成都2023-2024年度下期高2024屆二診模擬考試

數(shù)學(xué)試題（理）（A卷）

（總分：150分,時(shí)間：120分鐘）

第I卷（共60分）

一、選擇題（本題共12道小題，每小題5分，共60分）

1.已知復(fù)數(shù)z：JL（其中i為虛數(shù)單位）,則z的虛部是

1*1

2.若集合A),2},3=貝1JtnA是*3的

A,充分不必要條件B,必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.如圖是根據(jù)某校高三8位同學(xué)的數(shù)學(xué)月考成績(jī)（單位：分）畫(huà)出的莖葉圖，其中左邊的數(shù)字從左到右

分別表示學(xué)生數(shù)學(xué)月考成績(jī)的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表示學(xué)生數(shù)學(xué)月考成績(jī)的個(gè)位數(shù)字，則

下列結(jié)論正確的是11877

A.這8位同學(xué)數(shù)學(xué)月考成績(jī)的極差是1412513

B.這8位同學(xué)數(shù)學(xué)月考成績(jī)的中位數(shù)是1221312

C.這8位同學(xué)數(shù)學(xué)月考成績(jī)的眾數(shù)是118

D.這8位同學(xué)數(shù)學(xué)月考成績(jī)的平均數(shù)是124

4.已知一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖都是由半圓和

矩形組成，則這個(gè)幾何體的體積是

79

A.—nB.—nC.-nD.-n

32

5.已知數(shù)列｛g｝為等差數(shù)列，且的+%-&-%■"io1。，貝的值為

A.2B.4C.6D.8

6.若是正實(shí)數(shù)，且「二-丁、1,則。-6的最小值為

3a-b2。?4。

42

A.-B.±C.1D.2

53

7.當(dāng)。冗上馬時(shí),關(guān)于X的不等式（2〃sinx-cos2x3）（sinxx”0有解，則。的最小值是

2

A.2B,3C.4D,472

8.在2023年成都“世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)”期間，組委會(huì)將甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到ASC三個(gè)場(chǎng)館

執(zhí)勤，若每個(gè)場(chǎng)館至少分到一人，且甲不能被分配到A場(chǎng)館，則不同分配方案的種數(shù)是

A.48B.36C.24D.12

1

9.已知拋物線y=4式，弦A8過(guò)其焦點(diǎn)，分別過(guò)弦的端點(diǎn)A,B的兩條切線交于點(diǎn)C,點(diǎn)C到直線AB距

離的最小值是

11

A.-B.-C.1D.2

42

10.如圖，四棱柱A8C￡>-AB1G2中，E為棱的中點(diǎn)，尸為四邊形。CCiR對(duì)角線的交點(diǎn)，下列說(shuō)

法：

①EF〃平面BCGZ；

②若EF〃平面A。"4,貝IJ8C〃A。；

③若四邊形A8C￡>矩形，且EPRG，貝1J四棱柱A8C。4與4。1為直

四棱柱.

其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是

A.0B.lC.2D.3

11

11.已知函數(shù)八%)=2工+2」”05%+/，若。fg,b/(e"),c.，則

A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

x2y2

12.若雙曲線C:法p-l（a0,b0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳尸2，過(guò)右焦點(diǎn)/2的直線/與雙曲線。交于

42兩點(diǎn),已知/的斜率為k,k.-,-z,且性叫=平叫，F(xiàn).AB60°

A.26B.730?D.2

第n卷（共90分）

二、填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）

13.已知向量〃：（1,一2）,分二（2,%）,若。3,則實(shí)數(shù)x二.

y>o

14.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件」4x+3yt4,則z=3x-2y的最大值是.

[x-y^0

15.已知等比數(shù)列；叫的前〃項(xiàng)和為S"，若S"=x.$...

-27,貝（Jag取最大值時(shí)，〃的值

為.

x2+]__

16.若x工1,恒有Inr--------ex-x2-mx-1,則機(jī)的取值范圍是.

emx

2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(本小題滿分12分)

為了去庫(kù)存，某商場(chǎng)舉行如下促銷活動(dòng)：有兩個(gè)摸獎(jiǎng)箱，A箱內(nèi)有1個(gè)紅球、1個(gè)黑球、8個(gè)白球，8箱

內(nèi)有4個(gè)紅球、4個(gè)黑球、2個(gè)白球，每次摸獎(jiǎng)后放回.消費(fèi)額滿300元有一次A箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，消費(fèi)額

滿600元有一次8箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì).每次機(jī)會(huì)均為從箱子中摸出1個(gè)球，中獎(jiǎng)規(guī)則如下：紅球獎(jiǎng)50元代金券、

黑球獎(jiǎng)30元代金券、白球獎(jiǎng)10元代金券.

