2024屆江西省名校高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.甲、乙、丙三人相約晚上在某地會面，已知這三人都不會違約且無兩人同時(shí)到達(dá)，則甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的概

率是（）

1111

A.—B.—C.—D.一

3456

2.3本不同的語文書，2本不同的數(shù)學(xué)書，從中任意取出2本，取出的書恰好都是數(shù)學(xué)書的概率是（）

1111

A.—B.—C.—D.—

24510

3.已知以是函數(shù)/（尤）=ln尤圖象上的一點(diǎn)，過M作圓d+y2—2y=0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,3,則

的最小值為（）

A.272-3B.-1C.0D.XI—3

2

4.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素

養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對二人進(jìn)行了測驗(yàn)，根據(jù)測驗(yàn)結(jié)果繪制了雷達(dá)圖（如圖，每項(xiàng)指標(biāo)值滿分為5分，分值

高者為優(yōu)），則下面敘述正確的是（）

直觀想家

乙

A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙

B.甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

C.乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差

D.乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲

7T71

5.已知函數(shù)/(x)=2sin(ox+0)(o>O,O<0<%),四，f0且在（0,乃）上是單調(diào)函數(shù)，則下列

說法正確的是（）

1瓜+亞

A.CD——

22~

C.函數(shù)/（九）在-n*上單調(diào)遞減D.函數(shù)/（%）的圖像關(guān)于點(diǎn)目，°對稱

6.偶函數(shù)/（九）關(guān)于點(diǎn)（1,0）對稱，當(dāng)一IWXWO時(shí)，/（%）=-x2+l,求“2020）=（）

A.2B.0

2r3

7.函數(shù)y=-------在［-6,6］的圖像大致為

-2X+2T

8.設(shè)直線/過點(diǎn)A（0,-1）,且與圓C：爐+9―2>=0相切于點(diǎn)3,那么貌品=（）

A.±3B.3C.6D.1

9.(3三+/)(2—』)8展開式中x2的系數(shù)為()

X

A.-1280B.4864C.-4864D.1280

10.下圖是民航部門統(tǒng)計(jì)的某年春運(yùn)期間，六個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格（單位元），以及相比于上一年同期價(jià)

格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，以下敘述不正確的是（）

六個(gè)城市春運(yùn)往返機(jī)票的平均價(jià)格和增幅

30001O.OOK

?I平為命摘----培?；

A.深圳的變化幅度最小，北京的平均價(jià)格最高

B.天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大

C.上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)

D.相比于上一年同期，其中四個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加

11.已知復(fù)數(shù)z滿足目=1,則|z+2-［的最大值為（）

A.2+3B.1+75C.2+行D.6

12.尤<1是x+!<—2的（）條件

x

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/(x)=-尤3+sinx,若/'(a)=M,則/(—。)=.

14.已知向量a=(l,l),b=(—l,k),一，,貝!jR+0=.

2Q2

15.已知％>0,y>-l,且x+y=l,則x++金一最小值為_________.

xy+1

16.已知數(shù)列｛%｝滿足q=l,a2=g對任意〃22,“eN*,若q,(。恒+2q,+J=3qia“+i,則數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是矩形，四條側(cè)棱長均相等.

B

（1）求證：AB平面PC。；

（2）求證：平面PAC，平面ABC。.

18.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)微型智能機(jī)器人（大小不計(jì)）只能沿著坐標(biāo)軸的正方向或負(fù)方向行進(jìn)，

且每一步只能行進(jìn)1個(gè)單位長度,例如：該機(jī)器人在點(diǎn)（1,0）處時(shí)，下一步可行進(jìn)到（2,0）、（0,0）、（1,1,）、。,-1）這四

個(gè)點(diǎn)中的任一位置.記該機(jī)器人從坐標(biāo)原點(diǎn)。出發(fā)、行進(jìn)〃步后落在V軸上的不同走法的種數(shù)為L（〃）.

（1）分別求乙⑴、“2）、”3）的值;

（2）求L（〃）的表達(dá)式.

