廣東省深圳高級中學(xué)2024年高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設(shè)2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)—1,若=貝iJ/（—。）=（）

A.-1B.1C.3D.-3

2.已知集合4={無I—1<掇2},6={無|1-y?5},定義集合則B*（A*B）等

于（）

A.[x\-6<x,,1}B.[x\l<x,,12}

C.{x|-ll<x>,0}D.{%|-5<%,6}

如圖，正方體ABCD-A4GR的棱長為1.動點E在線段4C上，F(xiàn)、M分別是A。、CD的中點，則下列

結(jié)論中錯誤的是（）

B.存在點E,使得平面跳方//平面

c.平面CGFD.三棱錐3-C砂的體積為定值

Ax-l,x>0,

4.己知函數(shù)/（%）=?若函數(shù)/（%）的圖象上關(guān)于原點對稱的點有2對，則實數(shù)上的取值范圍是（

-ln(-x),x<0,)

A.（—8,0）B.（0,1）C.（0,+8）D.

5.關(guān)于函數(shù)/（x）=2,an：下列說法正確的是（）

1+tanx

A.函數(shù)/Xx)的定義域為R

37r

B.函數(shù)/(x)一個遞增區(qū)間為一丁，豆

OO

TT

C.函數(shù)的圖像關(guān)于直線X=￡對稱

O

D.將函數(shù)y=0sin2x圖像向左平移-個單位可得函數(shù)y=/(%)的圖像

8

6.已知向量。=(1,0),b=(l,5,則與2o—b共線的單位向量為()

7.某設(shè)備使用年限x(年)與所支出的維修費用y(萬元)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)(x,y)分別為(2,1.5),(3,4.5),(4,5.5),(5,6.5),

由最小二乘法得到回歸直線方程為a=L6x+&,若計劃維修費用超過15萬元將該設(shè)備報廢，則該設(shè)備的使用年限為

()

A.8年B.9年C.10年D.11年

5

8.二項式2―J的展開式中，常數(shù)項為()

忑)

A.-80B.80C.-160D.160

9.已知向量。=(1,4),b=(-2,m),^\a+b\=\a-b\,則機=()

11

A.一一B.-C.-8D.8

22

10.已知函數(shù)/(%)是R上的偶函數(shù)，g(x)是R的奇函數(shù)，且g(x)=/(x—l),則“2019)的值為()

A.2B.0C.-2D.±2

11.在等腰直角三角形ABC中，ZC=-,CA=2s/2,。為A6的中點，將它沿CD翻折，使點4與點3間的距離

2

為2石，此時四面體ABC。的外接球的表面積為().

A.571B.--------JiC.127rD.20%

3

12.如圖，圓。是邊長為2小的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，其與邊相切于點。，點"為圓上任意一點,

BM=xBA+yBD(x,ywR),則2x+y的最大值為()

A

A.V2B.73C.2D.2A/2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（2一，）的展開式中x的系數(shù)為.

x3

14.設(shè)S.是等比數(shù)列｛4｝的前幾項的和，包,怎,§6成等差數(shù)列，則&2也的值為.

2x-y＜6

15.設(shè)x,丁滿足約束條件＜%+?。?,若z=x+3y+a的最大值是10,則。=.

22

16.已知雙曲線L—匕=1的右準線與漸近線的交點在拋物線y2=2px上，則實數(shù)p的值為.

412

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（%）=必+2（。—3）x+2alnx,其中aeH.

（1）函數(shù)/Xx）在x=l處的切線與直線x-2y+l=0垂直，求實數(shù)。的值；

（2）若函數(shù)f（x）在定義域上有兩個極值點X,3，且不

①求實數(shù)”的取值范圍；

②求證：/（^）+/（%2）+10＞0.

