汕頭市2023?2024學年度普通高中畢業(yè)班期末調(diào)研測試

皿「、、九

數(shù)學

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在

試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).

4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

第I卷選擇題

一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知2i是關(guān)于x的方程2爐+￡=°的一個根，則實數(shù)"的值為()

A.8B.-8C.4D.-4

2.設(shè)“表示”向東走10km”,B表示"向南走5kln”,則B+a+B所表示的意義為()

A.向東南走10j5kmB.向西南走ioj5km

C.向東南走5限mD.向西南走5向m

3.已知全集=Ac(jB)={l,3,5},則集合3為()

A,{2,4,6,7}B.{0,2,4,6,8}C.{0,2,4,6,7,8}D.{0,1,2,3,4,5,6,7,8}

4.已知直線4：2x-ay+l=0和4：(a-1)%-y+a=0平行，則實數(shù)a=()

A.2或-1B.1C.-1D.2

5.已知6e[。，萬],sin[d+z]cos['+z[=—%,貝Ijtan6=()

A."B.由C.V2D.V3

23

2222

6.關(guān)于橢圓+上一=1與雙曲線乙-±=1的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是()

25-k9-k97

A.焦點相同B.頂點相同C.焦距相等D.離心率相等

7.已知函數(shù)_/(1)=In巡芻,下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()

X

A./（x+l）+lB./（%-l）+lC./（x-l）-lD./（x+l）-l

8.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和、前2〃項和、前3〃項和分別為P、Q、R,貝『'｛4｝為等比數(shù)列”的一個必

要條件為（）

A.（P+Q）-R=Q2B.嚴+Q2=P（Q+R）

C.P+Q=RD.Q2=PR

二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

9.某科技攻關(guān)青年團隊共有10人，其年齡（單位：歲）分布如下表所示，則這10個人年齡的（）

年齡454036322928

人數(shù)121321

A.中位數(shù)是34B.眾數(shù)是32

C.第25百分位數(shù)是29D.平均數(shù)為34.3

10.已知定義在（0,+"）上的函數(shù)“X）滿足：Vx,ye（0,+co）,〃x）+/（y）=/（孫），且當0＜x＜1

時，/（x）＜0,若/（2）=1,則（）

A./（1）=0B.“X）在（0,+動上單調(diào)遞減

C.|/（x）|=/f^D./（2）+/（22）+-+/（220）=55

11.某食品的保鮮時間了（單位：小時）與儲存溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系y=eh+&

（e=2.71828…,k,b為常數(shù)）.若該食品在＞C的保鮮時間是120小時，在20。（3的保鮮時間是30小

時，則（）

A.左＜0且＞＞0

B.在1（FC的保鮮時間是60小時

C.要使得保鮮時間不少于15小時，則儲存溫度不低于30^

D.在零下2。（2的保鮮時間將超過150小時

6

12.在三棱錐尸—ABC中，平面ABC,PA=AB=BC=—AC=2,E是底面ABC上（含邊

2

界）的一個動點，尸是三棱錐P-ABC的外接球。表面上的一個動點，則（）

A.當E在線段AB上時，PELBC

B.E戶的最大值為4

C.當E4//平面PBC時，點廠的軌跡長度為2兀

D.存在點歹，使得平面PAC與平面PEB夾角的余弦值為逅

3

第n卷非選擇題

三、填空題：本題共4小題.

13.二項式(x+l)”("€N*)的展開式中x2的系數(shù)為15,則〃等于.

14.若正四棱臺的上、下底邊長分別為2、4,側(cè)面積為12百，則該棱臺體積為.

