西安市第一中學(xué)2024屆高三第五次模擬考試

數(shù)學(xué)（文）

考生注意：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.

2.請(qǐng)將各題答案填寫(xiě)在答題卡上.

3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.復(fù)數(shù)z滿足iz=2+i,其中i為虛數(shù)單位，則忖=（）

A.1B.6C.2D.75

2已知集合4={尤6用％<3},3={1,2,4},則AD5=（）

A.{1,2,4)B.{0,1,2,4}

C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4}

3.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形邊長(zhǎng)為1,其中粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為

4.已知.ABC中，,q=2,卜4=3,且.ABC的面積為g,則A=()

A.30°B,30°或150°C.60°D,60°或120。

5.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x20時(shí)，f(x)=2x+x+m,貝1/(—3)=()

A.-10B.-4C.4D.10

6.已知非零向量a/滿足I回=4a,且;工（2二+片，則a與6的夾角為（）

7.已知兩個(gè)共中心。的正方形的邊長(zhǎng)分別為2和4,在如圖所示的陰影中隨機(jī)取一點(diǎn)則直線ON的

11

C.1D.-

68

8.已知函數(shù)/（》）=——3奴2+4,若/a）存在唯一的零點(diǎn)％,且尤。＜0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

A.(-oo,3)B.(-oo,l)C.(-1,+oo)D.(-3,+00)

9.中國(guó)古典樂(lè)器一般按“八音”分類，這是我國(guó)最早按樂(lè)器的制造材料來(lái)對(duì)樂(lè)器進(jìn)行分類的方法，最早見(jiàn)

于《周禮?春官?大師》，八音分為“金、石、土、革、絲、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”為

打擊樂(lè)器，”土、匏、竹”為吹奏樂(lè)器，“絲”為彈撥樂(lè)器.某同學(xué)計(jì)劃從“金、石、匏、竹、絲5種課程

中選2種作興趣班課程進(jìn)行學(xué)習(xí)，則恰安排了1個(gè)課程為吹奏樂(lè)器、1個(gè)課程為打擊樂(lè)器的概率為（）

3232

A.-B.一C.—D.一

4553

5兀

10.將函數(shù)/（x）=sinxcosx+百cos?》的圖像向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)g（x）的圖像，則

6

g（x）的一個(gè)對(duì)稱中心為（）

11.已知直線/:及+y—2f—百=0QeR）與圓C:（尤—1『+丁=16相交于兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|人理的取值

范圍是()

A.[273,8]B.[4^,8]C.(4百,8)D.[4,4^]

12.已知三棱錐F—ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，底面滿足3A=3C=n，ZABC=|,

若該三棱錐體積的最大值為3,則其外接球的體積為()

32

A.4兀B.8兀C.71D.1671

3

第n卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.

22

13.已知雙曲線4=1(?！?)>0)的離心率為百，則雙曲線c的漸近線方程為.

ub

14.若sinx=-」，貝ijcos2x=.

3

15.當(dāng)l<x<2時(shí)，不等式f—儀+100恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

16.已知等差數(shù)列｛%｝和也｝的前〃項(xiàng)和分別為S“和7；,且j=1丁，則冒=.

n〃4

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品按質(zhì)量分為一等品和二等品，該企業(yè)計(jì)劃對(duì)現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行改造，為了分析設(shè)備

改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取200件產(chǎn)品作為樣本，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)

如表：

一等品二等品合計(jì)

設(shè)備改造前12080200

設(shè)備改造后15050200

合計(jì)270130400

(1)判斷是否有99%的把握，認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量與設(shè)備改造有關(guān)；

(2)按照分層抽樣的方法，從設(shè)備改造前的產(chǎn)品中取得了5件產(chǎn)品，其中有3件一等品和2件二等品.現(xiàn)

從這5件產(chǎn)品中任選2件，求選出的這2件全是一等品的概率.

