軸對稱

模型（二十）一一婆羅摩笈多模型

W模型解密

一、垂直中點

【結(jié)論1】如圖，△ABC和ADBE是等腰直角三角形，MN經(jīng)過點B,

若MN_LCE,則①點N是AD的中點，②③CE=2BN.

【證明】如圖，（知垂直得中點，一線三垂直）

過A作APLMN,垂足為P,過D作DQLMN交MN的延長線于Q,

易證：ZkABP之△BCM,AP=BM,ADQB^ABME,DQ=BM

.\AP=DQ

易證：△APNgZkDQN

.\AN=DN

②如圖，由①知，SACBM=SABAP，S&EBM-S\BDQ，SM_PN-SADQN

??S“BO-SAABN+SADBN—SABAP+SMPN+SABDg—S\DQN

=SAB”+SAB%=SACBM+SAEBM=SACBE，即SACBE=SA^，得證.

③如圖，由①得，PN=QN,

，CE=CM+EM=BP+BQ=BN-NP+BN+QN=2BN,得證.

二、中點垂直

【結(jié)論2】如圖，AABC和ADBE是等腰直角三角形，點P是CE的中點，PB的延

長線交AD于點Q,則①PQ_LAD,②S椀E③AD=2BP

【證明】如圖，（知中點得垂直，倍長中線）

證明：延長BP至點M,使PM=BP,連結(jié)ME,

易證：△PBC0PME

.\BC=ME,BC〃ME

VAB=AC

AAB=EM,

BC//ME,

AZCBE+ZBEM=180°,

又：ZABC=ZDBE=90°

AZCBE+ZABD=180°,

，ZABD=ZMEB,

易證：4ABD@Z^MEB,

，Z2=Z1,

VZ1+Z3=90°

Z2+Z3=90°

，ZDQP=90°

②如圖，由①知S&CBE—SACBP+SAEBP-SAEM/>+SAEBP-S&MEB-AABD，付tE.

③如圖，由①知AD=MB=2BP,得證。

婆羅摩笈多定理:

若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線將平分對邊。這個定

理有另一個名稱，叫做“布拉美古塔定理”

（又譯“I、拉美古塔定理”）。

拓展1■如圖，^AOB和△COD是等腰直角三角形，MN過點0,

⑴若MNJ_AD,則點M是BC的中點，②5兇。0=5.℃，③AD=20M.

⑵若M是BC的中點,則①MNJ_AD,②S/LSi③AD=20M.

拓展2,如圖，AAOB和△COD是等腰三角形，ZA0B+ZC0D=180?,MN過點0.N

在AD延長線上.

⑴若NANM=NAOB,則M是BC的中點，②③AD=20M.

⑵若M是BC的中點，則②NANM=NAOB,②S=S,③AD=20M.

拓展3■如圖，△AOBgZkCOD且NA0B=NC0D=180。,MN過點0.

⑴若M是BC的中點,則①AD=20M,^)SAAOD-SNBOC.

⑵若N是AD的中點，則①BC=20N,②-SABOC.

拓展4：［如圖，在△AOB、ZkCOD中,42=02,且NA0B+NC0D=180。,貝ljS.”

BODO

=°Q\BOC'

Q典例精講

1.（江西省南昌市第十九中學(xué)2019-2020學(xué)年八年級上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）如圖,AB=AE,AB，AE,

AD=AC,AD_LAC,點M為BC的中點，

1.（河北省石家莊市石家莊外國語學(xué)校2019-2020學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）閱讀情境：在綜合實踐

課上，同學(xué)們探究“全等的等腰直角三角形圖形變化問題”

如圖1,AABC^MDE,其中NB=ZD=90。，AB=BC=AD=DE=2,此時，點C與點E重合，

操作探究1：（1）小凡將圖1中的兩個全等的AABC和AADE按圖2方式擺放，點B落在AE上，CB所在直

線交。E所在直線于點連結(jié)A”,求證：BM=DM.

