10.5用二元一次方程組解決問題行程問題速度×時間=路程.順水（風）速度=靜水（風）速度+水（風）流速度.逆水（風）速度=靜水（水）速度-水（風）流速度.同時不同地相向運動的相遇問題：路程和=速度和×時間同時不同地同向運動的追及問題：路程差=速度差×時間同時同地同向運動的環(huán)形跑道問題：路程差=n×一圈周長（n代表第n次相遇）行程問題工作總量＝工作效率×工作時間（在沒有明確工作總量的前提下，通常把工作總量看做單位“1”）各部分勞動量之和＝工作總量.利潤問題商品利潤＝商品售價－商品進價，.實際售價=商品標價×折數(shù)數(shù)字問題通常一個三位數(shù)，百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個位數(shù)字為c，則這個三位數(shù)可表示為100a+10b+c,依此類推。方案選擇問題在解決問題時，常常需合理安排．需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如人員的分配、旅游購票等。配套問題不同部分的加工總量成一定比例。（比如螺母螺帽問題）題型1：行程問題1．小魏和小梁從A，B兩地同時出發(fā)，小魏騎自行車，小梁步行，沿同條路線相向勻速而行．出發(fā)2h兩人相遇．相遇時小魏比小梁多行24km，相遇后0.5h小魏到達B地．（1）兩人的速度分別是多少？（2）相遇后小梁多少時間到達A地？【分析】（1）設小魏的速度為xkm/h，小梁的速度為ykm/h，由題意：出發(fā)2h兩人相遇．相遇時小魏比小梁多行24km，相遇后0.5h小魏到達B地．列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）由路程÷速度即可得出結論．【解答】解：（1）設小魏的速度為xkm/h，小梁的速度為ykm/h，由題意得：2x-解得：x=16y=4答：小魏的速度為16km/h，小梁的速度為4km/h；（2）2×16÷4＝8（h），答：相遇后小梁8小時到達A地．【變式1-1】甲乙兩人從相距40千米的兩地相向而行．如果甲比乙先走2小時，那么在乙出發(fā)后1.5小時相遇；如果乙比甲先走2小時，那么在甲出發(fā)后2小時相遇．甲、乙兩人每小時各走多少千米？【分析】設甲的速度是x千米/時，乙速度是y千米/時，由題意：甲乙兩人從相距40千米的兩地相向而行．如果甲比乙先走2小時，那么在乙出發(fā)后1.5小時相遇；如果乙比甲先走2小時，那么在甲出發(fā)后2小時相遇，列出方程組求解即可．【解答】解：設甲的速度是x千米/時，乙速度是y千米/時，依題意得：(2+1.5)x+1.5y=402x+(2+2)y=40解得：x=100答：甲的速度是10011千米/每小時，乙的速度是6011千米【變式1-2】A、B兩地相距480千米，一列慢車從A地開出，一列快車從B地開出．如果兩車同時開出相向而行，3小時相遇；如果兩車同時開出同向（沿BA方向）而行，那么快車12小時可追上慢車，求快車與慢車的速度．【分析】設出快車速度為x千米/小時，慢車速度為y千米/小時；利用等量關系：速度和×相遇時間＝A、B兩地相距路程，速度差×追擊時間＝A、B兩地相距路程，列方程組解答即可．【解答】解：設快車速度為x千米/小時，慢車速度為y千米/小時，由題意得，3(x+y)=48012(x-y)=480解得x=100答：快車速度為100千米/小時，慢車速度為60千米/小時．【變式1-3】列二元一次方程組解應用題：小穎家離學校1880米，其中有一段為上坡路，另一段為下坡路．她跑步去學校共用了16分鐘，已知小穎在上坡路上的平均速度是80米/分鐘，在下坡路上的平均速度是200米/分鐘．求小穎上坡、下坡各用了多長時間？【分析】設小穎上坡用了x分鐘，下坡用了y分鐘，根據(jù)“小穎家離學校1880米，且去學校共用了16分鐘”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解答】解：設小穎上坡用了x分鐘，下坡用了y分鐘，依題意得：x+y=1680x+200y=1880解得：x=11y=5答：小穎上坡用了11分鐘，下坡用了5分鐘．題型2：工程問題2.閱讀理解：為打造陶子河沿岸的風景帶，有一段長為360米的河道整治任務由A、B兩個工程隊先后接力完成，A工程隊每天整治24米，B工程隊每天整治16米，共用20天．（1）根據(jù)題意，甲乙兩個同學分別列出了尚不完整的方程組如下：甲：x+y=()24x+16y=()，乙：x+y=()根據(jù)甲、乙兩名同學所列的方程組，請你分別指出未知數(shù)x，y表示的意義，并且補全甲、乙兩名同學所列的方程組：甲：x表示A隊的工作時間，y表示B隊的工作時間；乙：x表示A隊的工作量，y表示B隊的工作量；（2）求出其中一個方程組的解，并回答A、B兩工程隊分別整治河道多少米？【分析】（1）甲、乙兩名同學所列的方程組可得，甲：x表示A隊的工作時間，y表示B隊的工作時間；乙：x表示A隊的工作量，y表示B隊的工作量，補全方程組即可；（2）根據(jù)二元一次方程組的解法求解方程組甲．【解答】解：（1）甲：x+y=2024x+16y=360乙：x+y=360x甲：x表示A隊的工作時間，y表示B隊的工作時間；乙：x表示A隊的工作量，y表示B隊的工作量；故答案為：A隊的工作時間，B隊的工作時間；A隊的工作量，B隊的工作量．