15.已知函數(shù)/(x)=2sin/x+會卜?！?)在區(qū)間［0,可上恰有三個零點，則。的取值范圍是

16.從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點；從雙曲線的一個

焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.如圖①，一個光

學裝置由有公共焦點打，鳥的橢圓C與雙曲線S構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點耳發(fā)出，依次經(jīng)S與C反射，

又回到了點的，歷時t秒；若將裝置中的S去掉，如圖②，此光線從點線發(fā)出，經(jīng)C兩次反射后又回到了

點月，歷時,2秒.若c與S的離心率之比為2:3,則馬=

0

圖⑴圖②

四、解答題：本題共6小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

B+c

17.DABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,a=6,加in---=asinB.

2

(1)求角A的大小；

(2)M為口ABC的重心，AM的延長線交于點。，且AM=2jL求口ABC的面積.

18.記等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為5“，首項為％,已知84=482，且%,=2a“+1,?eN*.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)求數(shù)列［(一的前〃項和.

19.如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，E、/分別為邊45、AC的中點，將△AER沿石尸翻折至

UA.EF,得四棱錐A—EFC3,設(shè)尸為A,。的中點.

(1)證明：尸尸//平面43E；

(2)若平面平面E/CB,求平面5PF與平面BCE夾角的余弦值.

20.《國家學生體質(zhì)健康標準》是我國對學生體質(zhì)健康方面的基本要求，是綜合評價學生綜合素質(zhì)的重要

依據(jù).為促進學生積極參加體育鍛煉，養(yǎng)成良好的鍛煉習慣，提高體質(zhì)健康水平，某學校從全校學生中隨機

抽取200名學生進行“是否喜歡體育鍛煉”的問卷調(diào)查.獲得如下信息：

①男生所占比例為60%；

②不喜歡體育鍛煉的學生所占比例為45%；

③喜歡體育鍛煉的男生比喜歡體育鍛煉的女生多50人.

(1)完成2x2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，分析喜歡體育鍛煉與性別是否有關(guān)聯(lián)？

體育鍛煉

性別合計

喜歡不喜歡

男

女

合計

(2)(i)從這200名學生中采用按比例分配的分層隨機抽樣方法抽取20人，再從這20人中隨機抽取3人.

記事件A=“至少有2名男生”、3=“至少有2名喜歡體育鍛煉的男生”、C="至多有1名喜歡體育鍛煉的

女生”.請計算P（5|A）和P（ABC）的值.

（ii）對于隨機事件ABC,P（A）＞0,P（AB）＞0,試分析尸（ABC）與尸（A）-P（叫A）-P（C|A3）

的大小關(guān)系，并給予證明

n(ad-bc\

參考公式及數(shù)據(jù)：/2=-------————------------,n=a+b+c+d.

(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

a0.100.050.0100.001

力a2.7063.8416.63510.828

21.已知圓心在，軸上移動的圓經(jīng)過點A（0,-4）,且與x軸、，軸分別交于3（x,0）、C（0?）兩個動點，

過點B垂直于％軸的直線與過點c垂直于y軸的直線交于點M.

（1）求點M的軌跡T的方程；

（2）點尸、Q在曲線T上，以P。為直徑的圓經(jīng)過原點。，作OHLPQ,垂足為X.試探究是否存在定

點R,使得囚”|為定值，若存在，求出該定點R的坐標；若不存在，說明理由.

22.已知函數(shù)/（x）=xlnx-a（x-l）,aeR.

（1）若1（x）2。,求實數(shù)。的值;

（2）當〃EN*時，證明：sin—^―+sin---+sin---+--+sin—＜In2.

n+1〃+2"+32n

汕頭市2023?2024學年度普通高中畢業(yè)班期末調(diào)研測試

皿「、、九

數(shù)學

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在

試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).

4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

第I卷選擇題

一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知2i是關(guān)于x的方程2爐+￡=°的一個根，則實數(shù)"的值為（）

A.8B.-8C.4D.-4

【答案】A

【解析】

【分析】利用復數(shù)的四則運算即可得解.

【詳解】因為2i是關(guān)于x的方程2尤2+q=0的一個根，

所以2x（2iy+q=0,則q=—2x（2i）2=—2x4i?=8.

