2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

Ax-]x>0

1.己知函數(shù)/（x）=1'八若函數(shù)/（光）的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有2對，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是（）

—In（—xI,x<U,

2.已知正方體ABC?！狝4G。的棱長為2,E,F,G分別是棱AD,CQ,的中點(diǎn)，給出下列四個命題:

①EF

②直線尸G與直線4。所成角為60°;

③過E,F,G三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為六邊形；

④三棱錐3-ERG的體積為

6

其中，正確命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

3.數(shù)列｛4｝滿足a0+a“+2=2a〃+i（neN*）,且囚+。2+。3=9,%=8,則%=（）

2117

A.—B.9C.—D.7

22

4.下圖中的圖案是我國古代建筑中的一種裝飾圖案，形若銅錢，寓意富貴吉祥.在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影

區(qū)域內(nèi)（陰影部分由四條四分之一圓弧圍成）的概率是（）

5.已知底面為正方形的四棱錐，其一條側(cè)棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的（）

6.已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，甲、丁兩人必須相鄰，則滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為（).

A.432B.576C.696D.960

7.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸是以尸為焦點(diǎn)的拋物線V=4%上任意一點(diǎn)，M是線段P尸上的點(diǎn)，且PM=MF,則直線

OM的斜率的最大值為（)

1V2r>&

A.1B.-cC.-----L>.----

222

若則正數(shù)機(jī)可以為（）

8.已知〃=log374,b=10g2m,c=-|,a>b>c,

A.4B.23C.8D.17

9.設(shè)5={%|2%+1>0},T={x|3x-5<0},則S?T()

A.0B.{x|x<—；}C.{x|x>j}.15

D.r

23

10.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|y=lg(l-x)},則AB=()

A.{2}B.{-1,0}C.{-1}D.{-1,0,1}

22

11.已知雙曲線c：1-斗=1（。>0/>0）的左，右焦點(diǎn)分別為耳、工，過6的直線/交雙曲線的右支于點(diǎn)P，以雙曲

ab

線的實(shí)軸為直徑的圓與直線/相切，切點(diǎn)為H,若國產(chǎn)|=3閨則雙曲線C的離心率為（）

A.叵B.布C.275D.V13

2

12.已知函數(shù)/(x)=3sin(0x+0),(0>0,0<0<兀)，若/卜()=0,對任意xeR恒有/(%)W在

區(qū)間上有且只有一個花使/（%）=3,則。的最大值為（)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數(shù)/（x）=#x—sinx在0,|上的最小值和最大值分別是.

x-y>Q

14.已知實(shí)數(shù)x,V滿足約束條件x+y-4<0,則Z=2-3*+V的最大值是.

15.函數(shù)y=A/^sinxcosx+cos?x在區(qū)間^0,—上的值域?yàn)?

16.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3,則正視圖的x的值________

俯視圖

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

8

X-------

17.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為2：'■為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正

y二—

〔2+t

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=2sin6.

（1）求直線/的普通方程與曲線。的直角坐標(biāo)方程；

jr

（2）若射線9=z（P>0）與/和C分別交于點(diǎn)A3,求IABI.

18.（12分）已知直線4：y=%+人與拋物線。：丁=2.雙，〉0）切于點(diǎn)尸，直線，2：2x—2my—77?+l=O過定點(diǎn)。,

且拋物線C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與其到準(zhǔn)線距離之和的最小值為巫.

2

（1）求拋物線C的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo);

(2)設(shè)直線，2與拋物線C交于(異于點(diǎn)尸)兩個不同的點(diǎn)A、B,直線物，尸5的斜率分別為匕、自，那么是否存在實(shí)

數(shù)X，使得K+七=幾？若存在，求出彳的值；若不存在，請說明理由.

19.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=7%e*-/+3,其中nicH.

(I)當(dāng)7(x)為偶函數(shù)時，求函數(shù)加>)=W(x)的極值；

(II)若函數(shù)f(x)在區(qū)間［-2,4］上有兩個零點(diǎn)，求加的取值范圍.

20.(12分)已知函數(shù)/■(x)=ln(x+l)+,，其中。為實(shí)常數(shù).

(1)若存在〃1,使得“X)在區(qū)間(加,〃)內(nèi)單調(diào)遞減，求。的取值范圍；

(2)當(dāng)。=0時，設(shè)直線y=Ax—l與函數(shù)y=/(力的圖象相交于不同的兩點(diǎn)4(%,另)，B(x2,y2),證明：

c2

玉+%2+2>%?

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=213+,如2+根+1.

