2024年九年級中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：圓相關(guān)的證明題

1.如圖，在:：，。中，是直徑，弦垂足為E,連接AC,AD.

⑵若NC=33。，OC=3,求AB的長度?

2.如圖，已知一43c內(nèi)接于。O,A8是。的直徑，/C43的平分線交BC于點

交〈O于點E,連接EB,作NBEF=NC4E,交AB的延長線于點尸.

(1)求證：E■尸是：。的切線；

(2)若BF=4,EF=8,求0。的半徑.

3.如圖，四邊形ABC。是。的內(nèi)接四邊形，且AC25。，垂足為E,AB=DB,F為

DC延長線上一點.

(1)求證：3c平分ZAb；

(2)若5E=3,DE=2,求AE和。的半徑長.

4.如圖，CD為、。的直徑，點A、E是：。上兩點，AC=AE，連接AC、AD.AE.

OE,點B是。C延長線上一點，連接A8,?CABTCDA.

(1)求證：A8與。相切于點A;

(2)若BC:3A=1:2,求tan/fi4c.

⑶在(2)的條件下，若O半徑為6,求弦DE的長度.

5.如圖，點A、B、C在。上，ZABC=60°,直線A￡)=/W,點。在80

上.

(1)判斷直線與。的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)若。的半徑為4,求弦8C的長.

6.43是：。的直徑，C是。上一點，OD1BC,垂足為O,過點A作。的切線,

與。。的延長線相交于點E.

(1)如圖1,求證=；

(2)如圖2,連接AO,若AD=5,BD=3,求0E的長.

7.如圖，已知A8是：。的直徑，直線OC是，。的切線，切點為C,AE1DC,垂足

為E,連接AC.

(1)求證：AC平分N84E；

3

⑵若AC=10,tanZACE=-,求。的半徑.

8.如圖，AB.CD為。的直徑，43LCD,點E為BC上一點，點F為EC延長線上

一點，ZFAC=ZAEF.連接。，交A8于點G.

D

(1)證明：質(zhì)為。的切線；

(2)證明：AF=AG-,

(3)若。的半徑為2,G為。8的中點，求AE的長.

9.如圖，AB是。的直徑，點C是go的中點，CEJ.AB于點E,BD交CE于點、F.

(1)求證：CF=BF；

(2)若BE=OE=3,求A。的長度.

10.如圖，在RtZ\A3C中，ZC=90°,以O(shè)B為半徑的，。與AB相交于點E,與AC相

切于點。

(1)求證：80平分/ABC；

3

(2)已知cosN48C=g,AB=6f求。的半徑兒

11.如圖，A8是。的直徑，AC,8是0的弦，且CD_LAB,垂足為E,連接8D,

過點8作<。的切線，交AC的延長線于點凡

(1)求證：ZABD=ZF;

(2)若點E是OB的中點，且OE=1,求線段8尸的長;

12.如圖，A8C的外接圓是以AB為直徑的O,過點A作。的切線，與BC的延長

線交于點￡>,在8。上截取EC=CD,連接4E并延長交〈。于點尸，連接CF.

(1)求證：CF=CA；

(2)若AC=2,tanB=g,求8E的長.

13.如圖，在Rt/XABC中，ZA=30。，ZABC=90°,延長BC到點。，使得OC=5C,

以點。為圓心，以0C為半徑作，。交AC的延長線于點。，連接班).

⑴求證：8。與相切；

(2)若A8=G，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留萬).

14.如圖，直線A3與:。相切于點B,40交二。于點C,AO的延長線交C。于點。,

ZA=30°,點E在BCD上,且不與B,￡＞重合.

(1)求N8ED的大??；

⑵若BE=DE，E。的延長線交直線AB于點F,求證：DF與,。相切.

15.如圖，A8是。的直徑，弦CDJLAS于點E,點尸在。上，弦心與CO交于點F,

且FP=FD.

(1)求證：PD//CB；

(2)若45=26,8=24,求8E的長度.

16.如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC,以邊4C為直徑的。與8c交于點￡>,

DFrAB,垂足為F,ED的延長線與AC的延長線交于點E.

(1)求證：E尸是：O的切線.

⑵若AC=13,BD=5,求。尸的長.

