第4講函數(shù)的零點問題方法總結(jié)：1.零點問題的處理步驟：（1）作圖：可將零點問題轉(zhuǎn)化成方程，進(jìn)而通過構(gòu)造函數(shù)將方程轉(zhuǎn)化為兩個圖像交點問題，并作出函數(shù)圖像（2）確定變量范圍：通過圖像與交點位置確定參數(shù)和零點的取值范圍（3）觀察交點的特點（比如對稱性等）并選擇合適的方法處理表達(dá)式的值2.零點問題常見處理方法：（1）代換法：將相等的函數(shù)值設(shè)為，從而用可表示出，將關(guān)于的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元表達(dá)式，進(jìn)而可求出范圍或最值（2）利用對稱性解決對稱點求和：如果關(guān)于軸對稱，則；同理，若關(guān)于中心對稱，則也有。將對稱的點歸為一組，在求和時可與對稱軸（或?qū)ΨQ中心）找到聯(lián)系3.求解復(fù)合函數(shù)零點問題的技巧：（1）此類問題與函數(shù)圖象結(jié)合較為緊密，在處理問題的開始要作出的圖像（2）若已知零點個數(shù)求參數(shù)的范圍，則先估計關(guān)于的方程中解的個數(shù)，再根據(jù)個數(shù)與的圖像特點，分配每個函數(shù)值被幾個所對應(yīng)，從而確定的取值范圍，進(jìn)而決定參數(shù)的范圍典型例題：例1．（2022·青海西寧·高三期末）已知函數(shù)若函數(shù)有6個零點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合可得在上有兩個不同的實數(shù)根，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】設(shè)，則，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，則函數(shù)有6個零點等價于在上有兩個不同的實數(shù)根，則解得.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合，把問題轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個不同的實數(shù)根，即二次方程根的分布問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即解.例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若函數(shù)f（x）=ex（x22x+1a）x恒有2個零點，則a的取值范圍是（

）A． B．（，1）C． D．【答案】A【解析】【分析】先由導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性并畫出其簡圖，再結(jié)合的圖象，根據(jù)函數(shù)恒有兩個零點等價于函數(shù)及的圖象有兩個交點，得出a的取值范圍.【詳解】令，得．令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．的最大值是，作出函數(shù)及的圖象，如圖所示，函數(shù)恒有兩個零點等價于函數(shù)及的圖象有兩個交點，所以，解得．故選：A．例3．（2022·山東萊西·高三期末）已知函數(shù)，，若函數(shù)在內(nèi)有3個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】【分析】先考慮的情況，再考慮的情況，把函數(shù)有3個零點轉(zhuǎn)化為方程有3個實根，化簡，構(gòu)造兩個新函數(shù)，圖像有3個交點，畫圖得答案.【詳解】，當(dāng)時，顯然有，即不是的零點；當(dāng)時，函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)即為方程在上的實根個數(shù)當(dāng)時，有，即；當(dāng)時，有，即所以函數(shù)在內(nèi)有3個不同的零點等價于與的圖像有3個不同的交點，作出圖像如圖：由圖可知或故選：B.例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則的最小值為（

）A． B． C．7 D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)t為在上的零點，可得，轉(zhuǎn)化為點在直線上，根據(jù)的幾何意義，可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得答案.【詳解】設(shè)t為在上的零點，則，所以，即點在直線，又表示點到原點距離的平方，則，即，令，可得，因為，所以，得在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)t=0是，，所以的最小值為.故選：B.【點睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)的幾何意義，將方程問題轉(zhuǎn)化為求距離問題，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解，分析、計算難度大，屬難題.例5．（2022·安徽蚌埠·高三期末（文））已知函數(shù)有四個不同的零點，，，，若，，，則的值為（

）A．0 B．2 C．－1 D．－2【答案】D【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與的交點問題，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想可求解.【詳解】函數(shù)有四個不同的零點，即方程有四個不同的解，令，，即函數(shù)的圖象與有四個不同的交點，兩函數(shù)圖象在同一個直角坐標(biāo)系下的圖象如下圖所示：所以，不妨設(shè)，則，所以.故選：D例6．（2022·陜西·高三期末（理））已知函數(shù)恰有4個零點，則a的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】把的零點個數(shù)等價于直線與函數(shù)圖象的交點個數(shù)即可解決．【詳解】當(dāng)時，，所以不是的零點；當(dāng)時，由，即，得，則的零點個數(shù)等價于直線與函數(shù)圖象的交點個數(shù)．作出函數(shù)的大致圖象（如圖所示），由圖可知．故選：D過關(guān)練習(xí)：1．（2022·全國·高三階段練習(xí)（文））若函數(shù)滿足對都有，且為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的零點個數(shù)為（