（2）x+y=20①①×16﹣②得：﹣8x＝﹣40，解得：x＝5，把x＝5代入①得：5+y＝20，解得：y＝15，∴方程組的解為：x=5y=15則24x＝120，16y＝240，答：A隊整治河道120米，B隊整治河道240米．【變式2-1】現(xiàn)有一段長為88米的河道清淤任務，由甲、乙兩個工程隊先后接力完成．甲隊每天清理10米，乙隊每天清理8米，兩隊共用時10天，則甲、乙工程隊各清理了幾天？【分析】設甲工程隊清理了x天，乙工程隊清理了y天，利用工作總量＝工作效率×工作時間，結合甲隊接力共用時10天完成88米的河道清淤任務，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解答】解：設甲工程隊清理了x天，乙工程隊清理了y天，依題意得：x+y=1010x+8y=88解得：x=4y=6答：甲工程隊清理了4天，乙工程隊清理了6天．題型3：利潤問題3.某校八年級為了獎勵在“詩詞大賽”中獲獎的班級，到商店買了一些學生們特別喜歡的盲盒．甲、乙兩種盲盒原來的單價和為25元．因市場變化，甲種盲盒降價20%，乙種盲盒提價20%，調(diào)價后，兩種盲盒的單價和比原來的單價和降低了4%．甲、乙兩種盲盒原來的單價各是多少元？【分析】設甲盲盒原來的單價是x元，乙盲盒原來的單價是y元，根據(jù)甲、乙兩種盲盒原來的單價和及調(diào)價后的單價和，可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解答】解：設甲盲盒原來的單價是x元，乙盲盒原來的單價是y元，根據(jù)題意得：x+y=25(1-20%)x+(1+20%)y=25×(1-4%)解得：x=15y=10答：甲盲盒原來的單價是15元，乙盲盒原來的單價是10元．【變式3-1】直播帶貨已經(jīng)成為年輕人購物的新時尚．某網(wǎng)紅為回饋粉絲，在直播間為某品牌帶貨促銷：凡購買該品牌產(chǎn)品均享受13%的補貼（憑付款截屏到線上客服處返現(xiàn)）．某粉絲購買該品牌電視和空調(diào)各一臺共花去6000元，且該空調(diào)的單價比所買電視的單價的2倍還多600元．（1）該粉絲可以到線上客服處返多少元現(xiàn)金？（2）該粉絲所買的空調(diào)與電視的單價各是多少元？【分析】（1）利用返的現(xiàn)金＝付款金額×13%，即可求出結論；（2）設該粉絲所買的空調(diào)的單價是x元，電視的單價是y元，根據(jù)“購買該品牌電視和空調(diào)各一臺共花去6000元，且該空調(diào)的單價比所買電視的單價的2倍還多600元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解答】解：（1）6000×13%＝780（元）．答：該粉絲可以到線上客服處返780元現(xiàn)金．（2）設該粉絲所買的空調(diào)的單價是x元，電視的單價是y元，根據(jù)題意得：x+y=6000x-2y=600解得：x=4200y=1800答：該粉絲所買的空調(diào)的單價是4200元，電視的單價是1800元．【變式3-2】某超市對甲、乙兩種商品進行打折銷售，其中甲種商品打八折，乙種商品打七五折，已知打折前，買6件甲種商品和3件乙種商品需600元；打折后，買50件甲種商品和40件乙種商品需5200元．（1）打折前甲、乙兩種商品每件分別為多少元？（2）某人購買甲種商品80件，乙種商品100件，問打折后購買這些商品比不打折可節(jié)省多少元？【分析】（1）設打折前甲種商品每件x元，乙種商品每件y元，根據(jù)“打折前，買6件甲種商品和3件乙種商品需600元；打折后，買50件甲種商品和40件乙種商品需5200元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）根據(jù)節(jié)省的錢數(shù)＝打折前購買所需費用﹣打折后購買所需費用，即可求出結論．【解答】解：（1）設打折前甲種商品每件x元，乙種商品每件y元，依題意，得：6x+3y=60050×0.8x+40×0.75y=5200解得：x=40y=120答：打折前甲種商品每件40元，乙種商品每件120元．（2）80×40+100×120﹣80×0.8×40﹣100×0.75×120＝3640（元）．答：打折后購買這些商品比不打折可節(jié)省3640元．【變式3-3】某中學用1000元資金為全校在大型藥店購進普通醫(yī)用口罩、N95口罩兩種口罩共350個，該大型藥店的普通醫(yī)用口罩、N95口罩成本價和銷售價如表所示：類別/單價成本價（元/個）銷售價（元/個）普通醫(yī)用口罩0.82N95口罩48（1）該校在大型藥店購進普通醫(yī)用口罩、N95口罩各多少個？（2）銷售完這350個普通醫(yī)用口罩、N95口罩，該大型藥店共獲得多少利潤？【分析】（1）設該校在大型藥店購進普通醫(yī)用口罩x個，N95口罩y個，依據(jù)題意可得方程組，解方程組即可求；（2）根據(jù)總利潤＝銷量×（售價﹣進價）進行計算即可得．【解答】解：（1）設該校在大型藥店購進普通醫(yī)用口罩x個，N95口罩y個，依題意，得：x+y=3502x+8y=1000解得：x=300y=50答：該校在大型藥店購進普通醫(yī)用口罩300個，N95口罩50個．