浙江強基聯(lián)盟2023學(xué)年第二學(xué)期高三3月聯(lián)考

皿「,、憶\__rx

數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷

上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容。

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1,已知集合S={->-2},7=卜工+31叫，則S?/

()

A.B.[-4,-2)C.(-2,1]D.

2.已知i是虛數(shù)單位，則一匚=()

1-i

l+2i

D.-------

2

3.現(xiàn)有一項需要用時兩天的活動，要從5人中安排2人參加，每天安排一人，若其中甲、乙2人在這兩天都沒有

參加，則不同的安排方式有()

A.20種B.10種C.8種D.6種

4.已知x>0,y>0,貝1|()

A71nx+lny_7質(zhì)_|_ylnyByln(x+y)_71nx.

Cylnx-lny_71m:+ylnyD71n(孫)_71nx71ny

JT

5.若0<%<,，貝『'犬8$2尤<1”是“％88%<1”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.(1+X)6(1—%)4的展開式中，%6的系數(shù)為()

A.2D.10

7.己知函數(shù)“X)的定義域為R,且/(0)=/5)=1,若/(x+y)+/(x—y)=2/(x>cosy,則函數(shù)

A.以兀為周期B.最大值是1

(71Tl\

C.在區(qū)間-7,W上單調(diào)遞減D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

8.設(shè)點A,B,C是拋物線V=4x上3個不同的點，且若拋物線上存在點￡>,使得線段A?？偙?/p>

直線平分，則點A的橫坐標是()

A.1B.2C.3D.4

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.有兩組樣本數(shù)據(jù)：,%2024；%,%，…，％024淇中％=%+2024(7=1,2,-,2024),則這兩組樣本數(shù)據(jù)

的()

A,樣本平均數(shù)相同B.樣本中位數(shù)相同

C.樣本方差相同D.樣本極差相同

10.已知內(nèi)角A5c的對邊分別是名仇。，()

A若asin■+C=Z?sinA,貝"B=巴

23

jr

B.若(sinB—sinC)2=sin2A—sinBsinC,則A二—

6

TT

c.若a,4C成等比數(shù)列，則

Ar

D.若a,dc成等差數(shù)列，貝ijtan—+3tan—22

22

ii.已知正方體ABCD—ABC]〃的棱長為2,過棱cq,42，4耳的中點作正方體的截面，則()

A.截面多邊形的周長為亞+2而

B.截面多邊形的面積為2而

6

C.截面多邊形存在外接圓

D.截面所在平面與平面A3CD所成角的正弦值為姮

11

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量，=(2,1),1=(2/,4),若打。則實數(shù)/=.

13.點P(3,關(guān)于直線x+y—a=0的對稱點在圓(x—+(y—4了=13內(nèi)，則實數(shù)?的取值范圍是.

14.用國表示不超過x的最大整數(shù)，已知數(shù)列｛4｝滿足：q=g,4+1=丸片—〃(%—1),〃eN*.若2=。，

2024]

〃=-2,貝i]a“=；若4=〃=1,貝!|V一=.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.己知函數(shù)/(尤)=sinx—J§cos光.

(1)求/[S]的值，

(2)求函數(shù)y=/(x>sinx單調(diào)遞增區(qū)間.

16.小強和小基兩位同學(xué)組成“聯(lián)盟隊”參加兩輪猜燈謎活動.每輪活動由小強、小基各猜一個燈謎，他們猜對與否

互不影響.若兩人都猜對，則得3分；若僅一人猜對，則得1分；若兩人都沒猜對，則得0分.己知小強每輪猜對的

概率是三，小基每輪猜對的概率是:，各輪結(jié)果互不影響.

43

(1)求“聯(lián)盟隊”猜對4個燈謎的概率；

(2)求“聯(lián)盟隊”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

17.如圖，在四棱錐Q-A3CD中，四邊形A3CD為直角梯形，CD//AB,BCLAB,平面平面

ABCD,QA=Q。，點河是AD的中點.

(1)證明：QM±BD.

(2)點N是CQ的中點，AD=AB=2CD=2,當直線MN與平面Q2C所成角的正弦值為32時，求四棱錐

7

。―A5CD的體積.

18.已知橢圓G:?+y2=l的左、右頂點分別為4，4，點P為直線/：x=2上的動點.

(1)求橢圓G的離心率.

(2)若求點P的坐標.

(3)若直線尸4和直線時分別交橢圓G于B,C兩點，請問：直線5C是否過定點？若是，求出定點坐標；若

不是，請說明理由.

