北京市豐臺(tái)區(qū)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期綜合練習(xí)（一）數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合人={小2一2%<（）},B={x|x-l>0},則AD6=（）

A.{x|x>01B.{x|O<x<l!C.x>1}D.{x|l<x<2}

2.已知公差為d的等差數(shù)列{為}滿足：%-2%=1,且。2=。，則2=（）

A.-1B.0C.1D.2

3.已知雙曲線C:0-/=1((z>0)的離心率為則。=()

a22

「V2

A.2B.V2X?D

2-?

）的展開式中，

4.在二項(xiàng)式（丁-25元的系數(shù)為（）

X

A.-80B.-40C.40D.80

5.已知向量.，6滿足6=b=Xa(%￡R),且〃必=1，則幾=（)

1

A.-B-1C.2D.4

4

6.按國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，復(fù)印紙幅面規(guī)格分為A系列和8系列，其中A系列以A0,加，.…等來

標(biāo)記紙張的幅面規(guī)格，具體規(guī)格標(biāo)準(zhǔn)為：

①AO規(guī)格紙張的幅寬和幅長(zhǎng)的比例關(guān)系為1:0;

②將Ai（i=0,1,,9）紙張平行幅寬方向裁開成兩等份，便成為A（i+1）規(guī)格紙張（如

某班級(jí)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)匯報(bào)，要用A0規(guī)格紙張裁剪其他規(guī)格紙張.共需A4規(guī)格紙張

40張，>12規(guī)格紙張10張，加規(guī)格紙張5張.為滿足上述要求，至少提供A0規(guī)格紙張

的張數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

7.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線/:辦+外=1上有且僅有一點(diǎn)尸，使|。尸|=1,則直線

/被圓C:'+>2=4截得的弦長(zhǎng)為（）

A.1B.73C.2D.26

8.已知函數(shù)〃x）=sin（2x+T，則“a=1+eZ）”是“/（x+a）是偶函數(shù)，且

/（X-a）是奇函數(shù)”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.正月十五元宵節(jié)，中國(guó)民間有觀賞花燈的習(xí)俗.在2024年元宵節(jié)，小明制作了一個(gè)

“半正多面體”形狀的花燈（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多

面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在

同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為2.關(guān)于該半正多面體的四個(gè)結(jié)論：

①棱長(zhǎng)為0;

②兩條棱所在直線異面時(shí)，這兩條異面直線所成角的大小是60°；

③表面積為S=12+4石；

④外接球的體積為V=4辰.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

試卷第2頁，共6頁

n=2k,%wN

10.已知數(shù)列｛4｝滿足4+i=2則（）

“〃；（n=2k-L左EN*）,

A.當(dāng)4<。時(shí)，｛%｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)">0,使得見<M恒成立

B.當(dāng)6>1時(shí)，｛%｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)河>0,使得4恒成立

C.當(dāng)0<%<1時(shí)，存在正整數(shù)緋，當(dāng)心乂時(shí)，見-；〈焉

D.當(dāng)。<%<1時(shí)，對(duì)于任意正整數(shù)N。，存在〃>N。，使得見一；>看

二、填空題

l+2i

11.計(jì)算

3-4i

jr

12.在［ABC中，若6=5,B=-,COSA=，則4=

45

13.已知產(chǎn)是拋物線V=4x的焦點(diǎn)，AB是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|+忸尸|=8,則線

段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為

14.已知函數(shù)/（x）具有下列性質(zhì)：

①當(dāng)王w[0,+oo）時(shí)，都有/（玉+/）=/（%）+"々）+1；

②在區(qū)間（。,+功上，“X）單調(diào)遞增；

③“X）是偶函數(shù).

則/（0）=;函數(shù)f（x）可能的一個(gè)解析式為了（"=.

15.目前發(fā)射人造天體，多采用多級(jí)火箭作為運(yùn)載工具.其做法是在前一級(jí)火箭燃料燃

燒完后，連同其殼體一起拋掉，讓后一級(jí)火箭開始工作，使火箭系統(tǒng)加速到一定的速度

時(shí)將人造天體送入預(yù)定軌道.現(xiàn)有材料科技條件下，對(duì)于一個(gè)九級(jí)火箭，在第〃級(jí)火箭

的燃料耗盡時(shí)，火箭的速度可以近似表示為v=31n再~:卜2、1c—;,

（9+%）（9+%）（9+*

mp+￡m,

其中q=--------1-------（i=1,2,?,n）.

mp+^mj-mi

j=i

注：表示人造天體質(zhì)量，嗎表示第j（/=1，2,?,”）級(jí)火箭結(jié)構(gòu)和燃料的總質(zhì)量.

