2024/6/9塊體系統(tǒng)的非連續(xù)變形分析（DDA）匯報人：導師：教授2024/6/91.

非連續(xù)變形分析（DDA）方法的提出匯報內(nèi)容2.塊體變形的子矩陣

3.全一階近似的證明

4.塊體系統(tǒng)的總平衡方程5.單一塊體的應力、應變及荷載分析

2024/6/91.

非連續(xù)變形分析（DDA）方法的提出DDA方法是一種分析不連續(xù)介質(zhì)力學的巖土工程數(shù)值分析方法，該方法平行于有限單元法，是有限單元法的廣義化。該方法用塊體位移作為未知數(shù)，分析塊體系統(tǒng)的力和位移的相互作用，采用與有限單元法中結構矩陣分析相同的方法求解平衡方程式。石根華2024/6/91.

非連續(xù)變形分析（DDA）方法的提出對塊體系統(tǒng)，DDA方法相較于有限元分析的優(yōu)點：非連續(xù)變形分析在塊體邊界不是連續(xù)體，亦即它基本上是不連續(xù)的；形成“網(wǎng)格”“單元”的塊體可以是任意條邊的，凸形狀或非凸形狀的，甚至是帶洞的；塊體網(wǎng)格不要求塊體頂點與另一塊體頂點相接觸。2024/6/91.

非連續(xù)變形分析（DDA）方法的提出正確的能量守恒和高效計算效率DDA方法（特點）完全的運動學及其數(shù)值可靠性完全一階位移近似嚴格的平衡要求這一方法可靠的原因是分析接近實際，力學現(xiàn)象的數(shù)學和數(shù)值描述與塊體運動相一致。2024/6/91.

非連續(xù)變形分析（DDA）方法的提出匯報內(nèi)容2.塊體變形的子矩陣

3.全一階近似的證明

4.塊體系統(tǒng)的總平衡方程

5.單一塊體的應力、應變及荷載分析

2024/6/92.塊體變形的子矩陣

大位移和大變形是由分步的小位移和小變形累加而成。每一步中，所有點的位移是小的，且位移函數(shù)可進行簡化。

DDA方法與有限元方法類似，均以位移為未知量。設每一塊體通體有常應力和常應變，塊體任一點的可用六個位移不變量表示：(1)式中：：塊體重心的剛體位移：塊體繞點的轉動角（弧度）：塊體的法向和切向應變2024/6/92.塊體變形的子矩陣

平行移動考慮塊體只包含平行移動時，塊體任意點的位移可表示為：(2)圖1塊體平行位移2024/6/92.塊體變形的子矩陣

轉動對小位移，當塊體只包含繞點轉動時，塊體任一點的位移為：(3)圖2

塊體轉動2024/6/92.塊體變形的子矩陣

法向應變當塊體只有法向應變時，塊體任一點的位移為：(4)圖3法向應變2024/6/92.塊體變形的子矩陣

切向應變當塊體只有剪應變時，塊體任一點的位移為：(5)圖4

切向應變2024/6/92.塊體變形的子矩陣

塊體變形矩陣點的總位移是包括所有變量的位移累加。公式（2）～（5）的矩陣相加可得塊體變形矩陣：圖5塊體的一般變形2024/6/92.塊體變形的子矩陣

上述公式可用下式給出：(6)式中下標“i”表示第i塊塊體。選擇作為塊體變形參數(shù)的優(yōu)點：塊體變形參數(shù)的每一項有明顯的作為力學參數(shù)的物理意義；用這些參數(shù)能得到最簡單的能量公式，從而根據(jù)能量最小化導得的平衡方程有明顯的物理意義。2024/6/91.

非連續(xù)變形分析（DDA）方法的提出匯報內(nèi)容2.塊體變形的子矩陣

3.全一階近似的證明

4.塊體系統(tǒng)的總平衡方程5.單一塊體的應力、應變及荷載分析

2024/6/93.全一階近似的證明

塊體變形的全一階近似有以下形式：在點

上位移

為：(7)(8)式（7）減去式（8）：(9)(10)(11)解（10）式后兩項2024/6/93.全一階近似的證明

(11)代入(9)(12)(13)寫成矩陣形式2024/6/91.

非連續(xù)變形分析（DDA）方法的提出匯報內(nèi)容2.塊體變形的子矩陣

3.全一階近似的證明

4.塊體系統(tǒng)的總平衡方程

5.

單一塊體的應力、應變及荷載分析2024/6/94.塊體系統(tǒng)的總平衡方程

總體平衡方程假定塊體系統(tǒng)由n個塊體組成，則總體平衡方程：(14)每個塊體有六個自由度，方程式（14）給出的系數(shù)矩陣中每個元素是一個的子矩陣；和是子矩陣。：塊體i的變形變量：在塊體i上分配給六個變形變量的荷載2024/6/94.塊體系統(tǒng)的總平衡方程

對非連續(xù)變形分析，平衡方程式用總勢能的最小化來推導。方程式（14）的第i列由6個線性方程組成：(15)式中是塊體i的位移變量。(16)沿x和y方向作用在塊體i上的所有荷載和接觸力方程式為：作用在塊體i上的所有荷載和接觸力的力矩平衡式為：(17)沿x，y塊體i上的所有外力和應力的平衡式為：(18)2024/6/94.塊體系統(tǒng)的總平衡方程

總勢能是所有勢能源的總和：各項應力和力。偏導式(19)是對變量取導的平衡方程式（15）的未知項的系數(shù)。因此，方程式（19）的所有項形成一個的子矩陣，它是總方程式（14）中的子矩陣。式（19）意味式（14）的系數(shù)矩陣是對稱的。偏導式(20)是移到方程式右邊后的式（15）的自由項。因此，式（20）的所有項形成一個子矩陣。它被加到子矩陣中去。2024/6/91.

