注冊(cè)巖土工程師（基礎(chǔ)考試-上午-高等數(shù)學(xué)）模擬試卷17一、單項(xiàng)選擇題(本題共27題，每題1.0分，共27分。)1、已知a、b均為非零向量，而｜a+b｜=｜a–b｜，則()。A、a–b=0B、a+b=0C、a.b=0D、a×b=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由a≠0，b≠0及｜a+b｜=｜a–b｜知，(a+b).(a+b)=(a–b).(a–b)。即a.b=–a.b，所以a.b=0。2、設(shè)向量x垂直于向量a=(2，3，–1)和b=(1，–2，3)，且與c=(2，–1，1)的數(shù)量積為–6，則向量x=()。A、(–3，3，3)B、(–3，1，1)C、(0，6，0)D、(0，3，–3)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可得，x∥a×b，而a×b=(2，3，–1)×(1，–2，3)=(7，–7，–7)=7(1，–1，–1)，所以x=(x，–x，–x)。再由–6=x.c=(x，–x，–x).(2，–1，1)=2x得x=–3，所以x=(–3，3，3)。3、已知直線L1過(guò)點(diǎn)M1(0，0，–1)且平行于x軸，L2過(guò)點(diǎn)M2(0，0，1)且垂直于xOz平面，則到兩直線等距離點(diǎn)的軌跡方程為()。A、x2+y2=4zB、x2–y2=2zC、x2–y2=zD、x2–y2=4z標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：兩直線的方程為：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M(x，y，z)，則由點(diǎn)到直線的距離的公式知：(其中l(wèi)i是直線Li的方向向量)，則：由d1=d2得：d12=d22，故(z+1)2+y2=(z–1)2+x2，即x2–y2=4z。4、三個(gè)平面x=cy+bz，y=az+cx，z=bx+ay過(guò)同一直線的充要條件是()。A、a+b+c+2abc=0B、a+b+c+2abc=1C、a2+b2+c2+2abc=0D、a2+b2+c2+2abc=1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于三個(gè)平面過(guò)同一直線<=>線性齊次方程組<=>a2+b2+c2+2abc=1。5、過(guò)點(diǎn)(–1，2，3)垂直于直線且平行于平面7x+8y+9z+10=0的直線是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：直線的方向向量s=(4，5，6)，平面7x+8y+9z+10=0的法向量n=(7，8，9)。顯然ABC三項(xiàng)中的直線均過(guò)點(diǎn)(–1，2，3)。A項(xiàng)中直線的方向向量s1=(1，–2，1)，有s1⊥s，s1⊥n，可見(jiàn)A項(xiàng)中直線與已知直線垂直，與平面7x+8y+9z+10=0平行。6、母線平行于Ox軸且通過(guò)曲線的柱面方程為()。A、3x2+2z2=16B、x2+2y2=16C、3y2–z2=16D、3y2–z=16標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因柱面的母線平行于x軸，故其準(zhǔn)線在yOz平面上，且為曲線在yOz平面上的投影，在方程組此即為柱面的準(zhǔn)線，故柱面的方程為：3y2–z2=16。7、螺旋線p：上任一點(diǎn)處的切線()。A、與z軸成定角B、與x軸成定角C、與yOz平面成定角D、與zOx平面成定角標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)M(x，y，z)為曲線p上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M處的切向量為：l=(–asint，acost，b)，而z軸的方向向量為k=(0，0，1)，于是l與k的夾角為：故該曲線上任一點(diǎn)處的切線與z軸成定角θ。8、已知f(x)是二階可導(dǎo)的函數(shù)，y=e2f(x)，則為()。A、e2f(x)B、e2f(x)f’’(x)C、e2f(x)(2f’(x))D、2e2f(x)[2(f’(x))2+f’’(x)]標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：將y看作一個(gè)復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得：=2[2(f’(x))2e2f(x)+f’’(x)e2f(x)]=2e2f(x)[2(f’(x))2+f’’(x)]9、若f(x)的一個(gè)原函數(shù)是則∫xf’(x)dx=()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：則：∫xf’(x)dx=∫xdf(x)=xf(x)–∫f(x)dx=10、設(shè)則有()。A、N＜P＜MB、M＜P＜NC、N＜M＜PD、P＜M＜N標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：三個(gè)均為對(duì)稱區(qū)間上的積分，自然想到奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分性質(zhì)。根據(jù)被積函數(shù)的奇偶性知，M=0，因此有P＜M＜N。