給出下列三個(gè)結(jié)論:

①qgan<1-

②當(dāng)〃=1時(shí)，v<31nlO；

③當(dāng)〃=2時(shí)，若v=121n2,則J4的26.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題

16.如圖，在直三棱柱ABC-42cl中，C4=CB=CG=2,。為A8中點(diǎn).

⑴求證：4￡//平面8《。；

（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求二面角B-B,C-D的余弦值.

條件①：BC1AC1；

條件②：

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.已知函數(shù)/（無）=6sintyxcosox-sin?（yx+；（ty>0）.

（1）若0=2,求的值；

⑵若〃x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，小曰=°，求0的值.

18.某醫(yī)學(xué)小組為了比較白鼠注射A,B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選20只健

康白鼠做試驗(yàn).將這20只白鼠隨機(jī)分成兩組，每組10只，其中第1組注射藥物A,第

2組注射藥物8試驗(yàn)結(jié)果如下表所示.

皰疹面積（單位：mm2）[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)

第1組（只）34120

第2組（只）13231

試卷第4頁，共6頁

(1)現(xiàn)分別從第1組，第2組的白鼠中各隨機(jī)選取1只，求被選出的2只白鼠皮膚皰疹面

積均小于60mm2的概率；

(2)從兩組皮膚皰疹面積在［60,80)區(qū)間內(nèi)的白鼠中隨機(jī)選取3只抽血化驗(yàn)，求第2組中

被抽中白鼠只數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X);

(3)用“盤=0”表示第左組白鼠注射藥物后皮膚皰疹面積在［30,50)區(qū)間內(nèi)，“蔡=1”表示

第七組白鼠注射藥物后皮膚皰疹面積在［50,80)區(qū)間內(nèi)(左=1,2),寫出方差。侑)，

。低)的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

22

19.已知橢圓氏=+與=1(。>6>0)的焦距為4立，以橢圓E的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四

a'b

邊形的周長(zhǎng)為16.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點(diǎn)S(0,l)的直線/交橢圓E于尸，。兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為是否存在定點(diǎn)。，

DM1…

使得\胃\=5?若存在，求出。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

20.已知函數(shù)〃x)=e”+ln(x+l)-x,曲線C:y=在點(diǎn)(飛,/伍))處的切線為

l:y=g(x),記、(x)=/(x)-g(x).

(1)當(dāng)毛=。時(shí)，求切線/的方程；

⑵在(1)的條件下，求函數(shù)的零點(diǎn)并證明x〃(x)20；

(3)當(dāng)毛NO時(shí)，直接寫出函數(shù)/z(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(結(jié)論不要求證明)

21.已知集合M"={xeN*k<2”}("eN,"24),若存在數(shù)陣T=::滿

足：

①{4,知…,見}J{4也，，b"}=M"；

②a「bk=k(k=1,2,,n).

則稱集合M”為“好集合，，，并稱數(shù)陣7為此,的一個(gè)“好數(shù)陣”.

xyz6

(1)己知數(shù)陣7=r.,c是加4的一個(gè)“好數(shù)陣”，試寫出X,九Z,W的值；

7w12

⑵若集合"”為"好集合”，證明：集合"”的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個(gè);

(3)判斷峪(〃=5,6)是否為“好集合”.若是，求出滿足條件〃{%%.?,叫的所有“好數(shù)

陣“；若不是，說明理由.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.A

【分析】

解不等式化簡(jiǎn)結(jié)合，結(jié)合并集的概念即可求解.

【詳解】因?yàn)锳=一二{x|2},5={乂％—1＞0}={%?},

所以=.

故選：A.

2.C

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式直接求解即可.

【解1%—2%=q+4d—2（%+2d）——q=],/.％=—1,

..d=622—Cly-0—（—1）=1.

故選：C.

3.B

【分析】

根據(jù)雙曲線方程求出匕、。，再由離心率公式計(jì)算可得.

【詳解】雙曲線C:￡-y2=i（。＞。）中6=1,所以c=77W，

a

則離心率e=￡=五七1=如，解得〃=2,所以°=應(yīng)（負(fù)值舍去）.

aa2

故選：B

4.A

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，可得（+|=（-2＞《龍回"，令「=3,即可求得x的系數(shù)，得

到答案.

【詳解】由題意，二項(xiàng)式（尤2--）5的展開式的通項(xiàng)為*=q（x2）5-r（--）r=（-2）fc;?°-3r,

XX

令r=3,可得7；=（-2）3（7江=-80尤，

即展開式中x的系數(shù)為-80,故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中解答中熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解答本題

的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

答案第1頁，共23頁

5.D

【分析】

用X表示出向量。的坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得答案.