故選：A.

2.設(shè)Q表示”向東走10km”,b表水"向南走5km”,則B+〃+B所表木的意義為（）

A.向東南走10j5kmB.向西南走loj^km

C.向東南走5限mD.向西南走5瓜m

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量加法的可交換性與意義即可得解.

【詳解】因為￡表示“向東走10km"，B表示“向南走5km”，

所以B+Z+B=Z+所表示的意義為“向東走10km"，再"向南走10km”,

等價于向東南走10J5km.

故選：A.

3.已知全集=Ac(jB)={l,3,5},則集合8為()

A,{2,4,6,7}B.{0,2,4,6,8}C.{0,2,4,6,7,8}D.{0,1,2,3,4,76,7,8}

【答案】C

【解析】

【分析】利用韋恩圖即可得解.

【詳解】因為=={0』,2,3,4,5,6,7,8},

4n

又Ac&B)={1,3,5}，所以3={024,6,7,8}.

故選：C.

4.已知直線人2x-ay+l=0和A：(a-1)%-y+a=0平行，則實數(shù)。=()

A.2或-1B.1C.-1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】由兩直線的不相交可得。的值，進而分類討論平行和重合的情形即可“

［詳解］當4：2x—ay+1=0,Z2：(a_l)x_y+a=0平行

得2x(-1)=(-a).(a-1),解得a=_］或a=2,

當。=-1時，/1：2x+y+l=0,Z2：-2x-y-1=0,即2x+y+l=0,此時直線乙和直線6重合，故

不符合題意，

當。=2時，/1：2x-2y+l=0,Z2：x-y+2=0,此時直線乙和直線乙平行，符合題意；

故選：D

5.已知6e［0,5),sin［，+14os［，+1)=—5,貝Utan6=()

V2C.V2D.V3

V

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦倍角公式和誘導公式化解原式，再用降塞公式即可求出答案.

【詳解】由L2sin[e+/]cos[，+"]=，sin（2，+/]=』cos2e=-L解得cos26=-L

2I4）I2I2）263

11

又由cos2,=2cos9"，—1=—，解得cos70=—，

33

因為6e0,-,所以cosd=火，

I2J3

又因為sin2，=l—COS2，=2,得sin6=—，

33

所以tanO=汨2=啦.

COS。

故選：C.

2222

6.關(guān)于橢圓^^+上一=1與雙曲線乙-土=1的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（）

25-k9-k97

A.焦點相同B.頂點相同C.焦距相等D.離心率相等

【答案】C

【解析】

【分析】利用橢圓與雙曲線的標準方程分別考慮其性質(zhì)即可得解.

【詳解】對于橢圓一一+工=1,顯然25-4>9—4恒成立，

25-k9-k

設(shè)橢圓的長軸長為2a,短軸長為26,焦距為2c,

所以/=25-左=9一左，則。2=片-/=25-"（9-左）=16,則c=4,

所以橢圓的焦點為（±4,0）,焦距為2c=8,頂點和離心率是變化的;

22

對于雙曲線1=1,顯然其焦點在y軸上，只需考慮焦距即可，不妨設(shè)其焦距為2c2,

則c；=9+7=16,故。2=4,所以雙曲線的焦距為2c2=8；

所以橢圓與雙曲線的焦距相等，故c正確，其余選項都不正確.

故選：C.

7.已知函數(shù)/(x)=ln更士義，下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()

X

A./(x+l)+lB.〃尤-1)+1C./(x-l)-lD./(x+l)-l

【答案】D

【解析】

【分析】分別求出每個選項中的函數(shù)的表達式，確定其定義域，結(jié)合奇函數(shù)的定義判斷，即可得答案.