17.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O,AC是直徑，AB=BC,連接80,過點。的直

線與C4的延長線相交于點E,且/瓦M=NACD.

(1)求證：直線DE是G。的切線；

(2)求證：08平分/AE>C；

(3)若A￡>=6,8=8,求BO的長.

18.如圖，。是一ABC的外接圓，BC為O的直徑，點/為_ABC的內(nèi)心，連接4并

延長交。。于。點，連接80并延長至E,使得BD=DE,連接CE、BI.

⑴求證：DB=DI；

(2)求證：直線CE為。的切線；

4

(3)若tanZA￡>B=],BC=20,求4D的長.

19.如圖，。是RtAABC的外接圓，NACB=90。，點。在A8上，AC=AD,連接CD

并延長交：。于點E,點尸在A8的延長線上，且Z4尸E-NA8C.

(1)連接8￡\求證

(2)求證：EF是;。的切線；

(3)若4c=8,BC=6,則OE的長為_

20.如圖，AB是.O的直徑，E是A8上一點，C是：。外一點，連接AC交：。于點

連接8C8O,連接OE交A8于點〃，連接AE,KZ￡=ZC=60°.

⑴求證：△ABD^AACB；

(2)求證：BC是：O的切線;

(3)當(dāng)AE=DE,JBC=2G時，求AE的長.

參考答案:

【分析】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，求弧長，三角形內(nèi)角和定理：

(1)根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到NC4D=90。，則NC+NO=90。，由垂線的定義得到

ZAE?=90°,l?ijZBAD4-ZD=90°,由此即可證明NC=4AT>；

(2)如圖所示，連接04OB,由圓周角定理得到NAQD=2NC=66。，則由垂徑定理可得

ZBOD=ZAOD=66°f可得NAO3=132。，據(jù)此利用弧長公式求解即可.

【詳解】(1)證明：???co是直徑，

???ZG4T>=90°,

JZC+ZD=90°,

?:AB±CD,

：.ZAED=90°,

AZBAD4-ZD=90°,

???NC=NBAD；

(2)解：如圖所示，連接。4,OB,

VZC=33°,

???ZAOD=2ZC=66°,

〈CD是直徑，弦

??AD=BD?

:.ZBOD=ZAOD=66°,

，ZAOB=132°,

2.(1)見解析

(2)6

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，勾股定理：

(1)連接0E,根據(jù)AE平分NC4B,OA=OE,可得ZBEF=ZAEO,從而得到

/BEF+NOEB=90°,即可；

(2)設(shè)。的半徑為x,在RtZXOEF中，根據(jù)勾股定理建立方程，解方程即可求解.

【詳解】(1)解：連接OE,

「AB是，。的直徑，

ZAEB=90°,即ZAE0+N0EB=90°,

：AE平分/C4B,

:.NCAE=NEAB,

OA=OE,

：.NEAB=ZAEO,

NBEF=NCAE,

：.ZBEF=ZAEO,

；.NBEF+NOEB=90°,

：.OELEF,

：0E是。的半徑，

；.EF是。的切線；

(2)解：設(shè)。的半徑為x,則QE=OB=x,

在RtzXO所中，OE2+EF2=OF2,

：.X2+82=(X+4)2,

解得：x=6.

二。的半徑為6.

3.⑴見詳解

⑶5石

(2)r=-----

4

【分析】本題考查的是圓周角定理，垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直

角三角形是解題的關(guān)鍵.

(I)先根據(jù)=得出=再由圓周角定理得出NAD8=NAC8,由圓內(nèi)接

四邊形的性質(zhì)可得出々，戶=/54￡),故ZACB=ZBCF,據(jù)此得出結(jié)論；

(2)根據(jù)BE=3,￡仄=2可得出8。的長，故可得出的長，在RtzMBE中，利用勾股定

理求出AE的長，同理可得出的長，連接8。并延長交。于點M,交線段于點N,

連接?！?gt;,由垂徑定理得出J_AD,故點7是人。的中點，利用勾股定理求出8N的長,

設(shè)：。的半徑為，，在Rt_ODN中利用勾股定理求出r的值即可.