【詳解】a-b=l,

，QW0，

又石=癡石=（石,1）,

.*./1=4.

故選：D.

6.C

【分析】設(shè)一張A0規(guī)格紙張的面積為x,從而得到一張⑷、絲、A4紙的面積，再求出所

需要的紙的總面積，即可判斷.

【詳解】依題意1張A0規(guī)格紙張可以裁剪出2張⑷，或4張9或16張A4,

設(shè)一張A0規(guī)格紙張的面積為無，

則一張加規(guī)格紙張的面積為1%,

2

一張A2規(guī)格紙張的面積為

一張A4規(guī)格紙張的面積為J尤，

16

依題意總共需要的紙張的面積為4。、7%+10、7%+5乂彳x=7無+=x,

所以至少需要提供8張AO規(guī)格紙張，

其中將3張A0裁出5張川和2張A2；將2張40裁出8張A2；

將剩下的3張A0裁出3x16=48張A4,

即共可以裁出5張加、10張A2、48張A4.

故選：C

7.D

【分析】

利用垂徑定理直接求解即可.

答案第2頁，共23頁

【詳解】由題意知：坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線/的距離4=1；

圓C的圓心為0(0,0),半徑r=2,二./被圓C截得的弦長(zhǎng)為2尸7=26.

故選：D.

8.A

【分析】首先求出/(x+a)、/(x-c)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出使/(x+a)是

偶函數(shù)且/(X-。)是奇函數(shù)時(shí)a的取值，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】因?yàn)?(x)=sin12x+：j,貝l]〃x+a)=sin(2x+2a+T，

/(x-a)=sin12x-2a+：),

若/(x-c)是奇函數(shù)，則一2夕+?=勺兀人eZ,解得a=J一”,《eZ,

482

若/(x+a)是偶函數(shù)，則2a+m=1+&&&eZ,解得a=J+竺,&eZ,

4282

所以若/(x+a)是偶函數(shù)且/(x-c)是奇函數(shù)，則a=g+”次eZ,

o2

所以由a=9+E(ZeZ)推得出〃x+a)是偶函數(shù)，且"x-a)是奇函數(shù)，故充分性成立;

由/(x+a)是偶函數(shù)，且a)是奇函數(shù)推不出a=g+E(左eZ),故必要性不成立，

O

所以“a=g+航信eZ)”是“/(x+a)是偶函數(shù)，且〃x-a)是奇函數(shù)”的充分不必要條件.

O

故選：A

9.B

【分析】

注意到棱長(zhǎng)總是一個(gè)等腰直角三角形的斜邊，即可通過直角邊的長(zhǎng)度判斷①正確；可以找到

一對(duì)位于正方形相對(duì)的面上的兩條垂直且異面的棱，得到②錯(cuò)誤；根據(jù)該幾何體每種面(正

三角形和正方形)各自的數(shù)量和面積，可以計(jì)算出該幾何體的表面積，從而判斷出③正確;

直接證明正方形的中心到該幾何體每個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，并計(jì)算出距離，即可求出外接球

的體積，得到④錯(cuò)誤.這就得到全部正確的結(jié)論是①③，從而選B.

【詳解】如圖所示：

答案第3頁，共23頁

該幾何體的每條棱都是的一個(gè)等腰直角三角形的斜邊，且該等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)度為

正方體邊長(zhǎng)的一半，

故該等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)度為1,從而該幾何體的每條棱的長(zhǎng)度都是近，①正確；

若4%人與為該幾何體位于正方體的一組相對(duì)的面上的兩個(gè)平行的棱，4與，42為該幾何

體位于正方體的同一個(gè)面的兩條棱，

則4星_1_42，a瓦平行于人與，A瓦，42異面，所以44,42異面，A5i1-

這意味著存在一對(duì)異面的棱所成角是直角，②錯(cuò)誤；

該幾何體一共有14個(gè)面，其中6個(gè)是正方形，8個(gè)是正三角形，邊長(zhǎng)均為夜,故每個(gè)正方

形的面積都是2,

每個(gè)正三角形的面積都是走，故表面積為S=6?2+8?占=12+4/，③正確；

22

設(shè)正方體的中心為。，由于對(duì)該幾何體的任意一個(gè)頂點(diǎn)都是正方體的某條邊的中點(diǎn)，

故。到該幾何體的任意一個(gè)頂點(diǎn)的距離都是正方體邊長(zhǎng)的等倍，即應(yīng).

這意味著以。為球心，半徑為0的球是該幾何體的外接球，從而外接球的體積

答案第4頁，共23頁

曠=3%(0/=半兀,④錯(cuò)誤.