附：K2=-----、：(ad\，bc)-----,其中〃=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

18.己知等差數(shù)列｛。“｝和正項(xiàng)等比數(shù)列｛>“｝滿足：q=4=3,%。-12=2,3a4=4-

(1)求數(shù)列｛4｝,也｝的通項(xiàng)公式；

(2)記q,=ajbn,數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為Sn,求S”.

19.如圖，四棱錐P—ABCD中，B4_L平面ABC。，AB//CD,PA=AB=AD=2,CD=1,

ZADC=90°,E,尸分別為尸5AB的中點(diǎn).

(1)求證：CE〃平面B4。；

(2)求點(diǎn)B到平面PCF的距離.

1,

20.已知函數(shù)/(%)=21nx-—ox2+(2〃-1)%(〃>0).

(1)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求。的值；

(2)設(shè)g(x)=V—2x,若對(duì)任意se(0,2],均存在te(0,2],使得/(s)<g?),求。的取值范圍.

21.已知拋物線的方程為V=2px,直線x=—1為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)P(l,2),且A,3為拋物線上的不同

兩點(diǎn)，若有與m垂直.

(1)求拋物線的方程.

(2)證明：直線AB過(guò)定點(diǎn).

【選做題】(下面兩題中任選一題作答)

1

x—t-\—

"二島15為參數(shù)）,

22.在直角坐標(biāo)系x0y中，直線/的參數(shù)方程為曲線c的參數(shù)方程為＜；

y=l+m

y=t--

a為參數(shù)）.

（1）求直線/和曲線c普通方程;

（2）已知點(diǎn)P（O,1）,若直線/與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求畫(huà)+看的值?

23.已知函數(shù)/（1）=歸一2|+3國(guó).

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值為機(jī)，正數(shù)a,6,c滿足a+Z?+c=m,求證a?.

參考答案

一、選擇題

1.復(fù)數(shù)z滿足iz=2+i,其中i為虛數(shù)單位，則忖=（）

A.1B.73C.2D.逐

【答案】D

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算與模的概念求解.

【詳解】由題意得z=+=1—2i,忖=JE=迅，

故選：D

2.已知集合4={無(wú)￡岡尤＜3},3={1,2,4},則AD5=（）

A.{1,2,4}B.{0,1,2,4}

C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4}

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)集合并集運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)锳={xeNk<3}={0,l,2},3={l,2,4}

所以AuB={0,L2,4}

故選：B

3.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,其中粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為

()

A.24兀B.31兀C.33兀D.36兀

【答案】C

【解析】

【分析】由三視圖可得，該幾何體是由半球與圓錐組成的簡(jiǎn)單幾何體，求解即可.

【詳解】由圖可知，顯然該幾何體是由半球與圓錐組成的簡(jiǎn)單幾何體.

由題得半球的半徑為08=3,圓錐的底面半徑為08=3,高為。4=4,母線長(zhǎng)為A3=5,

所以其表面積為2兀><32+71x3x5=33兀.

故選：C.

4.已知-ABC中，,@=2,卜4=3,且的面積為g,則A=()

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120。

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【詳解】因?yàn)?.ABC中，|aq=2，kq=3,且ABC的面積為T(mén)

SABC=g網(wǎng)"sinA=；創(chuàng)23?sinA=1.

所以sinA='，所以4=30°或150°.

2

故選：B.

5.已知“力是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x20時(shí)，/(x)=2A+x+m,則/(—3)=()

A.-10B.-4C.4D.10

【答案】A

【解析】

【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)有"0)=2°+機(jī)=0求參數(shù)，再利用奇偶性求/(—3).

【詳解】因?yàn)?(%)是定義在R上的奇函數(shù)，所以"0)=2°+機(jī)=0,解得機(jī)=-1,

所以4-3)=-”3)=-10.

故選：A

rr

6.已知非零向量滿足|刈二4。,且>，(2二十片，則〃與Z?的夾角為()

兀兀2兀5兀

A.lB.一C.—D.—

3236

【答案】C

【解析】

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和夾角公式求解.

r/rr、rrr,

【詳解】由題意，得a<2a+b)=2a2+a-b=0,即rr2ra：

rrr2

/r?,\a?b—2a1/\2兀

所以cos(*=防=:所以=

故選:C.