【詳解】(1)證明：?.?XB=Z)3,

,ZADB=ZBAD,

TZADB與ZACB是同弧所對的圓周角，

ZADB=ZACB,

V四邊形ABCO是圓內(nèi)接四邊形，

:.NBCF=NBAD,

：.ZACB=^BCF,

二8c平分ZACF；

(2)解：；BE=3,DE=2,

/.80=3+2=5,

AB=DB,

：.AB=5,

在RtAABE中，AE=>]AB2-BE2=4

在RtZ\ADE中，ADMJAE;DE?=2有，

連接80并延長交<。于點M,交線段AD于點N,連接。。，

V8M是。。的直徑,

BM平分圓，

、：AB=DB,

:'充B=DB，

,?AM=DB，

...點N是A。的中點，

BM1AD,DN=-AD=45,

2

在RtzXBDV中，BN=JBD。-DN°=2后，

設(shè)的半徑為r,則0O=r,ON=0B-r=2遙-r

在Rt_O￡W中，DN2+ON2=OD2,

B|J（x/5）2+（2V5-r）2=r2

解得r=%5.

4

4.（1）見解析

喈

【分析】（1）連接。4,證明即可.

CBAC

（2）根據(jù)？C4B2CDA,結(jié)合NCBA=NAB。，得到至。，得至結(jié)

ABAD

Ar

合3C:B4=1:2,tanZBAC=tanZCDA=—,計算即可.

AD

（3）過點。作OGJ_AC于點G,連接CE,交。4于點F,利用垂徑定理及其推論，勾股定

理，三角形中位線定理，三角形面積公式計算即可.

【詳解】（1）如圖，連接0A，

???CD為，。的直徑，

?OACTOAD?CAD90?,

'：OA^OD,

：.?OAD?CDA,

?：?CAB?CDA,

??.ZOAD=ZCAB,

：.?OAC?CAB90?,

:.AB±OAf

，AB與。相切于點A.

(2)V?C4B2CDA,ZCBA=ZABD,

,?C班sABD,

?CBAC

ABAD

BC:BA=\:2,

AD2

?,8為；。的直徑，

??？OAC?OAD2CAD90?,

sr\

\tanABAC=tanZCDA=——=一.

AD2

\ri

(3)—=-,CD為。的直徑，CD=2OD=\2,

AD2

AC2+AD2=122,

解得於竽，3竽,

過點。作OG_LAC于點G,

，CG=GA

<CD為。的直徑,

/.0G是...AC￡)的中位線，

?“-1s_12石

??0G=-AZ)=------?

25

連接CE,交04于點尸，

???co為。的直徑，

???NCED=90。,

'**AC=AE>

：.CF=FE,OF1.FE,

???"是ECD的中位線，

???OF=-DE,

2

VSc/Ac=2-AC?O2G=-OA.CF,

.12^51275…

??----x------=6CF,

55

24

解得cr=二，

：.0F=\l0C2-CF2=y,

DE=20F=—.

5

【點睛】本題考查了切線的判定定理，圓周角定理，垂徑定理及其推論，勾股定理，三角形

中位線定理，三角形面積公式，熟練掌握垂徑定理，勾股定理；中位線定理是解題的關(guān)鍵.

5.（1）直線4￡＞與圓0相切，見解析

Q)4石

【分析】本題考查圓的切線的判定定理，圓周角定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是掌握切線的判定方法.

（1）由切線的判定定理，可證明；

（2連接0C,作CW18C于“，由等腰三角形的性質(zhì)得到NOCB=NO8C=30。，由含30

度直角三角形的性質(zhì)求出。”，根據(jù)勾股定理即可求出BC.

【詳解】（1）直線AO與圓。相切.

理由如下：連接OA,

ADBC,

?./D=4DBC,

AD=AB,

：.ZD=ZABD,

ZDBC=NABD=-ZABC=30°,

2

ZBAD=\20°f

OA-OB,

.\ZBAO=ZABD=30°,

ZOAD=90°,

:.OA1AD,

.Q4是圓的半徑，

直線A。與圓。相切；

(2)連接OC,作O418c于”,

OB=OC,

\?OCB?OBC30?,

OH=-OB=2,

2

在Rt_BO〃中，BH=V42-22=2V3.

:.BC=2BH=4,/j.

