第五章特殊的平行四邊形（重難）一、單選題1．如圖，在直線l上有正方形a，b，c，若a，c的面積分別為4和16，則b的面積為（

）A．24 B．20 C．12 D．222．如圖，矩形中，，，點(diǎn)為直線的一點(diǎn)，連，平移至，連接、，則四邊形的面積是（）A． B． C． D．3．將3個(gè)相同的矩形按如圖所示擺放在菱形ABCD中，若每個(gè)矩形的周長為4，則菱形ABCD的面積為（

）A． B． C．4 D．4．歐幾里得在《幾何原本》中，記載了用圖解法解方程的方法，類似地我們可以用折紙的方法求方程的一個(gè)正根．如圖，一張邊長為1的正方形的紙片ABCD，先折出AD、BC的中點(diǎn)G、H，再折出線段AN，然后通過沿線段AN折疊使AD落在線段AH上，得到點(diǎn)D的新位置P，并連接NP、NH，此時(shí)，在下列四個(gè)選項(xiàng)中，有一條線段的長度恰好是方程的一個(gè)正根，則這條線段是（）A．線段BH B．線段DN C．線段CN D．線段NH5．如圖是一個(gè)由5張紙片拼成的菱形ABCD，相鄰紙片之間互不重疊也無空隙，其中周圍四張小平行四邊形紙片都全等，中間一張紙片的面積為．連結(jié)BE，BG，DE，DG，四邊形BEDG的面積為，若，則周圍小平行四邊形的寬與長的比值為（

）A． B． C． D．6．如圖，已知矩形中，E、F分別是的中點(diǎn)，連接，，P是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．3.57．已知是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，作，，相交于點(diǎn)，連接．下列說法正確的是(

)①四邊形為菱形；②；③；④若，則A．①③ B．①②④ C．①④ D．③④8．如圖，矩形ABCD中，，，若在AC，AB上各取一點(diǎn)M，N，使的值最小，求這個(gè)最小值（

）A． B． C． D．9．如圖，分別以的邊，為一邊向外作正方形和正方形，連結(jié)，，．若，，則的值為（

）．A．291 B．219 C．340 D．17010．如圖，將矩形紙的四個(gè)角向內(nèi)折起，恰好拼成一個(gè)無縫隙、無重疊的四邊形，若，則矩形紙的周長是（