7.已知兩個(gè)共中心。的正方形的邊長(zhǎng)分別為2和4,在如圖所示的陰影中隨機(jī)取一點(diǎn)則直線的

TT

傾斜角不大于一的概率為()

4

【答案】B

【解析】

【分析】利用根據(jù)幾何概型的定義可得答案.

7T

【詳解】滿足“直線加的傾斜角不大于一”這個(gè)條件的點(diǎn)”構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分,

4

根據(jù)幾何概型的定義，可知所求概率為名=9.

84

8.已知函數(shù)/。)=丁—3。/+4,若/⑺存在唯一的零點(diǎn)七,且與＜0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

A.(-oo,3)B.(-oo,l)C.(-1,+00)D.(-3,+co)

【答案】B

【解析】

【分析】求導(dǎo)/'(無(wú))=3犬—6Q=3X(X—2a),從而分類討論以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而轉(zhuǎn)化為極值問(wèn)題

求解即可.

【詳解】；/(%)=%3-3ax2+4,f'(x)=3x2-6ax=3x(%-2a),

當(dāng)a=0時(shí)，f\x)>0,/(x)=d—3奴2+4在R上是增函數(shù),

故了（無(wú)）存在唯一的零點(diǎn)—犯，符合題意；

當(dāng)時(shí)，當(dāng)x<2a或x>0時(shí)，f\x）>0；當(dāng)2a<x<0時(shí)，/'（x）<0,

/（%）=/-3奴2+4在（-8,2a）上是增函數(shù)，（2a,0）上是減函數(shù)，在（0,+對(duì)）上是增函數(shù)，

當(dāng)x趨向于負(fù)無(wú)窮時(shí)，由于V的變化幅度遠(yuǎn)大于/的變化幅度，故”元）趨向于負(fù)無(wú)窮，

而且/（0）=4,/（x）存在唯一的零點(diǎn)不<0,符合題意；

當(dāng)。>0時(shí)，/（x）=d—3。/+4在（—8,0）上是增函數(shù)，（0,2a）上是減函數(shù)，在（2a,+8）上是增函數(shù)；

當(dāng)x趨向于負(fù)無(wú)窮時(shí)，Ax）趨向于負(fù)無(wú)窮，而且/'（0）=4,在（-8,0）有一個(gè)零點(diǎn)，

故結(jié)合題意只需使/（2a）=843—12/+4〉0,解得，a<1：

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-8,1）,

故選：B.

9.中國(guó)古典樂(lè)器一般按“八音”分類，這是我國(guó)最早按樂(lè)器的制造材料來(lái)對(duì)樂(lè)器進(jìn)行分類的方法，最早見(jiàn)

于《周禮?春官?大師》，八音分為“金、石、土、革、絲、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”為

打擊樂(lè)器，”土、匏、竹”為吹奏樂(lè)器，“絲”為彈撥樂(lè)器.某同學(xué)計(jì)劃從“金、石、匏、竹、絲5種課程

中選2種作興趣班課程進(jìn)行學(xué)習(xí)，則恰安排了1個(gè)課程為吹奏樂(lè)器、1個(gè)課程為打擊樂(lè)器的概率為（）

3232

A.—B.—C.—D.一

4553

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題目首先列出總的事件數(shù)，再列出滿足條件的基本事件數(shù)，進(jìn)一步求出答案.

【詳解】“金、石”為打擊樂(lè)器共2種，“匏、竹”為吹奏樂(lè)器共2種，“絲”為彈撥樂(lè)器，共1種，5

選2的基本事件有（金、石）（金、匏）（金、竹）（金、絲）（石、匏）（石、竹）（石、絲）（匏、竹）

（匏、絲）（竹、絲），共10種情況，其中恰安排了1個(gè)課程為吹奏樂(lè)器、1個(gè)課程為打擊樂(lè)器的基本事件

為（金、匏）（金、竹）（石、匏）（石、竹），共4種，

42

故所求概率為一=一.