(I)某三位顧客各有一次B箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求中獎(jiǎng)10元代金券人數(shù)二的分布列；

(II)某顧客消費(fèi)額為600元，請(qǐng)問(wèn)：這位顧客如何抽獎(jiǎng)所得的代金券期望值較大？

18.(本小題滿分12分)

sinx=m,

已知AC("R)，設(shè)"X)A.

Icosx：人73m

(I)求函數(shù)/(X)的對(duì)稱中心；

(II)若\A8C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,/(A)且外接圓的半徑為:，D

是8C邊的中點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值.

19.(本小題滿分12分)

如圖，棱長(zhǎng)為3的正方體ABC。AfBQQi中,E是棱CC上靠近C的三等分點(diǎn).

(I)求證：AC與平面8DE不垂直；

(II)在線段BE上是否存在一點(diǎn)F使得平面BRF平面BDE?若存在，請(qǐng)

計(jì)算”的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

BE

3

20.(本小題滿分12分)

x2V2

已知點(diǎn)尸是橢圓￡：出+、，136。)的右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓￡于A8兩點(diǎn)，b面積的最

大值為小\OF\-1.

(I)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)已知過(guò)點(diǎn)尸(4,加)的直線/與橢圓E交于M,N兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)P,使得直線尸M,FN的斜率

之和為定值？若存在，求出定點(diǎn)尸的坐標(biāo)及該定值.若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(無(wú))=彳2ax,x>0.

(I)是否存在實(shí)數(shù)。使得/(x)0在區(qū)間［。,2。，1］上恒成立，若存在，求出。的取值范圍，若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由；

(II)求函數(shù)求x)-/(%)-a21n尤在區(qū)間(l,e°)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。

［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

22.(本小題滿分10分)

在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為“的直線過(guò)定點(diǎn)1。，以。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立

I()

極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為sir?。=4cosH,直線/與曲線。相交于不同的兩點(diǎn)

(I)若：，y,求線段A3中點(diǎn)M的直角坐標(biāo)；

(II)若P(L0),求解卜!?卻的最小值.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.(本小題滿分10分)

已知函數(shù)/(尤)：-1|.

(I)求不等式/(尤)+/(2x-l)<x+7的解集；

4

(H)若對(duì)于正實(shí)數(shù)a,b,c,滿足二二L1,證明:/(尤一.)?"x.b-c)9.

abc

5

成都2024-2025年度下期高2024屆二診模擬考試

數(shù)學(xué)試題（理）（A卷）參考答案

一、選擇題：

1.已知復(fù)數(shù)Z（其中i為虛數(shù)單位），則z的虛部是

1-1

A.--B.-licDf

224

?,所以Z的虛部是，

l.Az=—

l+i

11

2.若集合A-),23?y|y=%2則是的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.AB似.，），則A是8的真子集，則a.A是。后3的充分不必要條件.

3.如圖是根據(jù)某校高三8位同學(xué)的數(shù)學(xué)月考成績(jī)（單位：分）畫(huà)出的莖葉圖，其中左邊的數(shù)字從左到右

分別表示學(xué)生數(shù)學(xué)月考成績(jī)的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表示學(xué)生數(shù)學(xué)月考成績(jī)的個(gè)位數(shù)字，則

下列結(jié)論正確的是11877

A.這8位同學(xué)數(shù)學(xué)月考成績(jī)的極差是1412513

B.這8位同學(xué)數(shù)學(xué)月考成績(jī)的中位數(shù)是1221312

C.這8位同學(xué)數(shù)學(xué)月考成績(jī)的眾數(shù)是118

D.這8位同學(xué)數(shù)學(xué)月考成績(jī)的平均數(shù)是124

3.B對(duì)于選項(xiàng)A,極差是132-11715,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B,中位數(shù)是121/23122,故B正確;

2

對(duì)于選項(xiàng)C,眾數(shù)是117,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D,平均數(shù)是故D錯(cuò)誤，故選B.

