《6.3.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示》考點(diǎn)講解【思維導(dǎo)圖】【常見考法】考法一數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【例1】（1）向量，，則（）A．1 B． C．7 D．0（2）已知向量，，則與的夾角是（）A． B． C． D．（3）已知，，則在上的投影的數(shù)量為（）A． B． C． D．（4）已知向量，，若，則等于（）A． B． C． D．（5）設(shè)平面向量，，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍______.【一隅三反】1．向量，則（）A．1 B． C． D．62．向量，，則（）A． B．C．與的夾角為60° D．與的夾角為3．已知向量，則向量在上的投影為（）A．3 B． C． D．4．已知向量，，若，那么m的值為（）A． B． C．2 D．5．已知，與的夾角為，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．6．若向量，，則向量與的夾角的余弦值為（）A． B． C． D．7．平面向量，，（），且與的夾角與與的夾角互補(bǔ)，則（）A． B． C．1 D．28．已知向量，，若與的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______；考法二巧建坐標(biāo)解數(shù)量積【例2】如圖，邊長為1的等邊△ABC中，AD為邊BC上的高，P為線段AD上的動點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．[﹣，0] B．[0，] C．[﹣，+∞） D．[﹣，0]【一隅三反】1．如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若，，則·=_____.2．在中，，，為所在平面上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A．1 B． C．－1 D．-23．已知正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CD，BC上的點(diǎn)，若，，則的最小值是（）A．1 B． C． D．考法三數(shù)量積與三角函數(shù)綜合運(yùn)用【例3】已知向量，，.（1）若，求的值；（2）記，求的最大值和最小值以及對應(yīng)的的值.【一隅三反】1.向量，且，則的值為（）A．1 B．2 C． D．32．已知是銳角，，，且，則為（）A．30° B．45° C．60° D．30°或60°3．已知向量,,其中,且.(1)求和的值;(2)若,且,求角.4．已知向量(1)若，求證：;(2)若向量共線，求.考法四數(shù)量積與幾何的綜合運(yùn)用【例4】已知向量，，.（1）若點(diǎn)，，能夠成三角形，求實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件；（2）若為直角三角形，且為直角，求實(shí)數(shù)的值.【一隅三反】1．已知，，，則的形狀是（）．A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形2．已知、、且（1）證明：是等腰直角三角形（2）求．3．平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，且．（1）求與之間的關(guān)系式；（2）若，求四邊形的面積．《6.3.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示》考點(diǎn)講解答案解析考法一數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【例1】（1）向量，，則（）A．1 B． C．7 D．0（2）已知向量，，則與的夾角是（）A． B． C． D．（3）已知，，則在上的投影的數(shù)量為（）A． B． C． D．（4）已知向量，，若，則等于（）A． B． C． D．（5）設(shè)平面向量，，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍______.【答案】（1）B（2）C（3）B（4）D（5）【解析】（1）因?yàn)?，，所以，故選：B.（2）設(shè)與的夾角為，則，又，，即與的夾角是.故選：C（3）由題意知，，在上的投影的數(shù)量為，故選：B.（4）因?yàn)?，所以，解得：，故選：D（5）因?yàn)榕c的夾角為鈍角，且不反向，，即解得當(dāng)兩向量反向時(shí)，存在使即，解得所以的取值范圍.故答案為：.【一隅三反】1．向量，則（）A．1 B． C． D．6【答案】D【解析】因?yàn)樗怨蔬x：D2．向量，，則（）A． B．C．與的夾角為60° D．與的夾角為【答案】B【解析】∵向量，，∴，∴.故選：B.3．已知向量，則向量在上的投影為（）A．3 B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄?，所以向量在上的投影為故選：A4．已知向量，，若，那么m的值為（）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】向量，，若，則，即，解得.故選：C.5．已知，與的夾角為，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，與的夾角為，，，在方向上的投影為．故選：．6．若向量，，則向量與的夾角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，則，,，.故選：A.7．平面向量，，（），且與的夾角與與的夾角互補(bǔ)，則（）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】由已知，，，∵與的夾角與與的夾角互補(bǔ)，∴，解得．故選：A．8．已知向量，，若與的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______；【答案】【解析】由題意，即，，∴，若，則，解得，綜上的范圍是．故答案為：．考法二巧建坐標(biāo)解數(shù)量積【例2】如圖，邊長為1的等邊△ABC中，AD為邊BC上的高，P為線段AD上的動點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．[﹣，0] B．[0，] C．[﹣，+∞） D．[﹣，0]【答案】A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如下所示：故可得，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，故可得.