2024年中考數(shù)學幾何模型演練一三垂直模型

1.模型認識

AABC是等腰直角三角形，一條直線過點C,分別過A、B向該直線作垂線，垂足分別為D、E.J1IJAADC^ACEB.

⑴如果沒有等腰?

作垂線，可得三垂直相似.

如圖1,有4ADC^ACEB.

特別地，若C為DE的中點,如圖2,則八ADC->ACEB^AACB.

(2)如果沒有直角？

直角的作用在于它們都相等，將直角換成其他等角，即為“一線三等角”模型.

引例1(2022.海南)如圖，點A(0,3)、B(1.0)將線段AB平移得到線段DC,若NABC=9(T,BC=2AB,則點D的坐標是()

A.(7,2)B.(7,5)

C.(5,6)D.(6,5)

解析如圖，過點D作DH±y軸交y軸于點H,則DHA。408,二察=等=喂=2,：.DH=2AO=6,AH=2OB=2,.?.點D的坐標

為(6,5).

引例2（2018.遵義）如圖,在菱形ABCD中,ZABC=120。,將菱形折疊，使點A恰好落在對角線BD上的點G處（不與B、D重合），折痕

為EF,若DG=2,BG=6則BE的長為.

解析如圖,由題意可得NFDG=NFGE=NGBE=60°,.\AFGD^AGEB,.,.DG=|e￡￡==DG=2,：.BE=蘭即BE的長為蘭.

CBGE8+6755

2.模型構造

在什么條件下考慮構造三垂直？

無論是全等還是相似，首先要存在直角三角形.

引例3（2022.東營）如圖力OAB是等腰直角三角形,直角頂點與坐標原點重合，若點B在反比例函數(shù)y=§（幻0）的圖像上，則經(jīng)

過點A的函數(shù)圖像表達式為—.

解析如圖，分別過A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、口貝必ACO^AODB,.1.AC=ODQC=BD,設點B的坐標為（m-則點A

的坐標為（-4m）經(jīng)過點A的函數(shù)圖像表達式為y=-i.

引例4如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=2x-l的圖像分別交x軸、y軸于點A、B.將直線AB繞點B順時針旋轉45。，交

x軸于點C,則直線BC的函數(shù)表達式是一

解析如圖，過點A作AD1AB交BC于點D,過點D作DE_Lx軸交x軸于點E,則AAOB以ADEA,由題意得A(知),B(0,-1),DE

=0A=^,AE=OB=1,...點D的坐標為..直線BC的函數(shù)表達式為y=[x-1.

引例5(2022.蘇州)如圖，點A的坐標為(0,2),點B是x軸正半軸上的一點,將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉60。得到線段AC.若點

C的坐標為(m,3),則m的值為()

D2VH〃5遮4721

D.------C.----Ln).------

4手33

法1如圖1,取AC的中點M,過點M作PQ_Lx軸交x軸于點Q,過點C作PQ的垂線，垂足為P，則△CPM^AMQB,葛

CM11556“5^3

—=-F,CP=-z：Kx-=——,m=2CP=——.

MBV3V3263

法2:如圖2,作射線AP,使得NOAP=60。,且AP=OA,連接CP,過點P作NM±y軸于點M,過點C作MN的垂線，垂足為N,則

△AOB△APC,AM=1,MP=75。-2,由4AMPs^PNC,得翳=器代入得表=*二PN=孚,.?.TH=MN=V5+言=竽.

觀察發(fā)現(xiàn)

當遇到等腰直角三角形或直角三角形時，可構造三垂直全等或相似，當圖形中存在特殊角時，可構造包含特殊角的直角三

角形，再構造三垂直模型.

3.模型應用

引例6(2023?新疆)【建立模型】(1)如圖1點B是線段CD上的一點,AC1_BC,AB_LBE,ED_LBD,垂足分別為C、B、D,AB=BE.求證:

△ACB^ABDE;

【類比遷移】⑵如圖2,一次函數(shù)y=3x+3的圖像與y軸交于點A、與x軸交于點B,將線段AB繞點B逆時針旋轉90。得到BC,

直線AC交x軸于點D.

①求點C的坐標；

②求直線AC的函數(shù)表達式；

【拓展延伸】(3)如圖3,拋物線y=公-3x-4與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C,已知點Q(0,-l),連接

BQ,拋物線上是否存在點M,使得tanzMBQ=，若存在，求出點M的橫坐標

A

E

CD

圖1圖2

解析(1)：AC_1BC,；.NACB=90「.'.NA+ZABC90°,.\ZA=ZDBE.

