龍巖市2024年高中畢業(yè)班三月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題

(滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘)

注意事項(xiàng):

L考生將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)及所有的答案均填寫(xiě)在答題卡上,

2.答題要求見(jiàn)答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項(xiàng)”.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知集合4={尤I3—%—2<0},3=卜夕一1>0},則()

A.(-60,0)B.(O,2)C.(-l,0)D.(-l,2)

2.已知復(fù)數(shù)z滿足i.z=3+4i,則z—彳=()

A.-6iB.6iC.-8D.8

3.已知互相垂直的平面以￡交于直線/,若直線加，“滿足加〃％”，尸，則()

A.m//IB.m//nc.mlnD.n±l

4.已知向量G=(—4,3)石=(1,—2),貝IJCOSR+2反()

5.——1(x+y)7的展開(kāi)式中的系數(shù)為()

Iy)

A.-91B.-21C.14D.49

兀［4

6.已知0vv(2<5，cos(a+/)=y,sin(二一4)=彳，則tancrtan/7的值為()

ABC.—D.2

413

2

7.已知直線/:y=kx-,與拋物線C:y=2px(p>0)相交于AB兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)

線相切于點(diǎn)M(T,—1),則|人同=()

9

A.4B.—C.5D.6

2

8.已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,且/(x+y)+/(x—y)—/(x)/(y)=0,7(-1)=1,則()

A./(0)=0為奇函數(shù)

C./(8)=-lD./(X)的周期為3

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列命題正確的是（）

A.若。<匕<0,則">">62

B.若a<b<0,貝!Iac2<be2

C.若0<a<b<c,則

ab

D.若0<a<b,貝U2aH—>2Jab

2

10.已知點(diǎn)8（2,1）與圓。：0-2）2+（?-2）2=4,4是圓。上的動(dòng)點(diǎn)，則（）

的最大值為28+2

B.過(guò)點(diǎn)B的直線被圓。截得的最短弦長(zhǎng)為6

C.8-4V2<0CO4<8+4A/2

D.VxeR,|cO-x詞的最小值為苛1

11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A88—A4GA中，已知分別是棱CQ,Ad，5c的中點(diǎn)，點(diǎn)Q

滿足面=4西"e［0,1］，下列說(shuō)法正確的是（）

A.不存在為使得QALQ4

B.若四點(diǎn)共面，則九=；

C.若2=',點(diǎn)尸在側(cè)面8gGC內(nèi)，且A廣〃平面APQ,則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為巫

33

D.若；1=工，由平面MNQ分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體5和某球能夠被整體放入d或。z，則

2

該球的表面積最大值為（12-60）兀

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.定義在R上的函數(shù)/⑴滿足/（2+%）=/（2-”,且“X）在（-。,2］上單調(diào)遞減，則不等式

/(2%+3)</(1)的解集為.

13.在口ABC中，NA4c=1201A8=2,AC=3,。為5C上一點(diǎn)，為N54C的角平分線，則AZ)=

22

14.斜率為-1的直線與橢圓C：=+A=l(a>6>0)交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)T是橢圓上的一點(diǎn)，且滿足

ab

L417B,點(diǎn)尸，。分別是口何丁口。"的重心，點(diǎn)H是口L4B的外心.記直線。尸,OQ,OR的斜率分別為

匕，七,心,若桃晟=_3,則橢圓。的離心率為.

8

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(本題滿分13分)

2023年秋季，支原體肺炎在我國(guó)各地流行，該疾病的主要感染群體為青少年和老年人.某市醫(yī)院傳染病科從該

市各醫(yī)院某段時(shí)間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機(jī)抽查了200人，并調(diào)查其患病情況，將調(diào)查結(jié)果整

理如下：

有慢性疾病沒(méi)有慢性疾病

未感染支原體肺炎6080

感染支原體肺炎4020

(1)試根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析70歲以上老年人感染支原體肺炎與自身慢性疾病是否有

關(guān)？

(2)用樣本估計(jì)總體，并用本次抽查中樣本的頻率代替概率，從本市各醫(yī)院某段時(shí)間就醫(yī)且年齡在70歲以

上的老年人中隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽取的3人中感染支原體肺炎的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望

E(X).

n(ad-be?