4.已知一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖都是由半

圓和矩形組成，則這個(gè)幾何體的體積是

3579

A.—B.一八C.D.--jt

2332

4.A還原成直觀圖后，幾何體由一個(gè)圓柱和八分之三個(gè)球組成，故這個(gè)

幾何體的體積丫=上了1A%』.？二

382

5.已知數(shù)列｛〃〃｝為等差數(shù)列，且%，生?。6-%?4101。，則。4,“8的值為

A.2B.4C.6D.8

1

5.B因?yàn)椤?-410二10，由等差數(shù)列的性質(zhì)，得5%;1。，。6二2,所以。4“。84.

6.若是正實(shí)數(shù)，且丁二—^―1,則“"的最小值為

3a-b2。.4b

A.￡BC.1D.2

5t

6.A因?yàn)閍=b=；[(3a-b)-(2a-46)|1i|(3a-b\-(2a4/?)|31,-

$2.紅4^上2>4,當(dāng)且僅當(dāng)“l(fā)，b1時(shí)取等號(hào)，所以a-6的最小值為上

5[3a+b2a+4。J5555

7.當(dāng)0.x,左時(shí)，關(guān)于尤的不等式（2asinx-cos2x_3）（sinx一x）：0有解則a的最小值是

A.2B.3C,4D.4^/2

7.A當(dāng)0x?土?xí)r，sinx.無(wú)，所以2asinx-cos2x3-()在0x三上有解,

22

所以2asinx?3一cos2尤=2?Zsin?%,所以---sinx1.由」——sinx-2,當(dāng)且僅當(dāng)二三時(shí)取

Isinx'minsinxx2

等號(hào)，所以a的最小值是2.

8.在2023年成都“世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)”期間，組委會(huì)將甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到A8,C三個(gè)場(chǎng)館

執(zhí)勤，若每個(gè)場(chǎng)館至少分到一人，且甲不能被分配到A場(chǎng)館，則不同分配方案的種數(shù)是

A.48B.36C.24D.12

8.C分兩種情況：第一種情況，甲單獨(dú)一人執(zhí)勤一個(gè)場(chǎng)館，共有心六&-12種；第二種情況，甲和另

322=24種.

一個(gè)人一起執(zhí)勤一個(gè)場(chǎng)館，共有CCA12種，則共有

9.已知拋物線V=4x,弦A8過(guò)其焦點(diǎn)，分別過(guò)弦的端點(diǎn)A,8的兩條切線交于點(diǎn)C,點(diǎn)C到直線A3距

離的最小值是

11

A.-B.-C.1D.2

42

9.D設(shè)4占,%）,8（＞2，丫2），設(shè)過(guò)A處的直線是"力=々（X”,聯(lián)立y7ixj,y24尤得

2

2

y24,4Q、0,即普乎?=|±-2yi|0,k—,則在A處的切線方程為

kkkkyi^yiQ\k）y\

yxy2玉2x,同理，5處的切線方程為y2y2x2-2x,設(shè)交點(diǎn)。的坐標(biāo)為（Xo,No）,點(diǎn)。Oo〉3在兩

條切線上，所以為%;2玉-2/，y2yo=2/-2%,貝1J直線A5的方程是二2x-2%.又過(guò)其焦點(diǎn)

2

(1,0),易知交點(diǎn)C的軌跡是》=1,所以C(1,為)，AB:yy02x-2,所以交點(diǎn)C到直線A3的距

離是+yo,所以當(dāng)泗-0時(shí)d的最小值為2.

+

10.如圖，四棱柱A8C￡>AB1G2中，E為棱4片的中點(diǎn)，尸為四邊形。CC1Q對(duì)角線的交點(diǎn)，下列說(shuō)

法：

①所〃平面8"1月；

②若斯〃平面AOA4,貝l]8C〃A。；

③若四邊形AB8矩形，且￡尸2G，則四棱柱AB。ABiGR為直

四棱柱.

其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是

A.0B.lC.2D.3

10.C對(duì)于①，若〃平面BCG31，過(guò)尸作CG的平行線交CQ1于其中點(diǎn)H，為連接￡反，由于M//

平面BCG%且跖〃平面BCC心，所以平面EfH//平面BCC/i,所以即〃平面BCC/i,所以即

//CM當(dāng)AQi與C四不平行時(shí)，EHIICB1不成立.①是假命題.

對(duì)于②，同①，EH/9跖,則8C〃an②是真命題.