【詳解】由于/(x)=In—2)=1+出二二,定義域為(—90)U(2,+8)

XX

故+1=+定義域為(—8,—1)3(1,+8),

/(-x+l)+l=ln-^-+2=ln^+2=-ln^-+2^-/(x+l)-l,

—X+1X—1X+1

即f(x+l)+l不是奇函數(shù)，A錯誤；

/(x-l)+l=ln^+2,定義域為(—8,1)U(3,+8),不關(guān)于原點對稱，

即/(X—1)+1不是奇函數(shù)，B錯誤；

/(x-l)-l=ln^,定義域為(—8/)U(3,+8),不關(guān)于原點對稱，

X-1

即/(x-1)-4不是奇函數(shù)，C錯誤；

/(x+1)—1=In曰，定義域為(7,-1)u(L+8)，

x+1

/(-x+l)-l=ln^4=ln^=-ln^4=-[/(x+l)-l],

—X+1x—1x+1

即/(x+1)—1=111言為奇函數(shù)，D正確，

故選：D

8.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和、前2九項和、前3九項和分別為P、。、R,貝『'｛4｝為等比數(shù)列”的一個必

要條件為()

22

A.(P+Q)_R=Q2B.P+Q=P(Q+R)

C.P+Q=RD.Q-=PR

【答案】B

【解析】

【分析】先分析得所選條件由“｛凡｝為等比數(shù)列”推得成立，再舉反例排除ACD,利用等比數(shù)列的通項公式

推得B選項的條件成立，從而得解.

【詳解】依題意，要成為“｛4｝為等比數(shù)列”的必要條件，

則“｛%,｝為等比數(shù)列”推出該條件成立，

對于ACD,當｛4｝為等比數(shù)列時，不妨取數(shù)列L2,4,n=l,

則P=1,Q=3,R=7,

此時(P+Q)—R=(l+3)—7=-3W9=Q2,故A錯誤；

此時P+Q=4w7=R,故C錯誤；

此時。2=9H7=PR,故D錯誤；

對于B,當｛4｝為等比數(shù)列時，設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為心

則尸=〃[+。2--------4，

Q-P=an+\+4+2+-,1+a2n=0'(%+O?+,,.+%)=礦P,

R-Q=a2n+\+。2”+2+…+&3n=["(%+%+…+4)=/'尸，

所以(Q—P)2=P(R—Q)，即尸2—2PQ+Q2=PR—PQ,

所以尸+Q2=PR—PQ+2PQ=P(Q+R),故B正確，

故選:B.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是分析出“｛4｝為等比數(shù)列”的必要條件是由其推出，再舉反例輕松排

除錯誤選項，從而得解.

二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

9.某科技攻關(guān)青年團隊共有10人，其年齡(單位：歲)分布如下表所示，則這10個人年齡的(

年齡454036322928

人數(shù)121321

A.中位數(shù)是34B.眾數(shù)是32

C.第25百分位數(shù)是29D.平均數(shù)為34.3

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)給定數(shù)據(jù)，利用中位數(shù)、眾數(shù)、百分位數(shù)、平均數(shù)的定義計算判斷即可.

【詳解】把10個人的年齡由小到大排列為28,29,29,32,32,32,36,40,40,45,

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為32,眾數(shù)為32,A錯誤，B正確;

由25%xl0=2.5,得這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是第3個數(shù)，為29,C正確;

28+2x29+3x32+36+2x40+45

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是==34.3，D正確.

10

故選：BCD

10.已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/(X)滿足：e(0,+oo),f(x)+f(y)=f(xy),且當0<x<l

時，〃x)<0,若"2)=1,則()

A."1)=0B./(x)在(0,+“)上單調(diào)遞減

D.〃2)+〃22)+…+〃2"=55

【答案】AC

【解析】

【分析】利用賦值法可判斷AC；利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合題設(shè)條件可判斷B,利用條件推得

f(Xn)=f(x)+f(x"T),從而利用累加法與等差數(shù)列的求和公式可判斷D.