）A．17 B． C． D．2011．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，邊長為5的大正方形是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，連結(jié)并延長交于點(diǎn)M．若，則的長為（）A． B． C．1 D．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形，，，，…按如圖所示的方式放置，其中點(diǎn)在軸上，點(diǎn)，，，，，，…在軸上，已知正方形的邊長為2，，…．則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．13．如圖，直線l交正方形的對(duì)邊、于點(diǎn)P、Q，正方形和正方形關(guān)于直線l成軸對(duì)稱，點(diǎn)H在邊上，點(diǎn)A在邊上，、交于點(diǎn)M，、交于點(diǎn)N．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．的周長等于線段CH的長C．的周長等于線段CM的長 D．的周長等于二、填空題14．已知，，點(diǎn)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，D是同一平面內(nèi)一點(diǎn)，若以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為________．15．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，，OE與AB交于點(diǎn)F．若OE＝5，AC＝8，則菱形ABCD的高為______．16．如圖，在正方形中，是上的點(diǎn)，，連接，作交于，則_________．17．定義平行四邊形兩邊上的高線長之比叫做“高之比”，（1）若平行四邊形為菱形，則“高之比為”_________；（2）當(dāng)“高之比”為4，平行四邊形周長為20，則該平行四邊形較長的邊長為_________．18．小明同學(xué)學(xué)習(xí)了菱形的知識(shí)后，結(jié)合之前學(xué)習(xí)的趙爽弦圖，編了一個(gè)菱形版“趙爽弦圖”．如圖，菱形ABCD中，∠ABC=60°，四邊形EFGH是矩形，若FA=FB=2，則矩形EFGH的面積為______．19．如圖，在矩形ABCD中，，射線AE與BC邊交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是射線AE上的一點(diǎn)，點(diǎn)G在邊AB上，以FG為邊向上作菱形FGMN，若，當(dāng)點(diǎn)G從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑長是_______．三、解答題20．如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿邊，向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，連接．(1)如圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在邊上，且時(shí)，求的度數(shù)．(2)當(dāng)在延長線上時(shí)，求的長，并判斷直線與直線的位置關(guān)系，說明理由．21．如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF⊥BD，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接EB，DF．(1)求證：四邊形EBFD為菱形；(2)若，，求∠ABE的度數(shù)．22．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為邊AB、BC的中點(diǎn)，連接AF、DE交于點(diǎn)G，連結(jié)BG．(1)試判斷AF與DE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明．(2)求證：BG平分∠EGF．23．如圖，在四邊形中，，，的平分線交于點(diǎn)，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長．24．正方形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使，連接、．(1)求證：．(2)求證：為直角三角形．(3)若，正方形的邊長為，求的長．25．若一個(gè)四邊形有一組鄰邊相等，且這組鄰邊夾角所對(duì)的對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角，則稱這樣的四邊形為“近似菱形”，例如：如圖，在四邊形中，，平分，則四邊形是近似菱形．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出一個(gè)以為對(duì)角線的“近似菱形”，頂點(diǎn)、頂點(diǎn)要在網(wǎng)格格點(diǎn)上．(2)如圖，在四邊形中，，，，求證：四邊形是“近似菱形”．(3)在（2）的條件下，若，，求的長．26．如圖，將邊長為4cm的正方形沿其對(duì)角線剪開，再把沿著方向平移得到，與AB，AC分別交于點(diǎn)G，H（點(diǎn)G不與點(diǎn)B重合）．(1)求證：四邊形AG是平行四邊形；(2)若四邊形AG是菱形，求的長．27．已知：如圖，在菱形中，為對(duì)角線，是上的點(diǎn)，分別連結(jié)，并延長交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，，求的長．28．定義：對(duì)于一個(gè)四邊形，我們把依次連接它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”．如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中方四邊形”．概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是_____________．A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形ABCD的兩條結(jié)論；問題解決：如圖2，以銳角△ABC的兩邊AB，AC為邊長，分別向外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連接BE，EG，GC．求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”；拓展應(yīng)用：如圖3，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，（1）試探索AC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．29．在菱形中，，，連接交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，連接．(1)求線段的長；(2)求證：四邊形是平行四邊形，并求四邊形的面積．30．如圖，在菱形中，為對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．