.,.△ABE^ABDE

⑵①如圖1,過點C作CH±BD交BD于點H,由⑴得△AOB名△BHC,由題意得點B的坐標為(-1,0),點A的坐標為(0,3),，BH=A

O=3,CH=BO=1,...點C的坐標為(-4,1).

一"+%=，解得八工直線AC的函數(shù)表達式為y=1x+3.

②設直線AC的函數(shù)表達式為y=kx+b,將(-4,1)、1

b=5,b=3,2

2

(3)令y=O.BPx-3x-4=0,解得xt=~l,x2=4".OB=4.

當點M在BQ下方時，如圖2,過點Q作PQ1BQ且PQ=犯Q,延長BP與拋物線的交點即為點M過點P作PH_Ly軸交y軸于

點H,則BOQ~QHP,.=器=卷=”PH=gQH=*0點P的坐標為-，可得直線PB的函數(shù)表達式為y=5（久-4）,聯(lián)立

方程W（%一4）=%2-3%-4,解得=-g,汽2=4（舍）,/.點M的橫坐標為一?;

當點M在BQ上方時，如圖3,同理可得點M的橫坐標為-11.

技巧總結

在構造等腰直角三角形時，優(yōu)先考慮以已知點作為直角頂點，便于計算.

4模型變式

引例7（婆羅摩笈多模型）如圖，分別以AB、AC為邊向△ABC外側作正方形ABDE、正方形ACFG過點A作AH±BC交BC于

點H,AH的反向延長線與EG交于點P.求證:P是EG的中點.

證明如圖過點E作EM±AP交AP的延長線于點M,過點G作GN±AP交AP于點N.VZABH+ZBAH=90°,ZEAM+ZBAH

=90°,AZABH=ZEAM.

在^BHA和^AME中，

(ABHA=/-AME

\AABH=/-EAM

(BA=AE

:?△BHA?△AME(AAS),，AH=EM.同理可證:△CHA^AANG,.*.AH=GN,JEM=GN.

EMJ_AM,GN_LAM,EM//GN,ZMEP=ZNGP.

在4PME和^PNG中,

(Z.PEM=乙PGN,

EM=GN,

IKPME=乙PNG,

：.APME^APNG(ASA),PE=PG,

.??P是EG的中點.

5.模型拓展

引例8(2022.阿壩)如圖,正方形ABCD的邊長為4,E是邊BC上的點，將EA繞點E順時針旋轉90。得EF,交CD于點G,連接CF.

⑴求證:“BAE=NCEF;

(2)求ZECF的度數(shù)；

⑶當CG的長最大時，直接寫出CF的長.

解析(1)在正方形ABCD中,NB=90。,ZBAE+ZAEB=90°.VZAEF=90。,二ZAEB+ZCEF=90°,ZBAE+ZAEB=ZAEB+

ZCEF,ZBAE=ZCEF.

(2)如圖，過點F作FH1BC交BC的延長線于點H.在△ABE和AEHF中,

ZABE=Z.EHF,

-ZBAE=ZHEF,AABE義△EHF

AE=EF,

(AAS),；.BE=HF,AB=EH.又AB=BC,；.BC=EH,；.BE=CH,.,.FH=CH，XZH=90°,.,.NFCH=45°,；.ZECF=135°.

(3)CF=2&..設BE=x，則EC=4-x.由題意得ABE。ECG,：.若=等代入得CG=三*.當x=2時,CG取到最大值，

Cu4-XCG4

此時.BE=2,CF=y[2FH=y/2BE=2遮.

◎引例9(2021.牡丹江)如圖1,四邊形ABCD是正方形,E是邊BC的中點,/AEF=90。,且EF交正方形外角的平分線CF于點F,過點

F作FG±BC于點G,連接AC.易證:AC=迎(EC+FG)..(提示取AB的中點M,連接EM)

⑴當E是邊BC上任意一點時,如圖2;當點E在BC延長線上時，如圖3.請直接寫出AC、EC、FG的數(shù)量關系,并對圖2進行證

明；

(2)已知正方形ABCD的面積是27,連接人日當^ABE中有一個內角為30。時,則AF的長為___.

解析⑴當E在邊BC上時,AC=V2(EC+FG);當點E在BC延長線上時,AC=史(FG-EC).

如圖在AB上取點M使得BM=BEQ!UBME是等腰直角三角形,，ZBME=NBEM=45。,：.ZAME=135°,.\ZAME=ZECF.

