專題05勾股定理的應(yīng)用（含折疊、動點）重難點題型專訓【題型目錄】題型一勾股定理應(yīng)用之航海問題題型二勾股定理應(yīng)用之梯子滑落高度問題題型三勾股定理應(yīng)用之螞蟻行程問題題型四勾股定理之旗桿高度問題題型五勾股定理之臺階上地毯長度問題題型六勾股定理之是否受臺風影響問題題型七勾股定理之折疊問題題型八勾股定理之動點問題【經(jīng)典例題一勾股定理之航海問題】【例1】（2022秋·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時，海輪所在的B處與燈塔P的距離為（）A．40海里 B．40海里 C．80海里 D．40海里【變式訓練】【變式1】（2022秋·八年級課時練習）如圖，一般客輪從小島A沿東北方向航行，同時一艘補給船從小島A正東方向相距（100+100），沿北偏西60°方向航行，與客輪同時到達C處給客輪進行補給，則客輪與補給船的速度之比為（）A．：2 B．：1 C．：2 D．：1【變式2】（2022春·四川南充·八年級四川省南充市第九中學?？茧A段練習）如圖，一艘輪船航行到B處時，測得小島A在船的北偏東60°的方向上，輪船從B處繼續(xù)向正東方向航行100海里到達C處時，測得小島A在船的北偏東30°的方向上，于點D，則AD的長為______海里．【變式3】（2022秋·河北邯鄲·九年級邯鄲市第二十三中學?？计谀┰谝淮魏Ｉ暇仍校瑑伤覍I(yè)救助船、同時收到某事故漁船的求救訊息，已知此時救助船在的正北方向，事故漁船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故漁船與救助船相距60海里．(1)求收到求救訊息時事故漁船與救助船之間的距離（結(jié)果保留根號）；(2)求救助船、分別以20海里/小時，15海里/小時的速度同時出發(fā)，勻速直線前往事故漁船處搜救，試通過計算判斷哪艘船先到達．【經(jīng)典例題二勾股定理之梯子滑落高度問題】【例2】（2022春·四川涼山·八年級?？茧A段練習）如圖所示，一個梯子AB長2.5米，頂端A靠墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE上的位置上，如圖，測得DB的長0.5米，則梯子頂端A下落了（

）米．A．0.5 B．0.4 C．0.6 D．1【變式訓練】【變式1】（2022秋·全國·八年級期中）如圖，一架2.5m長的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時梯子的底部距墻底端0.7m，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4m，那么梯子的底部將平滑（）A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m【變式2】（2022秋·山東棗莊·八年級?？计谀┤鐖D，一架米長的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時梯足到墻底端的距離為米，如果梯子的頂端沿墻下滑米，那么梯足將外移______米．【變式3】（2022春·貴州遵義·八年級?？茧A段練習）課堂上同學們正在討論課本例題：如圖，一架長的梯子斜靠在豎直的墻上，的距離為，若梯子頂端下滑的距離為，則點向外移動的距離為多少？同學甲：本題可以這樣來做解：在中，，，根據(jù)勾股定理得：，則________，又在中，，根據(jù)勾股定理得：________，則________．同學乙．我發(fā)現(xiàn)在本題答案中，梯子頂端下滑的距離比末端向外移動的距離小，說明在梯子下滑時，梯子頂端下滑的距離一定比末端向外移動的距離?。瑢W丙：不一定，我能舉個反例，比如，當梯子頂端下滑的距離為時，在中，，，根據(jù)勾股定理得：________，則，又在中，，根據(jù)勾股定理得：________，則________．即：，老師．通過上面的討論，同學們發(fā)現(xiàn)有時大，有時大，那么有沒有可能正好的情況存在呢？同學?。河校斕葑禹敹藦奶幭禄瑫r，末端向外也移動．你認為他的說法正確嗎？說明理由．【經(jīng)典例題三勾股定理之螞蟻行程問題】【例3】（2023秋·河北保定·八年級?？计谀┤鐖D是樓梯的一部分，若，，，一只螞蟻在A處發(fā)現(xiàn)C處有一塊糖，則這只螞蟻吃到糖所走的最短路程為（

）A． B．3 C． D．【變式訓練】【變式1】（2021秋·山西太原·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖是一個長為12cm，寬為5cm，高為8cm的長方體，一只蜘蛛從一條側(cè)棱的中點A沿著長方體表面爬行到頂點B去捕捉螞蟻，此時蜘蛛爬行的最短距離是（

）A．13cm B．15cm C．21cm D．25cm【變式2】（2022秋·浙江·八年級專題練習）如圖，一個長方體盒子緊貼地面，一只螞蟻由出發(fā)，在盒子表面上爬到點，已知，，，這只螞蟻爬行的最短路程是________．【變式3】（2022春·廣西百色·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別等于7cm、6cm、2cm，A和B是這兩個臺階的兩個相對的端點，則一只螞蟻從點A出發(fā)經(jīng)過臺階爬到點B的最短路線有多長？【經(jīng)典例題四勾股定理之旗桿高度問題】【例4】（2022秋·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應(yīng)用廣泛而使人入迷．如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時（即水平距離），踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，則繩索的長是（

）A． B． C．6 D．【變式訓練】【變式1】（2023秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）為預(yù)防新冠疫情，民生大院入口的正上方A處裝有紅外線激光測溫儀（如圖所示），測溫儀離地面的距離AB＝2.4米，當人體進入感應(yīng)范圍內(nèi)時，測溫儀就會自動測溫并報告人體體溫.當身高為1.8米的市民CD正對門緩慢走到離門0.8米的地方時（即BC＝0.8米），測溫儀自動顯示體溫，則人頭頂離測溫儀的距離AD等于（）A．1.0米 B．1.2米 C．1.25米 D．1.5米【變式2】（2020秋·八年級單元測試）如圖所示，地面上豎立了一根木桿，頂端與地面上有繩索相連．在木桿的8米高處有兩只猴子，一只猴子爬下木桿走到離木桿16米的處．另一只爬到桿頂后沿繩索滑至處，兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，則這根木桿高__________米．【變式3】（2022秋·江蘇·八年級專題練習）太原的五一廣場視野開闊，是一處設(shè)計別致，造型美麗的廣場園林，成為不少市民放風箏的最佳場所，某校八年級（1）班的小明和小亮同學學習了“勾股定理”之后，為了測得圖中風箏的高度，他們進行了如下操作：①測得的長為15米（注：）；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線的長為25米；③牽線放風箏的小明身高1.7米．(1)求風箏的高度．(2)過點D作，垂足為H，求的長度．【經(jīng)典例題五勾股定理之臺階上地毯長度問題】【例5】（2022春·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期中）某酒店打算在一段樓梯面上鋪上寬為2米的地毯，臺階的側(cè)面如圖所示，如果這種地毯每平方米售價為80元，則購買這種地毯至少需要（）A．2560元 B．2620元 C．2720元 D．2840元【變式訓練】【變式1】（2022秋·廣東茂名·八年級校考期中）如圖所示：是一段樓梯，高BC是3m，斜邊AC是5m，如果在樓梯上鋪地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m【變式2】（2021秋·山東青島·八年級?？茧A段練習）如圖，某會展中心在會展期間準備將高5m，長13m，寬2m的樓道上鋪地毯，已知地毯每平方米18元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要____________元錢．【變式3】（2021春·湖北武漢·八年級階段練習）如圖，某會展中心在會展期間準備將高5m,長13m，寬2m的樓道上鋪地毯,已知地毯平方米18元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要多少元錢?【經(jīng)典例題六勾股定理之是否受臺風影響問題】【例6】（2022秋·八年級課時練習）M城氣象中心測得臺風中心在M城正北方向240km的P處，以每小時45km的速度向南偏東30°的PB方向移動，距臺風中心150km的范圍內(nèi)是受臺風影響的區(qū)域，則M城受臺風影響的時間為（