6.(1)見解析；

【分析】本題考查的是切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，掌握圓的切線垂

直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到04,根據(jù)對頂角相等得到NOO8=NAOE,根據(jù)三角形內(nèi)

角和定理證明即可；

(2)連接AC,根據(jù)圓周角定理得到NC=90。，根據(jù)勾股定理分別求出AC、AB,證明

ODBS_OAE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可.

【詳解】(1)證明：???A石是1。的切線，

：.OAYAEf

，ZOAE=90°f

?:OD±BC,

：./ODB=900,

:.ZODB=ZOAE,

?:ZDOB=ZAOE,

:?ZB=/E；

(2)解：如圖2,連接AC,

?:OD±BC,

：.DC=BD=3,

??.AB是。的直徑，

工ZC=90°,

：?AC7AD?-DC?=152-32=4'

；?AB=y/BC2+AC2=5/62+42=2V13?

?；BD=DC,BO=OA,

：.0D=-AC=2

2f

VZB=ZE,ZDOB=ZAOE,

：?ODBSOAE,

.ODOBHn2V13

OAOEV13OE

13

解得：OE弋.

H

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，熟練掌握相關(guān)知識是解

答本題的關(guān)鍵.

(1)連接0C,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OCLOC,從而可得*//AE,再根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，即可證得答案；

3

(2)連接BC,先證明NA3C=ZACE,則tanNABC=tanZACE=二，根據(jù)三角函數(shù)的定

4

義，可求得的長，最后根據(jù)勾股定理可求得A8的長，從而得到答案.

【詳解】(1)連接0C,

直線QC是。的切線，切點為C,

:.OCLDC,

又AE1DC,

/.OC//AE,

.\ZEAC=ZACO,

OC=OAf

??.ZACO=ZOAC,

/.ZEAC=ZOAC,

???AC平分上BAE；

B

(2)連接3C,

/W是：。的直徑，

??.ZACS=90。，

/.ZC4B+ZABC=90°

又AEA.DC,

:.ZEAC+ZACE=90°

由⑴得NE4C=NQ4C,

??.ZABC=ZACE,

3

在Rt/XABC中，tanZABC=tanZACE=-f

4

.-JI。_3

~BC~~BC~4

BC=—,

3

在RtaABC中，AB=>jAC2+BC2=—,

3

(2)見解析

(3)1\/io

【分析】(1)根據(jù)切線的判定，證明NOAF=NOAC+/E4c=90。即可.

(2)根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，證明ADG絲ACF(ASA)即可.

(3)連接BE,AD,證明運用勾股定理計算即可.

【詳解】(1)證明：；AB_LCO,

ZAOC=90°,

???ZAEF=-ZAOC=45°,

2

■:ZFAC=ZAEF,

：.ZE4C=45°,

*：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=45°f

:.ZOAF=ZOAC+ZMC=90°,

???。4是，。的半徑，

；?AF為。的切線.

(2)證明：???四邊形AOEC是圓內(nèi)接四邊形,

AZAZX7+ZACE=180°,

,/ZACE+ZACF=180°f

/.ZACF=ZADGf

VABLCD,

???ZAOZ>ZAOC=ZBOD=9()0,

/.AD=ACZDAB=-/BOD=45°,

f2

:.ZFAC=ZDAB=45°9

；?_ADG-ACF(ASA),

：.AF=AG.

(3)解：連接BEAD,

???G為。8的中點，03=2,

:.OG=GB=-OB=\,

2

OA=OD=2,ZAOZ>90°,

??AD=>/2OA=2>/2，

*/ZBOD=90°，

,/ZDAB=ZDEB,ZAGD=ZBGE,

:.AADGS/\EBG，

,ADPG

9'~EB~~BG'

.2夜75

??-----——f

EB1

.g2M

5

〈AB為O的直徑，,

NA石。=90。，

，AE={AB,2-EB?=,

6x/10

，AE的長為

5

【點睛】本題考查了切線的證明，圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定

和性質(zhì)，三角形相似判定和性質(zhì),勾股定理，熟練掌握圓的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

9.(1)見解析

(2)271

【分析】(1)由A8是。的直徑，則NAC3=90。，而CE/AB,所以NBAC=/BCE；由點

C是8。的中點，得到/DBC=/R4C,于是NBCE=NDBC,即可得到CF=8F；

⑵連接O。，OC,BE=0E=3,可得圓的半徑為6,在直角三角形EOC中，由

cosNCOE=^=],可得NCOE=60。，進而推出N4O。等于60。，再用弧長公式求解即可.