22（3、

18.（12分）已知橢圓C：—+￡=l（a〉6〉0）的左、右焦點分別為匕，工，焦距為2,且經(jīng)過點了［一1,一3）,

斜率為左仕＞0）的直線4經(jīng)過點M（0,2）,與橢圓C交于G,H兩點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）在x軸上是否存在點P（九0）,使得以PG,耽為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出機的取值范圍,

如果不存在，請說明理由.

221

19.（12分）如圖，在平面直角坐標系X0Y中，橢圓C:0+?=l（a〉6〉0）的離心率為萬，且過點（0,道）.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知ABMN是橢圓C的內(nèi)接三角形，

①若點3為橢圓C的上頂點，原點。為的垂心，求線段的長；

②若原點。為△3AW的重心，求原點。到直線距離的最小值.

InY

20.(12分)已知函數(shù)/(力=上.

(1)求函數(shù)〃力的極值；

(II)若加>〃>0,且zn"求證：mn>e1.

21.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=me*—/+3,其中加GH.

(I)當/Xx)為偶函數(shù)時，求函數(shù)加》=#(幻的極值；

(II)若函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,4］上有兩個零點，求機的取值范圍.

22.(10分)在國家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對新研發(fā)的產(chǎn)品進行

合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格試銷，得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示：

試銷價格

456789

X阮)

產(chǎn)品銷量y

898382797467

(件)

已知變量羽V且有線性負相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過計算求得回歸直線方程分別為:甲亍=4x+53；乙

y=-4x+105；丙y=-4.6x+104,其中有且僅有一位同學(xué)的計算結(jié)果是正確的.

(1)試判斷誰的計算結(jié)果正確？

(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過1,則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中

隨機抽取3個，求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)為2的概率.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

利用/(a)與的關(guān)系，求得了(—。)的值.

【詳解】

依題意/(a)=e"——1=1,—e-〃=2,

所以/(—a)=ca—ea—1=—(e"—ea—1=—2—1=—3

故選：D

【點睛】

本小題主要考查函數(shù)值的計算，屬于基礎(chǔ)題.

2、C

【解析】

根據(jù)A*3定義，求出A*3,即可求出結(jié)論.

【詳解】

因為集合5={%|1麴>尤5},所以8={x|—5領(lǐng)k-1},

則A*B={%]—6<%,1},所以B*(A*B)={x|-11<%,0}.

故選:C.

【點睛】

本題考查集合的新定義運算，理解新定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

根據(jù)平行的傳遞性判斷A；根據(jù)面面平行的定義判斷B；根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C；由三棱錐3-C所以三角

形尸為底，則高和底面積都為定值，判斷D.

【詳解】

在A中，因為分別是A。,。中點，所以K0〃AC〃AG，故A正確；

在B中，由于直線8尸與平面CG2。有交點，所以不存在點E,使得平面5跖//平面CG，。，故B錯誤；

在C中，由平面幾何得的0，。n，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出3"，G。，結(jié)合線面垂直的判定定理得出a平

面CC/，故C正確；

在D中，三棱錐3-CEF以三角形8b為底，則高和底面積都為定值，即三棱錐3-CE尸的體積為定值，故D正

確；

故選：B

【點睛】

本題主要考查了判斷面面平行，線面垂直等，屬于中檔題.

4、B

【解析】

考慮當了>0時，依—l=lnx有兩個不同的實數(shù)解，令〃(x)=lnx—"+1,則川尤)有兩個不同的零點，利用導(dǎo)數(shù)和

零點存在定理可得實數(shù)k的取值范圍.

【詳解】

因為/(龍)的圖象上關(guān)于原點對稱的點有2對，

所以%>0時，版—1=Inx有兩個不同的實數(shù)解.

令/z(x)=lnx-近+1,則/?(%)在(0,+8)有兩個不同的零點.

又/z(x)=----,

X-

當上40時，〃(％)>0,故M])在(o,+“)上為增函數(shù)，

Mx)在(o,+。)上至多一個零點，舍.

