2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：圓的切線證明

1.如圖，在..ABC中，AB=AC,于點(diǎn)Z),E是AC上一點(diǎn)，以3E為直徑的

O交BC于點(diǎn)、F,連接DE,DO,且NDO3=90。.

⑴求證：AC是：。的切線；

(2)若。尸=1,DC=3,求BE的長(zhǎng).

2.如圖，在：。中，3c為非直徑弦，點(diǎn)、D是BC的中點(diǎn)，CD是.ABC的角平分線.

⑵求證：AC是；。的切線；

(3)若3D=1,BC=石時(shí)，求弦3D與80圍城的弓形面積?

3.如圖，點(diǎn)C為以AB為直徑的半圓。上一點(diǎn)，連接AC、BC,并延長(zhǎng)AC到點(diǎn)G,使

得/CBG=/A,半徑ODLAC交AC于點(diǎn)E,連接8。交AC于點(diǎn)尸.

(1)求證：8G是：。的切線；

(2)若AB=6,B.AC=BD,求8尸的長(zhǎng)度.

4.如圖，已知等腰一ABC,他=AC,以A3為直徑作。交5c于點(diǎn)D,過。作DP工AC

于點(diǎn)E,交54延長(zhǎng)線于點(diǎn)足

⑴求證：￡)b是：。的切線；

⑵若CE=6，CD=2,求：。的半徑.

5.已知：如圖，直線/與。相離，。尸，/于點(diǎn)P,交。于點(diǎn)A,點(diǎn)3是?。上一點(diǎn),

連接54并延長(zhǎng)，交直線/于點(diǎn)C,且尸3=PC.

CP

⑴求證：PB是，。的切線；

⑵若AC=2行，0P=5,求O的半徑.

6.如圖，點(diǎn)。是，ABC的邊AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，為半徑作C。，與3c相

切于點(diǎn)E,連接08,0E,。交0B于點(diǎn)D,連接AD并延長(zhǎng)交C3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，

ZAOD=ZEOD.

⑴求證：A3是的切線；

⑵若3c=10,AC=8,求：。的半徑.

7.如圖，A3是Q的直徑，AC是O的弦.

r

⑴尺規(guī)作圖：過點(diǎn)C作,O的切線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）;

(2)若3D=O3=2,求AC的長(zhǎng).

8.如圖，丫48。的頂點(diǎn)481在。上，AC為對(duì)角線，DC的延長(zhǎng)線交(。于點(diǎn)E,

連接OC,OE,AE.

(2)若AD是O的切線，OC=6,ZD=40°,求CE的長(zhǎng).

9.如圖，Rt^ABC中，ZC=90°,點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，以AE為直徑的。上一點(diǎn)。

在3C上，且AD平分NA4C.

(1)證明：BC是：。的切線；

(2)若BD=4,BE=2,求A3的長(zhǎng).

10.如圖，己知。的弦等于半徑,連接。4、。3,并延長(zhǎng)OB到點(diǎn)C,使得BC=OB,

連接AC,過點(diǎn)A作于點(diǎn)E,延長(zhǎng)AE交I。于點(diǎn)。.

⑴求證：AC是：。的切線;

(2)若BC=6,求A。的長(zhǎng).

11.如圖，線段AB經(jīng)過。的圓心。.交(。于A,C兩點(diǎn)，AD為O的弦，連接即,

ZA=ZABD=3O°,連接。。并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)E,連接BE交。于點(diǎn)尸.

(1)求證：BD是:。的切線;

⑵若3c=1,求防的長(zhǎng).

12.如圖，AB為，。的直徑，C為。上一點(diǎn)，CD1BD,ZABC=ZCBD.

⑴求證：co為的切線.

(2)當(dāng)8D=1,AB=4時(shí)，求。的長(zhǎng).

13.如圖，已知43是。的直徑，3CLAS于B,E是Q4上的一點(diǎn)，ED//BC交0。

于。，OC//AD,連接AC交瓦＞于尸.

A

⑴求證：co是：。的切線；

⑵若AB=8,AE=1,求ED、EF的長(zhǎng).

14.如圖，48是（。的直徑，AC,3C是弦，點(diǎn)。在45的延長(zhǎng)線上，且ZDCB=ZZMC,

O的切線AE與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

⑴求證：8是：。的切線；

⑵若。的半徑為2,ZD=30°,求AE的長(zhǎng).