從而全部正確的結(jié)論是①③.

故選：B.

10.D

【分析】

直接構(gòu)造反例即可說明A和B錯(cuò)誤；然后證明引理：當(dāng)0</<1時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)N。,

都存在〃〉N。，使得乙一；2擊.最后由該引理推出C錯(cuò)誤，D正確.

【詳解】當(dāng)q=一;時(shí)，%="=；，/=§=:<；=%，所以此時(shí)｛%｝不是遞增數(shù)歹U，

乙乙T-乙O>

A錯(cuò)誤；

當(dāng)時(shí)，%=幺?=。，4=《=，，所以此時(shí)｛4｝不是遞減

224282loo

數(shù)列，B錯(cuò)誤；

我們證明以下引理：當(dāng)。<%<1時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)時(shí),都存在〃〉N。，使得?！耙籢2焉?

若該引理成立，則它有兩個(gè)直接的推論：

①存在。<4<1,使得對(duì)任意的正整數(shù)N。，都存在w>N0,使得凡一gw$0；

②當(dāng)0<“<1時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)黑，都存在〃〉黑，使得見一；>康.

然后由①是C的否定，故可以說明C錯(cuò)誤；而②可以直接說明D正確.

最后，我們來證明引理:

當(dāng)0<4<1時(shí)，對(duì)任意確定的正整數(shù)N。：

1111]則%」，

如果「仁2-100,2+100j，

1111)則時(shí)廣竽或仁2=F

如果陽川e/一向^+礪)

此時(shí)若心卡=卓，則

a2+100」+1一111_1fl1Vl1;

3224200242002(4200J2100

答案第5頁，共23頁

a二―一而+；31」?11一1"11)Ji1?

N0.2224200242002400J2100

無論哪種情況,都有a為+2代焉，;+焉］,從而即。+2-：2焉.

\4乙AUUJ乙AUU

這說明。刈+1J焉或“No+2-;?彳L，所以可以選取〃￡{乂+1,乂+2},使得

乙LUU'LUU

2焉.這就說明存在"〉M,使得422.

這就證明了引理，從而可以推出C錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】最關(guān)鍵的地方在于引理：當(dāng)0</<1時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)線，都存在〃>乂，使

得4-g士焉.這一引理可以幫助我們判斷出較難判斷的C和D選項(xiàng).

,,12.

11.——+—1

55

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法公式，即可計(jì)算結(jié)果.

l+2i（l+2i）（3+4i）-5+10i

【詳解】

3-4i-（3-4i）（3+4i）2555

19

故答案為：i

12.2M

【分析】由cosA求出sinA,根據(jù)正弦定理求解即可.

5

【詳解】cosA力,

5

一二2

sinA=vl-cosA=亞----

5

a_b

由正弦定理可得:

sinAsinB

a_5

即2A/5一V|,

虧T

解得：a=25

故答案為：2M

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系，正弦定理，屬于容易題.

13.3

答案第6頁，共23頁

【分析】

根據(jù)拋物線定義可得再+%,結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得結(jié)果.

【詳解】由拋物線方程知：F(1,O)；

設(shè)4(%,%),3?,丫2),由拋物線定義知：|4同+忸司=玉+1+9+1=8,，%+無2=6,

.??線段的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為妾三=3.

2

故答案為：3.

14.-1/(x)=l-x|-l(答案不唯一)

【分析】

令西=馬=。即可求出了(0)，再找到符合題意的函數(shù)解析式(一個(gè))，然后一一驗(yàn)證即可.

【詳解】因?yàn)楫?dāng)看,%e[0,+℃)時(shí),都有〃為+%)=/(西)+/(々)+1,

令項(xiàng)=%=。可得〃0)=〃0)+/(0)+1,解得〃0)=-1,

不妨令/(x)=U|T，xeR,

..fx—l,x>0/、/、

則〃x)=W-l=_J,所以“X)在(o,+8)上單調(diào)遞增，滿足②；

I人人<U

又/(-x)=|-x|-l=|尤]-l=/(x),所以/(x)為偶函數(shù)，滿足③；

當(dāng)％e[0,+co)時(shí)y(^+x2)=|xl+x2|-l=x1+x2-l,

/(%)=㈤-1=%T，/(x,)=|^|-l=x2-l,

所以/(%+%)=/(%)+/仁)+1，滿足①.

故答案為：-1；/(x)=1幻-1(答案不唯一)

15.②③

【分析】

只需證明每個(gè)6都大于1即可判斷①錯(cuò)誤；直接考慮九=1時(shí)v的表達(dá)式即可判斷②正確；

〃=2時(shí)，將條件v=121n2轉(zhuǎn)化為關(guān)于％，生的等式，再得到一個(gè)不等關(guān)系，即可證明

Jq%26,推出③正確.