105

故選：B.

5兀

10.將函數(shù)/（x）=sinxcosx+百cos?》的圖像向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)g（x）的圖像，則

g(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為()

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】先把〃盼的解析式化成/(尤)=Asm(a)x+(p)+b的形式，然后根據(jù)平移求出g(x)解析式，從而根

據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱中心求出g(x)的對(duì)稱中心，進(jìn)而可得答案.

【詳解】/"(%)=sin%COSX+A^cos2x=-sin2x+cos2x+=sin12%+5)+

222

57r

因?yàn)榱刷诺膱D像向右平移L個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)g(x)的圖像，

6

垂＞

5兀71=sin(2x+g]+

所以g(x)=sin2%+—=sin|2x-—|+

34I3J~2’

因?yàn)閥=sinx的對(duì)稱中心為(E,0)(keZ),

所以當(dāng)2x+.E時(shí)，x吟號(hào)g(x)/,

'而71J3

即函數(shù)g(x)的對(duì)稱中心為―(左eZ),

)

當(dāng)人=1時(shí)，對(duì)稱中心為

故選：A.

11.已知直線/:江+丁—25百=0?€1<)與圓。：(％—1)2+丁=16相交于43兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)的取值

范圍是(

A.[273,8]B.[473,8]C.(473,8)D.[4,473]

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得直線恒過(guò)點(diǎn)P(2,、后)，結(jié)合圓的性質(zhì)和弦長(zhǎng)公式，即可求解.

【詳解】因?yàn)橹本€枕+y—2%—百=0QER),可得Mx—2)+y—百=0,

x—2=0LL

由＜廠，解得x=2,y=百，所以直線恒過(guò)點(diǎn)P(2,6),

y-73=0

可得點(diǎn)尸(2,百)在圓(x—1)2+y2=16內(nèi)部,

又由圓(x—1)2+丁=16,可得圓心C(LO),半徑為r=4,

當(dāng)直線/過(guò)圓心C(L0)時(shí)，截得弦長(zhǎng)|回|最長(zhǎng)，此時(shí)|A4rax=2r=8，

當(dāng)直線/與PC垂直時(shí)，此時(shí)弦長(zhǎng)最短，又由因=5(2_1)2+(庠0)2=2,

22

可得|A4mhi=2^r-|PC|=2416-4=，

所以弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍是[4月,8].

故選：B.

12.已知三棱錐F—ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，底面滿足3A=3C=布，ZABC=~,

2

若該三棱錐體積的最大值為3,則其外接球的體積為()

32

A.4兀B.8兀C.—兀D.16兀

3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，確定一ABC外接圓圓心。，確定在三棱錐尸-A5C的體積最大時(shí)外接球球心。與

。、P的位置關(guān)系，再由勾股定理求出半徑，即可得體積.

【詳解】?.?胡=3。=#，ZABC=p貝UABC是等腰直角三角形，

AC為-ABC所在截面圓的直徑，

取AC的中點(diǎn)。，則。為uWC外接圓圓心，

設(shè)三棱錐P-ABC外接球的球心為。，

則O￡)J_平面ABC,

.底面ABC的面積為定值，

當(dāng)P,O,。共線且尸，。位于截面同一側(cè)時(shí)，棱錐的最大高度為尸。，棱錐的體積最大，

則三棱錐P—ABC的體積V=LxLx而x"xP￡)=3,解得P￡)=3,

32

設(shè)外接球的半徑為R，則OD=3—H,OC=R,

在.ABC中，AC=NBA+BC?=J(網(wǎng)?+(網(wǎng)2=2』，

在一0￡>C中，CD=1AC=6,

2

由勾股定理得：（3—R『+3=R2,解得R=2.

外接球的體積V=W*23=受.

33

故選：C.