（2）300×（2﹣0.8）+50×（8﹣4）＝560（元），答：銷售完這300個普通醫(yī)用口罩、N95口罩，該大型藥店共獲得利潤560元．題型4：數(shù)字問題4.已知一個兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字x比個位上的數(shù)字y大1，若對調(diào)個位與十位上的數(shù)字，得到的新數(shù)比原數(shù)小9，求這個兩位數(shù)所列的方程組．【分析】關鍵描述語是：十位上的數(shù)字x比個位上的數(shù)字y大1；新數(shù)比原數(shù)小9．等量關系為：①十位上的數(shù)字＝個位上的數(shù)字+1；②原數(shù)＝新數(shù)+9．【解答】解：根據(jù)十位上的數(shù)字x比個位上的數(shù)字y大1，得方程x＝y(tǒng)+1；根據(jù)對調(diào)個位與十位上的數(shù)字，得到的新數(shù)比原數(shù)小9，得方程10x+y＝10y+x+9．列方程組為x=y+110x+y=10y+x+9【變式4-1】一個兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字大3，若將十位數(shù)字和個位數(shù)交換位置，所得的新兩位數(shù)比原兩位數(shù)的13多15【分析】設這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，由題意列二元一次方程組，解方程組即可求解．【解答】解：設這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，由題意得x-解得：x=6y=3∴這個兩位數(shù)為63．題型5：方案選擇問題5.為發(fā)展校園足球運動，我市四校決定聯(lián)合購買一批足球運動裝備．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，甲、乙兩商場以同樣的價格出售同種品牌的足球隊服和足球．已知每套隊服比每個足球多60元，5套隊服與8個足球的費用相等，經(jīng)洽談，甲商場優(yōu)惠方案是每購買10套隊服，送1個足球；乙商場優(yōu)惠方案是購買隊服超過80套，則購買足球打8折．（1）求每套隊服和每個足球的價格各是多少？（2）若這四所學校聯(lián)合購買100套隊服和a（a＞10）個足球，請用含a的式子分別表示出到甲商場和乙商場購買裝備所花的費用．（3）在（2）的條件下，若a＝70，假如你是本次購買任務的負責人，你認為到甲、乙哪家商場購買比較合算？請說明理由．【分析】（1）設每個足球的價格是x元，每套隊服的價格為y元，由題意：每套隊服比每個足球多60元，5套隊服與8個足球的費用相等，列出一次方程組，解方程組即可；（2）由甲、乙商場的優(yōu)惠方案分別列式計算即可；（3）分別求出當a＝70時，到甲商場購買裝備所花的費用和到乙商場購買裝備所花的費用，再比較即可．【解答】解：（1）設每個足球的價格是x元，每套隊服的價格為y元，由題意得：y=x+605y=8x解得：x=100y=160答：每套隊服的價格各是160元，每個足球的價格是100元．（2）到甲商場購買裝備所花的費用為：100×160+100（a﹣10）＝（100a+15000）（元），到乙商場購買裝備所花的費用為：100×160+100×0.8a＝（80a+16000）（元）；（3）到乙商場購買比較合算，理由如下：當a＝70時，到甲商場購買裝備所花的費用是：100a+15000＝100×70+15000＝22000（元），到乙商場購買裝備所花的費用是：80a+16000＝80×70+16000＝21600（元），∵22000＞21600，∴到乙商場購買比較合算．【變式5-1】某藥店出售A、B兩種N95的口罩，已知該店進貨4個A種N95口罩和2個B種N95口罩共需22元，進貨8個A種N95口罩所需費用比進貨4個B種N95口罩所需費用多4元．（1）請分別求出A、B兩種N95口罩的進價是多少元？（2）已知藥店將A種N95口罩每個提價1元出售，B種N95口罩每個提價20%出售，小雅在該藥店購買A、B兩種N95口罩（兩種口罩均要購買），共花費40元，小雅有哪幾種購買方案？【分析】（1）設A種N95口罩的進價是x元，B種N95口罩的進價是y元，根據(jù)“該店進貨4個A種N95口罩和2個B種N95口罩共需22元，進貨8個A種N95口罩所需費用比進貨4個B種N95口罩所需費用多4元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設購買A種N95口罩m個，B種N95口罩n個，利用總價＝單價×數(shù)量，即可得出關于m，n的二元一次方程，再結合m，n均為正整數(shù)，即可得出各購買方案．【解答】解：（1）設A種N95口罩的進價是x元，B種N95口罩的進價是y元，依題意得：4x+2y=228x-4y=4解得：x=3y=5答：A種N95口罩的進價是3元，B種N95口罩的進價是5元．