操作探究2:(2)小彬?qū)D1中的AABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度a(0°<a<90°),然后，分別延長3C,

DE,它們相交于點尸.如圖3,在操作中，小彬提出如下問題，請你解答:

①a=30。時，求證：ACE/為等邊三角形;

②當(dāng)。=時，AC〃bE.(直接回答即可)

操作探究3:(3)小穎將圖1中的AABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角度尸(0°<￡<90。)，線段BC和DE相交

于點F,在操作中，小穎提出如下問題，請你解答:

①如圖4,當(dāng)，=60。時，直接寫出線段CE的長為

②如圖5,當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點F是邊DE的中點時，直接寫出線段CE的長為

2.(重慶市沙坪壩區(qū)第一中學(xué)校2021-2022學(xué)年九年級下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題汨知AABC,ABAC=90°,

AB=AC,點。線段BC中點，連接AD.E為平面內(nèi)一點，將線段DE繞點、E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF,

連接￡>廠.

(1)如圖1,當(dāng)點E在線段AC上時，線段所與線段AD交于點G,若NEDC=75。,DC=3也，求ADFG的

面積;

(2)如圖2,若點E在AACD的內(nèi)部連接AE、CE,線段AE交線段O尸于點H,當(dāng)NCDE=NACE時,

求證：AH=EH-,

(3)如圖3,過A作DE的平行線，交直線O尸于點連接8M.將AA2WD沿8M翻折得到AA'M。，當(dāng)線

r2

段皿最短時，直接寫出此時1A興M的值.

真題熱身

1.(2023年四川省達(dá)州市開江縣永興中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試題)我們定義：如圖1,在△ABC中，把A3繞點

A順時針旋轉(zhuǎn)a(0。<6(<180。)得到把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)￡得到AC,連接8C,當(dāng)。+-=180。

時，我們稱△43。是^ABC的“旋補三角形"，AA3c邊9c上的中線A。叫做△ABC的“旋補中線”.

B：_D

BCRL--------T-BCB_

圖1圖2圖3圖4

(1)［特例感知］在圖2,圖3中，△ABC是AABC的“旋補三角形”,是△ABC的“旋補中線”.

①如圖2,當(dāng)AABC為等邊三角形，且BC=6時，則長為.

②如圖3,當(dāng)NBAC=90。，且8c=7時，則AD長為.

(2)［猜想論證］在圖1中，當(dāng)AABC為任意三角形時，猜想與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.(如果你沒有

找到證明思路，可以考慮延長AO或延長8A,…)

(3)［拓展應(yīng)用］如圖4,在四邊形ABC。中，ZBCD=150°,AB=12,CD=6,以C。為邊在四邊形ABC。內(nèi)

部作等邊△PC。，連接AP,BP.若ABI。是APBC的“旋補三角形”，請直接寫出△P8C的“旋補中線”長及

四邊形A8CD的邊AD長.

2.(2023年湖北省隨州市曾都區(qū)九年級升學(xué)適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題)我們定義：如圖1,在AABC中，把A3繞

點A順時針旋轉(zhuǎn)?(0<a<180)得到AB，把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)P得到AC,連接B,C'.當(dāng)a+￡=180時，

我們稱\ABC是AABC的“旋補三角形"，AABC'邊8。'上的中線AZ)叫做AABC的“旋補中線”.

【特例感知】

(1)在圖2,圖3中，AAB'C'是AABC的“旋補三角形"，AD是A4BC的“旋補中線”.

①如圖2,當(dāng)AABC為等邊三角形，且3C=6時，則AD長為.

②如圖3,當(dāng)NBAC=90,且3C=7時，則AD長為.