19.已知函數(shù)〃x)=[+號.

⑴當a=g時，記函數(shù)八%)導(dǎo)數(shù)為了'(%),求/'⑼的值.

3

(2)當a=l,時，證明：/(x)>—cosx.

⑶當時，令8(尤)=6[。+1-"尤)],g(x)的圖象在x=〃z,尤="0<〃)處切線的斜率相同，記

g(m)+g(")的最小值為人⑷，求人⑷的最小值.

(注：e=2.71828?是自然對數(shù)的底數(shù)).

浙江強基聯(lián)盟2023學(xué)年第二學(xué)期高三3月聯(lián)考

皿「,、憶\__rx

數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷

上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容。

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1,已知集合S={->-2},7=卜工+31叫，則S?/

()

A.B.[-4,-2)C.(-2,1]D.[1,+co)

【答案】C

【解析】

【分析】由一元二次不等式的解法和交集的運算得出即可.

【詳解】T={x|X2+3X-4<0}={X|-4<X<1},

所以S?T{x\-2<x?1}(-2,1],

故選：C

2.已知i是虛數(shù)單位，則一匚=()

1-1

l+2i

D.

2

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算法則即可得出結(jié)論.

【詳解】匚ir*i(l+3i)-1+i

2

故選：B.

3.現(xiàn)有一項需要用時兩天的活動，要從5人中安排2人參加，每天安排一人，若其中甲、乙2人在這兩天都沒有

參加，則不同的安排方式有()

A.20種B.10種C.8種D.6種

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)排列數(shù)的定義和公式，即可求解.

【詳解】由題意可知，從除甲和乙之外的3人中選2人,安排2天的活動，有A；=6種方法.

故選：D

4.已知x>0,y>0,貝!|()

A71nx+lny_71nx+ylnyB.71n(%+y)_lux

Cylnxlny_ylnx+ylnyD.7比(取)_/-j]x\x^ylny

【答案】D

【解析】

【分析】A、B、C選項可用賦值法判斷正誤，D選項根據(jù)指數(shù)與對數(shù)計算法則判斷.

【詳解】設(shè)x=l,y=2則

7lnl+ln2=7“2工1+7“2,A錯誤;

7皿1+2)=7儂7M2,B錯誤;

71nHl12=1工7川+71nc錯誤;

71n(取)=^In.r+lnv_7111r.7"',D正確.

故選：D.

jr

5.若0〈尤<5，則“xcos2x<l"是"COSX<1”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】構(gòu)建函數(shù)/(%)=sin%-xcosx，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得1〉sinx〉xcosx>xcos2x,xe[o,]

進而分析判斷.

【詳解】設(shè)/(x)=sinx-xcosx,(x)=cosx-(cosx-xsinx)=xsinx,

當0<x<]時/'(x)>0,可知/(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，且/(0)=0,

冗_

所以當0<%<耳時，l>sin%>xcosx>xcos2%恒成立，

rr

故若0<X<,,貝1J“xcos2x<l"是"xco&x<l”的充分必要條件

故選：C.

6.(l+x)6(l—x)4的展開式中，/的系數(shù)為()

A.2B.-2C.8D.10

【答案】A

【解析】

【分析】先將原式化為(1+2%+f)0—犬)4,再用二項式通項計算即可.

【詳解】(l+x)6(l-x)4=(l+x)2(l-x2)4=(1+2X+X2)(1-X2)4,

24

(1-X)的通項為Tk+l=Cf(—

前面括號內(nèi)出1時，令2左=6n左=3,此時C：(—爐=—4；

前面括號內(nèi)出2x時，左無解,

前面括號內(nèi)出/時，令2左=4=>左=2,此時C；(—1『=6,

所以/的系數(shù)為—+6=2,

故選：A.

7.己知函數(shù)八％)的定義域為R,且/@=m=l,若/(x+y)+/(x—y)=2/(x)-cosy,則函數(shù)4%)

()

A,以兀為周期B.最大值是1

(7171A

C.在區(qū)間一工，1上單調(diào)遞減D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

【答案】D

【解析】

【分析】利用賦值法，分別令x=0,y=t,x=-+t,y=~,x==,y=-+t,得到

2222

/(x)=sinx+cosx=V2sinx+工［逐項判斷

詳解】解：令x=0,y=t,得/("+/(—/)=2cosf,

令x=|"+f，y=|-.得/(兀+r)+/(r)=O,

令1=/，y=—+t,得/(兀+0+/(-0=_251皿，

22

由以上3式，得=sim+cos%,

71

即/(x)=sin%+cosx=亞sinXH----

4

則/（九）的周期為丁=2兀，故A錯誤;

“X）的最大值為④，故B錯誤;

7171…兀

令xe，貝IJ%+7￡上不單調(diào)遞減，故C錯誤;

4*44

因為/(_%)=V2sin^-x+—

，所以/（f）//（X），且/（—X）/—“X），

所以/（%）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故D正確.