（2）設購買A種N95口罩m個，B種N95口罩n個，依題意得：（3+1）m+5×（1+20%）n＝40，解得：m＝10-32又∵m，n均為正整數(shù)，∴m=7n=2或m=4n=4或∴小雅共有3種購買方案，方案1：購買A種N95口罩7個，B種N95口罩2個；方案2：購買A種N95口罩4個，B種N95口罩4個；方案3：購買A種N95口罩1個，B種N95口罩6個．【變式5-2】五一節(jié)前，某商店擬購進A、B兩種品牌的電風扇進行銷售，已知購進3臺A種品牌電風扇所需費用與購進2臺B種品牌電風扇所需費用相同，購進1臺A種品牌電風扇與2臺B種品牌電風扇共需費用400元．（1）求A、B兩種品牌電風扇每臺的進價分別是多少元？（2）銷售時，該商店將A種品牌電風扇定價為180元/臺，B種品牌電風扇定價為250元/臺，商店擬用1000元購進這兩種風扇（1000元剛好全部用完），為能在銷售完這兩種電風扇后獲得最大的利潤，該商店應采用哪種進貨方案？【分析】（1）設A、B兩種品牌電風扇每臺的進價分別是x元、y元，由題意：購進3臺A種品牌電風扇所需費用與購進2臺B種品牌電風扇所需費用相同，購進1臺A種品牌電風扇與2臺B種品牌電風扇共需費用400元．列出方程組，解方程組即可；（2）設購進A種品牌的電風扇a臺，購進B種品牌的電風扇b臺，由題意：商店將A種品牌電風扇定價為180元/臺，B種品牌電風扇定價為250元/臺，商店擬用1000元購進這兩種風扇（1000元剛好全部用完），列出二元一次方程，求其正整數(shù)解，再分別計算出各種方案下的利潤，即可得出答案．【解答】解：（1）設A、B兩種品牌電風扇每臺的進價分別是x元、y元，由題意得：3x=2yx+2y=400解得：x=100y=150答：A、B兩種品牌電風扇每臺的進價分別是100元、150元；（2）設購進A種品牌的電風扇a臺，購進B種品牌的電風扇b臺，由題意得：100a+150b＝1000，其正整數(shù)解為：a=1b=6或a=4b=4或當a＝1，b＝6時，利潤＝80×1+100×6＝680（元），當a＝4，b＝4時，利潤＝80×4+100×4＝720（元），當a＝7，b＝2時，利潤＝80×7+100×2＝760（元），∵680＜720＜760，∴當a＝7，b＝2時，利潤最大，答：為能在銷售完這兩種電風扇后獲得最大的利潤，該商店應采用購進A種品牌的電風扇7臺，購進B種品牌的電風扇2臺．【變式5-3】某校準備組織七年級學生參加夏令營，已知用3輛小客車和1輛大客車每次可運送學生105人，用1輛小客車和2輛大客車每次可運送學生110人：現(xiàn)有學生400人，計劃租用小客車a輛，大客車b輛，一次送完，且恰好每輛車都坐滿．（1）1輛小客車和1輛大客車都坐滿后一次可運送多少學生？（2）請你幫學校設計出所有的租車方案．【分析】（1）設1輛小客車一次可送學生x人，1輛大客車都坐滿后一次可送y名學生，根據(jù)題意可得等量關系：①用3輛小客車拉的人數(shù)+1輛大客車拉的人數(shù)＝運送學生105人；②用1輛小客車拉的人數(shù)+2輛大客車拉的人數(shù)＝運送學生110人，根據(jù)等量關系列出方程組，再解即可；（2）設租小客車a輛，大客車b輛，由題意得：20×小客車的數(shù)量+45×大客車的數(shù)量＝400人，根據(jù)等量關系列出方程，求出非負整數(shù)解即可．【解答】解：（1）設1輛小客車一次可送學生x人，1輛大客車都坐滿后一次可送y名學生，由題意得：3x+y=105x+2y=110解得：x=20y=45所以x+y＝65，答：1輛小客車和1輛大客車都坐滿后一次可送65名學生．（2）設租小客車a輛，大客車b輛，由題意得20a+45b＝400，∴a=80-9b∵每輛汽車恰好都坐滿，∴a、b的值均為非負整數(shù)，∴a、b可取a=20b=0，a=11b=4，∴租車方案有3種：方案一：小客車20輛，大客車0輛；方案二：小客車11輛，大客車4輛；方案三：小客車2輛，大客車8輛．題型6：配套問題6.某工廠生產(chǎn)茶具，每套茶具有1個茶壺和4只茶杯組成，生產(chǎn)這套茶具的主要材料是紫砂泥、用1千克紫砂泥可做2個茶壺或8只茶杯．現(xiàn)要用6千克紫砂泥制作這些茶具，應用多少千克紫砂泥做茶壺，多少千克紫砂泥做茶杯、恰好配成這種茶具多少套？【分析】設應用x千克紫砂泥做茶壺，y千克紫砂泥做茶杯，恰好配成這種茶具．由題意：每套茶具有1個茶壺和4只茶杯組成，用1千克紫砂泥可做2個茶壺或8只茶杯．現(xiàn)要用6千克紫砂泥制作這些茶具，列出二元一次方程組，解方程組即可．【解答】解：設應用x千克紫砂泥做茶壺，y千克紫砂泥做茶杯，恰好配成這種茶具．由題意得：x+y=62x?4=8y解得：x=3y=3則2×3＝6（套）．答：應用3千克紫砂泥做茶壺，3千克紫砂泥做茶杯，恰好配成這種茶具6套．【變式6-1】一套格柵燈具由3個圓弧燈罩和2塊柵板間隔組成，均可用鋁合金板沖壓制成，已知1m2鋁合金板可以沖壓4個圓弧燈罩或12塊柵板，現(xiàn)要用11m2鋁合金板制作這種格柵燈具，應分配多少平方米鋁合金板制作成圓弧燈罩，多少平方米鋁合金板制作柵板？恰好能配成這種格柵燈具多少套？【分析】設應分配x平方米鋁合金板制作成圓弧燈罩，y平方米鋁合金板制作柵板，恰好能配成這種格柵燈具，由11m2鋁合金板制作這種格柵燈具，一套格柵燈具由3個圓弧燈罩和2塊柵板間隔組成，1m2鋁合金板可以沖壓4個圓弧燈罩或12塊柵板，列出方程組解答即可．