答案第7頁，共23頁

【詳解】首先，對(duì)，=1,2,…有￡叫2叫，故啊+￡rrij-mi>mp>0,%+2%>%>0,

j=ij=ij=i

這推出4>0.

j=iJ=i

m+工祖.m+￡祖.

由于q=——~~-—>P-LiJ=l（/=1,2,故每個(gè)G都大于1,從而a?>1,

根〃+Zrrij-mt加〃+￡my

①錯(cuò)誤;

由于當(dāng)〃=1時(shí)，有v=31n^-L<31nL=31nl0,故②正確；

9+%ax

由于當(dāng)"=2時(shí),XI%[：；；鼠）,若用⑵n2,則3皿消/雨=121n2

1100a^-八i,100a?一

HTfnln7-----~~-9=41n2=lnl6,故--------k9~~r=16

MIIIJ（9+q）（9+〃2）?。?+〃7J7（9+〃2）

這意味著1。。的2=16（9+4）（9+生），即254%=4（9+6）（9+%），從而我們有

2501a2=4（9+q）（9+%）

—4（81+%/+9（a[+”2））

=44%+728Z+324.等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)%=%，

故25%%-4q%+72,%〃2+324,即216為一72doia?-32420,即7%生一27a1a2-108>0,

分解因式可得-6）（78%+18）2。，再由7屈%+18>0即知冊(cè)％—620,故

《a1a226,③正確.

故答案為：②③.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷第三問的關(guān)鍵是得到條件等式256%=4（9+6）（9+生），結(jié)合基

本不等式即可順利得解.

16.（1）證明過程見解析

（2）無論選條件①還是選條件②，二面角3-80-。的余弦值都是在

3

【分析】（1）連接BG交BC于點(diǎn)E，連接DE，由中位線定理得AC"/DE,結(jié)合線面平行

的判定定理即可得證;

答案第8頁，共23頁

(2)首先證明無論選條件①還是選條件②，都有C4,C5CG兩兩互相垂直，建立適當(dāng)?shù)目?/p>

間直角坐標(biāo)系，求出平面CB與、平面的法向量，注意到二面角是銳角，結(jié)

合向量夾角的坐標(biāo)公式即可求解.

【詳解】(1)

連接BG交與C于點(diǎn)E,連接OE,

因?yàn)樗倪呅蜝CG與為平行四邊形，E為它的對(duì)角線BG、B?交點(diǎn),

所以點(diǎn)E是8G的中點(diǎn)，

因?yàn)椤Ｊ茿3中點(diǎn)，

所以。E是.ABG的中位線，

所以AQ//DE,

因?yàn)镈Eu平面CDB],AC1<z平面CDBX,

所以AC"/平面8。。；

(2)若選條件①：BC±ACt,

因?yàn)镃G_L底面ABC,CA,CBu底面ABC,

所以CG_LCA,CC|_LC8,

又因?yàn)锽C,AC”且A￡cCG=￡,AC1,C￡u面ACGA,

所以3C7.面ACG4,

而ACu面ACC|A,

所以BC1AC,

即C4,CB,CG兩兩互相垂直，

若選條件②：BQ=?,

答案第9頁，共23頁

因?yàn)槎?上面ABC,BDu面ABC,

所以

因?yàn)橛谩?gt;=n，BB]=C€\=2,

所以BD=J6—4=,

因?yàn)辄c(diǎn)￡>是AB中點(diǎn)，

所以42=22。=2夜，

因?yàn)镚4=CB=2,

所以C^+C*=AB?,即C4_LCB,

由前面分析可知CG工CA,CCX±CB,

所以CA,CB,CQ兩兩互相垂直，

綜上，無論選條件①還是選條件②，都有C4,CB,CG兩兩互相垂直，

故以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CA,CB,CCX所在直線分別為龍,Mz軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:

由題意網(wǎng)0,2,0）,四（0,2,2）,C（0,0,0）,0（14,0）,

所以C3=(O,2,O),CA=(O,2,2),CD=(l,l,O),

設(shè)平面CBBX、平面CDBX的法向量分別為4=（%,%,zj,%=（w，必，z?），

CB%=0CD-=02%=0x+y=0

從而有，,也就是有22

2yl+2z1二0'2y2+2Z=0'

。耳々=0CB1-n2=02

答案第10頁，共23頁

—

令x1=x2=1,解得%=Z[=0,y2=1,z2=1,

所以可取平面CBBi、平面CDB｛的法向量分別為4=(1,0,0),%=,

顯然二面角8-用。-。是銳角，

所以二面角B-BtC-D的余弦值為卜os(%,%，=j\.

