重要的幾何模型之中點(diǎn)模型（二）

中點(diǎn)模型是初中數(shù)學(xué)中一類重要模型，它在不同的環(huán)境中起到的作用也不同，主要是結(jié)合三角形、四邊形、

圓的運(yùn)用，在各類考試中都會(huì)出現(xiàn)中點(diǎn)問(wèn)題，有時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)在壓軸題當(dāng)中，我們不妨稱之為“中點(diǎn)模型”,它往

往涉及到平分、平行、垂直等問(wèn)題，因此探尋這類問(wèn)題的解題規(guī)律對(duì)初中幾何的學(xué)習(xí)有著十分重要的意義。

常見的中點(diǎn)模型:①垂直平分線模型;②等腰三角形“三線合一”模型;③“平行線+中點(diǎn)”構(gòu)造全等或相似

模型（與倍長(zhǎng)中線法類似）;④直角三角形斜邊中點(diǎn)模型;⑤中位線模型;⑥中點(diǎn)四邊形模型。本專題就中點(diǎn)模

型的后三類模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析,方便掌握。

模型1:直角三角形斜邊中線模型

定理:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

如圖1,若人。為母斜邊上的中線，則：

（1）A￡>=^BC=BD=DC；（2）Z\ABD,△ACD為等腰三角形；⑶/ADB=2/C,ZADC=2ZB.

圖1圖2

拓展:如圖2,在由兩個(gè)直角三角形組成的圖中，河為中點(diǎn)，則⑴MD；（2）ZAMD=2ZABD.

模型運(yùn)用條件:連斜邊上的中線（出現(xiàn)斜邊上的中點(diǎn)時(shí)）

網(wǎng)］1（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題）如圖，在義力中,CD為斜邊AB上的中線，若。。=2,則=

刷2（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt公ABC中，AACB=90°,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作DE

±BC,垂足為點(diǎn)E,連接CD,若CD=5,8,則DE=.

曲3（2023?河南新鄉(xiāng)?統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)。為菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作CELAB于

點(diǎn)E,連接OE,若。。=3,OE=2,則菱形ABCD的面積為.

題4（2023上?四川成者B?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，NABC=ZADC=90°,ABAD=45°,連

接河是力。的中點(diǎn)，連接BA/、。河.若人。=10,則4囪1。的面積為.

廁5（2023?江蘇常州?中考真題）如圖，AB是。。的弦，點(diǎn)。是優(yōu)弧AB上的動(dòng)點(diǎn)（。不與A、5重合），CH±

AB,垂足為H,點(diǎn)”是的中點(diǎn).若。。的半徑是3,則長(zhǎng)的最大值是（）

C.5D.6

的6（2023?遼寧鞍山??？既＃┤鐖D，在Rt^ABC中，90°,AACB=30°,將△ABC繞點(diǎn)。順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)60°得至I]APEC,點(diǎn)A,3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是。，E,點(diǎn)F是邊的中點(diǎn)，連接BF,BE,FO,則下列說(shuō)

法不正確的是（）

D

A.BE=BCB."FC=90°

C.DG=3GFD.四邊形BEDE是平行四邊形

?M

模型2：中位線模型

三角形的中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。

如圖，在三角形ABC的AB,AC邊的中點(diǎn)分別為。、E,則OE〃6。且DE=^BC,/XADE?AABC。

中點(diǎn)三角形:三角形三邊中點(diǎn)的連線組成的三角形，其周長(zhǎng)是原三角形周長(zhǎng)的一半，面積是原三角形面積的四

分之一。

模型運(yùn)用條件:構(gòu)造中位線（出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)）。

網(wǎng)］7（2023?浙江金華?統(tǒng)考中考真題）如圖，把兩根鋼條。力,OB的一個(gè)端點(diǎn)連在一起，點(diǎn)分別是04,

OB的中點(diǎn).若CD=4cm,則該工件內(nèi)槽寬的長(zhǎng)為cm.

刷8（2023.四川瀘州.統(tǒng)考中考真題）如圖，口ABCD的對(duì)角線AC,相交于點(diǎn)O,/ADC的平分線與邊

AB相交于點(diǎn)P,E是PO中點(diǎn)，若40=4,8=6,則EO的長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.3D.4

題9（2022?湖北荊州?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)分別為a,b,進(jìn)行如下操作:第一次，順次

連接矩形ABCD各邊的中點(diǎn),得到四邊形ABGA悌二次，順次連接四邊形45GA各邊的中點(diǎn),得到

四邊形A2B2GD2；…如此反復(fù)操作下去，則第九次操作后，得到四邊形An&a?！钡拿娣e是（）

?M

Cab

An+1D.合

4B?翼-2

血］10（2022.浙江臺(tái)州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，/ACB=90°,O,E,F分別為48,BC,CA的中

點(diǎn).若EF的長(zhǎng)為10,則CD的長(zhǎng)為

題11（2023?廣西?統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E,F分別是BC,CD上的動(dòng)點(diǎn)，M,

N分別是EF,AF的中點(diǎn)，則兒W的最大值為.