二、填空題

22

13.已知雙曲線C：=—與=1（a〉0）>0）的離心率為百，則雙曲線C的漸近線方程為

ab

【答案】y=+42x

【解析】

b

【分析】利用離心率和雙曲線的關(guān)系可構(gòu)造方程求得一的值，由此可得漸近線方程.

a

【詳解】雙曲線C離心率e=￡=Jl+《=&,.?.1+衛(wèi)=3,解得:-=41,

a\a'aa

雙曲線。的漸近線方程為：y=+y[2x.

故答案為：y=±yjlx.

14.若sinx=-L,則cos2x=

3

7

【答案】-

【解析】

【分析】直接根據(jù)二倍角公式求解.

27

【詳解】根據(jù)二倍角公式，cos2x=l-2sin2x=l——=—.

99

7

故答案為：—

15.當(dāng)時(shí)，不等式/—狽+1go恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】g,+m).

【解析】

【分析】根據(jù)題意分離參數(shù)。，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)求定區(qū)間的最值即可.

【詳解】當(dāng)1WXW2時(shí)，不等式九2—以+iwo恒成立，

所以當(dāng)時(shí)，三土^=》+工恒成立，則x+工，

XX\Jmax

令g(x)=x+L則g(x)在［1,2］單調(diào)遞增，

所以8(力厘=8(2)=2+；=?所以

故答案為：［5,+8).

16.已知等差數(shù)列｛4｝和也｝的前〃項(xiàng)和分別為S”和7；,且j=i三，則,=

4

【答案】一

3

【解析】

S〃〃+3

【分析】根據(jù)U=-r設(shè)出S〃，1的二次形式，由此求得。3，“，即可化簡(jiǎn)得到結(jié)果.

Tn"T

【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列｛4｝和｛0｝的前n項(xiàng)和分別為S“和7；,

S”〃+3n{n+3).

故可設(shè)口=----=-------=k,

Tnn-\n(n-l)

所以S,=krt(n+3),Tn=k〃(n—l),kwO,

〃3_S3-S?18Z—10左_8左_4

所以

打工4—工3\2k—6k6k3,

4

故答案為：—.

3

三、解答題

17.某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品按質(zhì)量分為一等品和二等品，該企業(yè)計(jì)劃對(duì)現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行改造，為了分析設(shè)備

改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取200件產(chǎn)品作為樣本，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)

如表：

一等品二等品合計(jì)

設(shè)備改造前12080200

設(shè)備改造后15050200

合計(jì)270130400

(1)判斷是否有99%的把握，認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量與設(shè)備改造有關(guān)；

(2)按照分層抽樣的方法，從設(shè)備改造前的產(chǎn)品中取得了5件產(chǎn)品，其中有3件一等品和2件二等品.現(xiàn)

從這5件產(chǎn)品中任選2件，求選出的這2件全是一等品的概率.

2

附：K=-------(adjc)、/--------；其中〃=a+〃+c+d.

[a+b)(c+d)[a+c)[b+d)

2

P(K>k0)0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

【答案】(1)有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量與設(shè)備改造有關(guān)

【解析】

【分析】(1)先計(jì)算出K?的值，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想，即可得到答案;

(2)先列出5件產(chǎn)品中任選2件的所有情況，再計(jì)算出2件全是一等品的情況，利用古典概型計(jì)算公式計(jì)

算即可.

【小問(wèn)1詳解】

2

...y=400(120x50-150x80)=400=i0256>6_635

200x200x270x13039

:.有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量與設(shè)備改造有關(guān).

【小問(wèn)2詳解】

在取出的5件產(chǎn)品中，3件一等品記為a,b,c,2件二等品記為D,E,

從這5件產(chǎn)品中任選2件的所有情況為ab,ac,aD,aE,be,bD,bE,cD,cE,DE,共10種,

其中2件全是一等品的情況為ab,ac,be,共3種，

3

選出的2件全是一等品的概率為一.