17.⑴《；

⑵1.

【分析】

JT

⑴直接代入①=2及%=9計(jì)算即可；

6

(2)化簡(jiǎn)兀0解析式，根據(jù)/(尤)在區(qū)間-,y上單調(diào)遞減可知該區(qū)間長(zhǎng)度小于或等于五尤)的

半個(gè)周期，再結(jié)合。＞0可得。的值.

【詳解】(1)：0=2,

1311

--+---

2X4-22

(2)/(x)=>/3sm<w.xcos?x-sin2?x+—=—sin2twx-----^^^+萬=sin12ftzx+?

??"(X)在區(qū)間上單調(diào)遞減,

/.0<a><3.

-+^-=far,GZBP0)=\-6k,

所以當(dāng)左=0時(shí)，69=1.

此時(shí)/(x)=sin(2x+f,

當(dāng)**4’故此時(shí)/(%)單調(diào)遞減’符合題意.

6262622

綜上，CD=\.

答案第11頁，共23頁

18.⑴空

25

（2）分布列見解析,E（X）=2

（3）。侑）＜。?）

【分析】

（1）根據(jù)古典概型的概率公式及相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得；

（2）依題意X的可能取值為1、2、3,求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望;

（3）分別求出P值=0），「4=1），P低=。），P倡=1），從而求出西1、即可比

較.

【詳解】⑴記被選出的2只白鼠皮膚皰疹面積均小于60mm2為事件C,

Q

其中從第1組中選出的1只白鼠皮膚皰疹面積小于60mm2的概率為歷，

從第2組中選出的1只白鼠皮膚皰疹面積小于60mm2的概率為白，

所以P（C）=*x9=L.

v7101025

（2）依題意X的可能取值為1、2、3,

I02o「()03

且P(X=1)=*=9尸(x=2)=*=/P(X=3)=巖1

^65

所以X的分布列為:

131

所以石(X)=lxy+2xy+3xM=2.

73

⑶依題意可得尸值=0)=歷,尸體=1)=而,

所以第4)=0乂2+卜』=2,所以O(shè)借)=(0X—+fl-—X—=—,

'"101010(10J10110J101000

46

又產(chǎn)值=0)=而，P但=1)=歷，

所以E?)=0x臼+1x9=9,

',101010

答案第12頁，共23頁

2

x±1-A6\6240210

所以嗚）=04+x__=____>____

1010110—10001000

所以。/）<。依）.

19.（1）片+亡=1；

124

（2）存在，0（0-2）.

【分析】

（1）根據(jù)焦距可求c,根據(jù)已知四邊形周長(zhǎng)及a、b、c的關(guān)系可求出a、b,從而可求橢圓標(biāo)準(zhǔn)

方程；

⑵由題可知，若存在定點(diǎn)。，使得瑞=3，等價(jià)于以尸。為直徑的圓恒過定點(diǎn)。.從而只

需從直線/斜率不存著時(shí)入手求出該定點(diǎn)Q,斜率存在時(shí)驗(yàn)算DP￡>Q=0即可.

4doi+廿=16,

【詳解】（1）由題意得2c=40，解得='

2,22[b-=4.

a=b+c.i

22

橢圓E的方程為上+匕=1.

124

（2）若存在定點(diǎn)。，使得耨=!，等價(jià)于以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)。.

當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，PQ為直徑的圓的方程為尤2+y2=4①,

當(dāng)直線/的斜率為o時(shí)，令y=i,得X=±3,

因此尸Q為直徑的圓的方程為Y+（y一1）2=9②.

[x=o

聯(lián)立①②，得「=_2猜測(cè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（。,-2）.

設(shè)直線/的方程為了=丘+1,

y=kx+l,

由y2得（3左2+1）%2+6履-9=°.

—?—=L

1124

設(shè)P（4X），，％），則為+尤2=-^^1，網(wǎng)”2=-爰1,

答案第13頁，共23頁

*e*OPOQ=(石,y+2)(%2，%+2)

=%%+(%+2)(必+2)

=%X2+(依+3)(AX2+3)

=(左之+1)%%2+3左(芯+/)+9

=(產(chǎn)+1)[-：]+3?-T]

+9

\\3k-+1)(3k2+1)

綜上，存在定點(diǎn)。(0,-2),使得耨=；.