,.123nn

19.（12分）已知數(shù)列見滿足丁方+^一-+-一-+-+---=T.

〈J2^-52a2-52a3-52an-53

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前幾項(xiàng)和為北，證明：-^-<Tn<y.

44+1J226

（-V--A/[h7reazy

20.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為7（。是參數(shù)），以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半

y=sina

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線I的極坐標(biāo)方程為夕sin[e-=拒.

（1）求直線/與曲線C的普通方程，并求出直線的傾斜角；

（2）記直線/與y軸的交點(diǎn)為。,M是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)的最大距離.

21.（12分）2019年春節(jié)期間，某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，若顧客一次消費(fèi)達(dá)到400元?jiǎng)t可參加一次抽獎(jiǎng)活

動(dòng)，超市設(shè)計(jì)了兩種抽獎(jiǎng)方案.

方案一：一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個(gè)紅球，20個(gè)白球，攪拌均勻后，顧客

從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到白球則獲得20元的返金券，且顧客有放回地抽

取3次.

方案二：一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個(gè)紅球，20個(gè)白球，攪拌均勻后，顧客

從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則未中獎(jiǎng)，且顧客有放回地抽取3次.

（1）現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會，且都按方案一抽獎(jiǎng)，試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率；

（2）若某顧客獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會.

①試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎(jiǎng)方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望；

②為了吸引顧客消費(fèi)，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案進(jìn)行促銷活動(dòng)？

22.(10分)如圖，在三棱柱ABC—A與G中，已知四邊形A&GC為矩形，朋=6,AB=AC=4,

ZBAC=ZfiA41=60°,的角平分線從。交CQ于。.

(1)求證:平面平面A41cC；

(2)求二面角A-qG-4的余弦值?

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

先判斷是一個(gè)古典概型，列舉出甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件種數(shù)，再得到甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的基本事

件的種數(shù)，利用古典概型的概率公式求解.

【詳解】

甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6種，

其中甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到有甲乙丙，共1種，

所以甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的概率是P=J.

6

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

把5本書編號，然后用列舉法列出所有基本事件.計(jì)數(shù)后可求得概率.

【詳解】

3本不同的語文書編號為A,比C,2本不同的數(shù)學(xué)書編號為從中任意取出2本，所有的可能為：

池,47,47,47,8。,&,8"?！?。仇而共10個(gè)，恰好都是數(shù)學(xué)書的只有"一種，二所求概率為2=°.

10

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型，解題方法是列舉法，用列舉法寫出所有的基本事件，然后計(jì)數(shù)計(jì)算概率.

3、C

【解析】

先畫出函數(shù)圖像和圓，可知1MAi=|A叫，若設(shè)N/4MB=26>,貝！］|初川=|知5卜金萬，所以

MAMB^MA^cos2^=2sin2^+^——3,而要求的最小值，只要sin。取得最大值，若設(shè)圓

sin.....

爐+尸―2y=0的圓心為C,貝心由6=而，所以只要|MC|取得最小值，若設(shè)M(x,lnx),貝!!

|A/C|2=%2+(lnx-l)2,然后構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2+(lnx—I)?,利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可.

【詳解】

記圓f+y2—2)=0的圓心為C,設(shè)NWC=e,貝卜力，sin°=而，設(shè)

M(x,Inx),\MC^X2+(Inx-1)2,記g(x)=J+(lnx—，貝!I

12

g'(%)-2x+2(lnx-1)?—=—(x2+Inx-1),令h(x)=x2+Inx-1,

xx

因?yàn)?(%)=3+111%-1在(0,+8)上單調(diào)遞增,且為1)=0,所以當(dāng)Ovxvl時(shí)，3)V〃⑴=O,g'(%)vO；當(dāng)冗>1

時(shí)，h(x)>h(I)=0,gXx)>09則g(%)在(0,1)上單調(diào)遞減,在。，十功上單調(diào)遞增,所以以%)<=雙1)=2,即

|MC|M/2,O<sin0正，所以2cos23=2sin2e+1工—3?0(當(dāng)sin。=正時(shí)等號成立).