）小時．A．4 B．5 C．6 D．7【變式訓練】【變式1】（2022秋·重慶·八年級校聯(lián)考期末）如圖，一艘船以40km/h的速度沿既定航線由西向東航行，途中接到臺風警報，某臺風中心正以20km/h的速度由南向北移動，距臺風中心200km的圓形區(qū)域(包括邊界)都屬臺風影響區(qū)，當這艘輪船接到臺風警報時，它與臺風中心的距離BC=500km，此時臺風中心與輪船既定航線的最近距離BA=300km，如果這艘輪船會受到臺風影響，那么從接到警報開始，經(jīng)過(

)小時它就會進入臺風影響區(qū)A．10 B．7 C．6 D．12【變式2】（2021秋·河南濮陽·九年級校考階段練習）如圖，鐵路和公路在點處交匯，．公路上處距點240米．如果火車行駛時，周圍200米以內(nèi)會受到噪音的影響．那么火車在鐵路上沿方向以36千米/時的速度行駛時，處受噪音影響的時間為______秒．【變式3】（2022秋·四川達州·八年級?？计谥校┤鐖D，，是兩條公路相交成，沿公路方向離點米的點A處有一所學校，當重型運輸卡車沿道路方向行駛時，在以重型運輸卡車所在的點P為圓心、長為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到卡車噪聲的影響，且點P與點A的距離越近噪聲影響越大．假設(shè)重型運輸卡車沿著道路方向行駛的速度為18千米/小時．(1)求對學校的噪聲影響最大時，卡車與學校之間的距離（保留根號）；(直角三角形中銳角所對的直角邊等于斜邊的一半)．(2)求卡車沿道路方向行駛一次給學校帶來噪聲影響的時間．【經(jīng)典例題七勾股定理之折疊問題】【例7】（2022秋·廣東茂名·八年級信宜市第二中學校考期中）如圖，等腰直角三角形紙片中，，把紙片沿對折后，點A恰好落在上的點D處，點，，則下列結(jié)論：；；與的周長相等．正確的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式訓練】【變式1】（2022秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）如圖，三角形紙片中，點是邊上一點，連接，把沿著直線翻折，得到，交于點，連接交于點，若，的面積為，則的長是（

）A． B． C． D．【變式2】（2021秋·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在直角三角形紙片ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝10，D是BC的中點，E是AC上的一個動點，將三角形紙片ABC沿DE折疊，連接AC′.當△AEC′是直角三角形時，CE的長為____________．【變式3】（2022秋·江蘇蘇州·八年級蘇州高新區(qū)第二中學?？茧A段練習）操作與實踐：已知長方形紙片中，，．操作一：如圖①，任意畫一條線段，將紙片沿折疊，使點B落到點的位置，與交于點G．試說明重疊部分為等腰三角形；操作二：如圖②，將紙片沿對角線折疊，使點B落到點的位置，與交于點H．求的面積．【經(jīng)典例題八勾股定理之動點問題】【例8】（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學校考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，點D是BC上一動點，連接AD，將△ACD沿AD折疊，點C落在點E處，連接DE交AB于點F，當∠DEB是直角時，DF的長為（

）．A．5 B．3 C． D．【變式訓練】【變式1】（2022秋·浙江·八年級期中）如圖，在中，是延長線上一點，是邊上一動點，連接，作與關(guān)于對稱(點與點對應(yīng))，連接，則長的最小值是（

）A． B． C． D．【變式2】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，，P為線段AB上一動點，以線段CP為邊作等邊三角形PCD，則點P從點A向點B運動的過程中，點D所經(jīng)過的路徑長為______．【變式3】（2020秋·八年級校考階段練習）如圖，在四邊形中，，，，若連接，沿翻折，則點A落在點M上．動點P從點C出發(fā)沿的路線運動，運動到點B停止．(1)求的長度；(2)當線段的中垂線經(jīng)過點D時，求點P運動路線的長度；(3)在點P的運動過程中，當為等腰三角形時，點P運動路線的長度為___________（直接寫出答案）【培優(yōu)檢測】1．（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，，點在內(nèi)部，且，若、分別為邊、上的動點，則周長的最小值為（

）A．4 B． C． D．82．（2023春·八年級單元測試）1．如圖，在中，，，，是的平分線，交于點，則的面積等于（

）A． B． C． D．3．（2022秋·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）已知，一輪船以16海里時的速度從港口A出發(fā)向北偏東方向航行，另一輪船以8海里時的速度同時從港口A出發(fā)向南偏東方向航行，則離開港口1小時后，兩船相距（

）A．海里 B．海里 C．16海里 D．24海里4．（2023秋·河南南陽·八年級?？计谀┕垂啥ɡ硎侨祟愒缙诎l(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應(yīng)用廣泛而使人入迷．如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時（即水平距離），踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，則繩索的長是（

）A． B． C．6 D．5．（2022春·四川瀘州·八年級統(tǒng)考期末）我國古代數(shù)學專著《九章算術(shù)》里記載了這樣一個問題“今有垣高一丈．倚木于垣，上與垣齊，引木卻行一尺，其木至地．問木長幾何？”其內(nèi)容可以表述為：“有一面墻，高1丈，將一根木桿斜靠在墻上，使木桿的上端與墻的上端對齊，下端落在地面上．如果使木桿下端從此時的位置向遠離墻的方向移動1尺，則木桿上端恰好沿著墻滑落到地面上，問木桿長多少尺？”（說明：1丈尺），此木桿的長度為（

）A．49尺 B．49.5尺 C．50尺 D．50.5尺6．（2022秋·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，，，與關(guān)于直線軸對稱，，，點與點對應(yīng)，交于點，則線段的長為（）A．5 B． C．4 D．7．（2021秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，三級臺階的每一級的長、寬、高分別為．點A和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為（）dm．A．12 B．10 C．17 D．258．（2022秋·八年級課時練習）如圖，在中，，以各邊為斜邊分別向外作等腰、等腰、等腰，將等腰和等腰按如圖方式疊放到等腰中，已知，，則長為（