(1)討論/Xx)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,+s)上的最小值為-3,求，"的值.

22.(10分)如圖，在四棱錐P—ABC。中，四邊形A5C。為平行四邊形，BD±DC,APC。為正三角形，平面PCZLL

平面A5CZ>,E為PC的中點(diǎn).

(1)證明：AP〃平面E3。；

(2)證明：BELPC.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

考慮當(dāng)尤＞0時，丘-l=lnx有兩個不同的實(shí)數(shù)解，令/z（x）=lnx-丘+1,則川尤）有兩個不同的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)和

零點(diǎn)存在定理可得實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【詳解】

因?yàn)?（%）的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有2對，

所以x＞0時，近—1=Inx有兩個不同的實(shí)數(shù)解.

令〃（x）=Inx—丘+1,則在（0,+。）有兩個不同的零點(diǎn).

又h（x）=----,

x

當(dāng)上＜0時，〃（力＞0,故〃（X）在（0,+8）上為增函數(shù)，

網(wǎng)力在（0,+。）上至多一個零點(diǎn)，舍.

當(dāng)左＞0時,

,則〃(x)>o,M力在(0.

若上為增函數(shù);

,則碎)在［J+OO

若口上為減函數(shù);

故Mx)max=/d，

因?yàn)榭升垼┯袃蓚€不同的零點(diǎn)，所以ln-＞0,解得0〈上＜1.

又當(dāng)0〈左＜1時，1〈工且丸

<0,故在上存在一個零點(diǎn).

ek

ppI

又無=ln———+l=2+2\nt-et其中/=一>1.

kk9k

令g（/）=2+21nf—e/,則g〈/）=?：,

當(dāng)/〉1時，g'（，）＜0,故g⑺為。，+⑹減函數(shù),

所以g(f)<g(l)=2_e<0即/?<0.

因?yàn)槲?I,所以3）在1

,+co上也存在一個零點(diǎn).

綜上，當(dāng)0（左＜1時，妝了）有兩個不同的零點(diǎn).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，一般地，較為復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)，必須先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理說

明零點(diǎn)的存在性，本題屬于難題.

2、C

【解析】

畫出幾何體的圖形，然后轉(zhuǎn)化判斷四個命題的真假即可.

【詳解】

如圖；

連接相關(guān)點(diǎn)的線段，。為的中點(diǎn)，連接EFO,因?yàn)榇跏侵悬c(diǎn)，可知4。，。尸，可知BQ，平面所

即可證明與。，斯，所以①正確；

直線FG與直線4。所成角就是直線AB與直線A.D所成角為60。；正確;

過E,F,G三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為五邊形；如圖:

是五邊形EHFGI.所以③不正確;

如圖：

AB

三棱錐3-跳’G的體積為:

由條件易知F是GM中點(diǎn),

所以匕-EFG~^B-EFM~^F-BEM，

2+3115

SSX2X2X1X3X1

而SBEM口梯形ABMD-AABE-AEDM=-^----=-^

^-￡flM=7x（xl=1.所以三棱錐5—屏G的體積為g,④正確;

3266

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，涉及空間幾何體的體積，直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，平面的基本性質(zhì)，是中

檔題.

3、A

【解析】

先由題意可得數(shù)列｛%,｝為等差數(shù)列，再根據(jù)4+。2+。3=9,。4=8,可求出公差，即可求出火?

【詳解】

數(shù)列｛an｝滿足4+a?+2=2an+l（HeN*）,則數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列,

%+%+g=9,“4=8,

3q+3d=9,q+3d—8,

d=-

2

Yi+d=8+|=m

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

4、C

【解析】

令圓的半徑為1,則尸=?=』—2（-—2）=」_],故選

S7C71

5,C

【解析】

試題分析：通過對以下四個四棱錐的三視圖對照可知，只有選項(xiàng)C是符合要求的.

考點(diǎn)：三視圖

6^B

【解析】

先把沒有要求的3人排好，再分如下兩種情況討論：1.甲、丁兩者一起，與乙、丙都不相鄰，2.甲、丁一起與乙、丙二

者之一相鄰.

【詳解】

首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有禺種不同排列方式，甲、丁排在一起共有用種不同方式；

若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有A；種不同方式；

若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有種不同方式；

根據(jù)分類加法、分步乘法原理，得滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為河&（A：+C；看）=576種.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，在分類時，要注意不重不漏的原則，本題是一道中檔題.