112sin262

故選：C

此題考查的是兩個(gè)向量的數(shù)量積的最小值，利用了導(dǎo)數(shù)求解，考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于難題.

4、D

【解析】

根據(jù)雷達(dá)圖對選項(xiàng)逐一分析，由此確定敘述正確的選項(xiàng).

【詳解】

對于A選項(xiàng)，甲的數(shù)據(jù)分析3分，乙的數(shù)據(jù)分析5分，甲低于乙，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對于B選項(xiàng)，甲的建模素養(yǎng)3分，乙的建模素養(yǎng)4分，甲低于乙，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對于C選項(xiàng)，乙的六大素養(yǎng)中，邏輯推理5分，不是最差，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對于D選項(xiàng)，甲的總得分4+5+3+3+4+3=22分，乙的總得分5+4+5+4+5+4=27分，所以乙的六大素養(yǎng)整

體平均水平優(yōu)于甲，故D選項(xiàng)正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理，屬于基礎(chǔ)題.

5、B

【解析】

根據(jù)函數(shù)/(x),在(0,萬)上是單調(diào)函數(shù)，確定然后一一驗(yàn)證，

A.若°則/(x)=2sin[gx+o],由得手，但/=sin[gx.+t]H5.B.由

[(]=應(yīng)，/^=0,確定/(x)=2sin[gx+亨],再求解驗(yàn)證.C.利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)

性判斷.D.計(jì)算/[彳是否為0.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)，在(0,")上是單調(diào)函數(shù),

T271

所以一2兀,即——>271,所以O(shè)vgVI,

2co

若0=g,則〃x)=2sin[g1x+o),又因?yàn)榱?n37r

0,即/sin—x——\-(p=°'解得而

222

.f17i37r

sin—x——i----^―,故A錯(cuò)誤.

12842

①幾(071/口713

由/2sin+。=0,不妨令+夕=TT得(p—71—2

229

考得冗冗137r

由，sinfa)x^+(p①x——\~9=2左萬+―或。x——\-(p=2k兀+——

8484

JIJI

當(dāng)gx—(p—2k7i+—時(shí)fCD------+2，不合題意.

843

jr37r2k7r9、2In

當(dāng)0x—+0=2左?+——時(shí),CD---+---,此時(shí)/(x)=2sin—XH--

84333

/、

(2—2"Z￡V6Wl

所以/2sin-x十一=2sin—X+=2sin=,故B正確.

(33J133J122

e、rn22?

因?yàn)榫拧?71.--,3—XH-------eo,(,函數(shù)/(x),在上是單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤.

33

5萬25萬2萬=2sin,=6wO,故D錯(cuò)誤.

2sin—x-------1-------

343

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于較難的題.

6、D

【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)y=/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，由此可得出“2020)=/⑼，代值計(jì)算即可.

【詳解】

由于偶函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，則/(f)=/(x),/(2+%)+/(-x)=0,

.,?/(x+2)=-/(-x)=-/(x),貝!j/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以，函數(shù)y=/(￡)是以4為周期的周期函數(shù)，

由于當(dāng)—lWxWO時(shí)，/(x)=—爐+1,則“2020)=〃4義505)=/(0)=1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的對稱性和奇偶性求函數(shù)值，推導(dǎo)出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于

中等題.

7、B

【解析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由/(4)的近似值即可得出結(jié)果.

【詳解】

設(shè)丁=/(X)=2一,則/(-x)=ZIP=—"二=—/(X)，所以/(%)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱,

2X+Tx2~x+2X2X+Tx

7x43OyA3

排除選項(xiàng)c.又/(4)=；4〉0,排除選項(xiàng)口；/(6)=:「7,排除選項(xiàng)A,故選B.

【點(diǎn)睛】

本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計(jì)算特殊函數(shù)值，最后做出選擇.本題較易，注重了基礎(chǔ)知識、基

本計(jì)算能力的考查.