）A．2 B． C．6 D．89．（2022春·甘肅慶陽·八年級校考期中）如圖，一個梯子長2.5米，頂端靠在墻上，這時梯子下端與墻角距離為0.7米，梯子滑動后停在的位置上，測得長為0.8米，求梯子頂端下落了_________米．10．（2020秋·廣東茂名·八年級?？茧A段練習）如圖，在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹20米的池塘C，而另一只爬到樹頂D后直撲池塘C，結(jié)果兩只猴子經(jīng)過的距離相等，這棵樹有的高是______________．11．（2022秋·山東濟南·八年級濟南市章丘區(qū)第四中學校考階段練習）如圖，已知在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是長方形，點A、C、D的坐標分別為A(9，0)、C(0，4)，D(5，0)，點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿O→C→B→A運動，點P的運動時間為t秒．則當t＝____秒時，△ODP是腰長為5的等腰三角形？12．（2022秋·八年級課時練習）將一根24cm的筷子，置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱體中，如圖，設(shè)筷子露出在杯子外面長為hcm，則h的最小值__，h的最大值__．13．（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，有兩條公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向離O點160米處有一所學校A，當重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛時，在以P為圓心，100米為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到卡車噪聲的影響，且卡車P與學校A的距離越近噪聲影響越大．若已知重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為36千米/時，則對學校A的噪聲影響最大時卡車P與學校A的距離是___米；重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間是____秒．14．（2021春·四川成都·八年級?？计谥校┰诘妊苯侨切沃校?，，是邊上一點，且，是邊上一點，將沿翻折，使點落在線段的點上，則_________．15．（2021秋·廣東佛山·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，一個梯子AB，頂端A靠在墻AC上，這是梯子的頂端距地面的垂直高度為24米，若梯子的頂端下滑4米，底端將水平滑動了8米，求滑動前梯子底端與墻的距離CB是多少？16．（2022春·四川瀘州·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，四邊形為某街心公園的平面圖，經(jīng)測量米，米，且．（1）求的度數(shù)；（2）若為公園的車輛進出口道路（道路的寬度忽略不計），工作人員想要在點處安裝一個監(jiān)控裝置來監(jiān)控道路的車輛通行情況，已知攝像頭能監(jiān)控的最大范圍為周圍的100米（包含100米），求被監(jiān)控到的道路長度為多少？17．（2022秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，直線，垂足為O，直線l分別與射線、相交于點A、B，且，，連接．(1)求線段的長；(2)若點C為直線l上的一個動點，求點O到點C的距離的最小值；(3)如圖2，將沿直線l折疊，點O落在點D處，，垂足為點E，求的長；(4)若點F為直線或上的一個動點，使得以A、B、F為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的所有點F的個數(shù)為______個．18．（2022秋·陜西西安·八年級?？茧A段練習）如圖1，在中，，，，點為邊上一動點，將沿直線折疊，得到，請解決下列問題．(1)______；當點恰好落在斜邊上時，______；(2)連接，當是以為底邊的等腰三角形時，請在圖2中畫出相應(yīng)的圖形，并求出此時點到直線的距離；(3)如圖3，為邊上一點，且，連接，當為直角三角形時，______．（請寫出所有滿足條件的長）19．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，點是等腰直角的直角邊上的一點，AE的中垂線分別交，，于點，，，且．（1）求的度數(shù)．（2）若，求的長．（3）若平分，則：①判斷線段與的位置關(guān)系并證明．②求出的長．20．（2021秋·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖1，在長方形中，BC=3，動點從出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿射線方向移動，作關(guān)于直線的對稱，設(shè)點的運動時間為（1）當P點在線段BC上且不與C點重合時，若直線PB’與直線CD相交于點M，且∠PAM=45°，試求：AB的長（2）若AB=4①如圖2，當點B’落在AC上時，顯然△PCB’是直角三角形，求此時t的值②是否存在異于圖2的時刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合題意的t的值？若不存在，請說明理由專題05勾股定理的應(yīng)用（含折疊、動點）重難點題型專訓【題型目錄】題型一勾股定理應(yīng)用之航海問題題型二勾股定理應(yīng)用之梯子滑落高度問題題型三勾股定理應(yīng)用之螞蟻行程問題題型四勾股定理之旗桿高度問題題型五勾股定理之臺階上地毯長度問題題型六勾股定理之是否受臺風影響問題題型七勾股定理之折疊問題題型八勾股定理之動點問題【經(jīng)典例題一勾股定理之航海問題】【例1】（2022秋·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時，海輪所在的B處與燈塔P的距離為（）A．40海里 B．40海里 C．80海里 D．40海里【答案】B【分析】過點P作PC⊥AB，則在中，通過30°的直角三角形，計算出PC的長，再根據(jù)等腰直角三角形，通過勾股定理即可求出PB．【詳解】解：作PC⊥AB于C點，∵A在P的北偏東30°方向，∴，∴，又∵B在P的南偏東45°方向上，∴，∴，∴∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AP＝80（海里）∴在中，，∴（海里）∵在中，∠BPC＝45°，∴三角形為等腰直角三角形，∴，∴（海里）．故選：B．【點睛】本題考查方位角有關(guān)的計算以及用勾股定理求航海問題，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形進行計算．【變式訓練】【變式1】（2022秋·八年級課時練習）如圖，一般客輪從小島A沿東北方向航行，同時一艘補給船從小島A正東方向相距（100+100），沿北偏西60°方向航行，與客輪同時到達C處給客輪進行補給，則客輪與補給船的速度之比為（）A．：2 B．：1 C．：2 D．：1【答案】A【分析】過C作CD⊥AB于D，設(shè)AD=x，根據(jù)特殊三角形的性質(zhì)，分別用含x的代數(shù)式表示出CD，BD，根據(jù)AB的長求出x，再根據(jù)勾股定理求出AC，BD，即可得到答案．【詳解】解：過C作CD⊥AB于D，設(shè)AD=x，由題意得∠CAD=45°，∠NBC=60°，在Rt△ACD中，∠ACD=90°-45°=45°，∴∠ACD=∠CAD，∴CD=AD=x，∴，在Rt△BCD中，∠CBD=90°-60°=30°，∴BC=2CD=2x，∴，∵AB=100+100，∴AD+BD=x+x=100+100，∴（1+）x=100（1+），∴x=100，即AD=100海里，∴AC=100海里，BC=200海里，∵時間一定時速度與路程成正比，∴客輪與補給船的速度之比為100：200=：2，故選：A．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．【變式2】（2022春·四川南充·八年級四川省南充市第九中學?？茧A段練習）如圖，一艘輪船航行到B處時，測得小島A在船的北偏東60°的方向上，輪船從B處繼續(xù)向正東方向航行100海里到達C處時，測得小島A在船的北偏東30°的方向上，于點D，則AD的長為______海里．【答案】【分析】如圖，和有公共邊，在兩個直角三角形中，利用三角函數(shù)即可用表示出與，根據(jù)即可列方程，從而求得的長．【詳解】如圖所示：則，∴，∴海里．在中，設(shè)海里，則海里，，在中，，，又∵,∴，解得：，∴海里故答案為：【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用、直角三角形的計算，一般的三角形可以通過作高線轉(zhuǎn)化為解直角三角形的計算，計算時首先計算直角三角形的公共邊是常用的思路．【變式3】（2022秋·河北邯鄲·九年級邯鄲市第二十三中學?？计谀┰谝淮魏Ｉ暇仍?，兩艘專業(yè)救助船、同時收到某事故漁船的求救訊息，已知此時救助船在的正北方向，事故漁船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故漁船與救助船相距60海里．(1)求收到求救訊息時事故漁船與救助船之間的距離（結(jié)果保留根號）；(2)求救助船、分別以20海里/小時，15海里/小時的速度同時出發(fā)，勻速直線前往事故漁船處搜救，試通過計算判斷哪艘船先到達．【答案】(1)海里(2)救助船先到達，計算過程見解析【分析】（1）如圖，作于，在中先求出的長，繼而在中求出的長即可；（2）根據(jù)“時間=路程÷速度”分別求出救助船A和救助船B所需的時間，進行比較即可．【詳解】（1）解：如圖，過點P作于，∴，由題意得：海里，，，∴海里，是等腰直角三角形，∴海里，海里，答：收到求救訊息時事故漁船與救助船之間的距離為海里；（2）解：∵海里，海里，救助船分別以20海里/小時、15海里/小時的速度同時出發(fā)，∴救助船所用的時間為(小時)，救助船所用的時間為(小時)，∵，∴救助船先到達．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，涉及了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，勾股定理的應(yīng)用等，熟練正確添加輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二勾股定理之梯子滑落高度問題】【例2】（2022春·四川涼山·八年級?？茧A段練習）如圖所示，一個梯子AB長2.5米，頂端A靠墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE上的位置上，如圖，測得DB的長0.5米，則梯子頂端A下落了（

