余弦值為，當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：方法一：∵，∴．∵∴∴．∴，即．方法二：以底面ABCD的中心O為原點(diǎn)，以O(shè)M方向?yàn)閥軸，過O點(diǎn)平行于AD向前方向?yàn)閤軸，以過點(diǎn)O垂直平面ABCD向上方向?yàn)閦軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正四棱臺(tái)的高度為h，則有，，，，，，，，，．故，所以．（2）解：設(shè)平面ABCD的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，，則有，即，令，則．又題意可得，可得．因?yàn)?，?jīng)過計(jì)算可得，，．將代入，可得平面的法向量．設(shè)直線DP與平面所成角的為θ．18.以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓半徑分別為和，為大圓上一動(dòng)點(diǎn)，大圓半徑與小圓相交于點(diǎn)軸于于點(diǎn)的軌跡為．（1）求點(diǎn)軌跡的方程；（2）點(diǎn)，若點(diǎn)在上，且直線的斜率乘積為，線段的中點(diǎn)，當(dāng)直線與軸的截距為負(fù)數(shù)時(shí)，求的余弦值．解：（1）設(shè)，則，消去得，所以點(diǎn)軌跡的方程為.（2）方法一：設(shè)，直線的方程為，，消去y得，，即由韋達(dá)定理知，，所以，整理得，即，當(dāng)時(shí)，直線的方程為當(dāng)時(shí)，直線的方程為，恒過點(diǎn)，不合題意設(shè)，將，將M、N兩點(diǎn)代入到橢圓得，兩式相減得，即，所以，故，設(shè)與y軸負(fù)平軸所形成的夾角為，因?yàn)椋?，設(shè)與x正半軸所形成的夾角為，因?yàn)椋裕?方法二：設(shè)，直線的方程