當左>0時,

/z(x)在]。,￡|上為增函數(shù)；

若貝

若xe[,+oo],則〃(x)<0

,在上為減函數(shù);

因為Mx)有兩個不同的零點，所以ln：＞0,解得0〈化＜1.

0,故/?(%)在H

又當0〈左＜1時，1〈!且“<上存在一個零點.

ek

又“我J=ln/-(+1=2+21n/-et,其中/=：〉1.

令g(f)=2+21nf—々，則=

當/〉1時，gr(t)<0,故g⑺為(1,+(?)減函數(shù)，

所以g1)<g(l)=2_e<0即丸<0.

因為我＞2〉:，所以在J,+8J上也存在一個零點.

綜上，當o〈左＜1時，妝工)有兩個不同的零點.

故選：B.

【點睛】

本題考查函數(shù)的零點，一般地，較為復(fù)雜的函數(shù)的零點，必須先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理說

明零點的存在性，本題屬于難題.

5、B

【解析】

化簡至U/(x)=^sin[2x+?],根據(jù)定義域排除AC。，計算單調(diào)性知3正確，得到答案.

【詳解】

/(%)=2tan：+?os2x=sin2x+cos2x=^/2sin|2x+—|,

1+tanx(4)

71

故函數(shù)的定義域為+左過左eZ,故4錯誤；

、2J

37cTC7C7C7C

當xe---時，2x+—e，函數(shù)單調(diào)遞增，故3正確；

_88J4122_

當x=-￡,關(guān)于x=g的對稱的直線為x=g不在定義域內(nèi)，故C錯誤.

4o2

平移得到的函數(shù)定義域為R,故不可能為y=/(x),。錯誤.

故選：B.

【點睛】

本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，定義域，對稱，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

根據(jù)題意得，2a-設(shè)與加―b共線的單位向量為(X,y),利用向量共線和單位向量模為1,列式求出九,y即

可得出答案.

【詳解】

因為a=(1,0),b=(1,A/3)>則2a=(2,0),

所以2a—6=(1,-6),

設(shè)與2a-。共線的單位向量為(羽y)，

則心了=0,

%2+/=1

*1[1

x=—x=——

22

解得或

A/3V3

y=----y=-

r2U2

所以與2a-b共線的單位向量為[Q，-或1-5，^^.

故選：D.

【點睛】

本題考查向量的坐標運算以及共線定理和單位向量的定義.

7、D

【解析】

根據(jù)樣本中心點正,亍)在回歸直線上，求出求解y>15,即可求出答案.

【詳解】

依題意還3.5,亍=4,5,(3.5,4.5)在回歸直線上，

4.5=1.6x3.5+〃,a=-1.1,，

由夕=L6x—

估計第11年維修費用超過15萬元.

故選:D.

【點睛】

本題考查回歸直線過樣本中心點、以及回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8、A

【解析】

求出二項式［必］的展開式的通式，再令x的次數(shù)為零，可得結(jié)果.

【詳解】

解：二項式［寧—展開式的通式為(亍］(-x2)r=(-l)rC；25-r￡^+2r

5—r

令一一—+2r=0,解得r=1,

2

則常數(shù)項為(—l)y2’=—80.

故選：A.

【點睛】

本題考查二項式定理指定項的求解，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項展開式的通式，是基礎(chǔ)題.

9、B

【解析】

先求出向量a+b,a-6的坐標，然后由|。+6|=|。-6可求出參數(shù)優(yōu)的值.

【詳解】

由向量a=(1,4),b=(-2,m),

貝!]a+b=(-l,4+〃i),a-/?=(3,4-m)

|a+6M?+(4+加了,|a-6|=J3?+(4-加J

又Ia+61=|a-61,則^12+(4+/W)2=,3。+(4—Hz)。,解得m=-.

故選：B

【點睛】

本題考查向量的坐標運算和模長的運算，屬于基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及題設(shè)中關(guān)于g(x)與/(x-1)關(guān)系，轉(zhuǎn)換成關(guān)于/(%)的關(guān)系式，通過變形求解出了(九)的周期，

進而算出“2019).