【詳解】對于A,因為Vx,ye(0,+oo),/(x)+/(y)=/(xy),

令x=y=l,得/⑴+/⑴=〃1),則/⑴=0,故A正確;

對于c,令＞=：，得/(￡)+/"1)=0,則=

所以1(x)1=，故c正確；

對于B,設(shè)芯,％2e(0,+°°)且石<%2，則0<：<1，

XX

則/(%)-/(%2)=/2~~f(2)=f—+f(x2)~f(x2)=f2,

\X2J\x2J\x2J

因為當0<x<l時，/(x)<0,所以/%<0,即

VX2J

所以“X)在(0,+。)上單調(diào)遞增，故B錯誤；

對于D,令『尸，得"x〃)=/(x)+/(x"T),

則/(x2)=f(x)+/(x)，/(x3)=/(x)+/(x2),???,/(x),)=/(x)+/(x^1),

上述各式相加，得=T)/(X)+/(x)=W(x),

又"2)=1,

所以〃2)+/(22)+…+/(22。)=(1+2-+20)/(2)=^^^=210,故D錯誤；

故選：AC.

11.某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲存溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y=eh+"

(e=2.71828…,k,6為常數(shù)).若該食品在1C的保鮮時間是120小時，在20。(2的保鮮時間是30小

時，則()

A.左<0且>>0

B.在1(TC的保鮮時間是60小時

C.要使得保鮮時間不少于15小時，則儲存溫度不低于3(rc

D.在零下2。(2的保鮮時間將超過150小時

【答案】AB

【解析】

【分析】本題首先可根據(jù)題意得出丁=6加6是減函數(shù)，且120=犬>1,可判斷出A正確；根據(jù)120=/>1及

30-e2M+\可得則可求得8°用的值，判斷出B正確；解不等式小+仁15得xW30,則C錯誤；

2

當x=-2時，可求得/"+"<150,則D錯誤.

【詳解】因為該食品在0。（3的保鮮時間是120小時，在20。（2的保鮮時間是30小時，

易得y=eh+〃是減函數(shù)，結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性可知左<0,

又120=/>1,可知b>0,所以A正確；

又30=e2°"J即30=e2°七J，故e?.=Le10"=-,

42

則$°匕"=e10"-eA=-xl20=60,故B正確；

2

若e1215,則小2工，結(jié)合即”=」，

82

不等式化為eh2e3°J即日2303又左<0,所以xW30,

故C錯誤；

」1

lw-J

當％=-2時,e-2k+b=（ei）-2.ei-=（e）5420=（2）5.120<150故D錯誤；

故選：AB.

B

12.在三棱錐尸―ABC中，PAJ_平面ABC,PA=AB=BC=—AC=2,E是底面ABC上（含邊

2

界）的一個動點，廠是三棱錐尸-4BC的外接球。表面上的一個動點，則（）

A.當E在線段上時，PELBC

B.E尸的最大值為4

C.當E4//平面P6C時，點廠的軌跡長度為2兀

D.存在點歹，使得平面PAC與平面PFB夾角的余弦值為逅

3

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A：通過證明8cl面P43來判斷；對于B：三棱錐P-ABC補成正方體，求其外接圓半徑，

進而可得E戶的最大值；對于C：點廠的軌跡為過點A且與面平行的平面與外接球的交線，產(chǎn)生的軌

跡是一個圓，求該圓的半徑，進而可得軌跡長度；對于D：設(shè)平面PAC與平面尸色的交線為/,作出兩個

平面的夾角，求出其夾角的三角函數(shù)值的范圍，從而可以判斷.