15.如圖，已知A3是：O的直徑，點(diǎn)P在54的延長(zhǎng)線上,弦BC平分NPBD,J.BD±PD

(2)若AB=8cm,BD=6cm,求弧AC的長(zhǎng).

16.如圖，AB為。的直徑，CO_LAB于。，。在上，連接3￡>,CD,延長(zhǎng)8與

AB的延長(zhǎng)線交于E,F在BE上,且FD=fE.

⑴求證：FD是:。的切線;

(2)若AP=6,tanZBDF=—,求E77的長(zhǎng).

4

17.如圖，42為1的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，/ABC的平分線交C。于點(diǎn)E，過點(diǎn)

E作即，BC交3C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。.

⑴求證：DE為:O切線;

⑵若AB=10,BC=6,求DE的長(zhǎng).

18.如圖，。是ABC的外接圓，點(diǎn)。在2C延長(zhǎng)線上，且滿足NC4D=N3.

⑴求證：A。是：。的切線;

3

⑵若AC是4AD的平分線，sinB=-,BC=4,求二。的半徑.

參考答案：

1.

【分析】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、切線的判定定理、勾股定理、三角形的中位線定理、等

腰三角形的“三線合一”、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)由AB=AC,4013。于點(diǎn)。，得BD=DC,而BO=OE,根據(jù)三角形的中位線定理得

OD//EC,則NCEB=NOO3=90。，即可證明AC是)0的切線；

(2)連接￡F,由。尸=1得至Ij3尸=&)+￡＞尸=3+1=4,由。。垂直平分3E,

得比＞=。￡=3,由BE是:。的直徑，得NBFE=90。，則所={DE?-DF?=,3?-F=20，

BE=y/BF2+EF2=&+(2⑸=2#.

【詳解】(1)證明：'：AB=AC,ADIBC,

：.BD=DC,

又:,BO=OE,

：.OD//EC.

：.ZCEB=ZDOB=90°,即BE_LAC.

又,:OE是：。的半徑，

???AC是。的切線.

(2)連接EF,

*.*BD=DC=3,DF=1,

BF=BD+DF=3+1=4.

VBO=OE,ZDOB=90。,即OO垂直平分BE,

???BD=DE=3.

又：BE是i)。的直徑，

NBFE=90。.

RtADEF中，EF=yjDE2-DF2=招―F=20

口△3￡F中，BE=<BF。+EF°=JA2+(20)。=2底

BD7F

2.(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3、2兀-3址)

12~

【分析】此題考查了解直角三角形、切線的判定以及扇形的面積.注意掌握輔助線的作法，.

(1)點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)，可以得到8D=CZ)，即可得到/O3C="CB,再根據(jù)角平分

線的定義得到28=48,進(jìn)而得到結(jié)論；

(2)連接OC、OD、OB,則可得到81.BC,然后根據(jù)等邊對(duì)等角可以得到

NOCD+/ACD=90°,即可得到結(jié)論

⑶先求出ZODB=60°,繼而利用S陰影部分=S扇形.一SOBD求得答案.

【詳解】(1)解：如圖，：點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，

：?BD=CD，

：.NDBC=NDCB,

又?:C。是.ABC的角平分線，

:.NACD=/BCD,

：.ZACD=ZABC-,

(2)證明：如圖，連接OC、OD、OB,

:點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)，

OD1BC,

：.NODC+NBCD=90。,

,：OD=OC,

：.ZODC=ZOCD,

又?:/ACD=/BCD,

，/OCD+ZACD=90°,

即OC1AC,

：OC是，。的半徑,

，AC是，。的切線;

（3）解：由（2）可知，OD工BC,

在Rt3DE中，BD=1,BE=-BC=—,

22

.../enoBEG

?sin/ODB==——,

BD2

：.ZODB^60°,

?：OB=OD,

???05。是等邊三角形,

：.ZBOD=6G°,OB=BD=1,

._60TTX1216_2I—

"

**3陰影部分=3扇形OBO_3OBD=一記°5乂1*”=%__彳=^2

3.（1）見解析

（2）26

【分析】（1）根據(jù)A3為半圓。的直徑，得出/。步+/。胡=90。，根據(jù)已知條件可得

ZCBG+ZABC=90°,即可得證；

（2）根據(jù)垂徑定理得A￡）=CJD,進(jìn)而根據(jù)己知可得BO=AC，得出AO=CJ9=8C，根據(jù)

