4.7二重積分及其簡單應(yīng)用

4.7.1二重積分的概念

4.7.2二重積分的性質(zhì)

4.7.3二重積分的計算

4.7.4二重積分的幾何應(yīng)用1．曲頂柱體的體積4.7.1二重積分的概念

函數(shù).曲線的直線圍成的立體稱為曲頂柱體.求曲頂柱體的體積的步驟：①分割:設(shè)是定義在有界閉區(qū)域上非負且連續(xù)且沿著底面區(qū)域的邊界以平行于軸,域為底,我們稱以曲面為頂,面上的區(qū)將區(qū)域任意分割成個小區(qū)域：第塊小區(qū)域的面積為②求近似代替:任取一點③求和:④取極限:2.二重積分的概念在每個小區(qū)域上任取一點作乘積并作和令的直徑,則設(shè)是定義在有界閉區(qū)域上的有界函數(shù).將任意分成個小區(qū)域其中表示第塊小區(qū)域的面積.當時,和式的極限存在,且其值與的分法和點的選法無關(guān),記作即在D上的二重積分.其中“

”稱為二重積分符號,D稱為積分區(qū)域,d

稱為面積元素,

積分變量.稱為積分和.和式并稱此極限值為稱為被積函數(shù),稱為根據(jù)上述定義，曲頂柱體的體積可表示為【說明】(1)定義中對區(qū)域D的劃分是任意的.上可積.(3)在直角坐標系中,一般用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，(2)若在閉區(qū)域D上連續(xù),則函數(shù)在該區(qū)域則面積元素為故二重積分可表示為3.二重積分的幾何意義①當被積函數(shù)大于零時,二重積分是柱體的體積．②當被積函數(shù)小于零時,的體積的負值．二重積分是柱體③當被積函數(shù)有正有負時,二重積分的值就等于各個部分區(qū)域上曲頂柱體體積的代數(shù)和.4.7.2二重積分的性質(zhì)性質(zhì)2被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號外面,即性質(zhì)1有限個函數(shù)代數(shù)和的二重積分等于各個函數(shù)二重積分的代數(shù)和,即為常數(shù)）性質(zhì)3即上二重積分的和.性質(zhì)4則若積分區(qū)域被一曲線分成兩個部分區(qū)域和則在上的二重積分等于在