【猜想論證】

(2)在圖1中，當(dāng)AABC為任意三角形時，猜想AZ)與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.(如果你沒有找到證

明思路，可以考慮延長AD或延長笈A,……)

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖4,在四邊形ABCD中，ZBCD=150,AB=12,8=6,以CD為邊在四邊形ABCD內(nèi)部作等

邊"CD,連接相，BP.若AE4D是APBC的“旋補三角形”，請直接寫出AP3c的“旋補中線”長及四邊形

ABCD的邊AD長.

軸對稱

模型(二十)一一婆羅摩笈多模型

力模型解密

一垂點

【結(jié)論1】如圖，^ABC和ADBE是等腰直角三角形，MN經(jīng)過點B,

若MN_LCE,則①點N是AD的中點，(2)SACB￡=SMBD,③CE=

2BN.

過A作APLMN,垂足為P,過D作DQ,MN交MN的延長線于Q,

易證：△ABPgaBCM,AP=BM,ADQB^ABME,DQ=BM

.\AP=DQ

易證：△APN^^DQN

，AN=DN

②如圖，由①知，S=S

ACBMABAPSAEBM-SABDQ，S^PN—S

,,SMBD—SMBN+SADBN-SABAP+SAAPN+SABDQ-SADQN

-SABAP+SABO。一SACBM+SAEBM-SACBE>即SACBE=SAABD，得證?

③如圖，由①得，PN=QN,

.*.CE=CM+EM=BP+BQ=BN-NP+BN+QN=2BN,得證.

二、中點垂直

【結(jié)論2】如圖，AABC和aDBE是等腰直角三角形，點P是CE的中

點，PB的延長線交AD于點Q,則①PQ_LAD,②SgE=$海。，

③AD=2BP

【證明】如圖，（知中點得垂直，倍長中線）

證明：延長BP至點M,使PM=BP,連結(jié)ME,

易證：ZkPBCgPME

，BC=ME,BC〃ME

VAB=AC

AAB=EM,

,/BC〃ME,

AZCBE+ZBEM=180°,

又：ZABC=ZDBE=90°

AZCBE+ZABD=180°,

：.ZABD=ZMEB,

易證：△ABDgZkMEB,

：.Z2=Z1,

VZ1+Z3=90o

Z2+Z3=90°

，ZDQP=90°

②如圖,由①知SACBE=SACBP+SAEBP=SAEMP+AEBP=AMEB=AABD，侍證.

③如圖，由①知AD=MB=2BP,得證。

婆羅摩笈多定理：

若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線將平分

，，

對邊。這個定理有另一個名稱，叫做“布拉美古塔定理

（又譯《I、拉美古塔定理”）。

B

C

D

拓展1：|如圖，^AOB和△為口是等腰直角三角形，MN過點0,

⑴若MN_LAD,則點M是BC的中點，@8^=8^,③AD=20M.

(2)若M是BC的中點,則①MN_LAD,MOD=SABOC,③AD=20M.

拓展2：［如圖，Z^AOB和△COD是等腰三角形，ZA0B+ZC0D=1805,

MN過點0.N在AD延長線上.

⑴若NANM=NA0B,則M是BC的中點，②S.DMSABOC，③AD=20M.

(2)若M是BC的中點，則②NANM=ZA0B,②S.。=S,③AD=20M.

拓展3：|如圖，Z^AOB0△?()□且NA0B=NC0D=180。,MN過點0.

⑴若M是BC的中點,則①AD=20M,@SM0D=SAB0C.

(2)若N是AD的中點,則①BC=20N,@S=SAB0C.

拓展4：|如圖，在△AOB、△COD中，—且NA0B+NC0D=180

BODO

，則SAAOD=SABO-

1.（江西省南昌市第十九中學(xué)2019-2020學(xué)年八年級上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）如圖,

AB=AE,AB±AE,AD=AC,AD±AC,點M為BC的中點，

求證：DE=2AM.

答案:見解析.

分析延長AM至N,使MN=AM,證^AMC也△NMB,推出AC=BN=AD,求出ZEAD=ZABN,

MEAEAD^AABN即可.