7、A

【解析】

設(shè)「（￥，%），〃（羽》），因?yàn)楦?"F，得到x=；+H，V=萼，利用直線的斜率公式，得到

2P44P2

y0

7T2

k0M=-^-r=-——,結(jié)合基本不等式，即可求解.

P_+2（L旦+期

44。%P

【詳解】

由題意，拋物線y2=4%的焦點(diǎn)坐標(biāo)為2^,0）,

設(shè)p（H，%）,M（x,y），

因?yàn)?。?叱，即M線段尸產(chǎn)的中點(diǎn)，所以》=入4+二）=與+等4=萼，

222244P2

A

,522

所以直線期的斜率向"=>=0"不衛(wèi)=1

“4.%Php

當(dāng)且僅當(dāng)上=%,即為=。時等號成立,

%P

所以直線OM的斜率的最大值為1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了拋物線的方程及其應(yīng)用，直線的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用,著重考查了推理與運(yùn)

算能力，屬于中檔試題.

8、C

【解析】

首先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出。的取值范圍，再代入驗(yàn)證即可；

【詳解】

解：,.?3=log327<a=k）g374<log381=4,.?.當(dāng)〃/=8時，b-log,m=3a>b>c,:.實(shí)數(shù)機(jī)可以為8.

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】

集合S,T是一次不等式的解集，分別求出再求交集即可

【詳解】

S={x|2x+l>0}=卜|x〉,

T={x|3x-5<0}=|x|x<||,

則ScT=1x]—g<x<g]

故選。

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

求出集合3,利用集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論.

【詳解】

由i-x>0,得x<l,則集合5={x[%<1},

所以，AnJB={-l,0}.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的基本運(yùn)算，利用函數(shù)的性質(zhì)求出集合6是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

11、A

【解析】

在APf；鳥中，由余弦定理，得到再利用|?用-|「乙|=24即可建立“力,。的方程.

【詳解】

12

由已知，|HFt|=yjF^-OH-=de-a=/?，在△尸耳耳中，由余弦定理，得

2

|PF21=個PF；+RF；—2尸耳,耳石.cosNPFF2=J4c2+9Z?-2x2cx3Z?x|=

"/+/，又歸娟=3|S|=3〃，\PFl\-\PF2\=2a,所以防—""+^=2。，

a2\a-2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線離心率的計(jì)算問題，處理雙曲線離心率問題的關(guān)鍵是建立仁仇。三者間的關(guān)系，本題是一道中檔題.

12、C

【解析】

根據(jù)/(%)的零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組，求得私。的表達(dá)式(用上表示)，根據(jù)了(不)在7171

15??上有且只有一個最大值,

求得。的取值范圍，求得對應(yīng)左的取值范圍，由左為整數(shù)對左的取值進(jìn)行驗(yàn)證，由此求得。的最大值.

【詳解】

兀7加…2,

----①+(p—KjTl,

3

由題意知＜《，42eZ,貝卜,4其中左=尢一左2，《=&+%.

兀7兀(

—CD+(P=kTl+—.2k'+l)n

29=-4—，

上有且只有一個最大值，所以工—E=@〈2T,得0＜。＜30,即3(2k+1)?30,所以

515154

左＜19.5,又ZeZ,因此左V19.

717

r----G)+(p=k]7t,

11723

①當(dāng)左=19時，3=——，此時取夕=三可使＜成立，當(dāng)XC兀兀

9時,

4471,71157

飛①+(P=k/+3,

1111^7。

丁x+半e(2.7兀,6.6兀)，所以當(dāng)管西+*=4.5兀或6.5兀時，%)=3都成立，舍去;

兀

----CO+(P—k7、Tl,

②當(dāng)％=18時，。=山，此時取"=色可使＜3成立，當(dāng)xe兀兀時,叁x+臬

9(2.1兀,5.8兀),

44兀77115744

,3+(P=k/+],

個七+；=?；蜇r，都成立，舍去;

所以當(dāng)2.54.5/(%)=3

兀7

----0+(P=攵]兀，

③當(dāng)"17時‘所受‘此時取展?可使'3成立，當(dāng)xe兀兀105371

9時,----XH--------------G(2.571,671),

兀,兀15?44

個①+(p=kg],

所以當(dāng)學(xué)玉+亍=4.5兀時，/（%）=3成立；

綜上所得。的最大值為U曳.

4

故選:C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)和最值，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)

學(xué)思想方法，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

10>--------------1

824

【解析】

求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性，分析，即得解

【詳解】

由題意得，/（X）=^--cosx>

令廣。）>0,解得工<%,

42

77

令"幻<°'解得°"X<“

71\（7171

叮上遞減，在了萬遞增?