【解答】解：設應分配x平方米鋁合金板制作成圓弧燈罩，y平方米鋁合金板制作柵板，由題意得x+y=114x解得：x=9y=2則4x3=答：應分配9平方米鋁合金板制作成圓弧燈罩，2平方米鋁合金板制作柵板，恰好能配成這種格柵燈具12套．【變式6-2】一套儀器由2個A部件和3個B部件構成，用2立方米鋼材可做40個A部件或240個B部件，現(xiàn)要用10立方米鋼材制作這種儀器，應用多少鋼材做A部件、B部件，恰好配成這種儀器多少套？【分析】設應用x立方米鋼材做A部件，y立方米鋼材做B部件，根據(jù)共有10立方米鋼材，2個A部件和3個B部件剛好配成套，列方程組求解．【解答】解：∵用2立方米鋼材可做40個A部件或240個B部件，∴用1立方米鋼材可做20個A部件或120個B部件，設應用x立方米鋼材做A部件，y立方米鋼材做B部件，x+y=10①解得：x=8y=2所以20x＝160，120y＝240，所以160÷2＝80，240÷3＝80．答：應用8立方米的鋼材做A部件，2立方米的鋼材做B部件，恰好配成這種儀器80套．題型7：幾何問題7.如圖所示，某居民小區(qū)為了綠化小區(qū)環(huán)境，建設和諧家園，準備將一塊周長為228米的長方形空地，設計成長和寬分別相等的9塊小長方形．（1）小長方形的長和寬分別為多少米？（2）計劃在空地上種各種花卉，經(jīng)市場預測，綠化每平方米空地造價200元，經(jīng)計算，要完成這塊綠化工程，預計花費多少元？【分析】（1）設小長方形的長為x米，寬為y米，根據(jù)題意列出方程，即可求解；（2）用200乘以空地的面積，即可求解．【解答】解：（1）設小長方形的長為x米，寬為y米，根據(jù)題意得：2x=5y2(2x+x+2y)=228解得：x=30y=12答：小長方形的長為30米，寬為12米；（2）200×（30×2）×（30+12×2）＝648000元，答：預計花費648000元．【變式7-1】小東在拼圖時，發(fā)現(xiàn)8個一樣大小的長方形，恰好可以拼成一個大的長方形如圖1所示．小林看見了說：“我也來試一試．”結果小林七拼八湊，拼成了如圖2那樣的正方形，中間還留下了一個恰好是邊長為3cm的小正方形，求小長方形的面積．【分析】設小長方形的寬為xcm，長為ycm，根據(jù)圖1中大長方形的長、圖2中大正方形的邊長的不同表示方法得出方程組，解方程組求出小長方形的寬和長即可解決問題．【解答】解：設小長方形的寬為xcm，長為ycm，則圖1中大長方形的長可以表示為5xcm或3ycm，圖2中大正方形的邊長可以表示為（2x+y）cm或（2y+3）cm，那么可得出方程組為：5x=3y2x+y=2y+3解得：x=9y=15則小長方形的面積為：9×15＝135（cm2），答：小長方形的面積為135cm2．【變式7-2】“爭創(chuàng)文明城市，建設美麗太原”．某居民小區(qū)為了綠化小區(qū)環(huán)境，建設和諧家園．準備將塊周長為76米的長方形空地，設計成長和寬分別相等的9塊小長方形，如圖所示．計劃在空地上種上各種花卉，經(jīng)市場預測，綠化每平方米空地造價210元．（1）小長方形的長和寬各是多少米？（2）請計算，要完成這塊綠化工程，預計花費多少元？【分析】設小長方形的長為x米，寬為y米，由大長方形的周長及上下兩邊相等，可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，再利用總價＝單價×長方形的面積即可求出結論．【解答】解：（1）設小長方形的長為x米，寬為y米，根據(jù)題意可列方程組：5y=2x2(2x+x+2y)=76解得：x=10y=4答：小長方形的長為10米，寬為4米．（2）210×（20×18）＝75600（元），答：要完成這塊綠化工程，預計花費75600元．一．選擇題（共6小題）1．一個學習小組共有x個學生，分為y個小組．若每組5人，則余下3人；若每組6人，則有一組少3人，則可得方程組（）A．5x+3=y6x-3=y B．5y=x+3C．5y=x+36y=x+3 D．【分析】找到題中的等量關系，每組5人×組數(shù)+3＝總?cè)藬?shù)；每組6人×組數(shù)﹣3＝總?cè)藬?shù)，據(jù)此列方程組即可．【解答】解：由題意得：5y+3=x6y-3=x整理可得5y=x-故選：D．2．把一個兩位數(shù)的十位上的數(shù)與個位上的數(shù)交換位置，所得的新兩位數(shù)比原數(shù)大9，則符合條件的兩位數(shù)的個數(shù)是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】設這個兩位數(shù)個位上的數(shù)為x，十位上的數(shù)為y，則原兩位數(shù)是x+10y，將十位上的數(shù)與個位上的數(shù)交換位置后得到的兩位數(shù)是10x+y，于是列方程得10x+y﹣（x+10y）＝9，整理得y＝x﹣1，即可求出所有符合條件的兩位數(shù)，得到問題的答案．【解答】解：設這個兩位數(shù)個位上的數(shù)為x，十位上的數(shù)為y，根據(jù)題意得10x+y﹣（x+10y）＝9，整理得y＝x﹣1，∴x=2y=1或x=3y=2或x=4y=3或x=5y=4或x=6y=5或x=7∴這個兩位數(shù)是12或23或34或45或56或67或78或89，符合條件的兩位數(shù)的個數(shù)是8，故選：B．