31．在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且BM＝CN．(1)如圖1，連接AM和AN交于點(diǎn)P，求證：AM⊥BN．(2)如圖2，連接AM和AN交于點(diǎn)P，連接DP，若點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，求DP的長．(3)如圖3，連接BN，DM，則BN+DM的最小值為．32．如圖，在中，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，且．(1)求證：是菱形；(2)若，，求AB的長．33．某農(nóng)家購買了一卷由邊長為5cm的小菱形構(gòu)成的網(wǎng)格防護(hù)網(wǎng)（如圖1）用于“未來鄉(xiāng)村”建設(shè)．(1)該農(nóng)家計(jì)劃利用已有的一堵長為8米的墻，用該種防護(hù)網(wǎng)圍成一個(gè)面積為的矩形園子ABCD（如圖2）．若防護(hù)網(wǎng)用去24米，求矩形一邊AB的長度．(2)如圖3，邊長為5cm的小菱形EFGH中，，防護(hù)網(wǎng)高度為1.2m．問：24米防護(hù)網(wǎng)中最多有幾個(gè)這樣的小菱形？（注：防護(hù)網(wǎng)在轉(zhuǎn)角處不被裁斷）34．如圖，矩形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，過點(diǎn)作的平行線，這兩條平行線交于點(diǎn)．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的面積．35．如圖，在中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC⊥BC，延長BC至點(diǎn)E，使，連結(jié)DE．(1)求證：四邊形ACED是矩形．(2)若，，求BD的長．36．如圖，在菱形ABCD中，，，點(diǎn)E是AD邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F是對(duì)角線，BD上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EF．(1)若EF⊥BD，求DF的長．(2)作點(diǎn)D關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)P，直線PE與對(duì)角線BD交于點(diǎn)Q．①若點(diǎn)F為BD中點(diǎn)，求PQ的長．②在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過程中，△DEQ的面積可能為嗎？若可能，求出此時(shí)DF的長，若不可能，請(qǐng)說明理由．37．如圖，正方形ABCD，邊長為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，連結(jié)CE，AF，過點(diǎn)D作DG⊥AF，垂足為G，延長DG交CE于點(diǎn)H．(1)求DG的長．(2)求GH的長．(3)求EH的長．38．【問題初現(xiàn)】（1）如圖1，矩形OABC頂點(diǎn)O坐落在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)上，C點(diǎn)的坐標(biāo)為，，D是BC邊上的點(diǎn)，且D的坐標(biāo)是，求線段BD的長．【問題延伸】（2）在（1）的情況下，F(xiàn)為AB邊上的一點(diǎn)，將沿直線DF折疊，若B點(diǎn)剛好落在x軸上的E點(diǎn)處，求E點(diǎn)的坐標(biāo)．【問題拓展】（3）如圖2，將上述情況變更為任意矩形，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為、D點(diǎn)坐標(biāo)為，在折疊過程中，折痕所在直線DF與y軸交于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，試判斷線段OE與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．39．點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，在同側(cè)有，兩點(diǎn)，連結(jié)，，，，以，為邊作，分別延長與相交于點(diǎn)，連結(jié)．(1)求證：四邊形是平行四邊形(2)已知，①若四邊形是菱形，求菱形的周長②當(dāng)時(shí)，則五邊形的面積為______．（直接寫出答案）40．定義：我們把一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等且不平行的四邊形叫做等腰梯形．(1)【性質(zhì)初探】如圖1，已知，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連結(jié)，四邊形恰為等腰梯形．求的度數(shù)；(2)【性質(zhì)再探】如圖2，已知四邊形是矩形，以為一邊作等腰梯形，，連結(jié)、．求證：；(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，的對(duì)角線、交于點(diǎn)，，，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，連結(jié)．若，求的長．41．如圖1，在四邊形中，，對(duì)角線、交于點(diǎn)O，平分．(1)求證：四邊形是菱形；(2)如圖2，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，將四邊形沿著翻折得到四邊形，若點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，且，求菱形的周長．42．課本上正方形的第2課時(shí)中，有如下一道作業(yè)題：如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，，求證：在同學(xué)們完成作業(yè)題后，王老師對(duì)該題進(jìn)行了改編：(1)如圖1，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，、．求證：四邊形ABCD是正方形．(2)如圖2，在菱形ABCD（為鈍角）中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)①探究和的關(guān)系，并說明理由；②若，求CE的長．答案1．B．2．B．3．A．4．B．5．B．6．C．7．C．8．D．9．C．10．C．11．D．12．C．13．C．14．或．15．4.8．16．．17．（1）1：1（2）818．8-12．19．3．20．(1)(2)21．(1)四邊形EBFD為菱形；(2)15°22．(1)，(2)BG平分∠EGF23．(1)四邊形是菱形(2)224．(1)(2)為直角三角形(3)25．(1)(2)四邊形是“近似菱形”(3)26．(1)四邊形AG是平行四邊形(2)cm27．(1)(2)28．概念理解：D；性質(zhì)探究：①，②；問題解決：菱形MNRL是正方形，即原四邊形BCGE是“中方四邊形”；拓展應(yīng)用：（1）；（2）29．(1)1，(2)30．(1)