ZCAB+Z.CBA=90°得出ZZMC=Z.CAB=ZABD=30°,進(jìn)而得出一BFG是等邊三角形，勾

股定理求得BG,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】（1）證明：為半圓。的直徑，

ZACB=90°,ZCAB+ZCBA=90°,

NCBG=ZA,

???/CBG+ZABC=90°,即ZABG=90°,

???AB^BG,

；?BG是。的切線；

(2)解：如圖所示，連接AO,

VOD1AC,

?*-AD=CD，

,:BD=AC,

?**BD=AC，

**-AD=BC^

?*-AD=CD=BC、

??,A5為半圓。的直徑，

???ZC4B+ZCBA=90°,

???ZDAC=ZCAB=ZABD=30°,

：.ZGBF=ZG=6O°,GB=-AG,

2

?e?班G是等邊三角形，AB=VAG2-BG2=V3BG

BF=BG=^AB=273.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，弧與弦的關(guān)系，直徑所對(duì)的圓周角是直角，勾股定理，等

邊三角形的性質(zhì)與判定，垂徑定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

4.⑴證明

⑵空

3

【分析】本題主要考查切線的性質(zhì)和判定及特殊角的三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握切線問題中的輔

助線的作法是解題的關(guān)鍵.

(1)連接0D,證明N0D3=NC,推出AC〃OD,即可證明結(jié)論成立；

(2)連接A。，在RtCED中，求得利用三角形函數(shù)的定義求得NC=30。，ZAOD=60°,

在Rt.AZ由中，利用勾股定理列式計(jì)算求得圓的半徑即可.

:.NB=NC,

又：OB=OD,

:.NB=NODB,

:.ZODB=ZC,

:.AC//OD,

DFLAC,

:.ODLDF,

:.DF是。的切線;

CE=?CD=2,

ED-=CD--CE2=22-(A/3)2=1,

▽“CE也

乂cosZC=----=——，

CD2

.*.ZC=30°,

/.ZB=30°,

:.AAOD=60°,

的是一。的直徑.

.\ZADB=9Q°,

AD=-AB=r,

2

,:AB=AC,

：.CD=BD=2,

又AD2^BD2=AB2^

r2+22=(2r)2,

.?/=2叵(負(fù)值已舍).

3

5.(1)證明見解析

(2)3

【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，熟練的證明圓的

切線是解本題的關(guān)鍵；

（1）連接證明=NOAB=NOBA,再證明NPBC+NOSA=90。即可；

（2）設(shè)O的半徑為r,PC2=AC2-AP2=（2A/5）2-（5-r）2,PB2=OP2-OB2=52-r2,

再利用P3=PC建立方程求解即可.

【詳解】（1）解：連接。8,

?:PB=PC,OA=OB,

：.ZPCB=ZPBC,Z.OAB=AOBA,

'：OPVI,ZOAB^ZPAC,

：.NBCP+ZC4P=90°=NBCP+ZOAB,

ZPBC+ZOBA=90°,

：.ZOBP=90°,

：.OBYPB,

:?PB是。的切線；

(2)設(shè)O的半徑為r,OP=5,則AP=5-r,

VOP11,AC=2y/5,

：.PC2=AC2-AP2=(2V5)2-(5-r)2,

VPC=PB,BPLOB,

而PB-=OP2-OB2=52-r2,

25-r2=20-(5-r)2,

解得：r=3,

O的半徑為3.

【點(diǎn)睛】

6.(1)見解析

(2)3

【分析】本題主要考查切線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí).

(1)根據(jù)SAS證，AC?芻EO3,得出/MB=/O￡B=90。，即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)圓。的半徑為r，則。E=OA=r,求得OC=8-r,根據(jù)AOB^EOB得BE=AB=6,

求得CE=4,在RtOCE中運(yùn)用勾股定理列式求出r的值即可.

