2024年第一次廣東省普通高中學業(yè)水平合格性考試

數(shù)學模擬試卷

本試卷共4頁，共22小題，滿分150分.考試用時90分鐘.

注意事項：L答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號

和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼

在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相

應位置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不

按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本大題共12小題，每小題6分，共72分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合4={》€(wěn)2|-1＜》〈2},則集合A的非空真子集有（）個

A.5B.6C.7D.8

2.已知無2+4y2=4,貝+二的最小值為（）

廠y

D.2

A.-B.9C.1

24

3.已知向量a,b滿足a=（1,2）,。二二(-2,1),貝lj|a+b|=()

A.A/10B.V5C.3D.4

4.函數(shù)〃尤）=華學（e為自然對數(shù)的底數(shù)）在卜2,2］的大致圖象是（）

e+e

5.函數(shù)/（x）=cosx,xeg,5的最小值為（）

A.-gB.BC.--D.1

2222

6.下列與120。角的終邊相同的角的表達式中，正確的是（）

A.2%無+三（左eZ）B.kn+^keZ）

C.ht+^-（keZ）D.2祈+5%eZ）

7.從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）

A.“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”B.“至少有一個黑球”與“都是紅球”

C.“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”D.“至少有一個黑球”與“都是黑球”

8.已知。=lgg,b=301,c=sin3,則（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a

f尤3元<0

9.已知函數(shù)/=一八,若『（無）=8,貝!|x=（）

A.-3B.-2C.3D.3或一2

10.某市6月前10天的空氣質(zhì)量指數(shù)為35,54,80,86,72,85,58,125,111,53,則這組數(shù)據(jù)的第

70百分位數(shù)是（）

A.86B.85.5C.85D.84.5

11.已知a>b>0,則“加>0”是產(chǎn)'的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.給甲、乙、丙三人打電話，若打電話的順序是任意的，則第一個打電話給甲的概率是（）

1「1一1八2

A.-B.—C.—D.一

6323

二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分.

13.若復數(shù)z=再，則目=___.

1—31

14.已知角a的終邊經(jīng)過點（3,4）,則cosa=.

15.若一個圓錐的軸截面是面積為舊的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)面積為.

16.某地區(qū)有高中生3000人，初中生6000人，小學生6000人.教育部門為了了解本地區(qū)中小學生的近視

率，采用分層抽樣的方法，按高中生、初中生、小學生進行分層，如果在各層中按比例分配樣本，總樣本

試卷第2頁，共4頁

量為150,那么在高中生中抽取了人.

17.已知函數(shù)〃x)=4*+log4X,則.

18.已知，，卜1,忸卜2,a-b=^,貝!!(a-b)?(a+26)=.

三、解答題：本大題共4個大題，第19-21題各10分，第22題12分，共42分.解答須寫出

文字說明、證明過程和演算步驟.

19.在4ABe中，內(nèi)角A氏C所對的邊分別為。，仇。，已知tanB=75,cosC=；,且6=3".

⑴求cosA的值；

(2)求_ABC的面積；

20.某果園試種了A8兩個品種的桃樹各10棵，并在桃樹成熟掛果后統(tǒng)計了這20棵桃樹的產(chǎn)量如下表，

記兩個品種各10棵產(chǎn)量的平均數(shù)分別為最和工，方差分別為s：和s>

A(單位：kg)60504560708080808590

B(單位：kg)40606080805580807095

(1)求x>y>S1，s2；

(2)果園要大面積種植這兩種桃樹中的一種，依據(jù)以上計算結(jié)果分析選種哪個品種更合適?并說明理由.

21.1.汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎

車距離”.剎車距離是分析事故產(chǎn)生原因的一個重要因素.在一個限速為40km/h的彎道上，現(xiàn)場勘查測得

一輛事故汽車的剎車距離略超過10米.已知這種型號的汽車的剎車距離$(單位:m)與車速x(單位:km/h)

之間滿足關系式s=??+反，其中。方為常數(shù).試驗測得如下數(shù)據(jù)：

車速xkm/h20100

剎車距離,m355

⑴求的值；

(2)請你判斷這輛事故汽車是否超速，并說明理由.

22.如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，E為必的中點.

s

⑴證明：S3〃平面ACE；

(2)若SA_L平面ABC。，證明：SC±BD.

試卷第4頁，共4頁

1.B

【分析】根據(jù)題意，得到集合A={。,1,2},結(jié)合非空真子集的概念，即可求解.

【詳解】由集合A={xeZ|-l<xV2}={0,l,2},

所以集合A的非空真子集為：{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},共有6個.

故選：B.

2.D

111

【解析】利用三+=二:(%92+49/),展開后應用基本不等式可得最小值.

xy4

【詳解】由題意4+」=：(/+4/)(3+與］=；〔5+g+=］之!5+2^^=?,

22222

x/4(爐y2j4(xy)4(\xyJ4

42Y249

當且僅當V冬=，，即/J,V=3時等號成立.

尤y33

故選：D.

【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，

則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這

個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

3.A

【分析】根據(jù)平面向量的坐標運算求解.

【詳解】因為a=(1,2)/=(-2,1),所以。+人=(一1,3),

所以|4+》|="??=癡,

故選:A.

4.B

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊值可得答案.

【詳解】由題知人無)的定義域為R,

2(—x)sin(—x)2xsinx

又因為/(-尤)==f(x),

e-x+exe'+e-'

答案第1頁，共7頁

所以/'(X)為偶函數(shù)，即圖象關于y軸對稱，排除A、C；

又"2)=萼4si上n2＞0,排除D.

e+e

故選：B.

5.D

【分析】由/(x)=cosx的圖像，即可得出xe-三弓時/⑴的最小值.