對(duì)于③，四邊形ABC。矩形，所以AD/ABC.又。。//C6,所以平面至。?！ㄆ矫鍮CC1耳，所以四

棱柱ABCD-可看作AAXDXD為上底面，BCCR為下底面的四棱柱，過(guò)尸作CC｛的平行線交

42于點(diǎn)則》為cm】的中點(diǎn)，連接EX,由條件有利QG，又EFRG，則2G，平面

EFH,貝IJMDG，F(xiàn)H//DD,,所以自。,又。出.所以2G.平面ADRA，則

四棱柱ABC。AB1GR為直四棱柱.③是真命題.

11

11.已知函數(shù)〃>)=2*+2/+以)5尤+/,若。=/(遮)/二/(_>),，=/(工,)，則

X.ccb<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

11.B/1(%)-2*+2-x+cosx+必是偶函數(shù)，f'(x)-(2X-2x)In2+(2x-sinx)>0,則/(無(wú))在

(-，)上是增函數(shù).構(gòu)造函數(shù)g(x)=U上，則g<x)=,令g，(x)。得0.X.e,令g，(x).0,得

0,xx

x>e,所以g(x)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(e,.x)上單調(diào)遞減.又嵯學(xué),所以g(4).gQg(e),

24

3

所以堆=學(xué).——,所以上所以f)-/(，),〃1)=/(=)，所以a.cb.

24Ke

x2y2

12.若雙曲線C:"-Q=l(a0/0)的左、右焦點(diǎn)分別為心心,過(guò)右焦點(diǎn)尸2的直線/與雙曲線。交于

Ifh1....一八八，^"J-t=L>x,/4OwJ<rn—t—AE.

A,8兩點(diǎn)，已知/的斜率為％,k.1-,-r,且”2卜2『叫，F(xiàn)iAB60°

A.2^/3B.73C.0D.2

3

12.A設(shè)/2?tx,則尸2Al=2x,由雙曲線定義，得回冏:2a?lx,網(wǎng)312a+x.

在中，由余弦定理，得回42:怛川2TA422|fiA||AB|cos60°'岫"一

22

在\.五2中，由余弦定理，得4c2:|flA|-|F2A|一2內(nèi)叫,2用儂60。,解得心手.

___Y2y__?o?

法一：令。=3t(t0>,貝Ijc=3t,b2t,C:—--1,設(shè)/：入一my^L3i\0m-I,聯(lián)立

9t4r[3J

得?機(jī)2「史16產(chǎn)

——1,Xm291>8^3mtyI6t-0,yy?=&7t—?由

9t~4r4m~9二k

9

\AF2\^2\F2B\,得％=一2乃，則叫；,所以加=2旨.

2,yjJ

b2b2

法二：設(shè)直線傾斜角/為-,由雙曲線第二定義得：\AF21-一0―,\BF2\.—--，又依尸|2|FBl,

「1111'121

1ecosa1ecosu2

則e=J/又上/￡_",則如=24.

A31,2a

二、填空題：

13.已知向量a=(1,-2),b：(2,x),若。b,則實(shí)數(shù)x=.

13.1因?yàn)椤阞,所以1.2-(一2)尤=0,解得X；1.

[丁2。

14.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件4x+3y<4,則z=3x-2y的最大值是?

?x-y>0

3

14.3作出九,y滿足的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線y=-；x并平移，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A(l,0)時(shí),

Zmax-3.U2.03,所以z=3>2y的最大值是3.

4

15.已知等比數(shù)列：的前〃項(xiàng)和為S“，若S,MU...

-27,則ama”取最大值時(shí)，”的值

為.

15.3等比數(shù)列口|的公比為小由等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式S“二j付x-［又

1-q1-q3

…,則—e2

aiz6,〃3=2,〃4=可所以〃〃赧最大值時(shí)，〃的值是3.

16.若%二1,恒有In------exx2mx1,則m的取值范圍是.

ex-mx

/,I

16.(-r,e-2]In-.....ex-x1mx1,得e*—mx0在上恒成立，即機(jī)?e.

emx

且ln(%2.i)ln(/mx)rrucj即ln(/i：|(/1卜［口⑹因?yàn)?/p>

yInx.%在［l,r)上是增函數(shù)，所以/1exnvc,所以”411.令/(%)￡一1,則

/⑴=。-1￡-尤-1)0所以/(x)在口,+工)上單調(diào)遞增，/(x)mta=/(l)=e-2,所以e-2.