【詳解】延長AM至N,使MN=AM,連接BN,

??,點M為BC的中點，

ACM=BM,

在4AMC和ANMB中

'AM=MN

<ZAMC=ZNMB

CM=BM

.'.△AMC^ANMB(SAS),

AAC=BN,ZC=ZNBM,

VAB±AE,AD±AC,

???NEAB二NDAO90。，

.*.ZEAD+ZBAC=180°,

AZABN=ZABC+ZC=180°-ZBAC=ZEAD,

在4EAD和4ABN中

AE=AB

?.?(ZEAD=ZABN,

AD=BN

AAABN^AEAD(SAS),

，DE=AN=2MN.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推

理能力，延長AM至N,使MN=AM,再只證AN=DE即可，這就是“中線倍長”，實質(zhì)是“補

短法”.

1.（河北省石家莊市石家莊外國語學(xué)校2019-2020學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）閱讀情

境：在綜合實踐課上，同學(xué)們探究“全等的等腰直角三角形圖形變化問題”

如圖1,NABC=\ADE,其中N5=ND=90。，AB=BC=AD=DE=2,此時，點C與點E重

合，

操作探究1：（1）小凡將圖1中的兩個全等的AASC和按圖2方式擺放，點B落在AE

上，CB所在直線交OE所在直線于點連結(jié)AM,求證：BM=DM.

操作探究2:（2）小彬?qū)D1中的AABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度a（0。<￡<90。），然

后，分別延長BC,DE,它們相交于點尸.如圖3,在操作中，小彬提出如下問題，請你

解答：

①a=30。時，求證：ACEF為等邊三角形；

②當(dāng)"=時，AC//FE.（直接回答即可）

操作探究3:（3）小穎將圖1中的AABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角度/（0°<90。），線

段和DE相交于點尸，在操作中，小穎提出如下問題，請你解答：

①如圖4,當(dāng)，=60。時，直接寫出線段CE的長為.

②如圖5,當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點尸是邊OE的中點時，直接寫出線段CE的長為.

答案：（1）見解析；（2）①見解析；②45。；（3）①20;②苧

分析（1）證明RtAAMB之RtAAMD即可解決問題.

（2）①證明NFCE=/FEC=60。即可解決問題.

②根據(jù)平行線的判定定理即可解決問題.

（3）①連接EC,證明△AEC是等邊三角形，利用勾股定理求出AE即可解決問題.

②如圖5中，連接AF,BD交于點O.首先證明EC=BD,再證明OB=OD,利用面積法求

出OB即可解決問題.

【詳解】（1）證明：如圖2,

ZABM=ZD=90°,AM=AM,AB=AD,

RtAAMB=RtAAMD(HL),

BM=DM.

(2)①證明：如圖3中，

CA^AE,NC4￡=30。，

:.ZACE=ZAEC=75°

AB=BC=AD=DE,ZB=ZD=90°

:.ZACB=ZAED=45°,

:"BCE=NCED=120。,

:.ZFCE=ZFEC=60°,

;.AEFC是等邊三角形.

②解：當(dāng)e=45。時，AC//EF.理由如下:

：c=45°,

，ZC4E=45°,

:.ZCAE=ZAED,

：.AC//EF,

.?.當(dāng)》=45。時，AC//EF.

故答案為45。.

(3)①解：如圖4中，連接EC,

ZEAC=JB=6O°,AE=AC,

:.AAEC是等邊三角形,

AD=DE=2,ZADE=90°,

AE=>JAD2+DE2=V22+22=2A/2，

:.EC=AE=2yf2.

故答案為20.

②解：如圖5中，連接AF,BD交于點、0.