故，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)或時(shí)，取得最大值.故.故選：A.【一隅三反】1．如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若，，則·=_____.【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖：因?yàn)橹苯翘菪蜛BCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若，所以，，，，所以，，則．故答案為：2在中，，，為所在平面上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A．1 B． C．－1 D．-2【答案】C【解析】如圖，以為建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，，，，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值．故選：C．3．已知正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CD，BC上的點(diǎn)，若，，則的最小值是（）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，以為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，.故，故，故或.，故，故或.，當(dāng)時(shí)，有最小值為.故選：.考法三數(shù)量積與三角函數(shù)綜合運(yùn)用【例3】已知向量，，.（1）若，求的值；（2）記，求的最大值和最小值以及對應(yīng)的的值.【答案】（1）；（2）時(shí)，取到最大值2，時(shí)，取到最小值.【解析】（1）因?yàn)?，所以，于是，又，所以；?）.因?yàn)?，所以，從而于是，?dāng)，即時(shí)，取到最大值2；當(dāng)，即時(shí)，取到最小值.【一隅三反】1.向量，且，則的值為（）A．1 B．2 C． D．3【答案】A【解析】由題意可得，即．∴，故選A．2．已知是銳角，，，且，則為（）A．30° B．45° C．60° D．30°或60°【答案】B【解析】∵，，且，∴，求得，，由是銳角，所以.故選：B.3．已知向量,,其中,且.(1)求和的值;(2)若,且,求角.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)∵,∴,即.代入,得,又,則,.則..(2)∵,,∴.又,∴.∴==.由,得.4．已知向量(1)若，求證：;(2)若向量共線，求.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）當(dāng)時(shí)，又（2）因?yàn)橄蛄抗簿€，即當(dāng)，則與矛盾，故舍去；當(dāng)時(shí)，由得：又另解：由得所以考法四數(shù)量積與幾何的綜合運(yùn)用【例4】已知向量，，.（1）若點(diǎn)，，能夠成三角形，求實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件；（2）若為直角三角形，且為直角，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）已知向量，，，若點(diǎn)，，能構(gòu)成三角形，則這三點(diǎn)不共線，即與不共線.，，故知，∴實(shí)數(shù)時(shí)，滿足條件.（2）若為直角三角形，且為直角，則，∴，解得.【一隅三反】1．已知，，，則的形狀是（）．A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】A【解析】根據(jù)已知，有，，，因?yàn)?，所以，即．故為直角三角形故選：A2．已知、、且（1）證明：是等腰直角三角形（2）求．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：由題意得，因?yàn)椋运允侵苯侨切斡?，，，是等腰直角三角形?）解：設(shè)點(diǎn)，則，，且，解得，，，，，，，．3．平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，且．（1）求與之間的關(guān)系式；（2）若，求四邊形的面積．【答案】（1）；（2）16.【解析】（1）由題意得，因?yàn)?，，所以，即，所以與之間的關(guān)系式為：①（2）由題意得，，因?yàn)?，所以，即，②由①②得或?dāng)時(shí)，，，則當(dāng)時(shí)，，，則所以，四邊形的面積為16.《6.3.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示（精練）》同步練習(xí)【題組一數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算】1．已知向量，，則（）A．15 B．16 C．17 D．182．若則（）A．-5 B．5 C．-6 D．63．已知向量，，則向量在向量方向上的投影為（）A．1 B． C． D．-14．已知，，，則（）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)，，，，則向量在方向上的投影是（）A． B． C． D．6．已知向量，，，若，，則（）A．14 B．-14 C．10 D．67．向量，，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．8．已知向量，，若，則（）A． B． C．2 D．39．設(shè)，且在軸上的投影為2，則（）A． B． C． D．10．已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．11．已知向量，若為鈍角，則的范圍是（）A． B． C． D．12．（多選）已知向量，，若，則（）A．或 B．或C．或 D．或13．（多選）設(shè)向量，，則（）A． B．C． D．與的夾角為14．已知向量，，.若與垂直，則向量與的夾角的余弦值是______.15．已知向量，與向量（1）當(dāng)為何值時(shí)，；（2）當(dāng)為何值時(shí)，求向量與向量的夾角；（3）求的最小值以及取得最小值時(shí)向量的坐標(biāo)．【題組二巧建坐標(biāo)解數(shù)量積】1．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．（1）求；（2）若（，），求的值.2．如圖，在中，已知，，，D為線段BC中點(diǎn)，E為線段AD中點(diǎn).（1）求的值；（2）求，夾角的余弦值.3．如圖，扇形OAB的圓心角為，，點(diǎn)M為線段OA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為弧AB上任意一點(diǎn).