）A．2 B．3C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的部分圖象，再借助圖象求解作答.【詳解】依題意，，為R上的奇函數(shù)，即，則，因此，是周期為2的周期函數(shù)，當(dāng)時，是遞增的，令，有，即，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的部分圖象，如圖，觀察圖象得函數(shù)與的圖象有4個公共點，所以的零點個數(shù)為4.故選：C2．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知，，若在區(qū)間上恰有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．（1，3） B．（2，4） C． D．【答案】C【解析】【分析】x∈，數(shù)形結(jié)合確定的范圍使得圖像和恰好有四個交點.【詳解】，在區(qū)間上恰有4個零點，等價與圖象恰好有4個交點，因為x∈，所以，如圖所示，則應(yīng)該滿足，解得.故選：C.3．（2022·全國·高三階段練習(xí)（文））已知，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由解析式及指對數(shù)的性質(zhì)分析分段函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)時對應(yīng)值，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法判斷零點個數(shù).【詳解】由題設(shè)，當(dāng)時且遞減，當(dāng)時且遞減，令，則，可得或，如下圖示：由圖知：時有一個零點，時有兩個零點，故共有3個零點.故選：C4．（2022·吉林·長春十一高高三階段練習(xí)（理））用符號表示不超過的最大整數(shù)，例如：，，．設(shè)函數(shù)有三個零點，，且，則的取值范圍是(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由題意可知，得；令，可知單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減為，作出的草圖，由圖可知，∴，，而，∴，即，，可得，由此即可求出結(jié)果．【詳解】∵，，∴①或②．由①得，由②得．令，則，∴．當(dāng)時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減．事實上，當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出g(x)如圖：由圖可知g(x)與y＝－a圖像有兩個交點時，左邊交點在，右邊交點在，故f(x)的三個零點情況如下：一個在之間，一個是，一個在，∵，∴，則[]＝0，又∵[]＝1，且，故，[]＝2，.∴，即，解得．故選：B．【點睛】本題主要考査了導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)零點中的應(yīng)用，關(guān)鍵是因式分解求出已知的零點，然后參變分離構(gòu)造新函數(shù)，將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點問題求解.5．（2022·廣東高州·二模）已知函數(shù)，分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則正實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】【分析】首先利用方程組法求函數(shù)的解析式，由解析式判斷的對稱性，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性及極值點，根據(jù)函數(shù)有唯一的零點知極小值，即可求正實數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，，可得：，由，易知：關(guān)于對稱.當(dāng)時，，則，所以單調(diào)遞增，故時單調(diào)遞減，且當(dāng)趨向于正負(fù)無窮大時都趨向于正無窮大，所以僅有一個極小值點1，則要使函數(shù)只有一個零點，即，解得.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：奇偶性求函數(shù)解析式，導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性、極值，根據(jù)零點的個數(shù)及對稱性、單調(diào)性求參數(shù)值.6．（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，函數(shù)f（x）有兩個極值點B．當(dāng)時，函數(shù)f（x）在上沒有最小值C．當(dāng)，函數(shù)f（x）有兩個零點D．當(dāng)，函數(shù)f（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞增【答案】C【解析】【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再結(jié)合各選項中的范圍判斷導(dǎo)數(shù)的符號并得到相應(yīng)的單調(diào)性，從而可判斷各項的正誤.【詳解】，當(dāng)時，，如取，則，此時恒成立，故為上的增函數(shù)，故無極值點，故A錯誤.當(dāng)時，，而，故在上有且只有一個實數(shù)根，且：當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故在上，，故B錯誤.當(dāng)時，，當(dāng)或時，；當(dāng)或時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，而，，故有兩個零點，故C正確.當(dāng)時，取，則，令，則或，令，則，故的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，而，故D錯誤.故選：C.7．（2022·四川·成都七中高三開學(xué)考試（文））已知函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】顯然需要參數(shù)分離，將原題改造成為，求與有兩個交點?！驹斀狻坑傻玫剑?；令，由題意可以看做是與有兩個交點；則，其中，，是單調(diào)遞減的，并且時，=0；因此函數(shù)存在唯一零點，；當(dāng)時，；時，；；得如下函數(shù)圖像：顯然當(dāng)時，與有兩個交點；故答案為：B.8．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)有三個不同的零點，且，則的值為（