非連續(xù)變形分析（DDA）方法的提出匯報內(nèi)容2.塊體變形的子矩陣

3.全一階近似的證明

4.塊體系統(tǒng)的總平衡方程

5.

單一塊體的應力、應變及荷載分析2024/6/95.

單一塊體的應力、應變及荷載分析5.1彈性子矩陣塊體i的彈性應力所產(chǎn)生的應變能為：(21)對每一位移步，假定塊體是線性彈性的，對于平面應力條件：(22)對塊體i，矩陣可擴展為一矩陣：2024/6/95.

單一塊體的應力、應變及荷載分析將式（22）代入式（21），應變能可用塊體變形參數(shù)項表示：此處S是第i塊塊體的面積。(23)形成一個子矩陣：(24)式（24）的矩陣被加到總體方程（14）的子矩陣中。2024/6/95.

單一塊體的應力、應變及荷載分析5.2初始應力對第i塊體，初始常應力的勢能為：(25)(26)它被加到總體方程式（14）的中去式中積分是對第i塊體整個面積S的，取導使最小化：形成一個子矩陣(27)則：2024/6/95.3點荷載5.

單一塊體的應力、應變及荷載分析點荷載力作用在第i塊體的點（x,y）上，產(chǎn)生的位移（u,v）為：圖6點荷載2024/6/9點荷載力的勢能可表示為：5.

單一塊體的應力、應變及荷載分析(28)為使最小化，計算導數(shù)：(30)形成一個子矩陣：(29)它是一矩陣與一矩陣的乘積矩陣，最后得到的子矩陣被加到總體方程（14）的子矩陣中去。2024/6/95.

單一塊體的應力、應變及荷載分析5.4體積荷載設是常體積力作用在第i塊體的體積上，并設是該塊體重心。及(31)常體積力荷載的勢能是：(32)(33)2024/6/95.

單一塊體的應力、應變及荷載分析因(34)根據(jù)公式（31），因是重心，最后四列為零(35)為使最小，對求導：各形成一個子矩陣：(36)它被加到總體方程（14）中的中去2024/6/95.

單一塊體的應力、應變及荷載分析5.5錨桿連接考慮一鉚釘或錨桿連接塊i的點和塊j的點，它們不一定是塊體的頂點，端點的位移為：(37)桿長為：(38)(39)式中：(40)為桿件的方向余弦2024/6/95.

單一塊體的應力、應變及荷載分析假定桿的剛度是s，桿力為：桿的應變能是：(41)2024/6/95.

單一塊體的應力、應變及荷載分析的導數(shù)：(42)形成一子矩陣：(43)它被加到總體方程（14）中的中去(44)形成一子矩陣：(45)它被加到總體方程（14）中的中去2024/6/95.

單一塊體的應力、應變及荷載分析(46)形成一子矩陣：(47)它被加到總體方程（14）中的中去(48)形成一子矩陣：(49)它被加到總體方程（14）中的中去2024/6/95.

單一塊體的應力、應變及荷載分析5.6慣性力表示為第i塊體的任一點的與時間相關的位移，M表示為單位面積的質(zhì)量。單位面積的慣性力為：(50)塊體的慣性力勢能：(51)(52)2024/6/95.

單一塊體的應力、應變及荷載分析且：(53)假設為時間步開始時的塊體位移，為該時間步步長及

為塊體在時間步結束時的塊體位移。用時間積分，有(54)假定每一時間步內(nèi)的加速度為常數(shù)，(56)(55)2024/6/95.

單一塊體的應力、應變及荷載分析因此，時間步末有：(57)為達到平衡對取最小值，則有：(58)形成一子矩陣，及：它被加到中去。(59)2024/6/95.

單一塊體的應力、應變及荷載分析因式（59）方程中有未知數(shù)，該方程應當轉換成以下兩個方程式：(61)(60)對下一時間步，起始位移速度將是該時間步末的速度。根據(jù)式（55），(62)積分式：(63)在方程（60）及（61）中是一子矩陣。定義下式，被積矩陣可表達為：2024/6/95.

單一塊體的應力、應變及荷載分析式中是塊體i的重心坐標。(64）2024/6/95.

單一塊體的應力、應變及荷載分析表示：(65）為計算以下積分式解析解，矩陣元素的積分式，必須計算下面塊體i上的基本積分式被用以簡化積分解析解：(66）2024/6/95.

單一塊體的應力、應變及荷載分析根據(jù)公式（65）及（66），矩陣（64）的元素的積分可按下計算：上面五個式子構成式（67）2024/6/95.

單一塊體的應力、應變及荷載分析由此可得矩陣積分解析解：(68）2024/6/95.

單一塊體的應力、應變及荷載分析5.7點位移的設定在塊體點，設定的位移是（見圖7），算得的位移是。兩個很剛性的彈簧用來迫使位移為。圖7

在一點量測的位移兩個彈簧分別沿x及y方向。彈簧剛度為p。彈簧力為2024/6/95.

單一塊體的應力、應變及荷載分析彈簧應變能為，則(69）因為(70）2024/6/95.

單一塊體的應力、應