X

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)

為了去庫(kù)存，某商場(chǎng)舉行如下促銷活動(dòng)：有兩個(gè)摸獎(jiǎng)箱，A箱內(nèi)有1個(gè)紅球、1個(gè)黑球、8個(gè)白球，8箱

內(nèi)有4個(gè)紅球、4個(gè)黑球、2個(gè)白球，每次摸獎(jiǎng)后放回.消費(fèi)額滿300元有一次A箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，消費(fèi)額

滿600元有一次8箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì).每次機(jī)會(huì)均為從箱子中摸出1個(gè)球，中獎(jiǎng)規(guī)則如下：紅球獎(jiǎng)50元代金券、

黑球獎(jiǎng)30元代金券、白球獎(jiǎng)10元代金券.

(I)某三位顧客各有一次8箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求中獎(jiǎng)1。元代金券人數(shù)二的分布列；

(II)某顧客消費(fèi)額為600元，請(qǐng)問(wèn)：這位顧客如何抽獎(jiǎng)所得的代金券期望值較大？

解：(I)三位顧客每人一次B箱內(nèi)摸獎(jiǎng)中10元代金券的概率都為1,

中獎(jiǎng)10元代金券的人數(shù)-服從二項(xiàng)分布B(3,1),

5

1/3-k

\#二0,123.........................................................4分

故,的分布列為

0123

6448121

p

125125125125

...............6分

(II)可以在A箱摸獎(jiǎng)2次，或者在8箱內(nèi)摸獎(jiǎng)1次

A箱摸獎(jiǎng)1次所得獎(jiǎng)金的期望值為50,t+30x]+l02s16.........................................8分

1010101

8箱摸獎(jiǎng)1次所得獎(jiǎng)金的期望值為50A4+30±4+1?0.尋34..............................................10分

A箱摸獎(jiǎng)2次所得獎(jiǎng)金的期望值為2.1632,B箱摸獎(jiǎng)1次所得獎(jiǎng)金的期望值為34,

所以這位顧客選8箱摸獎(jiǎng)1次所得獎(jiǎng)金的期望值較大..................................12分

18.（12分）

sinxm,

已知8sxs回a設(shè)/(X)/..

(I)求函數(shù)/(力的對(duì)稱中心;

(II)若\4BC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,/(A)且\A8C外接圓的半徑為:，D

是BC邊的中點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值.

sin%=m反目

解：⑴由，V3得/(無(wú))sinx-cosx=-sin(無(wú)嚏).

1人一〃。十----UUbAJJO

I3

令x+三=加，左￡Z,解得X=加-三次CZ，所以函數(shù)/(x)的對(duì)稱中心為

66

(反-,0),k.Z.........6分

6

(II)?."(#=攣sin(A.)-攣，A(0,n)--.A=^,又且\ABC外接圓的半徑為嚴(yán)，貝I

36333

a2n——si?nAA1i,

3

h24N2

法一：.,?由余弦定理cosA-----------------得反飛2be1.

2bc

2ADAB.AC

1

6

由及二2-左』，b24T22bc,得c?+b2.2,即(當(dāng)且僅當(dāng)6=c=l

時(shí)等號(hào)成立)

即|初=也，此時(shí)，b=c1..................................................12分

Imax2

法二：直接畫(huà)出三角形的外接圓，由圖可知，當(dāng)A。3C時(shí)，AD最大，此時(shí)\ABC為等邊三角形，所

以AD=@,所以ADmaxB

22

19.(12分)

如圖，棱長(zhǎng)為3的正方體ABC。AQCQi中,E是棱CC上靠近C的三等分點(diǎn).

(I)求證：AC與平面8DE不垂直；

(II)在線段8E上是否存在一點(diǎn)尸使得平面用。尸,平面以足？若存在，請(qǐng)計(jì)算”的值；若不存在,

BE

請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

B(3,3,0),D(0,0,0),E(0,3,2),B0,3,3),。0,0,3),A00,3)。(0,3,0).

(I)“^=(0,3,2),不7=(-3,3,-3),

因?yàn)橄睠.DEH(一3,3,-3).(0,3,2)=3,0,

所以AC與平面BDE不垂直.........5分

-BF12

(H)存在點(diǎn)F,且會(huì)—.

BE17

設(shè)麗二,，麗，貝1J尸(3—小

DB二(3,3,0),加二(0,3,2),

設(shè)平面石的法向量為％-(不，％,Z]),

In-DB：3西?3%二0

貝U\n2DE^3%.24：O'

7

令％=-2,得為=（2,-2,3）.

同理，平面B[D]F的一個(gè)法向量為n2=(2/-3,-2>.*3,3X).

若平面與。1尸平面3DE,則[五0,即4,6.4,，6-9；0J,^,,,|0,1|.