故選：D.

8.設(shè)點A,B,C是拋物線/=4x上3個不同的點，且A81AC,若拋物線上存在點。，使得線段A?？偙?/p>

直線平分，則點A的橫坐標是（

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】說明直線5C過定點石（4+%,-%）,并求出A關(guān)于點E的對稱點代入拋物線即可求解.

（2A、

【詳解】設(shè)A號，％,

B，弘，，%，

I4777

X—%—4

則嚷47._4

22%+%,同理&ic=?AB—

2L_A%+%%+M

44

2\

4X-”++

故直線方程為:y=

%十%

整理得(x+%)y=4%+%%，①

44

由AB1AC得--------------=T，整理得(x+%)為+%%+y；+16=。,②

由①②兩式得（X+%）（丁+%）=4（兀-4一/）,即直線過點￡（4+/,—%）,

A關(guān)于點E的對稱點即為點。（8+%,—3%）在拋物線上,

代入得4(8+/)=9y：=36飛,解得尤()=L

故選:A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查拋物線中的定點問題，關(guān)鍵是利用垂直得斜率的關(guān)系進而求出定點坐標.

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.有兩組樣本數(shù)據(jù)：石,々，，々024；如%，，%024?其中X=E+2024(i=l,2,,2024),則這兩組樣本數(shù)據(jù)

的()

A.樣本平均數(shù)相同B.樣本中位數(shù)相同

C.樣本方差相同D.樣本極差相同

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差、中位數(shù)和極差，依次分析選項即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，對于數(shù)據(jù)均，巧，L,々024，

假設(shè)石<々<-^2024,

設(shè)其平均數(shù)為了、中位數(shù)為沈、方差為S2、極差為“，

貝1萬=^^(占+%+…+々024)，機=3(尤1。12+尤1。13)，

n

~兀2024—X\，

S22+(X-X)2+(x-x)2+2

=^^[(與_丁)23……+(x2024-x)],

又由%=%+2024"=1,2,L,2024),

設(shè)其平均數(shù)為歹、中位數(shù)為7〃'、方差為5°、極差為“'，

則數(shù)據(jù)％，為，L,以024的平均數(shù)為

y=7^4(石+2024+x2+2024-+x2024+2024)=(%+/++%2024)=元+2024,

中位數(shù)初=卜“2+2024+%+2024)=扣?！?2024…2024,

n'=y2024一%=(々024+2024)-(尤1+2024)=n,

2222

方差S'?=[(%+2024-%-2024)+(x2+2024一元—2024)+........+(x2024+2024-x-2024)]=S,

故這兩組樣本數(shù)據(jù)的方差相同、極差也相同，平均數(shù)和中位數(shù)不同.

故選：CD.

10.已知的內(nèi)角A5c的對邊分別是。，4c,()

A.若asm>=bsinA,則8='

23

jr

B.若(siaB—sin。)？=sin2A—sinBsinC,則A=—

6

jr

c.若成等比數(shù)列，則3V—

3

Ar

D.若a,dc成等差數(shù)列，則tan—l-3tan一>2

22

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用正弦定理、余弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換逐一判斷即可.