附：z2n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

a0.100.050.0250.0100.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

16.(本題滿分15分)

如圖，在四棱錐P—ABC。中，DPAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，BC=AB=2AD,AD//

BC,AB.LBCf設(shè)平面尸平面PCO=/.

C

AD

(1)作出/(不要求寫(xiě)作法)；

(2)線段上是否存在一點(diǎn)石，使/〃平面AQE?請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若BC1/,求平面P/4B與平面PC。的夾角的余弦值.

17.(本題滿分15分)

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d(d>l),令b=」------L，記S,,,,分別為數(shù)列｛4｝,｛2｝的前/!項(xiàng)和.

"an

(1)若4%=4%+%,52+心=13,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

rb

(2)若數(shù)列匕｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，4=1=2,g=2q—l,03=2%+2,求數(shù)列上卜的前〃項(xiàng)

〔C”一

和4.

18.(本題滿分17分)

已知函數(shù)/(x)=ln(2儂)，機(jī)是大于0的常數(shù)，記曲線)=/(%)在點(diǎn)(下,/(七))處的切線為/,/在I軸上的

截距為工2，*2>0,

(1)若函數(shù)g(x)=f一l—W(x),aeR,求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)％+々>—時(shí)，求三的取值范圍.

m

19.(本題滿分17分)

已知雙曲線C：無(wú)2—V=4,A是雙曲線。的左頂點(diǎn)，直線/：尤=沖+/(加/±1).

(1)設(shè)直線/過(guò)定點(diǎn)8(1,0),且交雙曲線。于E,F兩點(diǎn)，求證：直線AE與A廠的斜率之積為定值；

(2)設(shè)直線/與雙曲線。有唯一的公共點(diǎn)M.

(i)已知直線/與雙曲線。的兩條漸近線相交于兩點(diǎn)R,S,求證：MR=MS

(ii)過(guò)點(diǎn)M且與/垂直的直線分別交1軸、y軸于尸(x,0),0(0,y)兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N(%,y)的

軌跡方程.

龍巖市2024年高中畢業(yè)班三月教學(xué)質(zhì)量檢

測(cè)

數(shù)學(xué)試題參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分._________________________

題號(hào)12345678

選項(xiàng)BADcDAcc

題號(hào)91011

選項(xiàng)ACACDACD

8,簡(jiǎn)析：二y二C,行⑻=0財(cái)(0)=2,^<(0)=0Elf(X)=0不合題意

,故/(0)=2,所以A錯(cuò)誤；

令x=0得故f(x)為偶函數(shù)，所以B錯(cuò)誤；

令V二一1,得/(x-D+/(x+1)=f(x),所以f(x)+/(x+2)=f(x+1),

所以f(x+2)=-f(x-1),所以/(x)的周期為6,所以D錯(cuò)誤；

令x=y=1,得了⑵+〃o)=/S,所以/⑵=—1,

所以/⑻=-1,故c正確.

11.簡(jiǎn)析：對(duì)于A,如圖(1)：易虻QA"陽(yáng)I,故但不可能為直角三角形的斜

邊，所以九不存在，所以A正確；

對(duì)于B,如圖(2),延展平面MNP,

易知平面MNP過(guò)CC：的中點(diǎn).々4=-忙

卜"'7

.=]

所以“2,故B錯(cuò)誤；

N0

71

對(duì)于C,如圖(1),若"=

取B5的三等分點(diǎn)G(靠近4),

的中點(diǎn)H，易得平面不湖〃平面舟心，

所以GH即為產(chǎn)的軌跡，計(jì)算得叵“卜虧，所以C正確;

對(duì)于D,易知，該球是以用為頂點(diǎn)，

底面為正六邊形MRNSPQ的正六棱錐相切的球，

3-V3

由等體積法可得該球的半徑為下]，

所以該球的表面積最大為(12-675加，所以D正確.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

高三數(shù)學(xué)答案第1頁(yè)(共7

頁(yè))

6

12.[-1。]13.514.