【詳解】

g(x)為R上的奇函數(shù)，，g(。)=/(-1)=0,g(-x)=—g(%)

f(-1)=。，/(-%-1)=-/(x-1),f(-x)=-/(%-2)

而函數(shù)“X)是R上的偶函數(shù)，.?"(x)=/(f),.?./(x)=—“X—2)

:.f(x-2)=-f(x-^,/(x)=/(x-4)

故/(九)為周期函數(shù)，且周期為4

.-./(2019)=/(-1)=0

故選：B

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11、D

【解析】

如圖，將四面體ABC。放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上

下底面外接圓圓心連線中點，這樣根據(jù)幾何關(guān)系，求外接球的半徑.

【詳解】

AABC中，易知AB=4,CD-AD-BD—2

翻折后AB=2瓜

22+22—(2⑹21

cosZADB=--------——'-=——1

2x2x22

,-.ZADB=120，

設(shè)MDB外接圓的半徑為r,

=2r=4,:.r=2,

sin120

如圖：易得CD,平面4犯，將四面體ABC。放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線中點，設(shè)幾何體

外接球的半徑為R,

/？2=r2+l2=22+l2=5，

四面體ABC。的外接球的表面積為S=4%火2=20萬.

故選：D

【點睛】

本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑

時，一般可以用補形法，因正方體，長方體的外接球半徑容易求，可以將一些特殊的幾何體補形為正方體或長方體,

比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，或是構(gòu)造直角三角形法，確定球心的位置，構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程求解.

12、C

【解析】

建立坐標系，寫出相應(yīng)的點坐標，得到2x+y的表達式，進而得到最大值.

【詳解】

以D點為原點，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標系,

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為1,以（0,1）為圓心，1為半徑的圓;

根據(jù)三角形面積公式得到g義/周長Xr=S=g*A3XACXsin60°,

可得到內(nèi)切圓的半徑為1；

可得到點的坐標為：B(-A/3,0),C(^,0),A(0,3),D(0,0),M(cos0,1+sin0)

8M=(cose+G』+sin8),BA=(V3,3),5D=(73,0)

故得到BM=(cos0+A/3,1+sin8)=(Gx+6y,3x)

故得至Ucos0-A/3X+y/3y-A/3,sin夕=3%—1

1+sin。

x=-------

3ccos61sin。42,、4、

2x+y=-------F—=—sin(9+0)+—W2.

cos0sin62v33333

故最大值為：2.

故答案為C.

【點睛】

這個題目考查了向量標化的應(yīng)用，以及參數(shù)方程的應(yīng)用，以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等

式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的運算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一

般方法.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、80.

【解析】

只需找到(2-x2)5展開式中的一項的系數(shù)即可.

【詳解】

(2-必廣展開式的通項為嘉=c；25-，(-/，=(_1)匕25-針，令-2,

則n=(—1)2。；23/=80/,故(2—.)的展開式中x的系數(shù)為80.

x3

故答案為：80.

【點睛】

本題考查二項式定理的應(yīng)用，涉及到展開式中的特殊項系數(shù)，考查學(xué)生的計算能力，是一道容易題.

14、2

【解析】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比設(shè)為q，再根據(jù)53,S9,S6成等差數(shù)列利用基本量法求解q,再根據(jù)等比數(shù)列各項間的關(guān)系求解

a,+a.

一~1即可.

&

【詳解】

解：等比數(shù)列｛4｝的公比設(shè)為q，

S3,s”，,成等差數(shù)列，

可得2^9=53+$6，

若貝！j18〃]=3q+6q,

顯然不成立，故鄉(xiāng)

貝！Jjq(1-*)=4J")?I。-/),

1-q1-q1-q

化為2q6=l+/,

,1

解得4=

11

則出+%_q+aq_1+4「_2=2

6

a&adqj_

4

故答案為：2.

【點睛】

本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及運用，屬于中檔題.