網(wǎng)］12（2023?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題）【發(fā)現(xiàn)】如圖1,有一張三角形紙片ABC,小宏做如下操作：

⑴取力。的中點(diǎn)O,E,在邊BC上作上W=DE；⑵連接EM,分別過(guò)點(diǎn)O,N作。

EAK垂足為G,H；（3）將四邊形BDGN剪下,繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180°至四邊形ADPQ的位置,將四邊形

CEHN剪下,繞點(diǎn)、E旋轉(zhuǎn)180°至四邊形AEST的位置；

（4）延長(zhǎng)PQ,ST交于點(diǎn)F.小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個(gè)結(jié)論是正確的:①點(diǎn)Q,A,T在一條直線上;②

四邊形FPGS是矩形；③AFQT空/\HMN；④四邊形FPGS與LABC的面積相等.

【任務(wù)1】請(qǐng)你對(duì)結(jié)論①進(jìn)行證明.【任務(wù)2］如圖2,在四邊形ABCD中，AD〃BC,P,Q分別是AB,CD

的中點(diǎn)，連接PQ.求證:PQ=,（AD+B。）.

【任務(wù)3］如圖3,有一張四邊形紙ABCD,AD//BC,AD=2,BC=8,CD=9,sin/DCB=!，小麗分別

取48,CD的中點(diǎn)P,Q,在邊BC上作上W=PQ,連接MQ,她仿照小宏的操作，將四邊形4BCD分割、

拼成了矩形.若她拼成的矩形恰好是正方形，求的長(zhǎng).

模型3：中點(diǎn)四邊形模型?M

中點(diǎn)四邊形:依次連接四邊形四邊中點(diǎn)連線的四邊形得到中點(diǎn)四邊形。

中點(diǎn)四邊形是中點(diǎn)模型中比較經(jīng)典的應(yīng)用。中點(diǎn)四邊形不僅結(jié)合了常見的糊除四邊形的性廉，而且還會(huì)涉及

中位線這一重要知識(shí)點(diǎn)，總體來(lái)說(shuō)屬于比較綜合的幾何模塊。

結(jié)論1:順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)融成的四邊形是平行四邊形.

如圖1,已知點(diǎn)朋■、N、P、Q是任意四邊形ABCD各邊中點(diǎn),則四邊形MNPQ為平行四邊形。

結(jié)論2：順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直四邊形各邊中點(diǎn)組成的四邊形是矩形.（特例:箏形與菱形）

如圖2,已知點(diǎn)M\N、P、Q是四邊形AB。。各邊中點(diǎn)，則四邊形跖VPQ為矩形。

結(jié)論3：順次連結(jié)對(duì)角線相等四邊形各邊中點(diǎn)組成的四邊形是菱形.（特例:等膜悌形與矩形）

如圖3,已知點(diǎn)M、N、P、Q是四邊形4BCD各邊中點(diǎn)，AC=DB,則四邊形上GVPQ為菱形。

圖3圖4

結(jié)論4：順次連結(jié)對(duì)角線相等且垂直的四邊形各邊中點(diǎn)組成的四邊形是正方形.

如圖4,已知點(diǎn)M\N、P、Q是四邊形AB。。各邊中點(diǎn)，=則四邊形兒GVFQ為正方形。

推廣與應(yīng)用

1）中點(diǎn)四邊形的周長(zhǎng);中點(diǎn)四邊形的周長(zhǎng)等于原四邊形對(duì)角線之和。

2）中點(diǎn)四邊形的面積:中點(diǎn)四邊形的面積等于原四邊形面積的方。

題工（2023?廣東陽(yáng)江?統(tǒng)考二模）若順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，則四邊形

ABCD的兩條對(duì)角線AC,一定是（）

A.互相平分B.互相平分且相等C.互相垂直D.相等

吼2（2023?江蘇南通?統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD中，分別是邊的中點(diǎn)，G,H分別是對(duì)角

線BO,AC的中點(diǎn)，若四邊形EGFH為矩形，則四邊形ABCD需滿足的條件是（）

?M

B.ACVBDC.AB=DCD.AB.LDC

血］3（2023?遼寧撫順?中考模擬）如圖，AC,BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E,F分別是AD,B。的中點(diǎn)，

點(diǎn)、M,N分別是AC,BD的中點(diǎn)，連接EM,MF,FN,NE,要使四邊形EMFN為正方形,則需添加的條

件是（）

A.AB=CDfAB.LCDB.AB=CDfAD=BC

C.AB=CD,AC.LBDD.AB=CD,AD//BC

刷4（2023?云南昆明?統(tǒng)考二模）如圖,在任意四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,D4上的

