數(shù)學(xué)第13章立體幾何初步平面的基本性質(zhì)01預(yù)習(xí)案自主學(xué)習(xí)02探究案講練互動(dòng)03自測(cè)案當(dāng)堂達(dá)標(biāo)04應(yīng)用案鞏固提升1．平面(1)平面的概念平面是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來(lái)的幾何概念．平面通常用____________來(lái)表示，當(dāng)平面水平放置的時(shí)候，一般用水平放置的________的直觀圖作為平面的直觀圖．平行四邊形正方形(2)平面的表示法平面通常用希臘字母α，β，γ，…

表示，也可以用平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母表示；如圖的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.1．幾何里的平面有什么特點(diǎn)？提示：(1)平面和點(diǎn)、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進(jìn)行度量．(2)平面無(wú)厚薄、無(wú)大小，是無(wú)限延展的．2．點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系2．如何從集合的角度理解點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系？3．平面的基本事實(shí)不在一條直線上有且只有兩個(gè)點(diǎn)平面內(nèi)公共直線基本事實(shí)1：確定平面的依據(jù)；基本事實(shí)2：判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；基本事實(shí)3：判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)．4．基本事實(shí)的推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．圖形語(yǔ)言表述：如圖所示．

推論2：經(jīng)過(guò)兩條______直線，有且只有一個(gè)平面．圖形語(yǔ)言表述：如圖所示．相交推論3：經(jīng)過(guò)兩條______直線，有且只有一個(gè)平面．圖形語(yǔ)言表述：如圖所示．平行1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面．(

)(2)經(jīng)過(guò)一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面．(

)(3)如果平面α與平面β相交，那么它們只有有限個(gè)公共點(diǎn).(

)(4)平面α和平面β交于不共線的三點(diǎn)A，B，C.(

)(5)直線a與直線b相交于點(diǎn)A，可用符號(hào)表示為a∩b＝A.(

)√××××√√解析：對(duì)于A，直線AB在平面α內(nèi)，應(yīng)為AB?α，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線a在平面α，β內(nèi)，應(yīng)為a?α，a?β，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)锳∈a，a?α，所以A∈α，故C正確；4．已知如圖，試用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示下列點(diǎn)、直線和平面之間的關(guān)系：(1)點(diǎn)C與平面β：____________．(2)點(diǎn)A與平面α：____________．(3)直線AB與平面α：__________．(4)直線CD與平面α：__________．(5)平面α與平面β：____________．探究點(diǎn)1圖形、文字、符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化

(1)用符號(hào)語(yǔ)言表示下面的語(yǔ)句，并畫出圖形．平面ABD與平面BDC交于BD，平面ABC與平面ADC交于AC.(2)將下面用符號(hào)語(yǔ)言表示的關(guān)系用文字語(yǔ)言予以敘述，并用圖形語(yǔ)言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB?α，AC?β.【解】

(1)符號(hào)語(yǔ)言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用圖形表示如圖①所示．(2)文字語(yǔ)言敘述為：點(diǎn)A在平面α與平面β的交線l上，直線AB，AC分別在平面α，β內(nèi)，圖形語(yǔ)言表示如圖②所示．三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言敘述，再用符號(hào)語(yǔ)言表示．(2)根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別．

根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系．(1)點(diǎn)P與直線AB；(2)點(diǎn)C與直線AB；(3)點(diǎn)M與平面AC；(4)點(diǎn)A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.解：(1)點(diǎn)P∈直線AB.

(3)點(diǎn)M∈平面AC.

(5)直線AB∩直線BC＝點(diǎn)B.(6)直線AB?平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝直線AB.探究點(diǎn)2點(diǎn)、線共面問(wèn)題證明兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)．【解】

已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．證明：方法一：(納入平面法)因?yàn)閘1∩l2＝A，所以l1和l2確定一個(gè)平面α.因?yàn)閘2∩l3＝B，所以B∈l2.又因?yàn)閘2?α，所以B∈α.同理可證C∈α.又因?yàn)锽∈l3，C∈l3，所以l3?α.所以直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．方法二：(輔助平面法)因?yàn)閘1∩l2＝A，所以l1，l2確定一個(gè)平面α.因?yàn)閘2∩l3＝B，所以l2，l3確定一個(gè)平面β.因?yàn)锳∈l2，l2?α，所以A∈α.因?yàn)锳∈l2，l2?β，所以A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．所以平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．證明點(diǎn)、線共面的常用方法(1)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)．(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．

如圖，已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：直線a，b，c，l共面．證明：因?yàn)閍∥b，所以a和b確定一個(gè)平面α，因?yàn)閘∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α.故l?α.又a∥c，所以a和c確定一個(gè)平面β.同理l?β.即l和a既在平面α內(nèi)又在平面β內(nèi)，且l與a相交，故平面α，β重合，即直線a，b，c，l共面．探究點(diǎn)3三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)問(wèn)題如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點(diǎn)．求證：CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)．可設(shè)D1F∩CE＝P.又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD，所以點(diǎn)P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點(diǎn)．又因?yàn)槠矫鍭1D1DA∩平面ABCD＝DA，所以根據(jù)基本事實(shí)3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)．[變條件、變問(wèn)法]若將題目條件中的“E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點(diǎn)”改成“E，F(xiàn)分別為AB，AA1上的點(diǎn)，且D1F∩CE＝M”，求證：點(diǎn)D，A，M三點(diǎn)共線．證明：因?yàn)镈1F∩CE＝M，且D1F?平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA，同理M∈平面BCDA，從而M在兩個(gè)平面的交線上，因?yàn)槠矫鍭1D1DA∩平面BCDA＝AD，所以M∈AD成立．所以點(diǎn)D，A，M三點(diǎn)共線．1．如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l，設(shè)在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求證：AB，CD，l共點(diǎn)．證明：因?yàn)樵谔菪蜛BCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰，所以AB，CD必定相交于一點(diǎn)，如圖，設(shè)AB∩CD＝M.又因?yàn)锳B?α，CD?β，所以M∈α且M∈β，又因?yàn)棣痢搔拢絣，所以M∈l.即AB，CD，l共點(diǎn)．2．如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點(diǎn)E，G，H，F(xiàn).求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線．證明：因?yàn)锳B∥CD，所以AB，CD確定一個(gè)平面β(即平面ABCD)，又因?yàn)锳B∩α＝E，AB?β，所以E∈α，E∈β，即E為平面α與β的一個(gè)公共點(diǎn)．同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點(diǎn)，兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，它們有且只有一條通過(guò)公共點(diǎn)的公共直線，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線．1．能確定一個(gè)平面的條件是(

)A．空間三個(gè)點(diǎn)B．一個(gè)點(diǎn)和一條直線C．無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)

D．兩條相交直線解析：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可確定一個(gè)平面，A，B，C條件不能保證有不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，故不正確．√2．經(jīng)過(guò)同一條直線上的3個(gè)點(diǎn)的平面(

)A．有且只有一個(gè)

B．有且只有3個(gè)C．有無(wú)數(shù)個(gè)

D．不存在解析：經(jīng)過(guò)共線3個(gè)點(diǎn)的平面有無(wú)數(shù)個(gè)，比如：課本中每一頁(yè)都過(guò)共線的三點(diǎn)．√3．如果直線a?平面α，直線b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，則(

)A．l?α

B．l?αC．l∩α＝M

D．l∩α＝N解析：因?yàn)镸∈a，a?α，所以M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N