20.(l)y=x+l

(2)函數(shù)力(%)有唯一零點(diǎn)x=0,證明過程見解析

(3)2

【分析】(1)只需分別求出/(O)J'(。)即可得解；

(2)首先有/?(x)=e，+ln(尤+1)—2%—1,=令

m(x)=(^+l)ex-2x-l,(x>-l),我們可以通過構(gòu)造導(dǎo)數(shù)來說明」(x)>0,即〃(x)>0,這

表明了從“單調(diào)遞增，注意到〃(o)=o,由此即可進(jìn)一步得證；

(3)首先我們可以連續(xù)求導(dǎo)說明函數(shù)廣(X)在上遞減，在［。,+巧上遞增.其次

,

/Z(A:)=/(X)-/(^0)(X-X0)-/(X0),故〃("=廣(%)-尸(尤0).進(jìn)一步有(%)=0,

然后分％>0,-1<x0<0兩種情況分類討論即可求解.

【詳解】⑴當(dāng)飛=。時(shí),/伉)="。)=1,

而「(x)=e，+±T,所以((0)=1,

從而切線方程為y-i=x-o,也就是y=x+L

(2)由題意力(x)=/(x)—力(％)=e*+ln(x+l)-x-(x+l)=ex+ln(x+l)-2x-l,

所以//(尤)=^+告_2=x+l)e%-2x-l

x+1

答案第14頁，共23頁

令機(jī)(x)=(x+l)e，-2x-l,貝|加(％)=(x+2)e*—2,

當(dāng)一l<x<0時(shí)，1<%+2<2,0<ex<1,

所以(％+2)eX<2e“<2x1=2,即m

所以當(dāng)一1<1<0時(shí)，加(X)單調(diào)遞減，m(x)>m(O)=O,

當(dāng)x>0時(shí)，%+2>2,e">l,

所以(x+2)e">2ex>2x1=2,即加⑺>0,

所以當(dāng)%>0時(shí)，加(％)單調(diào)遞增，m(x)>m(O)=O,

綜上，機(jī)(x)20恒成立，也就是//(x)20恒成立，

所以/i(x)在(T+。)上單調(diào)遞增,

又因?yàn)榭?)=0,故函數(shù)可力有唯一零點(diǎn)x=0,

且當(dāng)一1<%<0時(shí)，/z(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，/z(x)>0；

因止匕當(dāng)一1<%<0時(shí)，x/z(x)>0,當(dāng)x>0時(shí)，xh^x)>Q,

故x/z(x"0；

(3)對(duì)〃個(gè)實(shí)數(shù)4,。2,…，4，定義max(%,〃2,…M〃)和min(6,出，…必)分別為4,。2,…，/中

最大的一個(gè)和最小的一個(gè).

現(xiàn)在，=e，+ln(x+l)—%,故/'(%)=e“H———1,

令r(x)=9(x),再對(duì)9(x)求導(dǎo)一次得到“⑴=廣

當(dāng)—1<%<0時(shí)，"(%)=ex——夕⑺單調(diào)遞減；

IJi十1IIU十1I

當(dāng)x>0時(shí)，^W=ex--J-r>e0--^-T=1-1=0,夕⑴單調(diào)遞增.

I人ILII\JILI

故函數(shù)r(x)在(TO］上遞減，在［o,+8)上遞增.

由于曲線y=/(x)在&,〃玉))處的切線斜率為/(%)=e&+LT,

X。+1

答案第15頁，共23頁

故該切線的方程為y=/'(%)(了-5)+/(%)，從而8(同=/'(尤0乂％-尤0)+/(%0).

現(xiàn)在我們有〃(x)=/(x)-〃%)@-二)一〃通),故〃(x)=>f(x)--㈤.

首先我們有人(%)=/(%)-/'(動(dòng)(％-通)-/(%)=/(%)-/(%)=0,

〃(%)=/'伉)一/'(%)=。，故&㈤="(%)=0.

已證函數(shù)廣(力在(-1,0］上遞減，在［。,+8)上遞增，下面我們分情況討論：

當(dāng)％0>。時(shí)：

由于

J-1+—、=e』(黨+-------L---------1>--------\--------1=——J-------］=1+/5)|>/(

?I,J1

12+(5J_1+—1—+1T+—1—+1——八?！保?/p>

2+|田)廣2+/優(yōu))廣2+『(*|

、/、

1____

故…五--(無。)>0,

『(％)L

同時(shí)由r(x)在［o,+8)上遞增,知〃(o)=r(o)-r(毛)＜。，而

I1111c

-1+——i―^-<-1+-=一一<0

2+,(元。)|22

/、

1

故〃(尤)在-1+-0上必存在一個(gè)零點(diǎn)，記該零點(diǎn)為"，

2

7

則有〃(“)=0,且―1+2+,，GJ廣〃+°，從而-

由于函數(shù)/'(x)在(-1,0］上遞減,在［0,+功上遞增，

當(dāng)一1cxe〃時(shí)，〃(x)=r(x)—/，小)>/'(〃)-/'(5)=〃(“)=。；

當(dāng)時(shí)，〃(x)=r(x)-r(M)<r(a)—/'(%)=//(a)=0；

當(dāng)0(尤<x°時(shí)，〃(x)=/<x)_r(xo)</'(%)-/'(%)=0；

當(dāng)x>5時(shí)，〃>廣小)_/1%)=0.