ZABF=ZADF=90°.AF=AF,AB=AD,

/.RtAABF=RtAADF(HL),

:.BF=DF,

DF=EF=1,

，BF=DF=I,

BC=2f

.?.BF=CF=1,

BF=CF=DF=EF,ZBFD=ZCFE,

「.ABFD二ACFE(SAS),

EC=BD.

AB=AD,FB=FD,

」.AF垂直平分線段BD,

/.OB=OD,

在R/AAB尸中，

ZAB歹=90。，AB=2,BF=\,

AF=y/AB2+BF2=722+12=石，

S&ABF=^ABBF=-OBAF,

AF5

BD=2OB=述，

5

EC=BD=述，

5

故答案為生5.

5

【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性

質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，

屬于中考?？碱}型.

2.(重慶市沙坪壩區(qū)第一中學(xué)校2021-2022學(xué)年九年級下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題)已知AABC,

/區(qū)4c=90。，AB=AC,點。線段BC中點，連接AD.E為平面內(nèi)一點，將線段DE繞點

E逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段EF,連接。尸.

HH1陽2圖3

⑴如圖1,當(dāng)點E在線段AC上時，線段所與線段AO交于點G,若NEDC=75。，DC=3近，

求ADFG的面積；

(2)如圖2,若點E在AACD的內(nèi)部連接AE、CE,線段AE交線段D廠于點H,當(dāng)

NCDE=NACE時,

求證：AH=EH；

(3)如圖3,過A作。E的平行線，交直線D尸于點連接將AAMD沿翻折得到

A'M2

AA'MU,當(dāng)線段8M最短時，直接寫出此時的值.

A'C2

答案:⑴6用-6.

(2)證明見詳解.

⑶呼.

分析(1)過。作交AC于"，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半、直角三角

形30。角所對直角邊等于斜邊一半及等腰直角三角形關(guān)系結(jié)合勾股定理即可求出三角形的

底和高，即可得到答案；

(2)延長CE交。尸于K,過A作AGLO/交。尸于G,根據(jù)等腰直角三角形兩個45。及直

角得到角度的等量關(guān)系，再根據(jù)兩次三角形全等即可得到線段相等；

(3)根據(jù)等腰直角三角形及線平行得到角度數(shù)，再根據(jù)對角互補的四邊形與圓內(nèi)接四邊形

關(guān)系等到點M在圓上，根據(jù)圓外一點與圓的距離關(guān)系找到最小點，根據(jù)對稱找到相等從而

得到三角形相似得出線段與半徑的關(guān)系，最后根據(jù)勾股定理求出平方值即可得到比值.

【詳解】(1)解：如圖所示過。作交AC于點

B

圖1

VZBAC=90°,AB=AC,點。線段2c中點，DC=3枝,

AD=BD=CD=3y[2，ZB=ZC=ZBAD=ACAD=45°,ZADC=ZADB=90°,

VJ9H1AC,

???ZC=ZCDH=45°,ZCHD=ZDHE=90°,

?-AH=CH=DH==3，

?.*/EDC=75。,

：.ZEDH=ZEDC-ZCDH=30°,

ED=2EH

在Rt\EDH中根據(jù)勾股定理可得,

EH=DE=2-^3,

AE=3-y/3,FD=25/6.

???線段EF是線段DE繞點、E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到,

AED=EF=2-j3,ZDEF=90°,ZF=ZFDE=45°

在AFGD與AAGE中,

ZFGD=AAGE,NF=ACAD,

；.AFGD^AAGE,

DGFD246

--\/6+\[2,

EG-AE-3-V3

在RtAEDG中根據(jù)勾股定理可得,

DG2-GE1=DE1

；?解得GE=4鳳6

/.FG=EF-GE=26-4國6=6-26

：.ADFG的面積為：S=-FGXDE=-X(6-2V3)X2A/3=6A/3-6.