本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定，解直角三角形，弧長的計算，難度適中.注意

掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

【詳解】（1）證明：A8是。的直徑,

:.ZACB=90°f

又CELAB,

ABCE+ZECA=ABAC+ZECA=90,

:.ZBCE=ZBAC,

點C是3D的中點,

:.ZDBC=ZBAC,

；.ZDBC=NCDB,

:.ZBCE=NDBC,

：.CF=BF

(2)解:連接OO,OC,

BE=OE=3,

:.OB=BE+OE=3+3=6,

OB=OC,

OE31

cosZCOh==—=一,

OC62

NCOE=60。，

點C是8。的中點，

/.ZDOC=ZCOE=60,

/.ZAOD=180-Z.DOC-ZCOE=60,

g4g60°^x6c

AD的長度=go=21.

loU

10.（1）詳見解析

9

(2)：

【分析】（1）連接。。，根據(jù)切線的性質(zhì)得到QDLAC,進而得到OD〃3C,根據(jù)平行線

的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；

（2）根據(jù)余弦的定義求出8C,根據(jù)列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計算即

可.

【詳解】（1）證明：連接。。，如圖所示：

*/ZC=90°,

:.OD//BCf

：./ODB=/CBD,

?：OB=OD,

:.ZODB=/OBD,

：.ZOBD=ZCBD,即平分/ABC；

(2)解：在RtZkABC中，ZC=90°,

3

VcosZ71BC=-,AB=6,

.BCBC=3

1Q

解得：BC=y,

YOD//BC,

：.4AODS4ABC,

嚶=余即付等

5

9

解得：r

【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定

和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵.

11.(1)見解析

⑵迪

3

【分析】本題考查了圓周角定理，切線性質(zhì)定理，勾股定理，正切函數(shù)計算；

(1)根據(jù)切線性質(zhì)，垂直的定義，圓周角定理，余角的性質(zhì)，證明即可.

(2)根據(jù)點E是。8的中點，且QE=1,得至IJQB=OC=2OE=2,利用勾股定理，得到

________RPCF

CE=\/0C2-OE2=75,結(jié)合3A=言=,計算即可.

ABAE

【詳解】(1)???48是)。的直徑，過點B作。的切線，交AC的延長線于點F,

：.ZABF=90°f

：.ZF=90°-ZA；

9：CDLAB,

???ZAEC=ADEB=90。,

：.ZABD=90°-AD；

9：ZA=ZD,

：.ZABD=ZF.

(2)如圖，連接OC,

???點E是OB的中點，且OE=1,

:.OA=OB=OC=2OE=2,

CE=4OC2-OE2=G，

??，.BFCE

?tanA==,

ABAE

.BF百

??—=-，

42+1

解得3/=型.

3

12.(1)見解析；

(2)8E的長為3.

【分析】(1)由48是。。的直徑，ZACB=90°,則AC垂直平分OE,所以AE=">,由

等腰三角形的“三線合一''得NaF=NGW,由切線的性質(zhì)證明N54D=90。，貝lj

ZB=ZCAD=900-ZBAC,所以ZB=NC4F=NF,則CR=C4;

(2)由烏=tanZC4￡>=tan8=空=!，且AC=2,求得CQ=，AC=1,BC=2AC=4,則

ACBC22

EC=CD=T,所以BE=BC-EC=3.

【詳解】(1)證明：AB是。的直徑，

.28=90。，

EC=CD,

.AC垂直平分￡>E,

7.AE=AD,

:,ZCAF=ZCAD,

AO與。相切于點A,

ADLOA,

.\ZBAD=90°,

/.NB=Z.CAD=90°-ABAC,

/.ZB=ZC4F,

ZB=ZF,

??.ZC4F=ZF,

:.CF=CA；

(2)解：ZACD=ZACB=90°,NB=NCAD,AC=2f

=tanZ.CAD=tanB=,

ACBC2

:.CD=-AC=\,3c=2AC=4,

2

:.EC=CD=\,

:.BE=BC-EC=4-l=3,

.?.BE的長是3.