A+「

【詳解】選項A：由正弦定理可得sinAsin-------=sinBsinA,

2

因為..ABC中ABe(。,兀)，A+B+C=TI,所以sin二sin3,

_DDDD

所以sin------=cos—=2sin—cos—,解得3=q，A說法正確；

22223

選項B：若sin2B-2sinBsinC+sin2C—sin2A-sinBsinC，

則由正弦定理整理可得〃2=b2+C2-bc，

序42_2i

又由余弦定理可得cosA=——=-,

2bc2

因為Ae(O,7i),所以A=B說法錯誤；

選項C：若。，仇c成等比數(shù)列，則從=呢，

根據(jù)余弦定理可得cosB=1>2ac~ac=1,當且僅當a=c時等號成立,

laclac2

7T

所以BK—,C說法正確；

3

選項D：若仇c成等差數(shù)列，則2b=a+c,

A+CA+CA+CA—C

根據(jù)正弦定理可得2sin5=sinA+sinC,所以2sin(A+C)=4sin---cos---=2sin---cos--一,

因為ACe(0,7i),所以2cos--—=cos--—,展開得

cAC.A.CAC.A.C

2cos——cos----2nsin——sin—=cos——cos——l-sin——sin——，

22222222

gpcos—cos—-3sin—sin—=0,

2222

ArArAC11

兩邊同除cos—cos一得l-3tan—tan—=0,即tan—tan一=—

―2222223

A「IAF7AC

所以tan=+3tan上2213tan4tan*=2,當且僅當tan—=3tan—時等號成立，D說法正確;

22V2222

故選：ACD

11.已知正方體ABC?！睦忾L為2,過棱CG，42，AM的中點作正方體的截面，則（）

A.截面多邊形的周長為0+2&5

B.截面多邊形的面積為2而

6

C.截面多邊形存在外接圓

D.截面所在平面與平面A3CD所成角的正弦值為姮

11

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)題意畫出正方體，將題中截面畫出，根據(jù)邊長關(guān)系即可求出邊長和面積；判斷截面多邊形各邊長垂直

平分線是否交于一點即可判斷出多邊形是否存在外接圓；根據(jù)二面角定義和余弦定理求出截面所在平面與平面

ABCD所成角.

【詳解】連。尺，延長交直線GA，G用的延長線于點尸，E,連尸支交。2于N,連PE交BB［于M,連

QN,得到截面五邊形尸連接尸與莊的中點。.

由Q,尺為中點，|MP|=|NP|=2『，|°H|=J5,|MR|=|NQ|=￥，因此周長為、歷+2屈，故A正

確.

閥=3日附=廂，囪=與，SPFE=；殍36=當~

sFNQ=SMRE=-smAPFE-\FN\-\FQ\=^-,

截面多邊形的面積為S.E-S*。-S小1而'故B正確.

VPNQ與是公用一個頂點的全等三角形，兩個三角形的外心不重合，所以這個五邊形沒有外接圓，故C

錯誤.

根據(jù)二面角定義可知NAOP為截面與底面所成角，|40|=孝，|4“=3,根據(jù)余弦定理可得

3幺8」4。『10尸「'砰=_3而，故‘0必”;叵

,故D錯誤.

仆21Aol311勺11

故選AB.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量4=（2,1）,人=（2/,4）,若。_|_",則實數(shù)/=______,

【答案】-1

【解析】

【分析】依題意可得。0=0,根據(jù)數(shù)量積坐標表示得到方程，解得即可.

【詳解】因為。=（2,1）,匕=（2/,4）且。_L0,

所以a.b=2x2/+lx4=0，解得/=—1.

故答案為：-1

13.點P（3,a）關(guān)于直線x+y—。=0的對稱點在圓（x—2）2+（y—4）2=13內(nèi)，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】4<?<10

【解析】

【分析】首先求對稱點，再根據(jù)點與圓的位置關(guān)系，列式求解.

【詳解】設(shè)點？（3,。）關(guān)于直線x+y—a=0的對稱點為（x,y）,

y-a

（T）=T

x—3x=0

則，得＜

3+xa+y八^y=a-3

+-a=0

I22

又題意可知，（O-2）2+（?-3-4）2<13,解得：4<a<10.

故答案為：4<a<10

14.用國表示不超過x的最大整數(shù)，已知數(shù)列｛4｝滿足：ax=|,4+1=2。；—〃eN*.若彳=0,

20241

〃=-2,貝U=;若2=〃=1

2"

【答案】①.2——，②.2

3

【解析】

2

【分析】當彳=0,〃=一2時，利用構(gòu)造法可得出數(shù)列｛%—2｝是等比數(shù)列，求出4—2=—§X2〃T,進而得出區(qū),；

111

當；1=〃=1時，由題目中的遞推關(guān)系式可得4+1>4,,—=——---------%025〉2,即可求解.

a,an-l%—1

【詳解】當2=。，〃=一2時，an+i=2（^an—1）,即見十1一2二2（〃九一2）,

2

則數(shù)列｛為―2｝是以％-2=-耳為首項，2為公比的等比數(shù)列.