11、設(shè)D是xOy平面上以(1，1)、(–1，1)和(–1，–1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，D1是D在第一象限的部分，則等于()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：三角形D可進(jìn)一步分割為兩個(gè)分別關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱的三角形，從而根據(jù)被積函數(shù)關(guān)于x或y的奇偶性即可得出結(jié)論。設(shè)D’是xOy平面上以(0，0)，(1，1)，(–1，1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，D’’是xOy平面上以(0，0)，(–1，1)，(–1，–1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，則D’關(guān)于y軸對(duì)稱，D’’關(guān)于x軸對(duì)稱。于是由于xy關(guān)于x和y均為奇函數(shù)，因此而12、設(shè)其中Ω是由與z=1所圍成的立體，則I=()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)圓錐側(cè)面，球面所圍區(qū)域?yàn)棣?，球面與平面z=1，圓錐面所圍區(qū)域?yàn)轫铅?(見(jiàn)圖1—3—2)，則13、設(shè)平面曲線l：y≥0，其所圍成的區(qū)域分別記為D和D1，則有()。A、∫l(x+y2)ds=2∫l1(x+y2)dsB、∫l(x2+y)ds=2∫l1(x2+y)dsC、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由對(duì)稱性知∫l[(x+y2)ds=∫ly2ds=2∫l1y2ds，且∫l1(x+y2)ds=∫l1xds+∫l1y2ds=∫l1y2ds；故有∫l=(x+y2)ds=2∫l1(x+y2)ds；B項(xiàng)，∫l(x2+y)ds=∫lx2ds=2∫l1x2ds，但∫l1yds＞0，因此∫l(x2+y)ds≠2∫l1(x2+y)ds。C項(xiàng)，左端為0，但右端為不相等。D項(xiàng)，左端為因此左、右兩端也不相等。14、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，由曲線y=f(x)在x軸圍成的三塊面積為S1、S2、S3(S1、S2、S3均大于0)，如圖1—3—3所示，已知S2+S3=p，S1=2S2–q，且p≠q，則∫abf(x)dx等于()。A、p–qB、q–pC、p+qD、2(p–q)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由定積分幾何意義得：∫abf(x)dx=–S1+S2–S3=–(S1–S2+S3)。又S2+S3=p，S1=2S2–q，則S1–S2+S3=p–q，即∫abf(x)dx=q–p。15、已知級(jí)數(shù)等于()。A、3B、7C、8D、9標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)法將表示即可。16、已知級(jí)數(shù)與廣義積分∫0+∞e(p–2)xdx均收斂，則p的取值范圍是()。A、p＞2B、p＜2C、p＞0D、0＜p＜2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若∫0+∞e(p–2)xdx和均收斂，則同時(shí)有p–2＜0且p＞0，綜合得：0＜p＜2。17、已知anxn的收斂半徑R=1，則的收斂域?yàn)?)。A、(–1，1)B、[–1，1)C、(–1，1]D、(–∞，+∞)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閍nxn的收斂半徑R=1，則故收斂域?yàn)?–∞，+∞)。18、設(shè)其中an=2∫01f(x)cosnπxdx，(n=0，1，2，…)，則等于()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)知，應(yīng)先將f(x)從[0，1)作偶延拓，使之成為區(qū)間[–1，1]上的偶函數(shù)，然后再作周期(周期為2)延拓，進(jìn)一步展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，根據(jù)收斂定理有：19、具有特解y1=e–x，y2=2xe–x，y3=3ex的3階常系數(shù)齊次線性微分方程是()。A、y’’’–y’’–y’+y=0B、y’’’+y’’–y’–y=0C、y’’’–6y’’+11y’–6y=0D、y’’’–2y’’–y’+2y=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由特解知，對(duì)應(yīng)特征方程的根為：λ1=λ2=–1，λ3=1。于是特征方程為：(λ+1)2(λ–1)=λ3+λ2–λ–1=0。故所求線性微分方程為：y’’’+y’’–y’–y=0。20、設(shè)有向量組α1=(1，–1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，–2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，則該向量組的極大線性無(wú)關(guān)組是()。