【詳解】(1)證明：在和EOB中，

AO=EO

<ZAOB=NEOB,

OB=OB

：._AOBEOB(SAS),

：.ZOAF=Z.OEF,

???BC與。相切，

：.OE.LBCf

：.NOAB=NOEB=900,

即OA_LA廠,

是，。的半徑，

...AB是。的切線；

（2）解：在RtZkCAB中，ZCAB=90°,BC=10,AC=8,

AB=ylBC2-AC2=7102-82=6，

設(shè)圓。的半徑為r，則OE=OA=r,

/.OC=8-r,

?：AOB烏EOB,

：.BE=AB=6

?：BC=10,

：.CE=BC-BE=10-6=4,

在RtOCE中，OE?+CE2=OC?

：,r2+42=（8-r）2,

解得r=3.

，）0的半徑為3.

7.⑴作圖見解析

⑵T

【分析】本題考查了作圖，復(fù)雜作圖，切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算，

熟練掌握切線的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式是解答本題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意，連接OC,作OC_LC￡>,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，由此得到答案.

（2）根據(jù)題意，得到△03C是等邊三角形，求出NAOC=120。，再利用弧長(zhǎng)公式，得到答

案.

【詳解】（1）解：如圖所示，CO即為所求.

(2)如圖所示，連接5C,

根據(jù)題意，

8是切線，0C是半徑,

OC1CD,

ZOCD=90°,

BD=OB=2,

OB-BD=BC,

「?△O5C是等邊三角形,

,ZBOC=60°f

ZAOC=120°,

又半徑OC=2,

,,I,,rmr2x120兀_4兀

FC的長(zhǎng)/=函

180-

8.(1)見解析

（2）6A/3

【分析】⑴根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出/B=ND,AD=BC,根據(jù)圓周角定理得出

ZB=ZAEC,根據(jù)等腰三角形的判定得出AE=AD,求出結(jié)論即可；

(2)連接OA,過點(diǎn)。作于點(diǎn)尸，證明。4LAD,根據(jù)垂徑定理得出汽g=冷^，

得出NAEC=ZB="=40。，求出NdEnNZME-NG4D=60。，得出

ZCOE=2ZCAE=120°,求出/OCE=30。，根據(jù)三角函數(shù)求出

CE=2CF=2OC-cos30°=6』.

【詳解】(1)證明：在YABCD中，NB=ND,AD=BC,

AC=AC'

ZB=ZAEC,

：.ZAEC=ZD,

.\AE=AD,

：.AE=BC.

(2)解：連接Q4,過點(diǎn)。作。尸ICE于點(diǎn)尸，如圖所示:

A￡)是。的切線，

:.OA1AD,

:.OA.LBC9

AB=AC^

ZAEC=ZB=ZD=40°f

.\ZACB=ZB=40°,

在YABCQ中，AD//BC,

:.ZDAC=ZACB=40°,

又、ZDAE=180°-ZD-ZAEC=100°,

:.ZCAE=ZDAE-ZCAD=60°,

ZCOE=2ZCAE=120°,

OC=OE,

.?.NOC石=30。，

OFLCE,

二.CE=2CF=2OCcos30°=6石.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，平行四邊形的性質(zhì)，垂

徑定理，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì).

9.(1)證明詳見解析；

(2)8.

【分析】本題考查了切線的判定、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握切線的判定定理、勾股定理是

解題的關(guān)鍵.

(1)連接根據(jù)平行線判定推出OD〃AC,推出根據(jù)切線的判定推出即

可；

(2)根據(jù)勾股定理求出8=Q4=OE=3,再根據(jù)線段的和差求解即可.

【詳解】(1)證明：連接。。，

OA=OD,

???ZOAD=ZODAf

???平分/B4C,

???ZBAD=ZCAD,

：.ZODA=ZCADf

：.OD//AC,

zc+zor>c=i80°,

ZC=90°,

???ZODC=90°f

：.OD±BC,

???。。為半徑，

；.BC是。的切線；

(2)解：設(shè)OD=OE=r,

在中，BD=4,BE=2,

OB=r+2,

由勾股定理，得：r2+42=(r+2)2,

解得：r=3,

OD=OA=OE=3,

AB=6+2=8.

10.(1)證明見解析；

(2)65/3.

【分析】(1)先證明“也是等邊三角形，再由性質(zhì)得出==朋=60。，再

由3C=AB和角度和差即可求解；

(2)先根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出OE=goA=3,再根據(jù)勾股定理求得AE=3^,最后由

垂徑定理即可求解；

此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理和垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知

識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用.