（1）若，試用向量，表示向量；（2）求的取值范圍.【題組三數(shù)量積與三角函數(shù)綜合運(yùn)用】1．已知向量,若,則()A．1 B． C． D．2．已知向量，，將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位后，得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．3．已知是銳角，，，且，則為（）A．15° B．45° C．75° D．15°或75°4．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．5．已知向量，，則的值為（）A．1 B． C．2 D．46．已知，，其中.（1）求向量與所成的夾角；（2）若與的模相等，求的值（為非零的常數(shù)）.7．已知向量，.（1）若角的終邊過點(diǎn)，求的值；（2），且角為銳角，求角的大??；8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若與的夾角為，求的值．9．已知向量，向量，函數(shù).（1）求的最小正周期及其圖象的對稱軸的方程；（2）若方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.10．設(shè)向量．（1）當(dāng)時(shí)，求的值：（2）若，且，求的值．11．已知向量，，.（1）若，，求實(shí)數(shù)的值；（2）記，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.12．已知，，，若其圖像關(guān)于點(diǎn)對稱（1）求的解析式；（2）求在上的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，求的值.13．已知向量.（1）若，求tan2x的值；（2）若f（x）＝?，則函數(shù)f（x）的值域．14．已知向量，，且（1）求及的值；（2）若的最小值是，求實(shí)數(shù)的值．【題組四數(shù)量積與幾何綜合運(yùn)用】1．一個(gè)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是、、，則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)不可能是（）A． B． C． D．2．已知向量．（1）若ΔABC為直角三角形，且∠B為直角，求實(shí)數(shù)λ（2）若點(diǎn)A、B、3．已知向量,．（1）若四邊形ABCD是平行四邊形，求的值；（2）若為等腰直角三角形，且為直角，求的值．4．已知平面上三點(diǎn)，，.（1）若，求實(shí)數(shù)的值.（2）若是以為斜邊的直角三角形，求實(shí)數(shù)的值.5．已知向量=,=,=,為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若△為直角三角形，且∠為直角，求實(shí)數(shù)的值；（2）若點(diǎn)、、能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件.6．（1）已知向量，滿足，，且，求的坐標(biāo)．（2）已知、、，判斷并證明以，，為頂點(diǎn)的三角形是否為直角三角形，若是，請指出哪個(gè)角是直角．7．已知向量，，，．（Ⅰ）若四邊形是平行四邊形，求，的值；（Ⅱ）若為等腰直角三角形，且為直角，求，的值．《6.3.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示（精練）》同步練習(xí)答案解析【題組一數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算】1．已知向量，，則（）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄?，，所以，故選：C2．若則（）A．-5 B．5 C．-6 D．6【答案】A【解析】因?yàn)?，所?故選：A.3．已知向量，，則向量在向量方向上的投影為（）A．1 B． C． D．-1【答案】B【解析】由題意，，，可得，則，所以，，所以向量在向量方向上的投影為.故選：B.4．已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知得，，∴.故選：D.5．已知點(diǎn)，，，，則向量在方向上的投影是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可知，，，，，所以，，則向量在方向上的投影是.故選：A.6．已知向量，，，若，，則（）A．14 B．-14 C．10 D．6【答案】C【解析】向量，，，，可得，解得，，，可得，解得，，則．故選：．7．向量，，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)為與的夾角，，，則，，又，.故選：.8．已知向量，，若，則（）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】，因?yàn)?，所以，解得：，故選：A9．設(shè)，且在軸上的投影為2，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，向量在軸上的投影為2，可設(shè)，因?yàn)?，可得，解得，所?故選：B.10．已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即，又，，故，解?故選：B.11．已知向量，若為鈍角，則的范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】為鈍角，且不共線，，解得且，的范圍是，，.故選：D.12．（多選）已知向量，，若，則（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】AC【解析】因?yàn)橄蛄?，，所以，若，則，即，解得或，故A正確，B錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故C正確，D錯(cuò).故選：AC.13．（多選）設(shè)向量，，則（）A． B．C． D．與的夾角為【答案】CD【解析】因?yàn)?，，所以，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，又，則，所以與不平行，故B錯(cuò)誤；又，故C正確；又，又與的夾角范圍是，所以與的夾角為，故D正確.故選：CD.14．已知向量，，.若與垂直，則向量與的夾角的余弦值是______.【答案】【解析】由已知，，∵與垂直，∴，∴，∴以．故答案為：．15．已知向量，與向量（1）當(dāng)為何值時(shí)，；（2）當(dāng)為何值時(shí)，求向量與向量的夾角；（3）求的最小值以及取得最小值時(shí)向量的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）最小值3，．