【詳解】對于A：由已知A52+BC2=4。2,即從臺工臺。，

又尸A_L平面ABC,且BCu平面ABC,

所以PALBC,又PAABu面PAB,PA^AB=A,

所以8cl面P43,又PEu面P43,

所以PELBC,A正確;

對于B：設(shè)三棱錐尸-ABC的外接球。半徑為R,將三棱錐尸-ABC補成正方體A3CD-PGH/,如

圖:

三棱錐P-ABC的外接球0即為正方體ABCD-PGHI的外接球,

J4+4+4

、一22

則E戶的最大值為外接球的直徑，即2R=2k，B錯誤；

對于C：當E4//平面P6C時，點廠的軌跡為過點A且與面平行的平面與外接球的交線，產(chǎn)生的

軌跡是一個圓，設(shè)其半徑為『

設(shè)點A到面P6C的距離為人，

因為Vp_4BC=VA-PBC,

所以！X2XLX2X2=!X/ZXLX2X2正，解得h=V2，

3232

所以廠=R2-h2=1?

所以點廠的軌跡長度為271r=2兀，C正確；

對于D：取線段AC的中點連接

在正方體A5CD—PG/〃中，明顯有3Ml面PAC,即點3到面PAC距離為線段的長，且

BM=也，

設(shè)平面PAC與平面PEB的交線為/,平面PAC與平面PEB的夾角為6,過8做3N_L/交/與N,連接

MN,

明顯有BN11,BMC\BN=B,BM,BNu面BMN,

所以/上面BMN,則NBNM為平面PAC與平面PEB夾角，

則NBNM="’=正，又由圖象可得、歷

BNBN

所以sin9=正所以烏<64四，

BN\_2J62

所以0<cos6<^^，又G0,^-,

23L2_

所以存在點歹，使得平面PAC與平面尸色夾角的余弦值為底.

故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)于面面角的范圍問題，關(guān)鍵是要確定哪些量在變，哪些量不變，變的量在哪個范

圍變化，通過確定角的三角函數(shù)值的范圍可確定角的范圍.

第n卷非選擇題

三、填空題：本題共4小題.

13.二項式(x+l)”(”eN*)的展開式中爐的系數(shù)為15,則"等于.

【答案】6

【解析】

【分析】根據(jù)題意，(%+1)”(〃€網(wǎng)展開式的通項為7；+[=禺2,令r=2即可求解〃可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，(%+1)”(〃6網(wǎng)展開式的通項為心=最/，令廠=2,則慧=15=>〃=6

故答案為6.

【點睛】本題考查二項式定理的應用，注意二項式的展開式的形式，區(qū)分某一項的系數(shù)與二項式系數(shù).

14.若正四棱臺的上、下底邊長分別為2、4,側(cè)面積為126，則該棱臺體積為.

［答案］辿1##型后

33

【解析】

【分析】作出正棱臺的圖象，結(jié)合其側(cè)面積求得正四棱臺的斜高，再利用棱臺體積公式即可得解.

【詳解】由題意，正四棱臺上、下底面的邊長分別為2,4,

可得上、下底面面積為工=4,§2=16,

如圖所示，取上、下底面正方形的中心分別為a，。，再取E,歹分別為4G，8c的中點，

分別連接OOi,OXE,OF,EF,過點E作EM1OF,

因為該正四棱臺的側(cè)面積為126，易得E尸為等腰梯形3CG4的高，

所以4xgx(2+4)x￡b=12百，解得E/=卡，

在中，可得EM='E產(chǎn)產(chǎn)=3，

則該正四棱臺的高為。G,

所以該棱臺的體積為V=；(4+74x16+16)x亞=岑2.

故答案為：空Y1.

3

15.已知函數(shù)〃x)=2sin/x+會卜?！?)在區(qū)間［0,可上恰有三個零點，則。的取值范圍是

【答案】135叫3J

【解析】

【分析】先由題意求得。兀+2的取值范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于。的不等式，從而得解.

3

27c271271

【詳解】因為％￡［。,兀］,69>0,則COXH---<G7lH----，

333

又因為函數(shù)"X)=2sin，x+，J在區(qū)間［0,汨上恰有三個零點，

則3兀<〃>兀+—<4兀,解得—,

333

所以0的取值范圍為

33)

故答案為:135竺3］J

16.從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點；從雙曲線的一個

焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.如圖①，一個光

學裝置由有公共焦點月，片的橢圓c與雙曲線s構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點耳發(fā)出，依次經(jīng)s與c反射,

又回到了點￡,歷時4秒；若將裝置中的s去掉,如圖②，此光線從點月發(fā)出，經(jīng)c兩次反射后又回到了

則?