這表明/z(x)在(%X。)上遞減，在(T")和5,+8)上各自遞增.

答案第16頁，共23頁

由于//（力在上遞增，故從力在（"1,"）上至多有一個(gè)零點(diǎn)，而

M”）＞網(wǎng)為）=/（/）-"與）=o.

同時(shí)，當(dāng)-l<x<0時(shí),有/，(%)=〃尤)-/'(%0)(了一/)-/(玄)

l,,

=e+ln(x+l)-(l+/(x0))x+x0/(x0)-/(x0)

<l+ln(x+l)+|(l+/+/尸(無。卜/伍)Vin(尤+1)+](1+((尤o))|+|l+V〈尤0)一

這表明當(dāng)+時(shí)，有

ff

/z(x)<In(x+1)+1(1+/(x0))|+11+x0/(x0)-/(x0)|

WIn洲+1(1+/伍))卜[1+"%)|

frzf

=-(1(1+/(x0))|+11+xof(x0)-f(x0)|)+1(1+f(x0))|+11+xof(x0)-/(x0)|=0.

故h(x)必有一個(gè)零點(diǎn)t,且min[-1+忡M)<f<〃,

已證h(x)在(-1,M)上至多有一個(gè)零點(diǎn)，這就說明h(x)在(-1,M)上恰有一個(gè)零點(diǎn).

然后，當(dāng)xN",xwxo時(shí)，由于/?）在（〃,Xo）上遞減，在5,+力）上遞增，故/，（%）＞%（%）=0.

而九優(yōu)）=0,這說明h（x）在\u,+oo）上恰有一個(gè)零點(diǎn).

根據(jù)以上的討論，知“（X）恰有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)-1<無0<0時(shí):

由于

-網(wǎng)2+/（%）|）機(jī)咽〃附）+也（2+/卜出-1=2+/（%）/1＞,缶）口缶）

故/z'（ln（2+|尸（%）/=/（如（2+|/小）|）卜尸（與）＞0,

同時(shí)由廣⑺在（T0］上遞減，知//（0）=/'（0）-/'（無。）＜0,而ln（2+/（Xo）D21n2＞O,

故〃（x）在e,In（2+|（⑷J）上必存在一個(gè)零點(diǎn)，記該零點(diǎn)為v,

答案第17頁，共23頁

則有〃3)=0,且0<v<ln(2+|/伍))，從而,>0.

由于函數(shù)尸(力在(T0]上遞減，在[0,+巧上遞增，T</<0<n,

當(dāng)-1℃0時(shí)，H(x)=f'(x)-f'(x0)>f\x0)-f'(x0)=G-

當(dāng)x0<x<。時(shí)，=/(/)<廣(%)一廣(%)=0；

當(dāng)OVxvv時(shí),(X)=f(x)(v)-f'(x0)=h(v)=G-,

當(dāng)x>v時(shí)，/z，(x)=/，(x)-/,(^)>/,(v)-7,(^,)=/z,(v)=O.

這表明/z(x)在(尤0，丫)上遞減，在(-1,毛)和(匕+e)上各自遞增.

由于//(“在(％+力)上遞增，故//(%)在(v,+e)上至多有一個(gè)零點(diǎn)，

而/心)<%(%)=〃%)-〃飛)=0.

同時(shí),當(dāng)x>0時(shí)，有：/i(x)=〃x)—/，a)(x—飛)一/5)

T,,

=e+ln(x+l)-(l+/(x0))x+x0/(x0)-/(x0)

,,J:,,

>e"-(l+f(xo))x+xof(xo)-f(x0)>e-|l+/(x0)|x-|x0/(x0)-/(x0)|

故"(x)>e*-[1+以%)|x-生-伍)-/(%),

設(shè)〃(7)=e'_f,貝！|當(dāng)f〉0時(shí)7/(r)=e'_l>0,

故〃?)在(0,+動(dòng)上遞增,所以當(dāng)/>0時(shí)e'T=〃")>Z7(0)=l>0,即e'>"

x

所以當(dāng)x>0時(shí),有:h(x)>e-\l+f'(x0)\x-\xof(x0)-f(x0)|

x,,

=e-2|l+/(%0)||-|x0/(^)-/(x0)|

"-2|