【詳解】(1)證明：:至二8二。，

一。鉆是等邊三角形，

Z.ZAOB=ZOAB=ZOBA=60°,

BC=OB,

：.BC=AB,

：.ABAC=ZBCA=-NOBA=30°,

2

ZOAC=ZOAB+ZBAC=90°,

又為(。的半徑，

；.AC是「。的切線；

(2)解:---BC=6,

AB=OA=OB=6,

???于點(diǎn)E,

???ZOAE=30°,

：.OE=-OA=3,

2

AE=y/OA'-OE2=3A/3，

AE±OB,

：.AD=2AE=6y/3.

IL(1)見解析

(2)8尸=」^

7

【分析】(1)證明NOD3=90。，再根據(jù)切線的判定即可得出結(jié)論；

(2)解直角三角形求出。。，根據(jù)勾股定理求出連接DF,根據(jù)相似三角形的判定得

出△BFDsABDE,得出比例式，再代入求出即可.

【詳解】(1)證明：ZBAD^ZABD=30°,

:.ZDOB=2ZBAD=60°,

ZODB=180°-30°-60°=90°,

即OD_L3。，

OD是。的半徑，

直線8。是，。的切線；

(2)解：設(shè)0￡>=0C=r,

在RtZkBDO中，sin30°=—=—,

OBr+1

解得：r=1,

即OD=1,OB=OC+BC=1+1=2,

由勾股定理得：BD=4-f=6,

.'.BE=j22+(^)2=V7，

連接。尸，

DE是,:。的直徑，

.-.ZDFE=90°,

5PZDFB^ZBDE=90°,

ZDBF=NDBE,

:.Z\BFDs/\RDE,

BFBD

BF_y[3

:飛=工'

解得：BF=9.

7

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理，勾股定理

等知識(shí)點(diǎn)，作出輔助線構(gòu)造出相似三角形是解題關(guān)鍵.

12.⑴見詳解

⑵6

【分析】（1）連接0C,由Z.OCB=ZABC,ZABC=ZCBD,得ZOCB=ZCBD,則OC//BD,

所以/。?！?gt;=180。一/。=90。，即可證明。為O的切線；

（2）由A3為I的直徑，得NACB=90。，則NACB=N3,ZABC=ZCBD,所以

ADZ^D______________

△ABCs/\CBD,貝?。?=/，可求得CB=，由勾股定理得CD=JCB??

CnDD

【詳解】（1）證明：連接OC,則OC=QB,

:.NOCB=ZABC,

ZABC=/CBD,

:.ZOCB=ZCBDf

:.OC//BD,

CDLBD,

「.N。=90。，

/.ZOCD=180?！狽D=90°,

OC是o的半徑，且CDLOC,

:.CD為。的切線.

(2)解：AB為的直徑，

ZACB=90°,

:.ZACB=ZD,

ZABC=NCBD,

ABC—CBD,

.ABCB

'~CB~~BD"

QBD=1,AB=4

:.CB=dBDAB=y/i^=2,

.\CD=ylcB2-BD2=A/22-12，

二.CD的長(zhǎng)是g.

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定、圓周角定理、

相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，證明/OCB=/CBD及是解題

的關(guān)鍵.

13.(1)證明見詳解

【分析】(1)連接。。，由OC〃AO可以推出NOOC=3OC,從而證明△ODC會(huì)/XOB。即

可；

(2)作交5C于點(diǎn)根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，然后再根據(jù)平行得到

△A￡FS2\AB。即可求解.

【詳解】(1)證明：連接。。，如圖所示：

AD//OC,

:.ZADO=ZDOC,ZDAO=/BOC,

OA=OD,

.\ZADO=ZDAO,

:.ZDOC=ZBOC,

OD=OB,OC=OC,

■.AODC^AOBC,

.NOBC=NODC,

BC1AB,

.ZOBC=ZODC=90°,

如為經(jīng)過圓心的半徑，

.CD是,。的切線；

(2)如圖所示：作功交8C于點(diǎn)M,

AB=8,AE=1,

;.OA=OB=OD=-AB=4,OE=OA-AE=3,

2

DE=BM=y]OD2-OE2=41>

令CM=x,CB=CD=x+近,BE=DM=7,

在RtADMC,CM2+DM2=CD2,

(X+A/7)2=72+X2,

解得：尤=3A/7,

BC=4近，

DE//BC

:.AADE^AABC,

,EFAE1EF

"AB-8-4V7,

._A/7

..EPFF-----?