VBM=BE,AM=EC.VZBAE+ZAEB=90°,ZCEF+ZAEB=90°,AZBAE=NCEF,AAME之△ECF(ASA),AE=EF,ME=C

F,Z.BE=?ME=/CF=FG,：.EC+FG=EC+BE=BC.*AC=y/lBC,.■AC=V2(EC+FG)

(2)S=AB2=27,AB=3V3.

若NBAE=30。,貝?。軧E=^AB=3,AE=6,.-.AF=&E=6魚;

若NAEB=30。,則AE=2AB=6^3,AF=y/2AE=6限

綜上,AF的長為6注或(6V6.

歸納總結

以上兩個例題雖然圖形很相似，但解法完全不同，對你有什么啟發(fā)？注重歸納圖形中不同條件的用法，有助于快速篩選出正

確方法.

m真題演練

1.（2022.賀州）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB為等腰三角形QA=AB=5,點B到x軸的距離為4,若將△OAB繞點O逆時針旋轉9

0。得到△OAE,則點B，的坐標為

2.（2023?北京）如圖,點A、B、C在同一條直線上，點B在點A、C之間點D、E在直線AC同側,AB<BC,ZA=NC=90°,△EAB^A

BCD,連接DE.設AB=a,BC=b,DE=c，給出下面三個結論:①a+b<c;circle2a+b>Va2+b2;circle3y[2[a+b）>c.上述結論中，所

有正確結論的序號是（）

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

3.（2022.棗莊）如圖,正方形ABCD的邊長為5,點A的坐標為（4,0）,點B在y軸上,若反比例函數(shù)y=§（k手0）的圖像過點C,則k的值為

()

A.4B.-4

C.-3D.3

4.（2023?威海）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B在反比例函數(shù)y=3（x>0）的圖像上.點A的坐標為（m,2）.連接OA、OB、AB若OA

=AB,NOAB=90。,貝！Jk的值為

5.（2020.南京）將一次函數(shù)y=-2x+4的圖像繞原點O逆時針旋轉90°,所得到的圖像對應的函數(shù)表達式是—.

6.（2019?無錫）如圖.在4ABC中,AB=AC=5,BC=4V5,.D為邊AB上一動點（B點除外），以CD為一邊作正方形CDEF.連接BEJIJABDE

面積的最大值為一.

7.（2021.廣州）在平面直角坐標系xOy中.矩形OABC的點A在函數(shù)y=|（x>0）的圖像上，點C在函數(shù)y=-<0）的圖像上，若點

B的橫坐標為-多則點A的坐標為（）

MMB陪，吟

C.（2，|）D.樞嗡

8.（2021?樂山）如圖,已知點A（4,3）,B為直線y=-2上的一動點點C（0,n）,-2<n<3,ACJ_BC于點C,連接AB,若直線AB與x正半軸所夾的銳

角為a,那么當sina的值最大時，n的值為

9.（2023?麗水）如圖，在四邊形ABCD中,AD〃BC,NO45。以AB為腰作等腰直角4BAE,頂點E恰好落在CD邊上，若AD=1,則CE的

長是（）

A.V2B,C.2D.1

10.(2022?綿陽)如圖,四邊形ABCD中,ZADC=9()o,AC_LBC,NABC=45o,AC與BD交于點E,若AB=2V10,CD=2,則AABE的面積為.

11.(2020?宿遷)【感知】如圖1,在四邊形ABCD中,NC=ND=90。,點E在邊CD上,NAEB=90。,求證:熬=工

CDCD

【探究】如圖2,在四邊形ABCD中,NC=NADC=90。,點E在邊CD上.點F在邊AD的延長線上,NFEG=NAEB=90。,且葛=笫

連接BG交CD于點H.

求證:BH=GH;

【拓展】如圖3,點E在四邊形ABCD內,NAEB+NDEC=180。,且替=能過E作EF交AD于點F,若NEFA=NAEB延長FE交BC

于點G.求證:BG=CG.

圖1圖2

12.(2021.常州)在平面直角坐標系xOy中，對于A、A兩點，若在y軸上存在點T,使得/.ATA'=90。,且TA=TA\則稱A、A兩點互相關

聯(lián)，把其中一個點叫作另一個點的關聯(lián)點.已知點M(-2,0)、N(-l.0),點Q(m,n)在一次函數(shù)y=-2x+l的圖像上.

⑴①如圖在點B(2,0)、C(0,-l),D(-2,-2)中，點M