8、B

【解析】

/、ccUUUUU1

過點(diǎn)4(0,-1)的直線/與圓C：/+y2—2y=0相切于點(diǎn)3,可得5450=0.因此

AB-ACAB-^AB+AB2+AB-BC=AB2=AC2-r2>即可得出.

【詳解】

由圓C：產(chǎn)+/一2y=0配方為/+(丫-1)2=1,

c(o,l),半徑r=1.

?.?過點(diǎn)A(o,-1)的直線/與圓c：x2+y2-2y=Q相切于點(diǎn)B，

ABBC=O；

:.AB-AC-AB-^AB+BC=AB+AB-BC=AB1=AC-r~=3；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查向量數(shù)量積的計(jì)算，考查圓的方程，屬于基礎(chǔ)題.

9、A

【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的公式得到具體為:化簡求值即可.

【詳解】

根據(jù)二項(xiàng)式的展開式得到可以第一個(gè)括號里出3d項(xiàng)，第二個(gè)括號里出項(xiàng)，或者第一個(gè)括號里出第二個(gè)括號里

X

出3，具體為：（3d）Cg27+/?Cg26

化簡得到-1280x2

故得到答案為：A.

【點(diǎn)睛】

求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略:

⑴求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第廠+1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出廠值即可.

⑵已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第廠+1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出廠值，最后求出

其參數(shù).

10、D

【解析】

根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對選項(xiàng)逐一分析，由此得出敘述不正確的選項(xiàng).

【詳解】

對于A選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小，根據(jù)條形圖可知北京的平均價(jià)格最高，所以A選項(xiàng)敘述正確.

對于B選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大，所以B選項(xiàng)敘述正確.

對于C選項(xiàng)，根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)，所以C選項(xiàng)敘述正確.

對于D選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加，故D選項(xiàng)

敘述錯(cuò)誤.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎(chǔ)題.

11、B

【解析】

設(shè)2=。+歷|z+2-]=J(a+2)2+3-1)2,利用復(fù)數(shù)幾何意義計(jì)算.

【詳解】

設(shè)2=。+歷,。,6^火，由已知，a2+b2=1,所以點(diǎn)(a,〃)在單位圓上，

而|z+2—i|=|(a+2)+S—l)i|=癡+2)2+(b-l)2,&+2’+3-1，表示點(diǎn)(a,b)

到(—2,1)的距離，故|z+2-<](-2)2+12+J=i+石.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查求復(fù)數(shù)模的最大值，其實(shí)本題可以利用不等式\z+2-i\<\z\+\2-i\來解決.

12、B

【解析】

利用充分條件、必要條件與集合包含關(guān)系之間的等價(jià)關(guān)系，即可得出。

【詳解】

設(shè)P：尤<1對應(yīng)的集合是A=(-oo,l),由*+<-2解得％<0且xw一1

x

q：x+，<—2對應(yīng)的集合是5=(—8,—1)(-1,0),所以3.4,

X

故無<1是x+,<-2的必要不充分條件，故選B。

X

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關(guān)系法。

設(shè)74=｛可無￡。｝,B=,

如果4=3,則。是q的充分條件；如果A?3則，是q的充分不必要條件；

如果則0是q的必要條件；如果3-4,則。是4的必要不充分條件。

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-M

【解析】

根據(jù)題意，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)/(%)的奇偶性，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)，(x)=-x3+sinx,其定義域?yàn)镽,

所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，

又f(一九)=-(-x)3+sin(-x)=_(13+sin尤)=一/(九)，

所以函數(shù)/(九)為奇函數(shù)，因?yàn)?(“)=”,

所以"_耳=_".

故答案為:-加

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及其性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力；熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法是求解本題的關(guān)鍵;屬于中

檔題、?？碱}型.

14、2

【解析】

由“，。得a為=0,算出左=1,再代入算出卜+0即可.