,—.1?―-

所以在線段BE上存在一點(diǎn)尸使得平面耳與平面BOE垂直，且^BE.................12分

20.(12分)

x2V2

已知點(diǎn)F是橢圓E/?、二13”>0)的右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓￡于A,3兩點(diǎn)，\ABF面積的最

大值為超\OF\-1.

(I)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)已知過(guò)點(diǎn)尸(4,光)的直線/與橢圓E交于兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)尸，使得直線FM,FN的斜率

之和為定值？若存在，求出定點(diǎn)尸的坐標(biāo)及該定值.若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(I)因?yàn)镾.ABF/yabe,當(dāng)且僅當(dāng)是y軸與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，

所以兒=5又。W，所以k3,產(chǎn)4,

Xy

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為了+彳-1

......................................4分

(II)設(shè)直線/的方程為y履+m，”(XQJN?,%),由P(4,%)Im州一4左.

一'在直線上，得

jy-kxim

聯(lián)立!必）2化簡(jiǎn)得（左

42+3）%，8kmx-t4m212-0.

———1

[43

8km

由\、0,得4人243.、加2.由根與系數(shù)的關(guān)系，得7分

4m2-12

XX--------

124爐+3

故直線的斜率之和為

8

yyKAKJi乙心乂，/,兒、C

/2i?m24m14(mk)(%i4-2)-2m

------+-------―----------+----------=--------2-------------------------------...............9分

占一1%2-1%一1X2-1X1X2

XX1

?(+

嗎I

24k6m

11分

22

4k之,4m2,8km936k?4jo24yoz9

要使上式為定值，則為0,故P(4,0)且左(kFN0.

'.........12分

FM

21.(12分)

已知函數(shù)/(無(wú))=——辦，x0.

(I)是否存在實(shí)數(shù)。使得了。)0在區(qū)間［a,2a+1］上恒成立，若存在，求出。的取值范圍，若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由；

(II)求函數(shù)求%)■/■(%)a21nx在區(qū)間(l,e°)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

解：(I)f{x)=x1-ax,x.0.,因?yàn)?(x)0在區(qū)間上恒成立，

,2〃-1。0

所以17(〃)o,所以〃>0,

|八2〃.1)0

故對(duì)任意的〃>0都能滿足/(x)：0在區(qū)間［凡2。，1］上恒成立....................4分

(II)由區(qū)間(1,陰得/21所以。、o.

7/、3a12x2ax-a2(2x-a)(x-a)/八、

"(%)=2xa------------------'----------------—(x0)

xxx

所以以九)在(0M)上單調(diào)遞減,在(〃,+□)上單調(diào)遞增,/i(x)min/⑷--a21na

........6分

下面先證明：5二”〃.

設(shè)g⑷=e?！?〃.0),則g\a)=ea-l(tz0),

由/(a)0得〃0,所以g(a)在［0,.r)上是增函數(shù)，故g(a)，g(0)10.

所以e">a................................................7分

/z(%)min=/i(a)=—a21n”

①當(dāng)In0

-a1a，即0Q.1時(shí)，函數(shù)/?(%)在(l,e")上無(wú)零點(diǎn)；

9

②當(dāng)In0

a1a，即〃1時(shí)，函數(shù)/z(x)在(l,e")上無(wú)零點(diǎn)；

③當(dāng)In0

a1a,即〃1時(shí)，1.a,ea,由于力⑴la0,h(a)0,

h(e°)-e2a-aea-a3,

下面證明用(e")e2aaeaa30(a1).

mx=e2xxex-x3(x->1),貝ljm(x)二2e2x'exxex3x2(xD,

令()

令必)2"%'3(1)

x=e2-e-xe-x2x>,貝加p'(x)二^e2x-2ex-xex-6x(x：1),

令Fx4e2x-2exxex-xx-

()6(1),

貝"3=8/*Wex-6(3e2x~3ex)^(2e2x~xeJ?3尸6)9,

所以尸(x)在(1,?工)上單調(diào)遞增,F(x)F(l)4e2-3e60,

所以(p(九)在(l,+8)上單調(diào)遞增，旬(x)>u?(l)2/

-2e-30,

所以加(九)在(1,+8)上單調(diào)遞增,zn(x)>m(l)■e2-e-1>0,

hea)=e2a-aea-a3-Q(a1)

所以(

所以函數(shù)〃(x)在(l,e。)上有一個(gè)零點(diǎn)