10

18.已知等差數(shù)列｛%｝和正項(xiàng)等比數(shù)列也｝滿足：q=2=3,60-12=%，3a4=4-

（1）求數(shù)列｛%｝,｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）記c,=ajb",數(shù)列｛g｝的前幾項(xiàng)和為S.，求S”.

n

【答案】（1）an=2n+l,bn=3

l+1

（2）n-3'

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組求出公差、公比即可得解;

（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求和即可.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)數(shù)列｛%｝公差為d,數(shù)列也｝的公比為《，

fa10-12=b2Jq+9d_12=b].g[9d-9-3q

則13a4=4=[3（q+3d）=Zvq2[3（3+3d）=3-q~

消元得/_q_6=0nq=3或q=_2（舍去），故1=2,

故a”=3+2（〃-1）=2〃+1力“=3&T=3”.

【小問(wèn)2詳解】

由C"=aj〃=（2"+1）3,

則S"=（2xl+l）x31+（2x2+l）x32+（2x3+l）x33+.+（2〃+l）x3"①

3S“=（2xl+l）x32+（2x2+l）x33++（2九一l）x30+（2"+l）x3"+l②

①一②得：—2S”=3x3+2（32+3、+3,J）-（2H+1）-3,!+1=3+2（3+32++3,,）-（2H+1）-3"+I

3（1-3"）

=3+2x_；§，—（2〃+1）-3"M=-In-3n+}.

故S“=〃3+L

19.如圖，四棱錐P—ABCD中，上4_L平面ABC。，ABHCD,PA=AB=AD=2,CD=1,

ZADC=90°,E,尸分別為P5AB的中點(diǎn).

(1)求證：CE1〃平面QAZ>；

(2)求點(diǎn)B到平面PCF的距離.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵迫

5

【解析】

【分析】(1)設(shè)G是必的中點(diǎn)，連接GE,DG,證明四邊形CDGE是平行四邊形，可得CE//DG,

再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；

(2)先證明CFLP尸，再利用等體積法求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

證明：取Q4中點(diǎn)G,連接GE、GD,

由于E是的中點(diǎn)，GE//AB,GE=-AB,

2

由于CD〃AB,CD=-AB=1,所以GE//CD,GE=CD,

2

所以四邊形CDGE是平行四邊形，所以CE//GD,

由于上，￡)Gu平面PA。，

所以CE〃平面

小問(wèn)2詳解】

設(shè)點(diǎn)B到平面PCF的距離為h,

因?yàn)锳4_L平面ABC。，CEu平面A3CD,所以

由于CE>〃"，CD=AF,所以四邊形AZJCb是平行四邊形，

由于NADC=90°,所以C/IAB,

由于A3cPA=平面R4B，

所以Cb，平面R45,

又PFu平面叢B,所以CPP,

在中，竹=在方=石，所以SAPFC=；CF-PF=#，又-BF=1.

由心BCF=VB-PCF得立BCFPA=^PCF,h,

即人*撞

°.PCF5

所以丸=冬5,即點(diǎn)B到平面PCV的距離為雙I.

55

1

20.已知函數(shù)/(x)=21nx--4zx92+(2〃-1)九(a>0).

(1)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(L/(l))處的切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求。的值;

(2)設(shè)g(x)=V一2x,若對(duì)任意se(0,2],均存在tw(0,2],使得/(s)<g?),求。的取值范圍.

【答案】(1)。=4；

(2)(0,l-ln2).

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程(含參數(shù)。)，由切線過(guò)原點(diǎn)求出。的值;

(2)利用導(dǎo)數(shù)研究/(X)的單調(diào)性并求出(0,2]上的最大值，由二次函數(shù)性質(zhì)求g(x)在(0,2]上的最大值,

根據(jù)已知不等式恒(能)成立求參數(shù)。的范圍.

【小問(wèn)1詳解】

12

由fM=21nx——ax2+(2a-l)x(a>0),可得/'(%)=--ax+2a-l.

2x

13

r

因?yàn)?(l)=2-a+2a—l=a+lf/(I)=-—a+2a-l=—a-lf

所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,費(fèi)-1),切線方程為：-lj=(a+l)(x-l),

因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)(0,。)，所以:-1=4+1,解得0=4.