22

(2)證明：延長CE交DF于K,過A作47，。尸交。尸于6,

,：ZBAC=90°,AB=AC,點。線段BC中點，

:?AD=BD=CD,ZACD=4509ZADC=90°,

???線段所是線段DE繞點、E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，

AEF=ED,ZD砂=90。，

???ZEDF=ZEFD=45°,

■:NCDE=ZACE,

NCDE+NEDF+NDCE=ZACE+/EDF+/DCE=ZACD+/EDK=90。,

JZCKD=ZCKG=90°,

,:AGLDF,

：.ZCKD=ZAGD=9Q0

ZADC=ZADG+NEDF+NCDE,

：.ZADG=ZDCK,

在AADG與ADCK中，

VZCKD=ZAGD,ZADG=Z.DCK,AD=DC,

：.AADG^M)CK(AAS),

AG=DKf

?；NEDF=45。,NCKD=90°,

：.DEK=EDF=45°f

：.AG=DK=EK,

在AAHG與AEHK中，

VZAHG=ZEHK,ZAGH=ZEKH,AG=DK,

：.AAHG^AEHK(AAS),

???AH=EH.

(3)解：過。作

B

,/線段DE繞點、E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF,

:?EF=ED,ZD￡F=90°,

，ZEDF=45°,

,/AM//DE,

ZAMD=135°,

VABAC=90°,AB=AC,點。線段8C中點，

AZDC4=45°,AD=DC,

：.ZDC4+ZAWD=180°,

DHVAC,

：.HA=HD=HC,

，A、M,D、C四點在。//上，

連接34與圓相交時最短如圖所示，AAAZD沿翻折得到A/TMZ7,根據(jù)對稱性可得A

在圓上，連接A3,

設(shè)圓的半徑為r,則/歸=2廠，

HB=7（2r）2+r2=瓜,

連接AA交3”于點O,

,：AAMD沿BM翻折得到AA'M。，

Q4=Q4',BA=BA,AH=AH'，ZAOH=90°,

在與AAOH中，

VZBHA^ZAHO,ZBAH=ZAOH,

ABAHsAAO",

.ABAHBH

*'AO-AH，

/.AO=|>/5r,HO亞r,

OM=r—^y［5r,

在RtAOAM中根據(jù)勾股定理可得，

(4即2=(2一飆)/,

VA4,=2AO=|V5r,

在凡A44'C中根據(jù)勾股定理可得，

(A'C)2=AC2-(AA')2=4r2-yr=1r2,

,A'M2_5-45

"A'C2~-4-2

5

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)、圓的有關(guān)計算、等腰三角形有關(guān)計算、旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)及勾股定理，解題的難點主要是根據(jù)性質(zhì)作出相應(yīng)輔助線，巧妙靈活的運用知識點進(jìn)行

計算，第三問中最難點是找到最短距離點.

真題熱身

1.(2023年四川省達(dá)州市開江縣永興中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試題)我們定義：如圖1,在AA8C

中，把A8繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a(0。<6(<180。)得到A8,把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)￡得到

AC,連接B'C,當(dāng)。+4=180。時，我們稱AA8C是△ABC的“旋補三角形”,△ABC邊

上的中線叫做△ABC的“旋補中線

⑴［特例感知］在圖2,圖3中，△ABC是△ABC的“旋補三角形”,4。是4ABC的“旋補中線”.

①如圖2,當(dāng)△ABC為等邊三角形，且BC=6時，則長為.

②如圖3,當(dāng)/BAC=90。，且BC=7時，則長為.

(2)［猜想論證］在圖1中，當(dāng)AABC為任意三角形時，猜想與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證

明.(如果你沒有找到證明思路，可以考慮延長或延長8Z,…)

(3)［拓展應(yīng)用］如圖4,在四邊形A8CD中，ZBCD=l50°,AB=12,CD=6,以CD為邊在

四邊形A8CD內(nèi)部作等邊△PCQ,連接AP,BP.若△E4D是△P8C的“旋補三角形”，請直

接寫出△PBC的“旋補中線”長及四邊形ABCD的邊4。長.