3．一張競賽試卷有25道題，做對一道題得4分，做錯一道題倒扣1分，小明做了全部試題得到70分，則他做對的題有（）A．16道 B．17道 C．18道 D．19道【分析】設小明做對的題為x道，做錯的題為y道，由題意：做對一道題得4分，做錯一道題倒扣1分，小明做了全部試題得到70分，列出方程組，解方程組即可．【解答】解：設小明做對的題為x道，做錯的題為y道，根據(jù)題意得：x+y=254x-y=70解得：x=19y=6即他做對的題為19道，故選：D．4．如圖，用12塊形狀和大小均相同的小長方形紙片拼成一個寬是60厘米的大長方形，則每個小長方形的周長是（）A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米【分析】設小長方形地磚的長為x厘米，寬為y厘米，由大長方形的寬為60厘米，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解答】解：設小長方形地磚的長為x厘米，寬為y厘米，根據(jù)題意得：x+y=603x=2x+3y解得：x=45y=15則每個小長方形的周長＝2（x+y）＝120（厘米），故選：D．5．一個兩位數(shù)的十位上的數(shù)字與個位上數(shù)字之和為8，把這個數(shù)減去36后，結果恰好成為十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)后組成的兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)是（）A．26 B．62 C．71 D．53【分析】設這個兩位數(shù)的個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，則兩位數(shù)可表示為10y+x，對調(diào)后的兩位數(shù)為10x+y，根據(jù)題中的兩個數(shù)字之和為8及對調(diào)后的等量關系可列出方程組，求解即可．【解答】解：設這個兩位數(shù)的個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，根據(jù)題意得：x+y=810y+x-36=10x+y解得：x=2y=6則這個兩位數(shù)為6×10+2＝62．故選：B．6．在長方形ABCD中，放入5個形狀大小相同的小長方形（空白部分），其中AB＝7cm，BC＝11cm，則陰影部分圖形的總面積為（）cm2A．27 B．29 C．34 D．36【分析】設小長方形的長為xcm，寬為ycm，根據(jù)圖形中大長方形的長和寬列二元一次方程組，求出x和y的值，即可解決問題．【解答】解：設小長方形的長為xcm，寬為ycm，根據(jù)題意，得：x+3y=11x+y=7解得：x=5y=2∴每個小長方形的面積為2×5＝10（cm2），∴陰影部分的面積＝7×11﹣5×10＝27（cm2），故選：A．二．填空題（共6小題）7．關于幻方的起源，中國有“河圖”和“洛書”之說．相傳在遠古時期，伏羲氏取得天下，把國家治理得井并有條，感動了上天，于是黃河中躍出一匹龍馬，背上馱著一張圖，作為禮物獻給他，這就是“河圖”，也是最早的幻方，如圖，有一個類似于幻方的“幻圓”，現(xiàn)有﹣6、﹣4、﹣2、0、3、5、7、9分別放入圖中的圓圈中，使得內(nèi)圓和外圓以及同一行和同一列的四個數(shù)字和相等，則x﹣y＝﹣9．【分析】設大圈上的空白圓內(nèi)的數(shù)字為z，根據(jù)題意，列出等式，求出x，y的值，進行求出x﹣y的值即可．【解答】解：設大圈上的空白圓內(nèi)的數(shù)字為z，則：由題意，得：﹣4+5+7+z＝z+0+y+5，﹣4+5+7+z＝﹣4+x+9+7，∴y＝3，z＝x+4，∵共有﹣6、﹣4、﹣2、0、3、5、7、9，8個數(shù)字，還剩下﹣6，﹣2兩個數(shù)字的位置沒有確定，∴x+z＝﹣6﹣2＝﹣8，即：x+x+4＝﹣8，∴x＝﹣6，∴x﹣y＝﹣6﹣3＝﹣9；故答案為：﹣9．8．隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車銷售公司計劃購進一批新能源汽車嘗試進行銷售，已知A型汽車每輛的進價為25萬元，B型汽車每輛的進價為10萬元．若該公司計劃正好用200萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），則不同的購買方案共有3種．【分析】該公司購進x輛A型汽車，y輛B型汽車，利用總價＝單價×數(shù)量，可得出關于x，y的二元一次方程，結合x，y均為正整數(shù)，即可得出該公司共有3種不同的購買方案．【解答】解：該公司購進x輛A型汽車，y輛B型汽車，根據(jù)題意得：25x+10y＝200，∴y＝20-52又∵x，y均為正整數(shù)，∴x=2y=15或x=4y=10或∴該公司共有3種不同的購買方案．故答案為：3．9．元旦期間，綦江區(qū)新世紀超市對三種風味的酸奶（紅棗味、果蔬味、菠蘿味）進行A、B、C三種套餐的促銷活動．