A、α1，α2，α3B、α1，α2，α4C、α1，α4，α5D、α1，α2，α4，α5標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)以α1，α2，α3，α4，α5為列向量的矩陣施以初等行變換：由于不同階梯上對(duì)應(yīng)向量組均線性無(wú)關(guān)，而含有同一個(gè)階梯上的兩個(gè)及兩個(gè)以上的向量必線性相關(guān)，對(duì)比四個(gè)選項(xiàng)知，B項(xiàng)成立。21、設(shè)A是m×n階矩陣，Ax=0是非齊次線性方程組Ax=b所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是()。A、若Ax=0僅有零解，則Ax=b有唯一解B、若Ax=0有非零解，則Ax=b有無(wú)窮多個(gè)解C、若Ax=b有無(wú)窮多個(gè)解，則Ax=0僅有零解D、若Ax=b有無(wú)窮多個(gè)解，則Ax=0有非零解標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由解的判定定理知，對(duì)Ax=b，若有，則Ax=b一定有解。進(jìn)一步，若r=n，則Ax=b有唯一解；若r＜n，則Ax=b有無(wú)窮多解。而對(duì)Ax=0一定有解，且設(shè)r(A)=r，則若r=n，Ax=0僅有零解；若r＜n，Ax=0有非零解。因此，若Ax=b有無(wú)窮多解，則必有Ax=0有非零解，所以D項(xiàng)成立。但反過(guò)來(lái)，若r(A)=r=n(或＜n)，并不能推導(dǎo)出所以Ax=b可能無(wú)解，更談不上有唯一解或無(wú)窮多解。22、已知二階實(shí)對(duì)稱矩陣A的一個(gè)特征向量為(2，–5)T，并且｜A｜＜0，則以下選項(xiàng)中為A的特征向量的是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)A的特征值為λ1，λ2，因?yàn)椋麬｜＜0，所以λ1.λ2＜0，即A有兩個(gè)不同的特征值。又且在D項(xiàng)中，k1與k2不同時(shí)為零。C項(xiàng)，k1與k2都可以等于0，如當(dāng)k1=0，k2≠0時(shí)，k2(5，2)T也是A的特征向量，所以排除。23、已知矩陣那么與A既相似又合同的矩陣是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣如果相似必然合同，因?yàn)閮蓚€(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣相似，則它們有相同的特征值，從而有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)，因此它們必然合同。但合同不能推出相似，故本題只要找出與A相似的矩陣即可，相似對(duì)角矩陣主對(duì)角線上元素為矩陣的特征值，由特征值之和等于矩陣的跡，選項(xiàng)中對(duì)角矩陣主對(duì)角線上元素之和=矩陣A的跡(即1+1+2=4)，觀察知D項(xiàng)滿足。24、已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且EX=2．4，DX=1．44，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值為()。A、n=4；P=0．6B、n=6；P=0．4C、n=8；P=0．3D、n=24；P=0．1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：依題意得X～B(n，p)，于是EX=np，DX=np(1–P)，于是可得方程組：25、設(shè)隨機(jī)變量X的二階矩存在，則()。A、E(X2)＜E(X)B、E(X2)≥E(X)C、E(X2)＜(EX)2D、E(X2)≥(EX)2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于D(X)=E(X2)–(EX)2＞10，故E(X2)≥(EX)2。AB兩項(xiàng)對(duì)某些隨機(jī)變量可能成立，對(duì)某些隨機(jī)變量可能不成立。例如，隨機(jī)變量X在區(qū)間[0，1]上服從均勻分布，則A項(xiàng)成立，此時(shí)B項(xiàng)不成立。又如X～N(μ，σ2)，E(X)=μ，D(X)=σ2，E(X2)=σ2+μ2，取即B項(xiàng)成立，此時(shí)A項(xiàng)不成立。26、設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望μ與方差σ2存在，X1，X2，…，Xn是X的樣本，則()可以作為σ2的無(wú)偏估計(jì)。A、當(dāng)μ已知時(shí)，統(tǒng)計(jì)量(Xi–μ)2／nB、當(dāng)μ已知時(shí)，統(tǒng)計(jì)量(Xi–μ)2／(n–1)C、當(dāng)μ未知時(shí)，統(tǒng)計(jì)量(Xi–μ)2／nD、當(dāng)μ未知時(shí)，統(tǒng)計(jì)量(Xi–μ)2／(n–1)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)μ已知時(shí)，[(Xi–μ)2]／n為統(tǒng)計(jì)量，利用定義D(Xi)=E(Xi–μ)2=D(X)=σ2，驗(yàn)證之。其次，當(dāng)μ已知時(shí)，因而=nσ2／n=σ2。而故當(dāng)μ已知時(shí)，A項(xiàng)應(yīng)選入。