點打，歷時。秒.若c與s的離心率之比為2:3,

h

【答案】6

【解析】

【分析】在圖①和圖②中，利用橢圓和雙曲線的定義，分別求得□A3片和口CD耳的周長，再根據(jù)光速相同,

時間比等于路程比，再結(jié)合C與S的離心率之比為2:3,即可求解.

【詳解】在圖①中，由橢圓的定義得：忸耳|+忸居|=2%,由雙曲線的定義得|A居|—|A周=2。2,兩式相

減得忸周+忸周一|4閶+|A耳|=2%-2a2,

所以口4班的周長為2%-2出，

在圖②中，口?！?的周長為4%,

t2_4%_4

因為光速相同，§2%-2〃22—2%

q

c

因為C與S的離心率之比為2:3,即2=2=女=2,

%cq3

%

故答案為：6.

四、解答題：本題共6小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.DABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,a=6,6sin'+0=asinB.

2

（1）求角A的大小；

（2）Af為048。的重心，AM的延長線交于點D,且AM=26，求口人8。的面積.

1?

【答案】（1）-

3

⑵9G

【解析】

【分析】（1）在口48。中，利用誘導公式，正弦定理及正弦二倍角公式化簡可得結(jié)果；

（2）分別在DABC,△ABO和口4?！?gt;中，利用余弦定理建立等量關(guān)系，利用三角形面積公式可得結(jié)果.

【小問1詳解】

在□ABC中，因為"sin'+'=Z?sin|---|=bcos—=asinB,

2122J2

AA

由正弦定理可得sinBcos—=sinAsinB,</0<B<71,sinBW0,即cos—=sinA,

22

A.AAexCATCA.?

所以cos——2sin—cos—,<0<A<兀,/.0<—<一,cos—>0,

222222

故sind=L,即人=藥.

223

【小問2詳解】

因為M為口ABC的重心，AM的延長線交BC于點D,且AM=2g，

/2.2>s2i

所以點。為BC中點，且AD=3百，在048。中，a=6,cosA="=-,即

2bc2

be=b2+c~-36<

222

在AABD和口ACD中，cosZADB="必打-c?=_cosZADC=AD+CD-b化簡得

2ADBD2ADCD

b2+c2^12,

所以ZJC="+C2-36=72-36=36，故^UABC=—besinA=—x36xsin—=9A/3,

223

所以DABC的面積為9G.

18.記等差數(shù)列｛4｝的前幾項和為S“，首項為％,已知84=482，且〃2〃=2?！?1,〃eN*.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）求數(shù)列［（一1）”-4｝的前〃項和.

【答案】（1）an=2n-l

⑵小（-1廣〃

【解析】

【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式得到關(guān)于6，d的方程組，解之即可得解;

（2）利用錯位相減法即可得解.

【小問1詳解】

依題意，設(shè)等差數(shù)列｛2｝的公差為d,

因為=4邑,a2n=2an+1,

4x3d/.\(j

4aH------=4(+d)a-2na,a.=1

所以12V117，即解得

ad1d2

ax+(In-1)J=2ai+2(n-l)i/+1[i=-[=

所以a”=2n-l.

【小問2詳解】

由(1)得(—l)"y=(—

設(shè)數(shù)列[(—1)”-??｝的前〃項和為北，

則x1+(—1)x3+1)X5H---F(_l)—,

則=(-1)2X1+(-1)3X3+(-1)4X5+…+(T”"?(2〃—1)②,

兩式相減，得2T"=-1+(-1)2x2+(-1)3x2+(-1)4x2+…+(―1)"X2-(-1)，!+1-(2n-1)

=—l+2x(TRi-"+(-1)"-(2n-l)=(-1)"-In'

故7；

19.如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，E、/分別為邊AB、AC的中點，將沿E尸翻折至

UA.EF,得四棱錐4一瓦。3,設(shè)尸為4。的中點.