已知A種套餐由2盒紅棗味、4盒果蔬味、5盒菠蘿味搭配而成；B種套餐由4盒紅棗味、8盒果蔬味、9盒菠蘿味搭配而成；C種套餐由3盒紅棗味、6盒果蔬味、8盒菠蘿味搭配而成，每一種套餐的費用就是搭配該套餐的三種風味酸奶費用的總和．若一個A種套餐需32元，那么小明同學要買2個A種套餐、1個B種套餐和2個C種套餐共需費用224元．【分析】設紅棗味、果蔬味、菠蘿味三種風味酸奶的單價分別為x元，y元，z元，根據(jù)一個A種套餐需32元得2x+4y+5z＝32，則小明同學要買2個A種套餐、1個B種套餐和2個C種套餐共需費用為2（2x+4y+5z）+（4x+8y+9z）+2（3x+6y+8z）＝7（2x+4y+5z），再將2x+4y+5z＝32整體代入即可求解．【解答】解：設紅棗味、果蔬味、菠蘿味三種風味酸奶的單價分別為x元，y元，z元，∵一個A種套餐需32元，∴2x+4y+5z＝32，∴小明同學要買2個A種套餐、1個B種套餐和2個C種套餐共需費用：2（2x+4y+5z）+（4x+8y+9z）+2（3x+6y+8z）＝4x+8y+10z+4x+8y+9z+6x+12y+16z＝14x+28y+35z＝7（2x+4y+5z），＝7×32＝224（元）．故答案為：224．10．某銷售商國慶節(jié)期間銷售阿爾卑斯、大白兔、不二家三種糖果的數(shù)量之比2：1：1，阿爾卑斯、大白兔、不二家三種糖果的單價之比為1：3：4．十一月份該銷售商為了迎接雙“十一”加大了宣傳力度．預計三種糖果的營業(yè)額都會增加．其中阿爾卑斯種糖果增加的營業(yè)額占總增加的營業(yè)額的715，此時，阿爾卑斯種糖果的營業(yè)額與十一月份三種糖果總營業(yè)頒之比為3：8，為使十一月份大白兔、不二家兩種糖果的營業(yè)額之比為3：4，則十一月份不二家糖果增加的營業(yè)額與十一月份總營業(yè)額之比為421【分析】根據(jù)三種糖果的數(shù)量比、單價比，可以按照比例設未知數(shù)，即10月份阿爾卑斯、大白兔、不二家三種糖果的銷售的數(shù)量和單價分別為2a、a、a；b、3b、4b，則10月份阿爾卑斯、大白兔、不二家三種糖果的銷售額比為2：3：4．因問題中涉及到阿爾卑斯的10月銷售數(shù)量，因此可以設11月份阿爾卑斯的營業(yè)額為7x，則11月份總增加的營業(yè)額為15x；再根據(jù)阿爾卑斯的營業(yè)額與十一月份三種糖果總營業(yè)額之比為3：8，建立等式，求出x．可以根據(jù)十一月份大白兔、不二家兩種糖果的營業(yè)額之比為3：4算出十一月份不二家糖果增加的營業(yè)額即可求解．【解答】解：設10月份阿爾卑斯、大白兔、不二家三種糖果的銷售的數(shù)量分別為2a、a、a；單價分別為b、3b、4b，∴10月份阿爾卑斯、大白兔、不二家三種糖果的銷售額分別為2ab，3ab，4ab；∵阿爾卑斯糖果增加的營業(yè)額占總增加的營業(yè)額的715∴設11月份阿爾卑斯增加的營業(yè)額為7x，則11月份總增加的營業(yè)額為15x；又阿爾卑斯糖果的營業(yè)額與十一月份三種糖果總營業(yè)額之比為3：8，∴（7x+2ab）：（15x+9ab）＝3：8，解得x＝ab，∴十一月份阿爾卑斯糖果的營業(yè)額為9ab，三種糖果總營業(yè)額為24ab，∴大白兔、不二家兩種糖果的營業(yè)額之和為15ab，若十一月份大白兔、不二家兩種糖果的營業(yè)額之比為3：4，則大白兔、不二家兩種糖果的營業(yè)額分別為457ab，607∴不二家糖果增加的營業(yè)額為607ab﹣4ab=32∴十一月份不二家糖果增加的營業(yè)額與十一月份總營業(yè)額之比為327ab：24ab=故答案為：42111．《九章算術》中有一道題的條件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小兩種盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依據(jù)該條件，2大桶加2小桶共盛53【分析】設一個大桶盛米x斛，一個小桶盛米y斛，根據(jù)5個大桶加上1個小桶可以盛米3斛，1個大桶加上5個小桶可以盛米2斛即可得出關于x、y的二元一次方程組，進而即可得出結論．【解答】解：設一個大桶盛米x斛，一個小桶盛米y斛，根據(jù)題意得：5x+y=3①①+②得：6x+6y＝5．∴2x+2y=5故答案為：5312．我國古代的數(shù)學專著《九章算術》中有這樣一道題：“今有人共買物，人出七，盈二；人出六，不足四，問人數(shù)，物價各幾何？”譯文：“幾個人一起去購買某物品，若每人出7錢，則多了2錢：若每人出6錢，則少了4錢，問有多少人，物品的價格是多少？”，根據(jù)問題情境可計算出購買物品的共有6人．【分析】設購買物品的共有x人，物品的價格是y錢，根據(jù)“幾個人一起去購買某物品，若每人出7錢，則多了2錢：若每人出6錢，則少了4錢”列出方程組，即可求解．【解答】解：設購買物品的共有x人，物品的價格是y錢，根據(jù)題意得：7x-解得：x=6y=40答：購買物品的共有6人．故答案為：6．三．解答題（共6小題）13．2022年2月第24屆冬奧會在北京舉行．某冬奧會紀念品專賣店計劃同時購進“冰墩墩”和“雪容融”兩種毛絨玩具，據(jù)了解，4只“冰墩墩”和5只“雪容融”的進價共計1000元；5只“冰墩墩”和10只“雪容融”的進價共計1550元．