14.簡(jiǎn)析：R恰好是線段AB的中點(diǎn)，%=曝,

記線段ArB『的中點(diǎn)分別為C,。,易得匕=kg=%u,%=k0Q=囁

b2

由點(diǎn)差法可得,一不尚一9亍

1

k.-,k丁*?kb-k”=k,-k^,-k.=(—7)3=—

相乘得?23訝二a,?’3M8,

b11,/2

————g-

化簡(jiǎn)得42,所以2.

四、解答題：本題共5小題，共77分.

15.（本題滿分13分）

解：（1）假設(shè)HQ：70歲以上老人感染支原體肺炎與自身慢性疾病無(wú)關(guān).

2200x（60）20—80x4）20%公總⑨v

7=------------------------------------：?7.524>3.841=x（.

則100>100>140>603分

根據(jù)小概率值R=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷力不成立，即認(rèn)為70歲以上

老人感染支原體肺炎與自身慢性疾病有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于

0.05.5分

3

/、-XgX~E(3.=).X=0.123八

(2)由已知得，107分

P(X=0)=(―7)3.=匹343，P(X=1)=C(―3).(―7)2c=—441,

101000310101000

3

P(X=2)=C;(—)<(—)=^->P(X=3)=CK—)=^

310101000”101000

_______所以隨機(jī)變量X的分布列為二______________________,______________

X0123

34344118927

P

1000100010001000

11

分

匚.3431.441189..27_9

所以E~°+1TO0+2o+3~1013

16.（本題滿分15分）/\\\c

解：（1）如圖所示PQ即為所作，；3分///一二>

（2）存在E為心的中點(diǎn)，使，〃平面ADE.證明如;左A一

延長(zhǎng)BA交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,連接

高三數(shù)學(xué)答案第2頁(yè)G.野”

頁(yè)）

QAD//BC

QAAD

-QB=BC_

QBC=2AD,

:QB=2QA,即A為QB的中點(diǎn).

又QE為PB的中點(diǎn)，

.EA//PQ、

QAE：二平面ADE,PQH平面ADE,

:/〃平面ADE.

即線段PB上存在一點(diǎn)E,使平面ADE.8分

(3)分別取AB、CD中點(diǎn)。、M,連接P。、0M,

-OM//BC,

'工P

QAB_BC7

OM-AB

又QBC_/,AB_LBCJIAB=QJ,AB二平面PAB,

:平面PAB,

..OM_L面PAB,

..0M1P0.

QPA=PB,。為AB中點(diǎn)，?PO_AB.

以。為原點(diǎn)，以。Q,OM,OP分別為X軸（y軸,z軸建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，10

分

.P(0,0,V3),€(-1,2,0),D(1,1,0)

LIW,—"kJ?

；PD=(Xl-V3),DC=(-2,10).

設(shè)向量%=(x,y⑵為平面PCD的一個(gè)法向量，

Zrr-

\m-PD=x+y-<3z=0.

則|mDC=—2x+y=0；取x=1,得力=(12套),

又;)=(0J0)為平面MB的一個(gè)法向量，13

分

設(shè)平面PAB與平面PCD的夾角為9,

irr2J2

cosB=|cos</nn>|=-/=—

■x/1+4+32.