【解析】（1），，所以時(shí)，；（2）由題意，，所以；（3）由已知，所以，所以時(shí)，取得最小值3，此時(shí)．【題組二巧建坐標(biāo)解數(shù)量積】1．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．（1）求；（2）若（，），求的值.【答案】（1）14；（2）.【解析】如圖，分別以邊，所在的直線為軸，軸，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，.（1）∵，，∴.（2）∵，，，由，得，∴解得∴.2．如圖，在中，已知，，，D為線段BC中點(diǎn)，E為線段AD中點(diǎn).（1）求的值；（2）求，夾角的余弦值.【答案】（1）6；（2）.【解析】（1）依題意可知為直角三角形，，如圖建立坐標(biāo)系：則，，，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，故，∴，，∴.（2）由E為線段AD中點(diǎn)可知，∴，，∴.3．如圖，扇形OAB的圓心角為，，點(diǎn)M為線段OA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為弧AB上任意一點(diǎn).（1）若，試用向量，表示向量；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系xOy，則，，，，所以，，.設(shè)，則，解得，所以.（2）設(shè)，則，，則，，所以，其中，（為銳角）.因?yàn)?，所以，則，，所以的取值范圍為.【題組三數(shù)量積與三角函數(shù)綜合運(yùn)用】1．已知向量,若,則()A．1 B． C． D．【答案】A【解析】由，得，整理得，所以，故選：A.2．已知向量，，將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位后，得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到，該函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，該函數(shù)是奇函數(shù)，，，，，又，.故選：D.3．已知是銳角，，，且，則為（）A．15° B．45° C．75° D．15°或75°【答案】D【解析】，，，，又，則，或，解得15°或75°.故選：D4．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】若，則，即，所以.故選：A5．已知向量，，則的值為（）A．1 B． C．2 D．4【答案】B【解析】，，，，.故選：B.6．已知，，其中.（1）求向量與所成的夾角；（2）若與的模相等，求的值（為非零的常數(shù)）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知得：，則：，因此：，因此，向量與所成的夾角為；（2）由，，可得，，，，，整理可得：，即：，，，即，，因此：，即：.7．已知向量，.（1）若角的終邊過點(diǎn)，求的值；（2），且角為銳角，求角的大??；【答案】（1）；（2）．【解析】（1）角的終邊過點(diǎn)，點(diǎn)到原點(diǎn)距離為，∴，，∴；（2）∵，∴，，又為銳角，∴，∴．8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若與的夾角為，求的值．【答案】（1）（2）．【解析】（1）∵，∴，故，∴．（2）∵與的夾角為，∴，故，又，∴，，即．故的值為．9．已知向量，向量，函數(shù).（1）求的最小正周期及其圖象的對稱軸的方程；（2）若方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），，；（2）.【解析】（1）∵，，∴，可得∵，∴因此，的最小正周期.∵，，∴對稱軸方程為，.（2）∵，可得，∴，得的值域?yàn)?∵方程在上有解，∴在上有解，即得實(shí)數(shù)的取值范圍為.10．設(shè)向量．（1）當(dāng)時(shí)，求的值：（2）若，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），所以，所以；（2），則，所以，故．11．已知向量，，.（1）若，，求實(shí)數(shù)的值；（2）記，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，∴，整理得：∵，，解得：（2）∵，，，∴∵，∴，∴，∴，若恒成立，則恒成立，又∵，∴，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.12．已知，，，若其圖像關(guān)于點(diǎn)對稱（1）求的解析式；（2）求在上的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，求的值.【答案】（1）；（2）在上的增區(qū)間是，減區(qū)間是；（3），.【解析】（1），∴∵的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱∴，即，∵∴∴.（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為：；單調(diào)遞減區(qū)間為：；所以在上的增區(qū)間是，減區(qū)間是；（3）∵∴即，解得，13．已知向量.（1）若，求tan2x的值；（2）若f（x）＝?，則函數(shù)f（x）的值域．【答案】（1）,（2）【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所?（2），因?yàn)?，所以，所以，所?14．已知向量，，且（1）求及的值；（2）若的最小值是，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1），，（2）【解析】（1）因?yàn)橄蛄浚?，所以，，所以因?yàn)?，所以，所以，?）由（1）可得，令，則，令，其圖像的對稱軸為直線，則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)為何值時(shí)，函數(shù)在上有最小值，①當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上遞增，最小值為，不合題意，舍去，②時(shí)，則函數(shù)在上遞減，在上遞增，則最小值為，解得或（舍去），③當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上遞減，最小值為，解得，不合題意，舍去，綜上，【題組四數(shù)量積與幾何綜合運(yùn)用】1．一個(gè)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別