）米．A．0.5 B．0.4 C．0.6 D．1【答案】A【分析】在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理，得：AC=2米，由于梯子的長度不變，在直角三角形CDE中，根據(jù)勾股定理，得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的頂端下滑了0.5米．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，AC⊥BC，∴，∵AB=2.5米，BC=1.5米，∴AC===2米．∵Rt△ECD中，CE⊥CD，∴，∵AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米，∴EC===1.5米，∴AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米．故選：A．【點睛】本題主要考查了勾股定理，解題時注意梯子的長度不變，分別運用勾股定理求得AC和CE的長是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】【變式1】（2022秋·全國·八年級期中）如圖，一架2.5m長的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時梯子的底部距墻底端0.7m，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4m，那么梯子的底部將平滑（）A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m【答案】D【分析】先根據(jù)梯子的頂端下滑了0.4m求出A′C的長，再根據(jù)勾股定理求出B′C的長，進而可得出結(jié)論．【詳解】∵在Rt△ABC中，AB＝2.5m，BC＝0.7m，∴AC＝＝＝2.4m，∵梯子的頂端下滑了0.4m，∴A′C＝2m，∵在Rt△A′B′C中，A′B′＝2.5m，A′C＝2m，∴B′C＝＝＝1.5m，∴BB′＝B′C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8m．故選：D．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．【變式2】（2022秋·山東棗莊·八年級校考期末）如圖，一架米長的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時梯足到墻底端的距離為米，如果梯子的頂端沿墻下滑米，那么梯足將外移______米．【答案】【分析】在直角三角形中，已知,根據(jù)勾股定理即可求的長度，根據(jù)即可求得的長度，在直角三角形中，已知，即可求得的長度，根據(jù)即可求得的長度．【詳解】解；在直角中，已知,,則,,在直角中，，且為斜邊，,梯足向外移動了．故填．【點睛】本題考查了勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，考查了勾股定理在直角三角形中的正確運用，本題中求的長度是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022春·貴州遵義·八年級校考階段練習）課堂上同學們正在討論課本例題：如圖，一架長的梯子斜靠在豎直的墻上，的距離為，若梯子頂端下滑的距離為，則點向外移動的距離為多少？同學甲：本題可以這樣來做解：在中，，，根據(jù)勾股定理得：，則________，又在中，，根據(jù)勾股定理得：________，則________．同學乙．我發(fā)現(xiàn)在本題答案中，梯子頂端下滑的距離比末端向外移動的距離小，說明在梯子下滑時，梯子頂端下滑的距離一定比末端向外移動的距離小．同學丙：不一定，我能舉個反例，比如，當梯子頂端下滑的距離為時，在中，，，根據(jù)勾股定理得：________，則，又在中，，根據(jù)勾股定理得：________，則________．即：，老師．通過上面的討論，同學們發(fā)現(xiàn)有時大，有時大，那么有沒有可能正好的情況存在呢？同學?。河校斕葑禹敹藦奶幭禄瑫r，末端向外也移動．你認為他的說法正確嗎？說明理由．【答案】，，；，，；丁的說法正確，理由見解析【分析】在中，根據(jù)勾股定理求出的值，從而得到的值，在中，根據(jù)勾股定理求出的值，即可得出的值；再根據(jù)同學甲、乙、丁的情況給出的數(shù)值分別代入求解即可.【詳解】解：同學甲：在中，，，根據(jù)勾股定理，得，則，又在中，，根據(jù)勾股定理，得，則．故答案為：；；.同學丙：在中，，，根據(jù)勾股定理，得，則，又在中，，根據(jù)勾股定理，得，則．即.故答案為：；；.同學丁：說法正確，理由如下：在中，，，根據(jù)勾股定理，得，則，又在中，，根據(jù)勾股定理，得，則，即.【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.【經(jīng)典例題三勾股定理之螞蟻行程問題】【例3】（2023秋·河北保定·八年級?？计谀┤鐖D是樓梯的一部分，若，，，一只螞蟻在A處發(fā)現(xiàn)C處有一塊糖，則這只螞蟻吃到糖所走的最短路程為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】此類題目只需要將其展開便可直觀的得出解題思路．將臺階展開得到的是一個矩形，螞蟻要從A點到C點的最短距離，便是矩形的對角線，利用勾股定理即可解出答案．【詳解】解：將臺階展開，如圖，因為DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，所以AC2=DC2+AD2=20，所以AC=，故選：D．【點睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】【變式1】（2021秋·山西太原·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖是一個長為12cm，寬為5cm，高為8cm的長方體，一只蜘蛛從一條側(cè)棱的中點A沿著長方體表面爬行到頂點B去捕捉螞蟻，此時蜘蛛爬行的最短距離是（

）A．13cm B．15cm C．21cm D．25cm【答案】B【分析】先將長方體沿CF、FG、GD剪開，向上翻折，使面FCDG和面BDCE在同一個平面內(nèi)，連接AB；或?qū)㈤L方體沿CD、CF、FG剪開，向右翻折，使面CFGD和面GHBD在同一個平面內(nèi)，連接AB；或?qū)㈤L方體沿CD、DB、BE剪開，向上翻折，使面DBEC和面CEMF在同一個平面內(nèi)，連接AB，然后分別在Rt△ABE、Rt△ABC和Rt△ABD中利用勾股定理求得AB的長，比較大小即可求得需要爬行的最短路程．【詳解】將長方體沿CF、FG、GD剪開，向上翻折，使面FCDG和面BDCE在同一個平面內(nèi)，如圖1：，．∴在Rt△ABE中，將長方體沿CD、CF、FG剪開，向右翻折，使面CFGD和面GHBD在同一個平面內(nèi)，如圖2：，∴在Rt△ABC中，將長方體沿CD、DB、BE剪開，向上翻折，使面DBEC和面CEMF在同一個平面內(nèi)，如圖3：，∴在Rt△ABD中，∵∴蜘蛛爬行的最短距離是15cm．故選：B．【點睛】此題考查了勾股定理在最短路徑問題中的應(yīng)用，利用了轉(zhuǎn)化思想，解題的關(guān)鍵是將立體圖形展為平面圖形并利用勾股定理的知識求解．【變式2】（2022秋·浙江·八年級專題練習）如圖，一個長方體盒子緊貼地面，一只螞蟻由出發(fā)，在盒子表面上爬到點，已知，，，這只螞蟻爬行的最短路程是________．【答案】【分析】將長方體盒子按不同方式展開，得到不同的長方形，求出不同長方形的對角線，最短者即為正確答案．【詳解】解：由題意，如圖所示，得；如圖所示，得，如圖3所示，，∴螞蟻爬行的最短路程是10．故答案為：10.【解答】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意將長方體盒子展開為平面圖形，根據(jù)勾股定理求出最短路程進行比較是解題關(guān)鍵．【變式3】（2022春·廣西百色·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別等于7cm、6cm、2cm，A和B是這兩個臺階的兩個相對的端點，則一只螞蟻從點A出發(fā)經(jīng)過臺階爬到點B的最短路線有多長？【答案】25cm【分析】展開后得到直角三角形ACB，根據(jù)題意求出AC、BC，根據(jù)勾股定理求出AB即可．【詳解】解：如圖，將臺階展開，由題意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，．所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625，即AB＝25（cm），答：螞蟻爬行的最短線路為25cm．【點睛】本題主要考查對勾股定理，平面展開——最短路徑問題等知識點的理解和掌握，能理解題意知道是求出直角三角形ABC的斜邊AB的長是解此題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四勾股定理之旗桿高度問題】【例4】（2022秋·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應(yīng)用廣泛而使人入迷．如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時（即水平距離），踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，則繩索的長是（