【點睛】此題重點考查直徑所對的圓周角等于90。、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形

的“三線合一”、切線的性質(zhì)、圓周角定理、”等角對等邊“、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等

知識，證明AC垂直平分DE,并且推導(dǎo)出ZB=NC4F是解題的關(guān)鍵.

13.(1)見解析

⑵立」

23

【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，切線的判定，等腰三角形的

判定等知識.證切線連半徑是必作的輔助線.

(1)連接。。，易得08是等邊三角形，則得0C=Cr>=3C,/ODC=60。，則得

ZCDB=30°,從而/。￡)3=90。，結(jié)論即得證；

(2)由題意得==由三角函數(shù)可求得。。，由陰影部分的面積=扇形

即可求解.

【詳解】(1)證明：連接?！?,如圖，

?.Z=30。，ZABC=90。，

二ZOCD=ZACB=90°-ZA=60°；

,:OC=OD,

二08是等邊三角形，

：.OC=CD=BC,ZODC=60°,

：.NCBD=NCDB,

7.ZCDB=-ZOCD=30°,

2

，Z.ODB=ZODC+ZCDB=90。，

:。。是：，。的半徑，

與，。相切；

A

(2)解：VZ4=ZCDB=30°,

/.BD=AB=g；

RD/a

在RtZXOHO中，OD=------=阜=1,

tan60°>J3

???陰影部分的面積=SBOD-S扇形oco

.lxV3xl-^l

2180

\[371

=---------.

23

14.(l)ZBED=60°

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)，得出/ABO=90。，進而求出和/BOD,再根據(jù)圓

周角定理得出答案；

(2)根據(jù)條件可知NEOBuNEOD,從而NBOF=ZDOF,易證二05廠名一。。尸，得到

/ODF=NOBF,即證出OD_LOF,從而。尸與。相切.

【詳解】(1)解：連接。B,

加切。于點B,

：.OBlABf

ZOBA=90°f

在RtOAB中，ZA=30°,

ZAOB=90°-ZA=60°f

/./BOD=180°-ZAOB=120°,

BD=BD，

NBED=-NBOD=60°：

2

(2)證明：在。中，OB=OD,

BE=DE，

:.ZEOB=ZEOD,

ZEOB+NBOF=ZEOD+ZDOF=180°,

/.NBOF=ZDOF,

OF=OF,

:._OBF區(qū)ODF(SAS),

NODF=NOBF,NOBF=180°—NOBA=90°,

ZODF=90°,

:.OD1DF,

點。在：。上，

:.DF與。相切.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)和判定，圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，全等三角形

的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等，掌握并靈活運用相關(guān)知識是解答此題的關(guān)鍵.

15.(1)見解析

(2)8

【分析】(1)根據(jù)等邊對等角得NP=NF￡>P，由同弧所對圓周角相等得/P=NC,利用內(nèi)錯

角相等兩直線平行即可判定；

⑵連接OC,根據(jù)垂徑定理可得OC=。B=gAB和CE=gc。，利用勾股定理可求得0￡,

即可求得8E.

【詳解】⑴證明：：FP=FD,

：,ZP=ZFDP,

NP=NC,

：.2C=4FDP,

：.PDBC.

(2)連接OC,如圖,

：A3是直徑，ABVCD,

E為CQ的中點,

V/IB=26,C￡>=24,

AOC=OB^-AB^\3,CE=-CD=\2,

22

?*-OE=yl0C2-CE2=V132-122=5，

則3E=Q8—OE=13—5=8.

【點睛】本題主要考查等邊對等角、同弧所對圓周角相等、平行線的判定、垂徑定理和勾股

定理，解題的關(guān)鍵是熟練使用垂徑定理等圓的相關(guān)知識.