7

15、——

2

【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可容易求得結(jié)果.

【詳解】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下所示：

97

故可得10=—+9+a,解得a=——.

22

7

故答案為：-7.

【點睛】

本題考查由目標函數(shù)的最值求參數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.

3

16、-

2

【解析】

求出雙曲線的漸近線方程，右準線方程，得到交點坐標代入拋物線方程求解即可.

【詳解】

222

解：雙曲線三—匕=1的右準線尤=勺=3=1,漸近線y=±gx,

412c4

22

雙曲線工-乙=1的右準線與漸近線的交點(1,±g)，

412

交點在拋物線y2-2px±.,

可得：3=2p,

3

解得p=

3

故答案為二.

2

【點睛】

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)以及拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識的考查，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)-；(2)①②詳見解析.

2

【解析】

(1)由函數(shù)Ax)在x=l處的切線與直線x-2y+l=0垂直，即可得:=對其求導(dǎo)并表示/'⑴，代入上述

方程即可解得答案；

(2)①已知要求等價于/'(x)=2x+2(a—3)+上=0在(0,+s)上有兩個根玉田，且玉<9，即

x

2f+2(a-3)x+2a=0在(0,+8)上有兩個不相等的根占,馬，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)構(gòu)建不等式組，解得答案，

最后分析此時單調(diào)性推及極值說明即可；

②由①可知，%,%(0<%<%2)是方程2必+2(。-3)x+2a=0的兩個不等的實根，由韋達定理可表達根與系數(shù)的關(guān)

系，進而用含的式子表示/(石)+/(/)，令g(a)=/(X)+/(%)，對g(G求導(dǎo)分析單調(diào)性，即可知道存在常數(shù)

/6("3,1)使8(4)在(0,/)上單調(diào)遞減，在(7,1)上單調(diào)遞增，進而求最值證明不等式成立.

【詳解】

解：(1)依題意，/(x)-x2+2(?-3)x+2alnx,x>0,

①

故f(x)=2x+2(a-3)+—9所以尸(1)=4。-4,

x

據(jù)題意可知，(4?-4)--=-1,解得

22

所以實數(shù)。的值為

2

(2)①因為函數(shù)/(尤)在定義域上有兩個極值點為,%，且不<%,

所以/■'(%)=2x+2(“—3)+心=0在(0,+8)上有兩個根玉,％,且玉<%，

x

即2/+2(。-3)x+2a=0在(0,+<x>)上有兩個不相等的根玉,3.

2x2

所以<A=4(。—3月—16〉0,解得0<。<1.

2a>0,

當0<。<1時，若0<%<%或尤>尤2，2/+2(。—3)x+2a〉0,f\x)>0,函數(shù)/Xx)在(0,玉)和(和+<?)上單調(diào)

遞增；若玉<x<z，2f+2(。—3)x+2a<0,f'(x)<0,函數(shù)/'(尤)在(%,%)上單調(diào)遞減，故函數(shù)/(尤)在(0,+<?)

上有兩個極值點石,毛，且占<馬.

所以，實數(shù)。的取值范圍是0<。<1.

②由①可知，%,12(0<%<為2)是方程2爐+2(。一3)》+2。=0的兩個不等的實根,

xY+x2=3-a,

所以其中0VQV1.

玉冗2=。，

故/(%1)+/(%2)二片+2(。—3居+2。111玉+2(Q—3)%2+2alnA：2

=(九1+%)2—2%%2+2(〃-3)(玉+x2)+2^1nx1x2

—(3—。了—2a+2(。—3)(3—Q)+2aIna—2aIna—+4Q—9,

令g(a)=2a\na-a2+Aa-9,其中0vavl.故g'(a)=21na-2a+6,

2

令h(a)=gf(a)=2lna-2a+6,h\d)=——2>0,//(〃)=g'(a)在(0,1)上單調(diào)遞增.