）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】設(shè)秋千的繩索長為，根據(jù)題意可得，利用勾股定理可得，即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)秋千繩索的長度為，由題意可得，四邊形為矩形，，，，，∴，，在中，，即，解得，即的長度為．故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】【變式1】（2023秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）為預(yù)防新冠疫情，民生大院入口的正上方A處裝有紅外線激光測溫儀（如圖所示），測溫儀離地面的距離AB＝2.4米，當人體進入感應(yīng)范圍內(nèi)時，測溫儀就會自動測溫并報告人體體溫.當身高為1.8米的市民CD正對門緩慢走到離門0.8米的地方時（即BC＝0.8米），測溫儀自動顯示體溫，則人頭頂離測溫儀的距離AD等于（）A．1.0米 B．1.2米 C．1.25米 D．1.5米【答案】A【分析】過點D作于點E，構(gòu)造，利用勾股定理解得AD的長即可．【詳解】解：過點D作于點E，中（米）故選：A．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，作出正確的輔助線是解題關(guān)鍵．【變式2】（2020秋·八年級單元測試）如圖所示，地面上豎立了一根木桿，頂端與地面上有繩索相連．在木桿的8米高處有兩只猴子，一只猴子爬下木桿走到離木桿16米的處．另一只爬到桿頂后沿繩索滑至處，兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，則這根木桿高__________米．【答案】12【分析】閱讀題目信息可得兩只猴子所經(jīng)過的距離相等是指BD+AD=BC+AC=24，設(shè)BD=x，根據(jù)勾股定理列方程求解.【詳解】設(shè)BD=x米，根據(jù)題意可得BD+AD=BC+AC，x+AD=8+16，∴AD=24-x，在RtΔACD中，由勾股定理得，，∴解得，x=4∴DC=x+8=4+8=12米，即這根木桿高12米.【點睛】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用，通過圖形找到等量關(guān)系列方程是解答此題的關(guān)鍵.【變式3】（2022秋·江蘇·八年級專題練習）太原的五一廣場視野開闊，是一處設(shè)計別致，造型美麗的廣場園林，成為不少市民放風箏的最佳場所，某校八年級（1）班的小明和小亮同學學習了“勾股定理”之后，為了測得圖中風箏的高度，他們進行了如下操作：①測得的長為15米（注：）；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線的長為25米；③牽線放風箏的小明身高1.7米．(1)求風箏的高度．(2)過點D作，垂足為H，求的長度．【答案】(1)風箏的高度為21.7米(2)的長度為9米【分析】（1）在中由勾股定理求得CD的長，再加上DE即可；（2）利用等積法求出DH的長，再在在中由勾股定理即可求得BH的長．【詳解】（1）在中，由勾股定理，得：（米），所以（米），答：風箏的高度為21.7米．（2）由等積法知：，解得：（米）．在中，（米），答：的長度為9米．【點睛】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，正確運用勾股定理是關(guān)鍵，注意計算準確．【經(jīng)典例題五勾股定理之臺階上地毯長度問題】【例5】（2022春·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期中）某酒店打算在一段樓梯面上鋪上寬為2米的地毯，臺階的側(cè)面如圖所示，如果這種地毯每平方米售價為80元，則購買這種地毯至少需要（）A．2560元 B．2620元 C．2720元 D．2840元【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，先把樓梯的橫豎向上向左平移，構(gòu)成一個矩形，再求得其面積，則購買地毯的錢數(shù)可求．【詳解】利用平移線段，把樓梯的橫豎向上向左平移，構(gòu)成一個矩形，長寬分別為米、5米，∴地毯的長度為12+5=17米，地毯的面積為17×2=34平方米，∴購買這種地毯至少需要80×34=2720元．故選C.【點睛】本題考查的知識點是勾股定理的應(yīng)用，生活中的平移現(xiàn)象，解題關(guān)鍵是要注意利用平移的知識，把要求的所有線段平移到一條直線上進行計算．【變式訓練】【變式1】（2022秋·廣東茂名·八年級?？计谥校┤鐖D所示：是一段樓梯，高BC是3m，斜邊AC是5m，如果在樓梯上鋪地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m【答案】C【詳解】樓梯豎面高度之和等于BC的長，橫面寬度之和等于AB的長．由于，所以至少需要地毯長4＋3＝7（m）．故選C【變式2】（2021秋·山東青島·八年級校考階段練習）如圖，某會展中心在會展期間準備將高5m，長13m，寬2m的樓道上鋪地毯，已知地毯每平方米18元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要____________元錢．【答案】612【分析】先由勾股定理求出BC的長為12m，再用(AC+BC)乘以2乘以18即可得到答案．【詳解】如圖，∵∠C=90，AB=13m，AC=5m，∴BC==12m，∴（元）．故填：612.【點睛】此題考查勾股定理、平移的性質(zhì)，題中求出地毯的總長度是解題的關(guān)鍵，地毯的長度由平移可等于樓梯的垂直高度和水平距離的和，進而求得地毯的面積．【變式3】（2021春·湖北武漢·八年級階段練習）如圖，某會展中心在會展期間準備將高5m,長13m，寬2m的樓道上鋪地毯,已知地毯平方米18元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要多少元錢?【答案】612元.【詳解】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用地毯的長是樓梯的豎直部分與水平部分的和，即AC與BC的和，在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理即可求得BC的長，地毯的長與寬的積就是面積．如圖，由題意得，，則地毯總長為，則地毯的總面積為，所以鋪完這個樓道至少需要元．【經(jīng)典例題六勾股定理之是否受臺風影響問題】【例6】（2022秋·八年級課時練習）M城氣象中心測得臺風中心在M城正北方向240km的P處，以每小時45km的速度向南偏東30°的PB方向移動，距臺風中心150km的范圍內(nèi)是受臺風影響的區(qū)域，則M城受臺風影響的時間為（

）小時．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】如圖，過點M作ME⊥PB，在BP上取點F，H，設(shè)MF=MH=150km，求出FH，然后利用時間=路程÷速度，計算即可解決問題．【詳解】解：如圖，過點M作ME⊥PB，在BP上取點F，H，設(shè)MF=MH=150km在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°，∴ME=PM=120km，∴EF=EH==90（km），∴FH=180km，∴受臺風影響的時間有180÷45=4（小時）．故選：A【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會添加常用輔助線根據(jù)直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式訓練】【變式1】（2022秋·重慶·八年級校聯(lián)考期末）如圖，一艘船以40km/h的速度沿既定航線由西向東航行，途中接到臺風警報，某臺風中心正以20km/h的速度由南向北移動，距臺風中心200km的圓形區(qū)域(包括邊界)都屬臺風影響區(qū)，當這艘輪船接到臺風警報時，它與臺風中心的距離BC=500km，此時臺風中心與輪船既定航線的最近距離BA=300km，如果這艘輪船會受到臺風影響，那么從接到警報開始，經(jīng)過(