和若在區(qū)域上,的面積為

且性質(zhì)5設(shè)分別是函數(shù)在區(qū)域上的最大值和最小值，為的面積，則性質(zhì)6（估值定理）則若在區(qū)域上,恒有性質(zhì)7（二重積分的中值定理）如果函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，為的面積，則在內(nèi)至少存在一點，使得4.7.3二重積分的計算1．直角坐標系下二重積分的計算已知函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù),設(shè)積分區(qū)域由兩條平行直線和兩條連續(xù)曲線所圍成.如右下圖所示.即積分區(qū)域可表示為此區(qū)域稱為型區(qū)域.為了計算曲頂柱體的體積,在上任取一點過該點作垂直于軸的平面截曲頂柱體得到一個以為底,以曲線為曲邊的曲邊梯形(如右下圖).其面積為從而得到曲頂柱體的體積為可簡記為上式右端的積分叫做先對后對的二次積分(或累次積分).這樣二重積分的計算就轉(zhuǎn)化為兩次定積分的計算,即先把看作常量,對到從積分,然后對積分.從到類似地,若積分區(qū)域是由兩條平行直線兩條曲線所圍成.用不等式表示為這樣的區(qū)域為型區(qū)域.這樣的積分叫作先對后對的二次積分.若積分區(qū)域為矩形區(qū)域,可用不等式表示為則二重積分可化為先對后對的二次積分,即也可化為先對后對的二次積分,或【注意】二重積分化為二次積分時,確定積分限是關(guān)鍵.為此，應(yīng)先畫出區(qū)域以準確確定積分限.例7.1計算二重積分其中積分區(qū)域是由直線圍成的矩形.解畫出區(qū)域(如圖)因為是一個矩形,它既是型區(qū)域,又是型區(qū)域,因此既可以先對也可以先對積分.積分,例7.2計算二重積分其中區(qū)域是由所圍成的第一象限圖形.解畫出積分區(qū)域(如右圖).積分區(qū)域既是型區(qū)域,又是型區(qū)域,將看作型區(qū)域,則可表示為因此例7.3計算二重積分其中積分區(qū)域是由直線所圍成的圖形.解畫出區(qū)域如右圖.將看作型區(qū)域,則可表示為因此【說明】此題如果將看作型區(qū)域也可以計算,但是要比上述的計算麻煩的多，所以恰當?shù)剡x擇積分次序是化二重積分為二次積分的關(guān)鍵步驟.例7.4計算二重積分其中是由直線所圍成的圖形.解畫出區(qū)域如右圖.將看作型區(qū)域,則可表示為因此【說明】本題如果先對積分,后對積分，則不能計算出結(jié)果.因為沒有初等函數(shù).2.極坐標系下二重積分的計算當積分區(qū)域是圓域、圓域的一部分、環(huán)域等時,在直角坐標中計算往往是很困難的,而在極坐標系中計算則比較簡單.首先,分割積分區(qū)域在極坐標系中,先取等于一系列常數(shù)得到一族中心在極點的同心圓,再取等于一系列常數(shù)得到一族過極點的射線.這兩組線將區(qū)域分成許多小區(qū)域.很小時,小區(qū)域面積近似等于以為邊的矩形面積,所以在和再分別用代換被積函數(shù)中的這樣二重積分在極坐標系下的表達式為計算極坐標系下的二重積分，也要將其化為二次積分.通常是選擇先對積分,后對積分的一般有如下三種情形:極坐標系下的面積元素為次序.(1)極點在積分區(qū)域的外部(如圖)此時積分區(qū)域可用不等式表示為于是(2)極點在積分區(qū)域的邊界上(如圖)積分區(qū)域可用不等式表示為于是(3)極點在積分區(qū)域的內(nèi)部(如圖)積分區(qū)域可用不等式表示為于是例7.5計算二重積分其中區(qū)域是由在第一象限內(nèi)所圍成的圖形.解畫出區(qū)域如右圖.利用極坐標.則積分區(qū)域可用不等式表示為因此例7.6計算二重積分其中積分區(qū)域為圓環(huán)域解畫出積分區(qū)域,如右圖.區(qū)域可用不等式表示為因此4.7.4幾何應(yīng)用—曲頂柱體的體積根據(jù)二重積分的幾何意義,可以利用二重積分來計算立體的體積.例7.7設(shè)平面圍成的柱體被坐標平面和曲面所截,求截下部分立體的體積.解所截得的曲頂柱體是以為曲頂,以所圍成的區(qū)域為底.所以所截得的立體體積為4.7.5小結(jié)本節(jié)主要介紹了二重積分的概念、性質(zhì)、計算以及二重積分的應(yīng)用.重點是二重積分的計算.計算二重積分時應(yīng)該按照下面的步驟去做（1）畫出積分區(qū)域的圖形；（2）根據(jù)圖形和被積函數(shù)的特點,選擇是用直角坐標公式，還是用極坐標公式.(3)將積分區(qū)域用不等式組表示，化為二次積分計算.思考題1.計算二重積分時，為什么要選擇積分次序？選擇的依據(jù)是什么？答計算二重積分的基本思想是將其化為二次積分計算.在直角坐標系中，將二重積分化為二次積分時，可以考慮先對積分，后對積分的二次積分,也可以考慮先對積分后對積分的二次積分.這兩種積分次序不同的二次積分的計算量可能相差很大,甚至于是其一容易計算，而另一個不能用初等函數(shù)形式表出,這表明二重積分有選擇積分次序的問題.積分次序的選擇要考慮兩個因素：被積函數(shù)；積分區(qū)域.其原則是要使兩個定積分都能積出來,且計算盡量簡單.2.什么情形下宜于利用極坐標計算二重積分？答有些二重積分不宜在直角坐標系中計算,甚至于在直角坐標中不能計算出其值，?？紤]利用極坐標系