故了（尤）在區(qū)間［0,g］上的最小值和最大值分別是叵—交叵—1.

L2J824

乃立兀

故答案為:00

~"8-一

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值的求解中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題

1

14、一

4

【解析】

令-3x+y=t,所求問題的最大值為2』,只需求出臉,即可，作出可行域，利用幾何意義即可解決.

【詳解】

作出可行域，如圖

令—3x+y=/,貝！Jy=3x+t,顯然當(dāng)直線經(jīng)過8(1,1)時，f最大，且就?=一2,

1

故2=2一3心的最大值為2-92=：.

4

故答案為：—.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查線性規(guī)劃中非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，要做好此類題，前提是正確畫出可行域，本題是一道基礎(chǔ)題.

15、回

【解析】

由二倍角公式降塞，再由兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求得值域.

【詳解】

y=A/3sinxcosx+cos2x=—sin2x+^-^^=—sin2x+-cos2x+-=sin[2x+-^+-

22222I6j2I2；

2若[JA]，則sMJ》+fe.口「

sin2xH—H—G0,一

I62[2

故答案為：(0,1].

【點(diǎn)睛】

本題考查三角恒等變換(二倍角公式、兩角和的正弦公式)，考查正弦函數(shù)的的單調(diào)性和最值.求解三角函數(shù)的性質(zhì)的

性質(zhì)一般都需要用三角恒等變換化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論.

16、3

【解析】

由已知中的三視圖可得該幾何體是一個以直角梯形為底面，梯形上下邊長為1和2,高為2,

如圖所示，AD=1,8C=2,SB=x,AD//BC,SB±平面ABCD,ADLAB,

所以底面積為S=」x(l+2)x2=3,

2

幾何體的高為X,所以其體積為V=gx3xx=3nx=3.

點(diǎn)睛：在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時，要從三個視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見

輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線.在還原空間幾何體實(shí)際形狀時，一般是以正視圖和俯視

圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮.求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以

及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)/：x+y-4=0(x*0)；C:d+y2—2,=0.⑵\AB\=y/2

【解析】

Q

(1)由1=白可得"0,

2+t

8

x=-----

由2：’,消去參數(shù)乙可得直線/的普通方程為x+y-4=0(x聲0).

由Q=2sin8可得°?=20sin9,^y=psin0,夕2=J+/代入上式，可得+/_2)=0,

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0.

⑵由⑴得，/的普通方程為x+y-4=0（x，0）,

TT

將其化為極坐標(biāo)方程可得夕cose+0sin6-4=0（。聲萬），

當(dāng)e=：S>0）時，pA=2^2,PB=6,

所以IAB|=|4-4|=|2四-夜|=0.

Q

18、（1）y2=4x,（1,2）；（2）存在,-

3

【解析】

（i）由直線/,恒過點(diǎn)點(diǎn)及拋物線c上的點(diǎn)到點(diǎn)。的距離與到準(zhǔn)線的距離之和的最小值為巫，求出拋物線的方程,

一2

再由直線4與拋物線相切，即可求得切點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）直線4與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得直線尸5的斜率，求出斜率之和為定值，即存在實(shí)數(shù)

X使得斜率之和為定值.

【詳解】

（1）由題意，直線4變?yōu)?x+l加（2y+l）=0,所以定點(diǎn)。的坐標(biāo)為-5,-5

拋物線C:y2=2px（p〉0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)/?0

由拋物線C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與到其焦點(diǎn)F的距離之和的最小值為理,

可得依盟=,解得"=2或2=一4（舍去）,

故拋物線C的方程為V=4x

y=x+b..

又由12,消去y得x?+23—2）x+/=0,

=4%

因?yàn)橹本€4與拋物線C相切，所以屋以。-2）1—4尸=0,解得3=1,

此時x=l,所以點(diǎn)尸坐標(biāo)為（1,2）

（2）設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)X,點(diǎn)4>1，%）,5（%，%），

2x—2my—m+1=0,

聯(lián)立2，消去x得y-Amy-2m+2=0,

y=4%

則%+%=4加,％.%=2-2加，

依題意，可得A=(4根)2-4(2-2加)>0,解得帆v?l或機(jī)〉g,

由(1)知P(1,2),

k=X-2=_____X_2______=2(^-2)

1

可得--1-1(2W1+m-l)-l_2myl+m-3，

2(%-2)

同理可得&=

2my2+m-3

由I、I7_2(%—2)2(%一2)_2[4孫]%—3(加+1)(%+%)—4(m—3)]

2my1+m-32my2+m-34myxy2+2m(m-3)(y1+y2)+(m-3)

2[4m(2-2m)-3(m+l)4m-4(m-3)]_8(-5m2-2m+3)_8

4m2(2-2m)+2m(m-3)4m+(m-3)23(—5m2—2m+3)3'

Q

故存在實(shí)數(shù)2=(滿足條件.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與拋物

線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類問題易錯點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯解，能較

好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等.