)小時它就會進入臺風影響區(qū)A．10 B．7 C．6 D．12【變式2】（2021秋·河南濮陽·九年級校考階段練習）如圖，鐵路和公路在點處交匯，．公路上處距點240米．如果火車行駛時，周圍200米以內(nèi)會受到噪音的影響．那么火車在鐵路上沿方向以36千米/時的速度行駛時，處受噪音影響的時間為______秒．【答案】32【分析】如圖，首先過點作，求出最短距離的長度，然后在上取點，使得，根據(jù)勾股定理得出的長度，即可求出的長度，然后計算出時間即可．【詳解】解：如圖，過點作，米，米米，在上取點，使得，當火車在上時，處受噪音影響，米，由勾股定理得米，米，即米，36千米/時10米/秒，處受噪音影響的時間為：秒，故答案為：32．【點睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵在于準確找出受影響的路段，從而利用勾股定理求出其長度．【變式3】（2022秋·四川達州·八年級?？计谥校┤鐖D，，是兩條公路相交成，沿公路方向離點米的點A處有一所學校，當重型運輸卡車沿道路方向行駛時，在以重型運輸卡車所在的點P為圓心、長為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到卡車噪聲的影響，且點P與點A的距離越近噪聲影響越大．假設(shè)重型運輸卡車沿著道路方向行駛的速度為18千米/小時．(1)求對學校的噪聲影響最大時，卡車與學校之間的距離（保留根號）；(直角三角形中銳角所對的直角邊等于斜邊的一半)．(2)求卡車沿道路方向行駛一次給學校帶來噪聲影響的時間．【答案】(1)40米(2)卡車沿道路方向行駛一次給學校帶來噪聲影響的時間為12秒【分析】（1）過點A作于H，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得答案；（2）當米時，則卡車在段對學校A有影響，利用勾股定理求出的長，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得的長，從而求出時間．【詳解】（1）解：過點A作于H，∵，米，∴米，∴對學校的噪聲影響最大時，卡車與學校之間的距離為40米；（2）解：如圖，當米時，則卡車在CD段對學校A有影響，由（1）知米，∴（米），∵，∴（米），∵重型運輸卡車行駛的速度為18千米/小時，即米/秒，∴（秒），∴卡車沿道路方向行駛一次給學校帶來噪聲影響的時間為12秒．【點睛】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用，含角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識，根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七勾股定理之折疊問題】【例7】（2022秋·廣東茂名·八年級信宜市第二中學?？计谥校┤鐖D，等腰直角三角形紙片中，，把紙片沿對折后，點A恰好落在上的點D處，點，，則下列結(jié)論：；；與的周長相等．正確的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】在等腰中，可得，即，由折疊可得，，即，則有，可判斷正確；根據(jù)，，可得，，即正確；根據(jù)的周長為：，由折疊可得，，則有的周長為：，可得正確，即問題得解．【詳解】在等腰中，∠C=90°，，∴，，∴，∵，∴，即由折疊可得，，∴在中，，∴，∴，故正確；∵，，∴，，∴，故正確；∵，，∴，∵的周長為：，由折疊可得，，∴的周長為：，∴與的周長相等，故正確；即正確的有三個，故選：D．【點睛】本題主要考查了折疊問題，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．還考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的知識，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓練】【變式1】（2022秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）如圖，三角形紙片中，點是邊上一點，連接，把沿著直線翻折，得到，交于點，連接交于點，若，的面積為，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用折疊和中線的性質(zhì)，得到的面積，利用勾股定理求出，利用三角形的面積公式求出，進而求出，再利用勾股定理求出即可．【詳解】解：∵∴為的中線，∴，∵翻折，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；故選B．【點睛】本題考查勾股定理與折疊問題．熟練掌握折疊的性質(zhì)以及三角形的中線平分面積，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2021秋·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在直角三角形紙片ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝10，D是BC的中點，E是AC上的一個動點，將三角形紙片ABC沿DE折疊，連接AC′.當△AEC′是直角三角形時，CE的長為____________．【答案】或5【分析】分兩種情形，當∠AC'E=90°或∠AEC'=90°時，分別畫出圖形來解答．【詳解】解：當∠AC'E=90°時，∵將△CDE沿DE折疊到△C′DE，∴∠EC'D=∠C=90°，∴∠AC'E+∠EC'D=180°，∴點A、C'、D三點共線，∵AC=12，BC=10，CD=BC=5由勾股定理得AD=，設(shè)CE=C'E=x，則AE=12-x，AC'=13-5=8，在Rt△AC'E中，由勾股定理得：（12-x）2=82+x2，解得x=，

∴CE=，當∠AEC'=90°時，∴∠CEC'=90°，∴∠CED=45°，∴CE=CD=5，∠EAC'不可能為90°，綜上，CE=5或．故答案為：5或．【點睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會運用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．【變式3】（2022秋·江蘇蘇州·八年級蘇州高新區(qū)第二中學?？茧A段練習）操作與實踐：已知長方形紙片中，，．操作一：如圖①，任意畫一條線段，將紙片沿折疊，使點B落到點的位置，與交于點G．試說明重疊部分為等腰三角形；操作二：如圖②，將紙片沿對角線折疊，使點B落到點的位置，與交于點H．求的面積．【答案】操作一：見解析；操作二：【分析】操作一：由翻折的性質(zhì)可知，由長方形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可知，從而得到，由等角對等邊可得；操作二：首先表示出，然后在中利用勾股定理構(gòu)建方程求出即可解決問題．【詳解】操作一：由折疊的性質(zhì)可知，∵在長方形中，∴，∴，∴，∴為等腰三角形；操作二：在長方形中，，同操作一可得，則，在中，，∴，解得：，∴．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定以及勾股定理的應(yīng)用等知識，利用勾股定理構(gòu)建出方程是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八勾股定理之動點問題】【例8】（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，點D是BC上一動點，連接AD，將△ACD沿AD折疊，點C落在點E處，連接DE交AB于點F，當∠DEB是直角時，DF的長為（