22"

所以4_2=_§X2"T,即4=2—

3

當4=〃=1時，%=。；一(?！币?)，即4+1-1=%(%-1)，且%-%=3-1)220,

4

故%+?%,故a“Nq=g>l,故4+]_/=(a“_i)2一>0,

1111111

an+l>>1,a?-l*0,所以一,所以一=

一1an。〃一1an+l-1

4翌1111

因為巧二，所以自1或+小H-----

%024

(111(11)(111

+十,+

、％—1%—1,、出—1%—1,、。2024—1。2025一1,

1

--=3——-

Q]—14025—1%02511

42/\131336916,.

由4=§，可得:火----6Zo----,CLA-------------F1>2.

4+1=a~2938146561

2024

11

因?！?1>，所以"2025>2,°<-------<1,則E一=2.

“2025—1i=l

故答案為：2-匕；2.

3

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合，數(shù)列的通項公式及前〃項和.利用構(gòu)造法即可求解第一空；借

111

助遞推關(guān)系式得出見+1>%，一=一7-------生025〉2是解答第二空的關(guān)鍵.

4%-1an+1-l-

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.己知函數(shù)/(尤)=sinx-J§cos光.

(1)求/［S］的值，

(2)求函數(shù)y=/(x>sinx的單調(diào)遞增區(qū)間.

【答案】⑴=

7172兀J/.)、

(2)—+ku,——ku(Z￡Z)

【解析】

jr

【分析】(1)將X代入化簡即可得出答案；

6

(2)化簡y=/(%)?sinx,求y=g—sin［2x+：］的單調(diào)遞增區(qū)間即求y=sin［2x+t］的單調(diào)遞減區(qū)間，令

JTJT3兀

-+2fai<2%+-<—+2fai,^eZ,即可得出答案.

262

【小問1詳解】

ff—=sin--6cos巴=--A/3x-=-1.

(6J6622

【小問2詳解】

y=/(x)-sinx=sin2%-V3sinxcosx=--—cos2x-sin2%=’一sin(2%+二］,

2222I6J

求y=g_sin［2x+g］的單調(diào)遞增區(qū)間即求y=sin12x+的單調(diào)遞減區(qū)間,

TVTV3兀

令一+2hi<2x+—<----F2foi,keZ,

262

jr2TT

解得：—HkitV%<---Fkit,keZ,

63

IT27r

所以所求的單調(diào)增區(qū)間為-+kTi,—+kn(keZ).

16.小強和小基兩位同學(xué)組成“聯(lián)盟隊”參加兩輪猜燈謎活動.每輪活動由小強、小基各猜一個燈謎，他們猜對與否

互不影響.若兩人都猜對，則得3分；若僅一人猜對，則得1分；若兩人都沒猜對，則得。分.已知小強每輪猜對的

概率是士3，小基每輪猜對的概率是?：，各輪結(jié)果互不影響.

43

(1)求“聯(lián)盟隊”猜對4個燈謎的概率；

(2)求“聯(lián)盟隊”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】16.-

4

23

17.分布列見解析，E(X)=”

6

【解析】

【分析】(1)題意可知小強和小基兩位同學(xué)兩輪猜謎都猜對，根據(jù)獨立重復(fù)事件計算方式計算即可；

(2)“聯(lián)盟隊”兩輪得分之和X=0,1,2,3,4,6,根據(jù)獨立重復(fù)事件計算方式計算這6種情況概率即可.

【小問1詳解】

解：記事A：兩輪猜謎中，小強猜中第i個；事件與：兩輪猜謎中，小基猜中第i個.(，=1,2)

。=網(wǎng)44“)=目目=:

【小問2詳解】

“聯(lián)盟隊”兩輪得分之和X=0,1,2,3,4,6

P（X=O）=（：&6

P（X=2）=C；*|+〔J+（|）端

P（X=3）V*|4

尸（X=4）后

所以“聯(lián)盟隊”兩輪得分之和X的分布列為

X012346

152515j_

P

1447214412124

23

所求數(shù)學(xué)期望E(X)=L-

6

17.如圖，在四棱錐Q-A5CD中，四邊形A3CD為直角梯形，CDHAB,BC1AB,平面平面

ABCD,QA=QD,點M是AD的中點.

(1)證明：QMLBD.

(2)點N是CQ的中點，AD=AB=2CD=2,當直線MN與平面Q5C所成角的正弦值為走時，求四棱錐

7

Q—A5CD的體積.