）A．3 B．6 C．9 D．36【答案】D【解析】【分析】依題意可得，即可有三個不同的零點，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，令，則必有兩個根、，且令、，則必有一解，有兩解、，且，再利用韋達(dá)定理代入計算可得；【詳解】解：因為，所以，因為，所以有三個不同的零點，令，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，令，則必有兩個根、，不妨令、，且，，即必有一解，有兩解、，且，故故選：D9．（2022·安徽馬鞍山·一模（文））已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】函數(shù)有三個零點轉(zhuǎn)化為與有三個交點，畫出圖像即可求出的取值范圍.【詳解】函數(shù)有三個零點轉(zhuǎn)化為與有三個交點.,當(dāng)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，時取到最大值1.作出圖像如下圖，由圖像可知故選：B.10．（2022·安徽六安·一模（理））已知函數(shù)在內(nèi)恰有3個極值點和4個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由第4個正零點小于1，第4個正極值點大于等于1可解.【詳解】，因為，所以，又因為函數(shù)在內(nèi)恰有個極值點和4個零點，由圖像得：解得：，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A.11．（2022·吉林·雙遼市第一中學(xué)高三期末（文））定義在R上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點的和是（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】A【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與在區(qū)間上的交點橫坐標(biāo)即為g(x)的零點，根據(jù)對稱性即可求零點之和.【詳解】如圖所示，與在區(qū)間上一共有10個交點，且這10個交點的橫坐標(biāo)關(guān)于直線對稱，所以在區(qū)間上的所有零點的和是10．故選：A．12．（2022·吉林·雙遼市第一中學(xué)高三期末（理））已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的最大值是（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡，結(jié)合正弦函數(shù)零點性質(zhì)，即可求解．【詳解】，令，，．又函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，所以，解得，，所以，，，，所以的最大值是．故選：C．13．（2022·河南·溫縣第一高級中學(xué)高三開學(xué)考試（文））已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】通過解法方程來求得的零點個數(shù).【詳解】由可得.當(dāng)時，，或（舍去），當(dāng)時，或.故是的零點，是的零點，是的零點.綜上所述，共有個零點.故選：C14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．2 D．1【答案】A【解析】【分析】令，令，得出，求出關(guān)于的方程的根或，然后再考查直線或與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，即可得出答案．【詳解】令，令，則,當(dāng)時，則，所以，，當(dāng)時，，則，作出函數(shù)的圖象如下圖所示，直線與函數(shù)的圖象只有1個交點，線，與函數(shù)的圖象只有2個交點，因此，函數(shù)只有3個零點，故選：．15．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知，若函數(shù)恰有兩個零點、（），那么一定有（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造兩個函數(shù)和，根據(jù)兩個函數(shù)的圖象恰有兩個交點，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，構(gòu)造兩個函數(shù)和，則兩個函數(shù)的圖象恰有兩個交點，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象可得.故選：A.16．（2022·天津市寶坻區(qū)大口屯高級中學(xué)高三期末）已知函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】分類討論，當(dāng)時利用函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)至多有一個零點；當(dāng)時，分別討論函數(shù)，，，，的零點情況，進(jìn)而可得，或a=?12ea=?1，或，即求.【詳解】當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，又，所以函數(shù)在上沒有零點，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上至多有一個零點，故當(dāng)時，函數(shù)在R上至多有一個零點，不合題意；當(dāng)時，，，令，得，∴時，，函數(shù)單調(diào)遞增；時，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴時，函數(shù)有最大值，，∴當(dāng)，即時，函數(shù)在上沒有零點，當(dāng)，即時，函數(shù)在上有一個零點，當(dāng)，即時，函數(shù)在上有兩個零點；對于，，對稱軸為，函數(shù)在上最小值為，又，∴當(dāng)，即，函數(shù)在上沒有零點，當(dāng)，即，函數(shù)在上有一個零點，當(dāng)，即，函數(shù)在上有兩個零點；所以要使函數(shù)恰有兩個零點則，或a=?12ea=?1，或解得或；綜上，實數(shù)的取值范圍是或.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是分別研究函數(shù)，與，的零點情況，通過分類討論即可解決.17．（2022·廣東·模擬預(yù)測）讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅里葉，法國歐塞爾人，著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家．他發(fā)現(xiàn)任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級數(shù)來表示，如定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，有，已知函數(shù)有且僅有三個零點，則a的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】令，則的圖象是過點，斜率為a的直線；由函數(shù)的對稱性可得的圖象關(guān)于直線對稱，畫出和在同一坐標(biāo)系下的圖象，根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想即可得出結(jié)果.【詳解】令，則的圖象是過點，斜率為a的直線．由可知的圖象關(guān)于直線對稱，又為偶函數(shù)，可畫出和在同一坐標(biāo)系下的圖象（下圖為時的情況）有且僅有三個零點，則和的圖象有且僅有三個交點．當(dāng)時，顯然不成立，當(dāng)時，由上圖可得，解得：．當(dāng)時，由對稱性知．所以a的取值范圍是，故選：A.18．（2022·安徽宣城·高三期末（文））已知函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．?∞,?e C． D．【答案】D【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象有兩個不同的交點，根據(jù)換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為g(t)=ett，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，進(jìn)而得出參數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域為，，設(shè)，則，令，令，所以函數(shù)在(0，1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，所以函數(shù)有兩個不同的零點等價于方程有兩個不同的解，則，等價于函數(shù)與圖象有兩個不同的交點.令，則，，設(shè)g(t)=ett令，令，所以函數(shù)在(0，1)