（1）證明：">//平面43E；

（2）若平面4后/，平面EFC8,求平面8PF與平面3CT夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

【解析】

【分析】（1）取43的中點Q,可得四邊形EFPQ為平行四邊形，則FP//EQ,再由直線與平面平行的

判定定理證明即可；

（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得4。，平面從而建立空間直角坐標系，求出面5PF與平面

5CR的法向量，再利用向量夾角公式求解即可.

【小問1詳解】

取43的中點Q,連接尸Q,

則有PQ//3C,且PQ=g3C,

又E、歹分別為邊A3、AC的中點，則ER//BC,且所=15。，

2

故尸Q//EP,且PQ=E7"

則四邊形EFPQ為平行四邊形，則FP//EQ,

又EP（Z平面ABE,EQu平面A3E,故中//平面43E.

【小問2詳解】

取E尸中點。，中點G,連接AQOG,

在DABC中，易得AE=AF,所以。G，E￡A。，,則其。，ER,

又平面4后/，平面E/CB,且交線為E尸，AOu平面4石產(chǎn)，

所以4。，平面EECB,則O4,OE,OG兩兩垂直，

故以。為原點，OE,OG,O4所在直線分別為x軸、〉軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

易得AO=OG=e，則A（0,0,百），F(xiàn)（-l,0,0）,B（2,V3,0）,C（-2,73,0）,

由p為4。中點，故P

7

則麗=0,—,而=(3,6,0),

I227

_,、n-FP=0

設(shè)平面5PF的一個法向量〃=(x,y,z),則〈_

n-FB=Q3%+百丁=0

取y=—G，則犬=1,z=G，故〃

易得平面BCF的一個法向量m=(0,0,1),

71

設(shè)平面BPb與平面5c/的夾角為夕，0<0<-9

2

\n-m\_|^|V21

則cos0=cos(m,n

In||mIV?xl7

所以直線AR與平面Bb所成的角的正弦值為巨.

7

20.《國家學生體質(zhì)健康標準》是我國對學生體質(zhì)健康方面的基本要求，是綜合評價學生綜合素質(zhì)的重要

依據(jù).為促進學生積極參加體育鍛煉，養(yǎng)成良好的鍛煉習慣，提高體質(zhì)健康水平，某學校從全校學生中隨機

抽取200名學生進行“是否喜歡體育鍛煉”的問卷調(diào)查.獲得如下信息：

①男生所占比例為60%；

②不喜歡體育鍛煉的學生所占比例為45%；

③喜歡體育鍛煉的男生比喜歡體育鍛煉的女生多50人.

(1)完成2x2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，分析喜歡體育鍛煉與性別是否有關(guān)聯(lián)？

體育鍛煉

性別合計

喜歡不喜歡

男

女

合計

(2)(i)從這200名學生中采用按比例分配的分層隨機抽樣方法抽取20人，再從這20人中隨機抽取3人.

記事件A=“至少有2名男生”、3=“至少有2名喜歡體育鍛煉的男生”、C="至多有1名喜歡體育鍛煉的

女生”.請計算尸(⑶力和P(ABC)的值.

（ii）對于隨機事件AB,C,P（A）＞0,P（AB）＞0,試分析尸（ABC）與P（A）?P（MA）-P（C|A5）

的大小關(guān)系，并給予證明

參考公式及數(shù)據(jù)：/2=7-----（ad、/be）、/----------,"=a+"+c+d.

（a+?）（€+?）（〃+.）（?+d）

a0.100.050.0100.001

Xa2.7063.8416.63510.828

【答案】（1）列聯(lián)表見解析；有關(guān)聯(lián)