）．A．5 B．3 C． D．【答案】C【分析】如圖，由題意知，，，，可知三點共線，與重合，在中，由勾股定理得，求的值，設(shè)，，在中，由勾股定理得，計算求解即可．【詳解】解：如圖，∵是直角∴由題意知，，∴∴三點共線∴與重合在中，由勾股定理得設(shè)，在中，由勾股定理得即解得∴的長為故選C．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵在于明確三點共線，與重合．【變式訓練】【變式1】（2022秋·浙江·八年級期中）如圖，在中，是延長線上一點，是邊上一動點，連接，作與關(guān)于對稱(點與點對應(yīng))，連接，則長的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，過點A作AE⊥BC于點E，當點A在DM的上時AD的值最小，根據(jù)勾股定理依次求出AE，CE，AM，DM的長，即可解決問題．【詳解】解：如圖，過點A作AE⊥BC于點E，連接MA，∵AD≥MD-AM當點A在DM上時AD的值最小，如圖，∵CM=2，BC=3，∴BM=BC+CM=5，由折疊得：DM=BM=5，∵∠B=60°，∴∠，又∵，∴，在中中，∵，∴，∴，在中，∵，∴，∴最小=．故選C．【點睛】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，最值問題等知識，兩邊之差小于第三邊，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，從整體上把握題意，準確找到圖形中數(shù)量關(guān)系．【變式2】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，，P為線段AB上一動點，以線段CP為邊作等邊三角形PCD，則點P從點A向點B運動的過程中，點D所經(jīng)過的路徑長為______．【答案】4【分析】由點P從點A向點B運動可知，畫出P點在A點時D點的位置，在B點時D的位置，發(fā)現(xiàn)D點的經(jīng)過的路徑長即是D1D2的長；【詳解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，∴AB=2AC=2×2=4，∠BAC=90°-30°=60°，故當點P位于A點時，點D位于點D1，∴△CAD1為等邊三角形，∴AD1=AC=2，∴BD1=AB-AD1=4-2=2，當點P位于點B時，點D位于點D2，∴△CBD2是等邊三角形，∴BD2=CB，∠CBD2=60°，∴∠ABD2=∠ABC+∠CBD2=90°，∴△D1D2B是直角三角形，在Rt△ABC中，BC==2，∴BD2=2，∴D1D2==4．【點睛】本題考查動點問題，等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式3】（2020秋·八年級?？茧A段練習）如圖，在四邊形中，，，，若連接，沿翻折，則點A落在點M上．動點P從點C出發(fā)沿的路線運動，運動到點B停止．(1)求的長度；(2)當線段的中垂線經(jīng)過點D時，求點P運動路線的長度；(3)在點P的運動過程中，當為等腰三角形時，點P運動路線的長度為___________（直接寫出答案）【答案】(1)(2)點P運動路線的長度為或時，的中垂線過點D；(3)5或8或或【分析】（1）證明出四邊形為正方形，利用勾股定理即可求解；（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)來判斷，需要分兩種情況討論，當時，即，為等腰三角形，當點與點重合時，，為等腰三角形，根據(jù)三線合一知的中垂線，過點D；（3）連接，根據(jù)已知分析可得滿足等腰三角形的多種情況：或，然后根據(jù)勾股定理進行分析計算．【詳解】（1）解：沿翻折，則點A落在點M上，，，，四邊形為正方形，，；（2）解：需要分兩種情況討論，當時，即，為等腰三角形，根據(jù)三線合一知的中垂線，過點D，此時點P運動路線的長度為，當點與點重合時，，為等腰三角形，根據(jù)三線合一知的中垂線，過點D，此時點P運動路線的長度為，綜上所述：點P運動路線的長度為或時，的中垂線過點D；（3）解：根據(jù)已知得，，則四邊形是平行四邊形．又，根據(jù)勾股定理，得．①作的中垂線交于，則是等腰三角形，此時，，即點P運動路線的長度5；②當時，是等腰三角形，即點P運動路線的長度8；③當點在上，時，，即點P運動路線的長度；④當點在上，時，，即點P運動路線的長度；故答案為：5或8或或.【點睛】此題主要考查梯形的性質(zhì)及等腰梯形的判定的理解及應(yīng)用、勾股定理，解題的關(guān)鍵是注意分類討論數(shù)學方法的運用．【培優(yōu)檢測】1．（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，，點在內(nèi)部，且，若、分別為邊、上的動點，則周長的最小值為（

）A．4 B． C． D．8【答案】B【分析】作關(guān)于對稱點，作關(guān)于對稱點，連接交于，交于，根據(jù)對稱性可知，，，從而的周長，根據(jù)兩點之間線段最短，得到周長的最小值為，在中，根據(jù)勾股定理求，從而確定答案．【詳解】解：作關(guān)于對稱點，作關(guān)于對稱點，連接交于，交于，如圖所示：根據(jù)對稱性可知，，，的周長，根據(jù)兩點之間線段最短，周長的最小值為，在中，，，根據(jù)勾股定理得，故選：B．【點睛】本題考查動點最值問題，涉及軸對稱-最短周長問題、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理求線段長，熟練掌握利用對稱性解決最短周長問題是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023春·八年級單元測試）1．如圖，在中，，，，是的平分線，交于點，則的面積等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點D作，先由等腰直角三角形性質(zhì)求出，再證明，設(shè)，則，所以，解得：，即，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：過點D作，∵在中，，，∴，，∴是等腰直角三角形，∵是的平分線，∴，設(shè)，則，∴，解得：，∴的面積，故選：A．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形面積公式，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）已知，一輪船以16海里時的速度從港口A出發(fā)向北偏東方向航行，另一輪船以8海里時的速度同時從港口A出發(fā)向南偏東方向航行，則離開港口1小時后，兩船相距（

）A．海里 B．海里 C．16海里 D．24海里【答案】B【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向夾角，再根據(jù)路程速度時間，得到，，最后利用勾股定理，即可求得兩條船之間的距離．【詳解】解：由題意可知，，離開港口1小時后，兩艘船分別行駛了16海里和8海里，即，，由勾股定理得：，故兩船相距海里，故選B．【點睛】本題考查了勾股定理，方位角問題，熟練運用勾股定理進行計算是解題關(guān)鍵，基礎(chǔ)知識，比較簡單．4．（2023秋·河南南陽·八年級?？计谀┕垂啥ɡ硎侨祟愒缙诎l(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應(yīng)用廣泛而使人入迷．如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時（即水平距離），踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，則繩索的長是（

）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】設(shè)秋千的繩索長為，根據(jù)題意可得，利用勾股定理可得，即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)秋千繩索的長度為，由題意可得，四邊形為矩形，，，，，∴，，在中，，即，解得，即的長度為．故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·四川瀘州·八年級統(tǒng)考期末）我國古代數(shù)學專著《九章算術(shù)》里記載了這樣一個問題“今有垣高一丈．倚木于垣，上與垣齊，引木卻行一尺，其木至地．問木長幾何？”其內(nèi)容可以表述為：“有一面墻，高1丈，將一根木桿斜靠在墻上，使木桿的上端與墻的上端對齊，下端落在地面上．如果使木桿下端從此時的位置向遠離墻的方向移動1尺，則木桿上端恰好沿著墻滑落到地面上，問木桿長多少尺？”（說明：1丈尺），此木桿的長度為（

）A．49尺 B．49.5尺 C．50尺 D．50.5尺【答案】D【分析】當木桿的上端與墻頭平齊時，木桿與墻、地面構(gòu)成直角三角形，設(shè)木桿長為尺，則木桿底端離墻有尺，根據(jù)勾股定理可列出方程，解方程即可【詳解】如圖，設(shè)木桿長為尺，則木桿底端B離墻的距離即的長有尺，在中，∵，∴，解得：故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由實際問題抽象出直角三角形，從而運用勾股定理解題．6．（2022秋·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，，，與關(guān)于直線軸對稱，，，點與點對應(yīng)，交于點，則線段的長為（）A．5 B． C．4 D．【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)平行線性質(zhì)和軸對稱性質(zhì)得到，再根據(jù)勾股定理得到關(guān)于線段、、的方程，解方程即可解決問題．【詳解】解：設(shè)，則，∵，∴；∵與關(guān)于直線軸對稱，∴，∴，∴；由勾股定理得：，即，解得：，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理等知識點，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵是．7．（2021秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，三級臺階的每一級的長、寬、高分別為．點A和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為（）dm．A．12 B．10 C．17 D．25【答案】C【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進行解答．【詳解】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為，寬為，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為，由勾股定理得：，解得．故選C．【點睛】本題主要考查了平面展開最短路徑問題，掌握兩點間線段最短是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022秋·八年級課時練習）如圖，在中，，以各邊為斜邊分別向外作等腰、等腰、等腰，將等腰和等腰按如圖方式疊放到等腰中，已知，，則長為（