【詳解】

a=(1,1)>b=(-1,k),a±b>:.a-b=-l+k=0^解得：k—\,

:.a+b=(0,2^,則卜+0=2.

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的性質(zhì)，向量的模的計(jì)算.

15、2+73

【解析】

首先整理所給的代數(shù)式，然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得其最小值.

【詳解】

口+上

尤y+1I尤)Iy+1)

31

結(jié)合x+y=l可知原式=-+-----

龍y+1

n31(31)x+(v+l)1「,3(y+l)%-

xy+1(兄y+1J221_xy+1

』+2」1(1±11工］=2+氐

2\%y+1

當(dāng)且僅當(dāng)X=3-AJ=-2+A/3時(shí)等號成立.

即三±2+上；最小值為2+6.

xy+1

【點(diǎn)睛】

在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三

相等一等號能否取得“，若忽略了某個(gè)條件，就會出現(xiàn)錯(cuò)誤.

1

16、

2'—1

【解析】

/、11C/11、11C”

由a(%T+2a“+J=34T4+1可得^-------=2(---------),利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得--------=2",再利用

n1aa

4“+1nna“_[an+ian

累加法求和與等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)論.

【詳解】

a

由n(%T+2a“+1)=34一%+1

11c,11、

------=2,數(shù)歹！J{--------}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2,公比為2,

a

“2n+\0n

nl

———-=2",n>2,-———=2-,

a

4+ia?n4-1

aaa

nnn-\4-1。"-2

1_n"

12

=2"-+2"-++2+1=-----=2"—1,

1-2

,1,1

〃=L—=1,滿足上式，an=~~

ax2-1

故答案為:與二.

2—1

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵，利用累加法求通項(xiàng)公式，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

證明：（1）在矩形ABC。中，AB//CD,

又平面PCD,

CDu平面PC。，

所以AB//平面PCD.

（2）連結(jié)6。，交AC于點(diǎn)。，連結(jié)PO,

在矩形ABC。中，點(diǎn)。為AC,血的中點(diǎn)，

又PA=PB=PC=PD,

故POLBD,

又ACBD=O,

AC,3Du平面ABC。，

所以PO_L平面ABC。，

又POu平面PAC,

所以平面平面ABCD.

18、（1）￡（1）=2,￡（2）=6,￡（3）=20,（2）L（n）=C±

【解析】

（1）根據(jù)機(jī)器人的進(jìn)行規(guī)律可確定L。）、L（2）、”3）的值；

（2）首先根據(jù)機(jī)器人行進(jìn)規(guī)則知機(jī)器人沿x軸行進(jìn)加步,必須沿x軸負(fù)方向行進(jìn)相同的步數(shù)，而余下的每一步行進(jìn)方向

都有兩個(gè)選擇（向上或向下），由此結(jié)合組合知識確定機(jī)器人的每一種走法關(guān)于私〃的表達(dá)式,并得到L（〃）的表達(dá)式，然

后結(jié)合二項(xiàng)式定理及展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.

【詳解】

解：（1）￡（1）=2

1（2）=6,

￡（3）=20,

（2）設(shè)機(jī)為沿x軸正方向走的步數(shù)（每一步長度為1）,則反方向也需要走機(jī)步才能回到y(tǒng)軸上，所以

nnn

m=0,1,2,……，-,（其中-為不超過，的最大整數(shù)）

總共走〃步，首先任選m步沿x軸正方向走，再在剩下的"-加步中選加步沿x軸負(fù)方向走,最后剩下的每一步都有兩種

選擇（向上或向下），即C：-C；二2m

m=0

ZC"為奇數(shù)

m=0n-1

~2

m=0

[1]2fH為偶數(shù)

n

、2

等價(jià)于求（x+i「中含靖項(xiàng)的系數(shù)，為

+=（—+2x+l）=[（2%+1）+=￡c；.（2x+l）"r-x2r

r=0

其中含M項(xiàng)的系數(shù)為

,=0

工4（：二"2"。,〃為奇數(shù)

n-1

2

r=0

Za,c；二"2〃一”幾為偶數(shù)

n

、2

偽奇數(shù)

-n---1r=0n

；。=""二-2"3=J=L（n）

ZCCi2"%?〃為偶數(shù)目

故M〃）=C>

【點(diǎn)睛】

本題考查組合數(shù)、二項(xiàng)式定理，考查學(xué)生的邏輯推理能力，推理論證能力以及分類討論的思想.