【詳解】由〃x)=cosx的圖像可知，xe時，f(%)e[1,l],

所以〃x)m,“=g，

故選：D.

【分析】根據(jù)終邊相同角的定義即可求解.

【詳解】120。角用弧度制表示為2與兀，B、D錯誤；

終邊相同應加上2E,故C錯誤.

故選：A.

7.A

【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件、對立事件的定義逐項分析判斷作答.

【詳解】對于A,恰好有一個黑球的事件與恰好有兩個黑球的事件不能同時發(fā)生，可以同時

不發(fā)生，

因此“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”是互斥而不對立的兩個事件，A是；

對于B,至少有一個黑球的事件與都是紅球的事件是對立事件，B不是；

對于C,至少有一個黑球的事件與至少有一個紅球的事件可以同時發(fā)生，不互斥，C不是;

對于D,至少有一個黑球的事件與都是黑球的事件可以同時發(fā)生，不互斥，D不是.

故選：A

8.B

答案第2頁，共7頁

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】因為6=3°>>3°=1,a=lg1<lgl=O,

兀71

又因為一<3<兀，所以O=sin無<sin3<sin—=1,即0<c<l,

22

所以6>c>a.

故選：B

9.C

【分析】分與尤>0兩種情況，求出答案.

【詳解】當xWO時，3=8,解得x=2,不滿足要求，舍去；

當x>0時，2*=8,解得x=3,滿足要求.

故選：C

10.B

【分析】把數(shù)據(jù)從小到大的順序排列，然后用百分位數(shù)的定義求解.

【詳解】從小到大的順序排列數(shù)據(jù)為：35,53,54,58,72,80,85,86,111,125,因為

10x70%=7,所以這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是"匹=85.5.

故選：B.

11.C

【分析】根據(jù)幕函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合已知判斷條件間推出關系，進而確定它們的充分、必要關系.

【詳解】由a>6>0,

當相>0時，由暴函數(shù)的性質(zhì)知：心>加"必成立，

當相'>少"時，也有機>0,

：；'m>0”是“腔>bm”的充要條件.

故選：C

12.B

【分析】根據(jù)題意，打電話的順序是任意的，打電話給甲乙丙三人的概率都相等均為g,從

而可得到正確的選項.

【詳解】：打電話的順序是任意的，打電話給甲、乙、丙三人的概率都相等，

???第一個打電話給甲的概率為1.

故選B.

答案第3頁，共7頁

【點睛】此題考查了概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同,

vn

其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P(A).

n

13.^?##-V2

22

【分析】利用復數(shù)的四則運算與復數(shù)模的運算公式即可得解.

l+2i(l+2i)(l+3i)-5+5i11.

【詳解】因為z=-----F—1

l-3i(l-3i)(l+3i)1022

故答案為：見.

2

14.3

5

【解析】利用任意角的三角函數(shù)的定義直接求解即可

【詳解】解：因為角a的終邊經(jīng)過點(3,4),

一%3_3

所以cosa=-=

A^2+42-5

、3

故答案：—

【點睛】此題考查任意角的三角函數(shù)的定義的應用，屬于基礎題

15.2TI

【分析】利用三角形面積公式求得人再利用圓錐的側(cè)面積公式即可得解.

【詳解】依題意，設圓錐的底面半徑小則母線長為2廠，

貝Ij'x2rx2rxsin60o=2，x^=V5,解得尸=1,

22

所以該圓錐的側(cè)面積為兀xlx2=2兀.

故答案為：2兀.

16.30

【分析】根據(jù)分層抽樣的抽樣比即可求解.

3000

【詳解】高中生中抽取了xl50=30人,

3000+6000+6000

故答案為：30

17.-##1.5

2

【分析】由指數(shù)與對數(shù)的運算法則求解.

答案第4頁，共7頁

1

【詳解】f（x）=4^+log4x,貝==：

3

故答案為：—

2

18.--

2

【分析】利用數(shù)量積的運算法則將（。-3?+2匕）展開，結(jié)合1=|卻=182=時=4求解即

可1.

【詳解】因為W=l，W=2,。仍=|,

所以/=,「=],匕2=網(wǎng)=4,

O11

所以+26）=/+&必一2b2=1+—-8=-■—.

故答案為：.

19.（1）2--1

6

（2）6A/2+8A/3

【分析】（1）根據(jù)誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系式以及兩角和的余弦公式求得正確答

案.

（2）先求得A,然后利用三角形的面積公式求得正確答案.

【詳解】（1）tanB=^,0<B<7i,.-.B=y.

1/---------2-72

cosC=—,0<B<TI,:.sinC=，l-cos~C=-----.

33

/.cosA=-cos（B+C）=-cos]+=f11A/32>/6-l

——X---------------X-----------=--------------------

（2323）6,

3&巫

由正弦定理二=二—可得。=然=—^=8.

sinBsinCsinB

2

（2）,sinA=sin（5+C）=sin[+CV3112A/2V3+2V2

—X+X—，

23236

-x8x3?x612拒=6點+8丁

所以ABC的面積SABC=-bcsinA=-

20.（1）元=70,歹=70,s：=215,=235

答案第5頁，共7頁

⑵選擇A品種，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)平均數(shù)和方差公式求解即可；

(2)比較平均值和方差的大小可得答案.

【詳解】(1)x=^(45+50+60+60+70+80+80+80+85+90)=70,

s；=^(252+202+2X102+02+3X102+152+202)=215,

y=1-(40+55+60+60+70+80+80+80+80+95)=70,

(302+152+2x102+02+4x102+252)=235.

(2)由還3=70可得AB兩個品種平均產(chǎn)量相等，

又則A品種產(chǎn)量較穩(wěn)定，故選擇A品種.