（1）求“冰墩墩”和“雪容融”兩種毛絨玩具每只進價分別是多少元；（2）若該專賣店計劃恰好用3000元購進“冰墩墩”和“雪容融”兩種毛絨玩具（兩種均購買），則專賣店共有哪幾種采購方案？【分析】（1）設“冰墩墩”毛絨玩具每只進價是x元，“雪容融”毛絨玩具每只進價是y元，根據(jù)4只“冰墩墩”和5只“雪容融”的進價共計1000元及5只“冰墩墩”和10只“雪容融”的進價共計1550元，可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設該專賣店購進m只“冰墩墩”毛絨玩具，n只“雪容融”毛絨玩具，利用總價＝單價×數(shù)量，可得出關于m，n的二元一次方程，結合m，n均為正整數(shù)，即可得出各采購方案．【解答】解：（1）設“冰墩墩”毛絨玩具每只進價是x元，“雪容融”毛絨玩具每只進價是y元，根據(jù)題意得：4x+5y=10005x+10y=1550解得：x=150y=80答：“冰墩墩”毛絨玩具每只進價是150元，“雪容融”毛絨玩具每只進價是80元；（2）設該專賣店購進m只“冰墩墩”毛絨玩具，n只“雪容融”毛絨玩具，根據(jù)題意得：150m+80n＝3000，∴m＝20-815又∵m，n均為正整數(shù)，∴m=12n=15或m=4∴專賣店共有2種采購方案，方案1：購進12只“冰墩墩”毛絨玩具，15只“雪容融”毛絨玩具；方案2：購進4只“冰墩墩”毛絨玩具，30只“雪容融”毛絨玩具．14．某校八年級為了獎勵在“詩詞大賽”中獲獎的班級，到商店買了一些學生們特別喜歡的盲盒．甲、乙兩種盲盒原來的單價和為25元．因市場變化，甲種盲盒降價20%，乙種盲盒提價20%，調(diào)價后，兩種盲盒的單價和比原來的單價和降低了4%．甲、乙兩種盲盒原來的單價各是多少元？【分析】設甲盲盒原來的單價是x元，乙盲盒原來的單價是y元，根據(jù)甲、乙兩種盲盒原來的單價和及調(diào)價后的單價和，可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解答】解：設甲盲盒原來的單價是x元，乙盲盒原來的單價是y元，根據(jù)題意得：x+y=25(1-20%)x+(1+20%)y=25×(1-4%)解得：x=15y=10答：甲盲盒原來的單價是15元，乙盲盒原來的單價是10元．15．目前，近幾年來，新能源汽車在中國已然成為汽車工業(yè)發(fā)展的主流趨勢，某汽車制造廠開發(fā)了一款新式電動汽車，計劃一年生產(chǎn)安裝288輛．由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來完成新式電動汽車的安裝，工廠決定招聘一些新工人．他們經(jīng)過培訓后上崗，也能獨立進行電動汽車的安裝．生產(chǎn)開始后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：2名熟練工和1名新工人每月可安裝10輛電動汽車；3名熟練工和2名新工人每月可安裝16輛電動汽車．（1）每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛電動汽車？（2）如果工廠抽調(diào)n（0＜n＜5）名熟練工，使得招聘的新工人和抽調(diào)的熟練工剛好能完成一年的安裝任務，那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案？【分析】（1）設每名熟練工每月可以安裝x輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝y輛電動汽車，根據(jù)“2名熟練工和1名新工人每月可安裝10輛電動汽車；3名熟練工和2名新工人每月可安裝16輛電動汽車”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設招聘y名新工人，根據(jù)招聘的新工人和抽調(diào)的熟練工剛好能完成一年的安裝任務，即可得出關于y，n的二元一次方程，結合0＜n＜5且n，y均為正整數(shù)，即可得出各招聘方案；【解答】解：（1）設每名熟練工每月可以安裝x輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝y輛電動汽車，由題意得：2x+y=103x+2y=16解得：x=4y=2答：每名熟練工每月可以安裝4輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝2輛電動汽車．（2）設招聘y名新工人，依題意得：12（2y+4n）＝288，∴y＝12﹣2n．∵0＜n＜5，且n，y均為正整數(shù)，∴n=1y=10或n=2y=8或n=3y=6∴工廠有4種新工人的招聘方案，方案1：招聘10名新員工，抽調(diào)1名熟練工；方案2：招聘8名新員工，抽調(diào)2名熟練工；方案3：招聘6名新員工，抽調(diào)3名熟練工；方案4：招聘4名新員工，抽調(diào)4名熟練工．16．某企業(yè)A，B，C三個部門計劃在甲，乙商家購買一批口罩和消毒液，口罩30元/盒，消毒液10元/瓶．甲，乙商家的銷售優(yōu)惠方式如下：①甲商家：口罩和消毒液都是按8折銷售；②乙商家：買一盒口罩可送一瓶消毒液．（1）A部門有10人