a

由于〃("3)=—2印3<0,A(l)=4>0,

所以存在常數(shù)使得〃Q)=0,即lnfr+3=0,\nt=t-3,

且當ae(O,t)時，々(a)=g'(a)<0,g(a)在(0/)上單調(diào)遞減；

當ac(/,l)時，丸(a)=g<a)>0,g(a)在Q,l)上單調(diào)遞增,

所以當0<。<1時，g(a)..g?)=2Hnt—產(chǎn)+4f—9=2/?—3)—產(chǎn)+4。—9=r—2f—9,

又產(chǎn)—2”9=?-l)2-10〉-10,

所以g(a)>T0,即g(a)+10>0,

故/&)+/(赴)+10>0得證.

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、兩直線的位置關(guān)系、由極值點個數(shù)求參數(shù)范圍問題，還考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立,

屬于難題.

18、(1)—+^1=1(2)存在；實數(shù)機的取值范圍是一￡,0

436I

【解析】

(1)根據(jù)橢圓定義計算a,再根據(jù)。，b,c的關(guān)系計算沙即可得出橢圓方程；(2)設(shè)直線4方程為y=Ax+2,與

橢圓方程聯(lián)立方程組，求出左的范圍，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出GH的中點坐標，求出GH的中垂線與x軸的交點橫,

得出心關(guān)于左的函數(shù)，利用基本不等式得出機的范圍.

【詳解】

(1)由題意可知c=l,4(TO),居(1,0).

X241=177?|+|rf；|=J(-l+l)2+(-|)2+J(-l-l)2+(-|)2=|+|=4,

:.a=2,:.b=—c?=y/3,

22

二橢圓。的方程為：—+^=1.

43

(2)若存在點尸(辦0),使得以PG,PH為鄰邊的平行四邊形是菱形,

則P為線段GH的中垂線與x軸的交點.

設(shè)直線4的方程為：y=kx+2,G(x，必)，H(X2,y2),

y=kx+2

聯(lián)立方程組2,消元得：（3+4左2）/+16履+4=0,

—+—=1

I43

△=256f-16（3+4妤）＞0,又上＞0,故左〉工.

2

16k

由根與系數(shù)的關(guān)系可得玉+々=-,設(shè)GH的中點為(為,%)，

3+442

mi8k7c6

則％=一訪’…+2=訴’

二線段GH的中垂線方程為：y=++「%，

i\'I'I/vI'IK/

-2k_22

令y=°可得.加一二‘即"'=一-?

kk

k>\,故。+44..2、區(qū)1=4力，當且僅當/=4左即左=4時取等號,

2kk2

???加的取值范圍是0).

【點睛】

本題主要考查了橢圓的性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.

19、⑴￡+亡=1；（2）①±^H；②且.

【解析】

（1）根據(jù)題意列出方程組求解即可；

（2）①由原點。為2\?的的垂心可得30,MN,MN//X軸，設(shè)M（x,y）,則N（—x,y）,x2=4-1/,根據(jù)

BATON=0求出線段MN的長；

②設(shè)ACV中點為。，直線OD與橢圓交于A,B兩點,0為4BMN的重心，則8O=2OD=OA,設(shè)跖V：y=kx+m,

河（不乂），N（x2,y2）,則A&+%,%+%），當MN斜率不存在時，則。到直線的距離為1,

[y=kx+m22

（4左2+3）石9+4相人（玉+無2）+4根2+6=0由上+4/=12則（4人2+3）x+8mAx+4m-12=0,

-Smk4m2-12\l/l\4左2+3

，得出4"/=4k2+3>根據(jù)d=]求解即可.