答案:⑴①3；②3.5

(,2)AD=^BC,證明見解析

(3)旋補中線長為百，AD=2則

分析(1)①首先證明是含有30。是直角三角形，可得AD=gA8即可解決問題.

②首先證明-BACwbAC,根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題.

(2)結(jié)論：AD=^BC.如圖1中，延長到使得&。=。加，連接CM,首

先證明四邊形是平行四邊形，再證明354c三.即可解決問題.

(3)如圖4中，過點P作尸于H,取的中點J,連接PJ.解直角三角形求出BC,

PJ,利用(2)中結(jié)論解決問題即可.

(1)

?/.ABC是等邊三角形，

：.AB=BC=AC=AB'=AC,

DB'=DC,

ADIB'C,

?/ABAC=60°,ABAC+ZB'AC=180°,

，ZB'AC=120°,

ZBr=ZC'=3O0,

：.AD=-AB'=-BC=3,

22

故答案為：3.

②如圖3中，

D

BC

圖3

,?ABAC=90°,ABAC+AC=180°,

：.ZB,AC=ZBAC=90°,

VAB=AB\AC=ACf,

：..BAC=B^ACCSAS),

BC=BfC,

,?BrD=DC,

：.AD=-B'C'=-BC=3.5,

22

故答案為：3.5.

(2)

結(jié)論：AD^^BC.

理由：如圖1中，延長AZ)到Af,使得連接QM,CM

,:BD=DC',AD=DM,

/.四邊形ACMB'是平行四邊形，

AC=B'M=AC,

,：ABAC+ZB'AC=180°,ZB'AC'+ZAB'M=180°,

，ZBAC=ZMB'A,

'：AB=AB',

：.,BAC=^AB'MCSAS),

：.BC=AM,

：.AD=-BC.

2

(3)

如圖4中，過點尸作尸打，42于//,取BC的中點J,連接PJ.

'D

H

?,PCD是等邊三角形，

??PC=CD=PD=6,/PCD=NCPD=60。,

：ZBCZ)=150°,

\ZPCB=90°,

??R4D是&PBC的“旋補三角形”，

??ZAPB=180°-60°=120°,PA=PB,

：PHLAB,

\AH=HB=6,ZAPH=ZBPH=60°,

??sin60°=—,

PB

?y/36

?=-------，

2PB

,?PB=4后,

,?BC=RPB。-PC。=，(4商-6?=26，

...PBC的“旋補中線”長=：BC=6,

?"BJ=CJ=#!，

PJ=yJPC2+CJ2=A/39-

PBC也是的“旋補三角形”，

AD=2PJ=2739.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形30

度角性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加

常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

2.（2023年湖北省隨州市曾都區(qū)九年級升學(xué)適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）我們定義:如圖1,在AABC

中，把AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)。（0＜。＜180）得到加，把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)/得到AC’,

連接當(dāng)a+￡=18。時，我們稱AAB'C'是AABC的“旋補三角形"，AABC邊上的

中線A。叫做AABC的“旋補中線”.

【特例感知】

(1)在圖2,圖3中，AAB'C'是AABC的“旋補三角形"，是AABC的“旋補中線”.

①如圖2,當(dāng)AABC為等邊三角形，且3C=6時，則AZ)長為.

②如圖3,當(dāng)NR4C=90,且3c=7時，則長為.

【猜想論證】

(2)在圖1中，當(dāng)AABC為任意三角形時，猜想AO與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.(如

果你沒有找到證明思路，可以考慮延長AD或延長3'A，……)

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖4,在四邊形ABCD中，ZBCD=150，AB=12,CD=6,以。為邊在四邊形ABC。

內(nèi)部作等邊APCD,連接AP,BP.若是APBC的“旋補三角形”，請直接寫出AP3C的

“旋補中線”長及四邊形ABCD的邊AD長.

71

答案：(1)①3