點(diǎn)，對(duì)于四邊形EFGH的形狀，某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中,通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐，探索出如下結(jié)論，其中錯(cuò)誤

的是（）

A.當(dāng)E,F,G,H是各邊中點(diǎn)，且時(shí)，四邊形EFGH為菱形

B.當(dāng)E,F,3,打是各邊中點(diǎn),且人。，&?時(shí)，四邊形助噌打?yàn)榫匦?/p>

C.當(dāng)E,F,G,H不是各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形ERGH可以為平行四邊形

D.當(dāng)E,F,G,H不是各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形ERGH不可能為菱形

刷5（2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題）如圖,在菱形ABCD中，AB=4,/A=120°,順次連接菱形ABCD各邊中

點(diǎn)E、F、G、H,則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為（）

C.4+4V3D.6+4A/3

吼色（2023上?廣東佛山?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義:對(duì)于一個(gè)四邊形，我們把依次連接它的各?邊中點(diǎn)M得到的

新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”.如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形,我們把這個(gè)原四邊形

叫做“中方四邊形

【概念理解】：（1）下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是.

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

【性質(zhì)探究】：（2）如圖1,四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，直接寫出四邊形ABCD的對(duì)角線

AC,的關(guān)系；

【問(wèn)題解決】：（3）如圖2.以銳角△ABC的兩邊AB,AC為邊長(zhǎng)，分別向外側(cè)作正方形和正方形

ACFG,連接BE,EG,GC.求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”；

【拓展應(yīng)用】：如圖3,已知四邊形ABCD是“中方四邊形"，分別是AB,CD的中點(diǎn).

（4）試探索AC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.（5）若AC=2,求AB+CD的最小值.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

［題目口（2023?河北石家莊??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在皮△48。中，/ACB=90°,CD是4B邊上的中線，若

BC=6,47=8,則tan乙4CD的值為（）

建目②（2023?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考三模）如圖，在4ABC中，點(diǎn)。、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC

邊上運(yùn)動(dòng)（不與B、C重合），AF交DE于點(diǎn)G,則下列等式錯(cuò)誤的是（）

B.BF=2DGC.AF^2AGD.EG=2DG

題目①（2023?海南海口?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖,在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E

是A4的延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接OE交4D于點(diǎn)F,若CD=5,BC=8,AE=2,則AF的長(zhǎng)為（）

?M

E

題目?（2023?河南周口?校聯(lián)考三模）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，。E=CF=2,連接。F,AE,

G,H分別是的中點(diǎn)，連接GH,則GH的長(zhǎng)為（）

題目可（2023?陜西?統(tǒng)考中考真題）如圖，在0ABe。中，AB=5,BC=8.E是邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是

OABCD內(nèi)一點(diǎn)，且/BFC=90°.連接AF并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)G.若EF〃AB,則。G的長(zhǎng)為（）

〔題目⑹（2023?陜西西安??？寄M預(yù)測(cè)）如圖,在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)。，若BD=16,

tan/OCD=[■，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，則OE的長(zhǎng)為（）

題目可（2022?四川德陽(yáng)?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E,尸，G,H分別是CD,

DA邊上的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（）

8

A.四邊形EFGH是矩形

B.四邊形EFGH的內(nèi)角和小于四邊形ABCD的內(nèi)角和

C.四邊形EFGH的周長(zhǎng)等于四邊形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)度之和

D.四邊形EFGH的面積等于四邊形ABCD面積的十

［題目回（2023下?福建福州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，E,F,G,H分別是BC,AC,AD的中點(diǎn)，且

AB=C。，下列結(jié)論:①四邊形EFGH是菱形；②EG_LFH；③若ABAD+AADC=245°,則ZEFH=

27.5°；④EG=/（BC—AD）；其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

題目團(tuán)（2023?山東臨沂?統(tǒng)考一模）四邊形人反7。的對(duì)角線人。，5。交點(diǎn)。,點(diǎn)“，"，_?,口分別為邊48,

的中點(diǎn).有下列四個(gè)推斷，

①對(duì)于任意四邊形ABCD,四邊形7WNPQ可能不是平行四邊形；

②若AC=BO,則四邊形MNPQ一定是菱形;③若力。,則四邊形MNPQ一定是矩形；

④若四邊形ABCD是菱形,則四邊形MNPQ也是菱形.所有正確推斷的序號(hào)是.