【答案】(1)證明見解析

⑵*

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)和面面垂直的性質(zhì)可得QM±平面ABCD,由線面垂直性質(zhì)可得結(jié)論;

(2)方法一：取5C中點b，作由線面垂直的性質(zhì)和判定可證得平面Q8C,由線面角定義可

知sinNMNG=」m，根據(jù)長度關(guān)系可構(gòu)造方程求得。河，代入棱錐體積公式可求得結(jié)果；

7

方法二：取中點歹，以口為坐標原點可建立空間直角坐標系，由線面角的向量求法可構(gòu)造方程求得QM,代入

棱錐體積公式可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

M是AZ)中點，QA=QD,:.QM±AD,

.平面QAO,平面ABCD,平面QADC平面=。凹(=平面”。,

..QM工平面ABC。，又5Du平面ABC。，

【小問2詳解】

方法一：取中點b，連接作MG_LQ/,垂足為G,連接NG,MC,

B

M,尸分別為AD,3C中點，AB//CD,:.MF//AB,又3CLAB,.?.MFL5C；

由（1）知：QM，平面ABCD，5。匚平面48。，，0M，3。；

QM,"Fu平面QM尸，QMMF=M,BCJ_平面QM/，

必7<=平面!2知/，二5。，加6,

又MG上QF,QFBC=F,。/,5Cu平面Q3C,，MG，平面QBC,

???直線MN與平面@C所成角為NMNG,.?.sinNMNG=32

7

設(shè)。M=a(a>0),

i32

MF=-(AB+CD)=-BC=AAD-\^AB

.-.MC=JMF2+^BC)

3

一

QMMFCl3a

vMG=-.........2...

QFW~219+4/，

-----FCl

4

3a

MG_的+4/一再3

:.sinNMNG，解得：Q=百或。=5,

MNb7

%TB8=gx；(A3+CD>3CQM=

...當叫=6時，VQ_ABCD=^,當QM=|時,V-=乎

綜上所述：四棱錐Q-A5CD的體積為之或女8

24

方法二：取BC中點b，連接MF,

尸分別中點，AB1/CD,:.MF//AB,又3CJ_AB,.?.MFLBC；

由（1）知：QM，平面ABCD，

以尸為坐標原點，/M,FB正方向為羽丁軸正方向，過尸作z軸〃QM,可建立如圖所示空間直角坐標系,

設(shè)QW=a（a>0）,

]3

MF=-（AB+CD）=~,BC=AD2-（^AB

/

.1.MlI，0,0I0g3o，a），B0,§o],cfo,-店0〕A/3a'

2'/N

22JI4一7可'

3y/3a、、

/.MN=

,BC=（O,-AO）,CQ=5'2,a；

4427

設(shè)平面QBC的法向量〃=（羽y,z）,

BC-n=—y/3y=0

則《36，令x=2a,解得：y=0,z=—3,=（2〃,0,-3）；

CQ?H——xH——y+az—0

MN-n\-3a\V42

「JcosMN，“二3

7，解得：°=百或Cl——

MN2

=；xg（A5+CD）.BC.QM，

:?當時，VQ_ABCD=^,當QM=|時，%*8=手?

綜上所述：四棱錐Q-A5CD的體積為之或之叵.

24

2

18.已知橢圓G:]+/=l的左、右頂點分別為A-A2,點尸為直線/：x=2上的動點.

（1）求橢圓G的離心率.

(2)若求點P的坐標.

(3)若直線P4和直線尸&分別交橢圓G于3,C兩點，請問：直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若

不是，請說明理由.

【答案】18.迪

3

19.(2,司或(2,-司

【解析】

【分析】(1)直接由定義求出即可；

(2)設(shè)出坐標，結(jié)合已知條件由射影定理求出即可；

(3)兩次利用直曲聯(lián)立，表示出點5c的坐標和直線的斜率，由點斜式寫出直線方程，即可求出直線過

的頂點.

【小問1詳解】

橢圓G的離心率為e=￡=—

a3

設(shè)尸(2,p),直線X=2交X軸于點Q,由PA???|PQ『=|Q4H32|=5

.?.P(2,7?)或尸(2,—君)

p(2,p),A(-3,0),4(3,0)，

???/"：丁=撲+3）代入d+9y2=9得：

（9p2+25#+54/龍+81/—225=0,

△=（54/）2—4義（9/+25卜（8力2—225）＞0

設(shè)3a,%），。（尤2，%）

“I…I，-

f-3（9^-25）30P、

：.B

9P2+25'9p2+251

*:y=_〃（X_3）代入/+9y2=9得:

（9p2+1*—54/x+81/-9=0,

A=（54/?2）2-4x（9/?2+1）x（81/72-9）＞0

81P2-9