V2

?平面PAB與平面PCD的夾角的余弦值為215

分

17.（本題滿分15分）

解：（1）Q^o2=Aal-a3

高三數(shù)學(xué)答案第3頁(yè)（共7

頁(yè)）

^(a2-a)=a3

4d=q-2d即q=2d,

/.q,=d(n-1)

2

,=2(n+n)=2n(n+1)=2n2A4

"「5(門+1)一丁,?也二W

3分

又S,—八二13

:.Q「a2f:4二13,

24

2d-3d-。-=二13

ad,

d=3

/.5d2-W-6=0,解得：d=2或5,

又d>1,,d=2,「.q*=2(八一1)7分

⑵設(shè)數(shù)列上｝公比為?q>o),

=

Qo22C|—1=3

d=a2-a,=1

an=n-1,h,=2n又?3=25-2=8

Qq>0,「.q=2,「.j=2”，

.A_2n(n-1)_n

工1=("1)2，"F'

11

分

A4=1(1)°-2(1)1-3(1)2-L-(n-1)(l)-2-n(l)-\L①

1(1)1-2(1)2-3(1)3-L-(n-1)(1)--n(l)-\L②

2

高三數(shù)學(xué)答案第4頁(yè)（共7

頁(yè)）

“4"嗎尸

15

分

18.（本題滿分17分）

解：（1）函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?,+尤），x2分

①當(dāng)。3o時(shí)，g'（x）》o,g（x）在區(qū)間（0,+動(dòng)上單調(diào)遞增.4分

②當(dāng)。＞0時(shí)，由9'（x）＞0,得X’一二，

g（x）在區(qū)間‘行一'一0上單調(diào)遞增；

八V2a

由g'（x）vC）,得0＜x＜三,

（0

g（x）在區(qū)間’2上單調(diào)遞減.6分

綜上：QW0時(shí)，g（x）的增區(qū)間為（0,+尤），無(wú)減區(qū)間；當(dāng)Q＞0時(shí),

g（x）的增區(qū)間為（三'一'），減區(qū)間為。個(gè)一）.7分

11

Qf'(x)=-y_H2mX1)=—(x-x,)

(2)x,切線/方程為：為，10

分

令y=0.得*2=為[1一m(2mxJ]

Qm>0,

x.|>0又%>0

1-ln(2/rX|)>0，

e

0<X1<

2m12

分

ii

X|—>—Xi[2—Iri(2/7iY()]--->0

又由，m,得m

高三數(shù)學(xué)答案第5頁(yè)（共7

頁(yè)）

1

2-ln(2mx.)—-->0

即叫

h(x)=2-in(2mx)--—

令mx,14

分

xEO；)

則2m

11-mx

Qhr(x)=--

xmx^mr

當(dāng)而時(shí),h'（x）>o,當(dāng)氤寸,hf（x）<0；

11

（0_）（__-z）

，h（x）在區(qū)間'm單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減,

1e2

W—）=0W—）=1-->0,

而2m,2me

（__L）

「?與的取值范圍是2m'2m17

分

19.（本題滿分17分）

解：（1）因?yàn)橹本€,過(guò)定點(diǎn)以1,0）,所以x二m/一Mmw二1）,1分

：x=ny+1,

J

由,-y?=4消去X,得（加一1）9+2W一3:0,a>。，m^+1

__2m__3

設(shè)E（%,yJ,F（X2，yJ,則—療_//治一芯_[4分

總「.必%

直線AE的斜率"不+2'"&+2,

kkYiYi

所以惑"一(…(公+2)

(rry.+3)(ny2+3)

,乂/________

3m

m2yly2+(必4心)+9

高三數(shù)學(xué)答案第6頁(yè)（共7

頁(yè)）

3

__________________

->—3o—2mn

rrr--弓--r3m—-=---F9

m--1nr-1

-31

-3m2-6ITT+9m2-93

即直線AE與AF的斜率之積為定值.7分

(2)因?yàn)橹本€，；x=my十與雙曲線。有唯一的公共點(diǎn)M,

所以直線，與雙曲線。相切.

[x=ny+1

由；片一才=4,消去x,得