19、（1）%=即『（2）證明見解析

【解析】

123nn

-------------1----------------1--------------F***H---------------①當(dāng)“22時(shí),

2〃1—52%—52a3—5—5

123n-1n—1、

年？+通二？+—+…+五］?=亍’②兩式相減即得數(shù)列（｛叫的通項(xiàng)公式；⑵先求出

144f11}

——=八n再利用裂項(xiàng)相消法求和證明?

anan+l(3"+5)(3〃+8)313〃+53n+8J

【詳解】

123nn

(1)解.------+-------+-------+…+-------,①

吟2a]-52a2-52a3-52an-53?

當(dāng)〃=1時(shí)，q=4.

123n-in-1

當(dāng)〃>時(shí)，------+-------+-------+…+---------=------,②

2J磯-

2q-52a2-52G3-5253°

由①-②，得an=--—(M>2),

因?yàn)閝=4符合上式，所以為=立宇.

_144f11)

(2)"tippH.-----------------------------------------------

anan+l(3〃+5)(3〃+8)3(3〃+53n+8j

—工+???+1

44+1

=-4x

3

=—4x(1----1-

3(83〃+8

因?yàn)?<；^-----,所以

3n+811226

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查數(shù)列求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

丫2jr

20、(1)—+/=1,y=x+2,直線/的傾斜角為一

6'4

力3730

5

【解析】

x=0cos8

(1)由公式sir？o+cos2a=1消去參數(shù)得普通方程，由公式,八可得直角坐標(biāo)方程后可得傾斜角;

y=夕sin〃

(2)求出直線/與丁軸交點(diǎn)Q,用參數(shù)表示M點(diǎn)坐標(biāo)，求出|M2|,利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最大值.

【詳解】

x=#cosa,,消去￡得。的普通方程是：二+丫2=]

(1)由,

y=sina,6

由夕sin[e-5=&,得Psin。一夕cos(9=2,

將[xy二-夕scoms。代入上式‘化簡得k"+2

71

直線/的傾斜角為了

(2)在曲線。上任取一點(diǎn)/(幾85%5畝。)，

直線/與y軸的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,2)

貝！1|MQ|=J(V^cosa—0)+(2-sina)2=J-5sin2a-4sina+10

當(dāng)且僅當(dāng)sina=-2時(shí)，|MQ|取最大值之叵.

55

【點(diǎn)睛】

本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，屬于基礎(chǔ)題.求兩點(diǎn)間距離的最值時(shí),

用參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)可把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.

21、⑴/⑵①100元,80元②第一種抽獎(jiǎng)方案.

【解析】

⑴方案一中每一次摸到紅球的概率為P=4=g，每名顧客有放回的抽3次獲180元返金券的概率為Cl[g]=0

根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率可知兩顧客都獲得180元返金券的概率

(2)①分別計(jì)算方案一，方案二顧客獲返金卷的期望，方案一列出分布列計(jì)算即可，方案二根據(jù)二項(xiàng)分布計(jì)算期望即

可②根據(jù)①得出結(jié)論.

【詳解】

(1)選擇方案一，則每一次摸到紅球的概率為，=；

設(shè)“每位顧客獲得180元返金券”為事件A,則=三

所以兩位顧客均獲得180元返金券的概率P=P(A)?尸(A)=擊

12

（2）①若選擇抽獎(jiǎng)方案一，則每一次摸到紅球的概率為彳，每一次摸到白球的概率為；.

33

設(shè)獲得返金券金額為X元，則X可能的取值為60,100,140,180.

則P（X=60）=c1|）

P2）二唱［Ijd

0（X3