2

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線證明，勾股定理，相似三角形，全等三角形的判定等知識(shí)，綜

合性較強(qiáng)，熟練掌握幾何基礎(chǔ)知識(shí)并聯(lián)系各知識(shí)體系并正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

14.⑴見解析

Q)AE=2C

【分析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，熟練掌握切線的判定

是解題的關(guān)鍵；

(1)連接OC,根據(jù)。4=OC,和/。C8=/￡)AC,得出NDC8=/OC4.再根據(jù)圓周角

定理得出，ZOCA+ZOCB^90°,即可得出/OCB+/OCB=90。，從而證明CO是。的

切線.

(2)在RtzXOCD中，得出OD=4,從而解得AD=AO+8=6,再根據(jù)AE■是［O的切線，

得出在Rt_E4D中，運(yùn)用解直角三角形即可解答；

【詳解】(1)證明：連接。C.

OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA.

又：NDCB=NDAC,

：.ZDCB=ZOCA.

,/AB是。的直徑，

/.ZOCA+ZOCB=90°.

：.ZDCB+ZOCB=90°.

即ZOCD=90°.

又：OC是半徑，CO經(jīng)過。的半徑外端C.

8是。的切線.

(2)解：在RtZkOCD中，

?：ZOCD=90°,ZD=30°,OC=2,

：.OD=4.

AD=AO+OD=6.

TAE是。的切線，切點(diǎn)為A,

：.OA±AE.

在RtE4D中，

?：ZEAD=90°,/。=30。，AD=6,

?*.AE=AOtan30°=6x3=2技

3

15.(1)見解析

4

⑵丁

【分析】本題考查圓與三角形的綜合問題，掌握與圓有關(guān)的性質(zhì)，正確作出輔助線是關(guān)鍵.

(1)連接0C,根據(jù)條件證明OC〃3D,即可證明；

(2)根據(jù).尸COsPDB可得上4,利用余弦值可求出NCOP,通過弧長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】(1)證明：連接OC,如圖，

ZOCB=ZOBC,

?.?弦8C平分NPBD,

ZDBC=NOBC,

：.ZOCB^ZDBC.

：.OC//BD,

"：BD±PD,

：.OCA.PD.

0c為、O的半徑,

???PD是。的切線;

(2)解：連接OC,如圖,

由(1)知：OC//BD,

:?PCOS.PDB,

,PCPO

??50一訪，

*.*AB=8cm,BD=6cm,

/.OC=-AB=4cm,

2

.4_PA+4

?%―PA+8，

PA=4,

：.PO=PA+OA=8,

在Rt_OC尸中，

?cos4cop—----——,

OP2

，ZCOP=60°,

.，一弘i/60乃x447r

...3弧nTAC的長(zhǎng)=I”=丁.

lot)3

16.(1)證明見解析；

3

(2)￡F=-.

【分析】⑴連結(jié)。￡>,由COLAB得4+NC=90。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由小=網(wǎng)),

OD=OC得至1]ZE=NFDE,ZC=ZODC,于是有NFDE+/ODC=90。，根據(jù)切線的判定

定理即可得到ED是。的切線；

(2)連結(jié)AD,證明aFBDsFDA,得到空=絲，根據(jù)正切的定義得到

AFAD

tanZA=tanZB￡>F=—=1進(jìn)而得到竺=工，即可求解；

AD464

本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，余角性質(zhì)，根據(jù)題

意，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）證明：連結(jié)

,/COLAB,

：.ZE+ZC=90°,

,;FE=FD,OD=OC,

AZE=ZFDE,ZC=ZODC,

；?/FDE+/ODC=90。,

：.ZODF=90°,

：.OD.LDF,

；?FD是O的切線；

(2)解：連結(jié)A。，如圖,

?；AB為O的直徑，

：.ZADB=90°9

AZA+ZABD=90°,

?：OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

：.ZA+ZODB=90°,

NBDF+NODB=90°,

:?ZA=ZBDF,

又,：ZDFB=ZAFD,

???FBD^FDA,

DFBD

~AF~~AD

BD]

在RtAABD中，tanNA=tanZBDF=——=-,

AD4

.DF_1

??~~=一，

64

3

DF=-,

2

3

???EF=-.

2

17.(1)見解析

(2)4

【分析】本題考查了圓的切線的判斷，

(1)