）A．2 B． C．6 D．8【答案】D【分析】設(shè)AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由，可求b＝4，即可求解．【詳解】解：設(shè)AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，∴ABa，ACb，BCc，∵∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，∴2a2+2b2＝2c2，∴a2+b2＝c2，∵將等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如圖方式疊放到等腰Rt△BEC，∴BG＝GH＝a，∵，∴（a+c）（c﹣a）＝16，∴c2﹣a2＝32，∴b2＝32，∴b＝4，∴ACb＝8，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，利用整體思想解決問題是本題的關(guān)鍵．9．（2022春·甘肅慶陽·八年級?？计谥校┤鐖D，一個梯子長2.5米，頂端靠在墻上，這時梯子下端與墻角距離為0.7米，梯子滑動后停在的位置上，測得長為0.8米，求梯子頂端下落了_________米．【答案】0.4【分析】在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：AC=2.4米，由于梯子的長度不變，在直角三角形CDE中，根據(jù)勾股定理得CE=2米，進而得出答案．【詳解】解：在Rt△ABC中，AB=2.5米，BC=0.7米，故AC=（米），在Rt△ECD中，AB=DE=2.5米，CD=0.8+0.7=1.5（米），故EC=（米），故AE=ACCE=2.42=0.4（米）．答：梯子下滑了0.4米．故答案為：0.4；【點睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，此題中主要注意梯子的長度不變，分別運用勾股定理求得AC和CE的長，即可計算下滑的長度．10．（2020秋·廣東茂名·八年級校考階段練習）如圖，在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹20米的池塘C，而另一只爬到樹頂D后直撲池塘C，結(jié)果兩只猴子經(jīng)過的距離相等，這棵樹有的高是______________．【答案】15米【分析】根據(jù)題意確定已知線段的長，再根據(jù)勾股定理列方程進行計算．【詳解】設(shè)BD=米，則AD=（）米，CD=（）米，∵，∴，解得．即樹的高度是10+5=15米．故答案為：15米．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，構(gòu)造直角三角形，然后利用勾股定理解決．11．（2022秋·山東濟南·八年級濟南市章丘區(qū)第四中學?？茧A段練習）如圖，已知在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是長方形，點A、C、D的坐標分別為A(9，0)、C(0，4)，D(5，0)，點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿O→C→B→A運動，點P的運動時間為t秒．則當t＝____秒時，△ODP是腰長為5的等腰三角形？【答案】6或7或12或14【分析】當OP=OD時，可得P1點；當DP=OD時，可得P2、P3、P4三種情況，再運用勾股定理可分別求解.【詳解】解：當OP=OD時，可得P1點，此時由勾股定理可得，OC2+CP12=OP12，即42+CP12=52，解得CP1=3，則t=秒；當DP=OD時，可得P2、P3、P4三種情況，當P點運動到P2位置時，作P2M2⊥OA，由勾股定理可得，P2M22+DM22=DP22，即42+DM22=52，解得DM2=3，同理可解得DM3=AP4=3，故，當P點運動到P2位置時，t=秒；當P點運動到P3位置時，t=秒；當P點運動到P4位置時，t=秒；故答案為6或7或12或14.【點睛】本題有些難度，難點在于一共有4種情況，也可采取畫圓法確定P點可能的位置，即以O(shè)點為圓心、5為半徑畫圓，或者以D點為圓心、5為半徑畫圓，從而確定P點可能位置.12．（2022秋·八年級課時練習）將一根24cm的筷子，置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱體中，如圖，設(shè)筷子露出在杯子外面長為hcm，則h的最小值__，h的最大值__．【答案】

11cm

12cm【分析】根據(jù)筷子的擺放方式得到：當筷子與杯底垂直時h最大，當筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時h最小，利用勾股定理計算即可．【詳解】解：當筷子與杯底垂直時h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．當筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時h最小，此時，在杯子內(nèi)的長度==13（cm），故h=24﹣13=11（cm）．故h的取值范圍是11≤h≤12cm．故答案為：11cm；12cm．【點睛】此題考查勾股定理的實際應(yīng)用，正確理解題意、掌握勾股定理的計算公式是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，有兩條公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向離O點160米處有一所學校A，當重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛時，在以P為圓心，100米為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到卡車噪聲的影響，且卡車P與學校A的距離越近噪聲影響越大．若已知重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為36千米/時，則對學校A的噪聲影響最大時卡車P與學校A的距離是___米；重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間是____秒．【答案】

80

12【分析】作于，求出的長即可解決問題，如圖以為圓心m為半徑畫圓，交于、兩點，求出的長，利用時間計算即可．【詳解】解：作于，，m，m，即對學校的噪聲影響最大時卡車與學校的距離m．如圖以為圓心m為半徑畫圓，交于、兩點，，，在中，m，m，重型運輸卡車的速度為36千米時米秒，重型運輸卡車經(jīng)過的時間（秒，故卡車沿道路方向行駛一次給學校帶來噪聲影響的時間為12秒．故答案為：80，12．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用、解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會添加常用輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．14．（2021春·四川成都·八年級?？计谥校┰诘妊苯侨切沃?，，，是邊上一點，且，是邊上一點，將沿翻折，使點落在線段的點上，則_________．【答案】##【分析】過F點作于M點，易得，根據(jù)折疊的性質(zhì)有：，，，即有，，再證明，即在中，可得，，即有，，在中，，可得，在中，，可得，問題隨之得解．【詳解】過F點作于M點，如圖，∵在等腰直角三角形中，，，∴，∵，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)有：，，，∴，，∵，，∴，∵在中，，，∴，，∴，，∴，∵，，∴，即，∴，∵在中，，∴，∵，∴在中，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，掌握折疊的性質(zhì)，并求出，是解答本題的關(guān)鍵．15．（2021秋·廣東佛山·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，一個梯子AB，頂端A靠在墻AC上，這是梯子的頂端距地面的垂直高度為24米，若梯子的頂端下滑4米，底端將水平滑動了8米，求滑動前梯子底端與墻的距離CB是多少？【答案】7米【分析】設(shè)BC=xm，則CD=（x+8）m，利用勾股定理分別表示出、，∵AB=ED，∴，求出x的值即可完成.【詳解】解：根據(jù)題意，AC=24m，AE=4m，BD=8m，則EC=20m設(shè)BC=xm，則CD=（x+8）m在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∵AB=ED∴解得：滑動前梯子底端與墻的距離CB是7米.【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，難度較低，靈活運用勾股定理是解題關(guān)鍵.16．（2022春·四川瀘州·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，四邊形為某街心公園的平面圖，經(jīng)測量米，米，且．（1）求的度數(shù)；（2）若為公園的車輛進出口道路（道路的寬度忽略不計），工作人員想要在點處安裝一個監(jiān)控裝置來監(jiān)控道路的車輛通行情況，已知攝像頭能監(jiān)控的最大范圍為周圍的100米（包含100米），求被監(jiān)控到的道路長度為多少？【答案】（1）135°；（2）被監(jiān)控到的道路長度為米.【分析】（1）易得∠CAB=45°，由勾股定理求出AC的長度，然后由勾股定理的逆定理，得到△ACD是直角三角形，則∠CAD=90°，即可得到答案；（2）過點D作DE⊥AB，然后作點A關(guān)于DE的對稱點F，連接DF，由軸對稱的性質(zhì)，得到DF=DA=100，則只要求出AF的長度，即可得到答案.【詳解】解：（1）∵，，∴△ABC是等腰直角三角形，∴，∠CAB=45°，∵，在△ACD中，有，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD=90°，∴；（2）過點D作DE⊥AB，然后作點A關(guān)于DE的對稱點F，連接DF，如圖：由軸對稱的性質(zhì)，得DF=DA=100，AE=EF，由（1）知，∠BAD=13