【小問(wèn)2詳解】

由題知f(%)的定義域?yàn)?0,+oo),f'(x)=—[ax2—(2a—l).x-2],

X

令/'(%)=/_(2a-l)x-2=0,解得％=-工或x=2,

a

因?yàn)閍>0,所以一1<0,所以—工<2,

aa

令/'(%)>。,即a/—(2a—1)%—2<。,解得：---<x<2,

a

令/'(1)<0,即ax2-(2Q—l)x—2>0,解得：%<--或%>2,

a

所以/(%)增區(qū)間為(。,2),減區(qū)間為(2,+8).

因?yàn)間⑺=產(chǎn)—2，=(-1)2-1,所以函數(shù)g?)在區(qū)間(0,2]的最大值為0,

函數(shù)/G)在(。,2)上單調(diào)遞增，故在區(qū)間(0,2]上/⑸儂=/(2)=21n2+2〃-2,

所以21n2+2a—2v0,即ln2+a—IvO,故avl—ln2,

所以〃的取值范圍是(0,1-ln2).

21.已知拋物線的方程為V=2px,直線x=—1為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)P(l,2),且A,3為拋物線上的不同

兩點(diǎn)，若有Q4與依垂直.

(1)求拋物線的方程.

(2)證明：直線AB過(guò)定點(diǎn).

【答案】(1)V=4%

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)，得到‘=1,求得。的值，即可求解；

2

(2)當(dāng)AB無(wú)斜率時(shí)，設(shè)直線AB為％=/，得到PA.P5=0，列出方程求得t=5；當(dāng)直線AB有斜率時(shí)，

設(shè)AB的方程為>=息+3,聯(lián)立方程組，求得玉+々,石々，結(jié)合PA.P5=0，列出方程組求得女+/?-2=0

或%+6+2=0,進(jìn)而得到直線過(guò)定點(diǎn)（5,—2）,進(jìn)而得到結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)閽佄锞€的方程為V=2px,且直線x=-1為拋物線的準(zhǔn)線,

可得￡=1,解得，=2,所以拋物線的方程為/=4x.

【小問(wèn)2詳解】

解：由P（l,2）可知P在拋物線上，由A3為拋物線上的不同兩點(diǎn)，且上4與PB垂直,

當(dāng)直線AB無(wú)斜率時(shí)，設(shè)直線AB為I=/,其中/W1，止匕時(shí)

則PA=（/-1,2〃-2）,PB=Q-1,-2〃-2）

由己4與PS垂直，可得PA-PB=（7—l）2+（2〃—2）（—2〃—2）=0,

解得/=5或/=1（舍?。?；

當(dāng)直線A3有斜率時(shí)，設(shè)直線A3的方程為>=履+入且人（%,乂）,5（42，%），

y=kx+b,..

聯(lián)立方程組12,整理得左2爐+（2助—4）x+〃=o,

y=4x

4-2kbb2

則%+無(wú)2=[【巧々=廬'

因?yàn)镋4與PB垂直，可得P4P8=0，即(%一1)(%2—1)+(%—2)(%—2)=0,

可得(石—1)(々一1)+Z?—2)(A%2+〃-2)=0,

即(1+左2)X]X,+(kb—2k—l)(x)+々)+(6—2)~+1=0,

12、b-.....4—2kb

即Bn(Z1+k)■—+(kb-2k-V)；-+(/?-2)2+l=0

整理得5左2+（66—8）左+尸一4=0,即（左+b—2）（5左+b+2）=0,

故大+b—2=0或5左+6+2=0,

當(dāng)上+6—2=0時(shí)，直線=區(qū)一左+2,此時(shí)直線AB過(guò)定點(diǎn)（1,2）,與p重合（舍去）;

當(dāng)義+6+2=0時(shí)，直線=5左—2,過(guò)定點(diǎn)（5,—2）,故直線A3過(guò)定點(diǎn)（5,—2）

綜上所述直線AB過(guò)定點(diǎn)（5,-2）.

【選做題】（下面兩題中任選一題作答）

1

X—t-\—

22.在直角坐