4左2+4

【詳解】

b=C/=4

2

解：（1）設(shè)焦距為2c,由題意知：廿二〃2b=3

clc=l

、a2

22

因此，橢圓。的方程為：—+^=1;

43

（2）①由題意知：BO±MN,故W//x軸，設(shè)M（羽y）,則N（—羽?。?2=4-1/,

BM-ON^-x1+y2-43y=-y2-43y-4=0,解得：y=百或—延,

37

B,M不重合，故＞=—￡1,X2=—,故MN=2|X|=*叵；

②設(shè)MN中點為。，直線8與橢圓交于A,B兩點,

。為的重心，則80=28=Q4,

當斜率不存在時，則。到直線的距離為1；

設(shè),MN：y=kx+rn,N（x2,y2）,則+%,乂+%）

X；I犬=%I（X+%）2=1.3x^+4^^=-6

434343

3%9+4（例+/n）（Ax,+m）=-6

2

（44之+3）%%2+4相左（玉+x2）+4m+6=0

y=kx+m/°\

,貝?。荩?左2+3）%2+8加配+4機92-12=0

3d9+4/9=121）

+3—m2

A=48（4Z:2+3-m2）＞0,-4mk±2

x=---------

4Z:2+3

—Smk4m2-12

則：玉+々=代入式子得:

4左2+3，-442+3

49m2k2

8m2-6-^^=0,4/=4/+3

4左2+3

\m\14k2+3/1

設(shè)。到直線MN的距離為d,則d=弁-=1—L

“2+1"48+4V74Tr+4

左=0時，dmm.=—2；

綜上，原點。到直線MN距離的最小值為且.

2

【點睛】

本題考查橢圓的方程的知識點，結(jié)合運用向量，韋達定理和點到直線的距離的知識，屬于難題.

20、(I)極大值為：無極小值；(II)見解析.

e

【解析】

(I)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出函數(shù)/(%)的極值；(II)得到

/(加)=/("),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為證明m>—>e,即證則<“(2Tn"),令

nne

G(x)=e2lnx-2x2+x2lnx(l<x<e),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

【詳解】

(I)/(x)=—.-./(%)的定義域為(0,+。)且/■'(x)=匕學(xué)

%X

令/'（x）>0,nO<x<e；令/'（尤）<0,得x〉e

.?./(X)在(O,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減

二函數(shù)/(%)的極大值為/無極小值

(II)-.m>n>0,vvi1=rf1n]nm=m\nn

.H,即/?=/(”)

mn

由(I)知/(%)在(。,6)上單調(diào)遞增，在(e,y)上單調(diào)遞減

且/(l)=0,則1<〃<6<加

2(2、(2、

要證〃m>e2,即證m〉J〉e,即證"加)</一，即證/(")</"—

幾\n)\n)

即證——<—一-——L

ne

由于1(幾<e,BPO<lnn<L即證/Ina<2/一〃2]口〃

令G(x)=/lnx-2x2+x2lnx(l<x<e)

\fe2y、(e+x)(e-x]、

貝！]G(x)=---4x+2xlnx+x=----%+2x(lnx-l)=----------+2x(zlnx-l)

X〈XyX

l<x<e.?.G'(x)>0恒成立,G(九)在(l,e)遞增

G(x)<G(e)=0在xe(1,e)恒成立

/.mn>e2

【點睛】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查不等式的證明，考查運算

求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題，屬于難題.

21、(I)極小值/z(-D=-2,極大值及(1)=2；(II)-2e<m<g或機=?

ee

【解析】

(I)根據(jù)偶函數(shù)定義列方程，解得加=0.再求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，即得極值，(II)

2o

先分離變量，轉(zhuǎn)化研究函數(shù)g(x)=±U，%e[-2,4],利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)單調(diào)性與圖象，最后根據(jù)圖象確定滿足

e

條件的機的取值范圍.

【詳解】

(I)由函數(shù)”可是偶函數(shù)，得〃T)=〃X)，

即^一(―x)2+3=meA'-x2+3對于任意實數(shù)x都成立,

所以機=0.

此時“(X)=?(%)=f3+3x,貝?。荨?x)=—3x2+3.

由〃(x)=0,解得x=±l.

當x變化時，〃'(力與從尤)的變化情況如下表所示：