16.(1)見解析

⑵T

【分析】⑴連接。。，AO,由圓周角定理可知A01,由等腰三角形的性質(zhì)可知BD=CD,

由AO=OC,可知。。是J1SC的中位線，可得OD〃A3,進而可知OE八OD,由。。為；O

半徑，即可證明是：，。的切線；

(2)利用勾股定理可得4)=12,利用面積法可得。尸=得.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。。，AD,

BD

：AC是直徑，

，AD1BC,

又?.?在“ABC中，AB=AC,

：.BD=CD,即。是8c的中點，

VAO^OC,即。是AC的中點，

，是一A3C的中位線，

OD//AB,

又：DEJ.AB,

，DEA0D,

?：0D為O半徑，

；.DE是。的切線；

(2)解：VAC=13,BD=5,AB=AC,

AC=AB=13,AD=\J\32—52=12，

-：-ADxBD=-ABxDF,

22

?nr60

13

【點睛】本題主要考查了圓的切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股

定理，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵.

17.(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)7夜

【分析】(1)連接。。，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出ZOCD=ZODC,根據(jù)AC是。的直徑.得

出NADC=90。，根據(jù)N￡/M=NACD,得出乙4。。+/￡?4=90。，說明NE￡)O=90。，得出

ODJ.DE,即可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)AB=BC,得出A8=BC，說明NAQ8=/CO8,即可證明結(jié)論;

(3)過點8作34，班)交。C延長線于點H,證明，A3?？誄BH(ASA),得出")=C",

BD=HH，求出￡>〃=CD+CH=14,根據(jù)勾股定理得出BD2=DH2-BH2，求出2BD。=196，

即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：連接0。，如圖.

OC=OD,

：.AOCD=ZODC,

：AC是。的直徑.

ZADC=90°,即ZADO+ZODC=90°,

NEDA=ZACD,

：.ZADO+AEDA=90°,即ZE￡X9=90°,

：.OD1DE,

又：。。是半徑，

二直線DE是。的切線.

(2)VAB=BC,

,AB=8C，

?.ZADB=NCDB,

：.08平分N4X7.

(3)如圖，過點B作3"，80交。C延長線于點H,

、、I

???NDBH=9伊.

〈AC是，。的直徑,

???ZABC=90°,

ZABD=90°-NDBC,NCBH=900-ZDBC.

：.ZABD=NCBH,

???四邊形ABC。內(nèi)接于O,

：.ZBAD+ZBCD=]80°,

'：ABCD+ABCH=\^°,

：.NBAD=NBCH,

'：AB=CB,

二.ABg.CBH(ASA),

AAD=CH,BD=BH,

VAD=6,CD=8,

：.CH=6,

：.DH=CD+CH=14,

在RtZ\8￡>”中，BD?=DH'-BH2，BD=BH,

二2BD2=196,

:.BD=1C.

【點睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理,

等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，熟練掌握基本的判定和性質(zhì).

18.(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)14夜

【分析】(1)先證明再證明=即可證明/)3=￡>/；

(2)欲證明直線CE為。的切線，只要證明BCLCE即可；

4

(3)要根據(jù)tanNAO8=],8C=20,求AO的長，只要求得8。的長即可，

【詳解】(1)點/為，ABC的內(nèi)心

:.ZABI=ZCBI,ZBAD=^CAD

又/CBD=4CAD

：.4BAD=4CBD

ABID=ABAD+ZAB1

/DBI=/CBD+/CBI=ZCAD+ZABI=ZBAD+/ABI

:.ZBID=ZDB1；

:.DB=DI；

(2)連接CO,如圖所示.

D

由(1)得：ABAD=ACAD

則8。=CD

BD=DE

:.BD=DE=CD

?；BC為。的直徑，

JZBDC=ZCDE=90°

：.ZBCD=ZECD=45°

:"BCE=90。,GRBC±C￡

又5c為。的直徑

「?直線C￡為(。的切線；

(3)BC為、。的直徑

.?..43C為直角三角形

4

/.tanZ.ACB=tanZADB=—

不妨設(shè)A8=4x,AC=3x

則有(4x)2+(3x)2=2()2,

解得：x=4

.?.AB=16,AC=12

工BC=7162+122=20

過點/作〃AC交AC于點H,連接C/,如圖所示.

?點/為_A3C的內(nèi)心，

二點/至hMC三邊的距離相等，

?：-ABAC=-ABIH+-ACIH+-BC1H,

2222

/.16xl2=16/H+12///+20///,

/.IH=4

由(2)得：BD=DE=CD,ZBCE=90°

:./HAI=NCBD=45。