19、(I)極小值〃(-1)=-2,極大值如)=2；(II)-2e<〃?<，或機(jī)=與

ee

【解析】

(I)根據(jù)偶函數(shù)定義列方程，解得爪=0.再求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，即得極值，(II)

2Q

先分離變量，轉(zhuǎn)化研究函數(shù)g(x)=±U，2,4],利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)單調(diào)性與圖象，最后根據(jù)圖象確定滿足

e

條件的M的取值范圍.

【詳解】

(I)由函數(shù)/(%)是偶函數(shù)，得/(—x)=/(x)，

即nie^-(-x)2+3=mex-x2+3對于任意實(shí)數(shù)x都成立，

所以機(jī)=0.

此時“(X)=?(%)=f3+3],貝!!"(x)=-3*+3.

由〃(x)=0,解得％=±1.

當(dāng)x變化時，〃'(力與可尤)的變化情況如下表所示:

X-1(-1,1)1(L+8)

-0+0-

/z(x)極小值/極大值

所以可可在1),。,內(nèi))上單調(diào)遞減，在(-M)上單調(diào)遞增.

所以h(x)有極小值A(chǔ)(-l)=-2,h(x)有極大值/i(l)=2.

2Q

(II)由/(x)=me*—d+3=0,得加=三二.所以“〃尤)在區(qū)間［—2,4］上有兩個零點(diǎn)”等價于“直線y=m與曲

e光

y2-3「1

線g(x)=二士，龍4-2,4］有且只有兩個公共點(diǎn)”.

e

對函數(shù)g(x)求導(dǎo)，得g，(x)=-廠：2X+3.

由g'(x)=O,解得%=-?！?3.

當(dāng)x變化時，g'(x)與g(x)的變化情況如下表所示:

X(-2,-1)-1(-13)3(3,4)

g'(x)-0+0一

g(x)極小值/極大值\

所以g(x)在(-2,-1),(3,4)上單調(diào)遞減，在(-1,3)上單調(diào)遞增.

又因?yàn)間(—2)=e?,g(—1)=—2e,g(3)=g<g(—2),g(4)=:>g(—1),

ee

所以當(dāng)-2e<m<與或帆=g時，直線丁=相與曲線g(x)==l,2,4］有且只有兩個公共點(diǎn).

eee

即當(dāng)-2e<〃z<與或時，函數(shù)/(x)在區(qū)間［-2,4］上有兩個零點(diǎn).

ee

【點(diǎn)睛】

利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法

⑴利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.

⑵分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.

⑶轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.

20、(1)(4,+oo)；(2)見解析.

【解析】

(1)將所求問題轉(zhuǎn)化為/(x)＜0在(-1,+＜方)上有解，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；

%,+1,一

------1-12

x,+x+22%,+1--------

(2)將所證不等式轉(zhuǎn)化為‘~=7一/八一八，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為七一〉1nX＞+1,然后再通過構(gòu)

七一x,InC%1+1)-ln(x2+1)+1]In-----

造m(t)=In/—21T)加以證明即可.

t+1

【詳解】

(1)f(x)=一，—7T巴聲(x〉—l),根據(jù)題意，/(可在(-1,+＜為內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間，

則不等式f(x)＜0在(-!,+＜◎上有解，由工＜0得以〉(口？),設(shè)g(x)=i￡±2)j

%+1(x+2)x+1x+1

則g(x)=(土+1)一+2e1)+]=(x+1)++224,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立，

x+lX+1

所以當(dāng)x＞—1時，且(%)皿=4,所以存在X＞—1,使得。＞g(x)成立，

所以〃的取值范圍為(4,+8)。

7/(x,)-/(x2)ln(x1+l)-ln(x2+1)

(2)當(dāng)a=0時，/(x)=ln(x+l),則‘二J、"2/二」_1_3"從而

%1~X2%]-X2

八2(M-X9)

所證不等式轉(zhuǎn)化為斗+%+2＞皿斗+])1皿9+D，不妨設(shè)石＞々＞-1,則不等式轉(zhuǎn)化

%+/+2〉2_________2