題目包（2023下?江蘇南京?八年級(jí)校考期中）點(diǎn)A,B,C為平面內(nèi)不在同一直線上的三點(diǎn).點(diǎn)。為平面內(nèi)

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，8，。重合）.線段.CD,D4的中點(diǎn)分別為Q.在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)

程中，有下列結(jié)論：①存在無(wú)數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是平行四邊形;②存在無(wú)數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是菱

形;③存在無(wú)數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是矩形;④存在一個(gè)中點(diǎn)四邊形MNPQ是正方形.所有正確結(jié)論的

序號(hào)是.

題目但（2023?廣東深圳??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,4,E為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)

為AE中點(diǎn)，G為DE上一點(diǎn)，BF=FG,則CG的最小值為

題目QT）（2023?江西上饒?校聯(lián)考二模）在4ABC中，AC=6,BC=8,AB=10,。是AB的中點(diǎn)，。是CD

上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到△48。的一邊的距離為2,則CP的長(zhǎng)為.

題目逗（2023?廣東廣州?校考三模）如圖，Bt/XABC中，AACB=90°,AC=4,BC=8,CD是AABC的中

線，E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，將/\BED沿即折疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)F處，EF交線段CD于點(diǎn)G,當(dāng)△DFG是直角

三角形時(shí)，則CE=.

［題目亙（2023?陜西西安?校考模擬預(yù)測(cè)）在四邊形ABCD中，對(duì)角線平分AC,E、F、G分別為A3、

CD、中點(diǎn)，連接E尸交BD于P,交AC于Q,若49=5,。。=8,且4sA,則條=

題目叵］（2023?河南周口?校聯(lián)考三模）如圖,在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將DE繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)得到

DF,連接AF,G為AF的中點(diǎn)，連接BG,若AB=2遍，40=4,，當(dāng)。F〃BG時(shí)，BG的長(zhǎng)為.

題目（2023.安徽.校聯(lián)考二模）如圖，在A4BC中,NABC=9Q°,AB=BC=6,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)。，CD=4,

點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，BE交AC于點(diǎn)、F,則△ABF的面積為.

A

面目TO（2023?江蘇南通?統(tǒng)考一模）如圖，AC是四邊形ABCD的對(duì)角線，=90°,點(diǎn)E在邊AD±,

連接BE交于F,取CE的中點(diǎn)G.若==CD=3,AD=5,則FG的最小值為.

題目,（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知Rt/\ABC^RtADEF,AC=AF=Q0°,AC=DF=3,BC=EF

=4,/\DEF繞著斜邊AB的中點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，DE、OF分別交AC、BC所在的直線于點(diǎn)P、Q.當(dāng)ABDQ為等

腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為.

題目叵（2023下?山西臨汾?八年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與探究:如圖1,四邊形ABDC中，E、F、G、H分別是

AC.AB.BD、CD的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H.

圖1

（2）如圖2,P在四邊形ABDC內(nèi)一點(diǎn)，使PC=P4,PD=P3,/4PC=/BPD,其他條件不變,試探究四

邊形EFGH的形狀，并說(shuō)明理由.（3）在（2）的條件下，PA=6,PB=2/，NAPC=ABPD=60°,

/LCPD=90°,求四邊形EFGH的面積.

「題目亙（2023下?河北石家莊?八年級(jí)統(tǒng)考期中）四邊形ABCD中，點(diǎn)E、尸、G、H分別為AB、BC、C。、

邊的中點(diǎn),順次連接各邊中點(diǎn)得到的新四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形.

（1）我們知道:無(wú)論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點(diǎn)四邊形EFGH都是平行四邊形.特殊的：

①當(dāng)對(duì)角線AC=時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形為形；

②當(dāng)對(duì)角線AC時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是形.

（2）如圖：四邊形ABCD中，已知/B=/C=60°,且請(qǐng)利用（1）中的結(jié)論，判斷四邊形

ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀并進(jìn)行證明.

題目叵（2023?廣東深圳?深圳市海灣中學(xué)?？既＃╊惐忍骄?/p>

【問(wèn)題背景】已知。、E分別是AABC的48邊和4。邊上的點(diǎn)，且。E〃BC,則/\ABC?AADE把AADE

繞著A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，連接和CE.

圖2

①如圖2,找出圖中的另外一組相似三角形②若AB=4,AC=3,BO=2/lJCE=.

【遷移應(yīng)用】在RtAACB中，ABAC=90°,60°,。、E、M■分別是48、AC、BC中點(diǎn),連接DE和

CM.①如圖3,寫出CE和8。的數(shù)量關(guān)系；②如圖4,把Rt/\ADE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)

。落在入河上時(shí)，連接CD和。￡，取。D中點(diǎn)N,連接7W,若CE=2四,求的長(zhǎng).

【創(chuàng)新應(yīng)用】如圖5：AB=AC=AE=2V5,BC=4,△ADE是直角三角形，ADAE=90°,tan/ADE=2,

將△入￡）￡繞著點(diǎn)A