試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)27.1.2第2課時(shí)垂徑定理姓名：_______班級(jí)_______學(xué)號(hào)：________題型1利用垂徑定理求值1．（2022·云南·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是OO的弦，AB?CD．垂足為E．若AB=26，CD=24，則∠OCE的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)垂徑定理求出，再根據(jù)余弦的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，AB?CD．∴，OC==13，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查的是垂徑定理，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握垂徑定理，銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為(

)A．36 B．24 C．18 D．72【答案】A【分析】連接OC，首先根據(jù)題意可求得OC=6，OE=3，根據(jù)勾股定理即可求得CE的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理即可求得CD的長(zhǎng)，據(jù)此即可求得四邊形ACBD的面積．【詳解】解：如圖，連接OC，∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，∴在Rt△COE中，，∴CD＝2CE＝6，∴四邊形ACBD的面積＝．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，垂徑定理，熟練掌握和運(yùn)用垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵．3．（2023上·安徽合肥·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，是的直徑，且經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)，已知，，則的長(zhǎng)的長(zhǎng)度．

【答案】【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理、余弦的定義，連接，由垂徑定理可得，由余弦的定義計(jì)算出，由勾股定理可得，設(shè)，則，由勾股定理可得，求解即可得出答案，熟練掌握垂徑定理、勾股定理、余弦的定義，是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，

，是的直徑，且經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)，，，，，，，設(shè)，則，，，解得：，．4．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且AC=8，BC=6．(1)尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線，交劣弧于點(diǎn)D，連接CD（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的圖形中，求點(diǎn)O到AC的距離及sin∠ACD的值．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析；(2)點(diǎn)O到AC的距離為3，sin∠ACD的值是【分析】(1)作線段AC的垂直平分線，由垂徑定理推論可知該垂直平分線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)O；(2)由垂徑定理得到AF=CF，進(jìn)而得到OF是△ACB的中位線，由此得到點(diǎn)O到AC的距離OF=BC=3；求出DF=OD-OF=5-3=2，CF=4，由勾股定理求出CD=，最后在Rt△CDF中由即得答案．【詳解】（1）解：①分別以A，C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)(大于AC長(zhǎng)度的一半)為半徑作弧，記兩弧的交點(diǎn)為E；②作直線OE，記OE與交點(diǎn)為D；③連結(jié)CD，則線段AC的垂線DE、線段CD為所求圖形，如下圖所示；（2）解：記OD與AC的交點(diǎn)為F，如下圖所示：∵OD⊥AC，∴F為AC中點(diǎn)，∴OF是△ABC的中位線，∴OF=BC=3，∵OF⊥AC，∴OF的長(zhǎng)就是點(diǎn)O到AC的距離；Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，∴AB=10，∴OD=OA=AB=5，∴DF=OD-OF=5-3=2，∵F為AC中點(diǎn)，∴CF=AC=4，

Rt△CDF中，∵DF=2，CF=4，∴CD=，則，∴點(diǎn)O到AC的距離為3，sin∠ACD的值是．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)、垂徑定理及其推論、勾股定理、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、銳角三角函數(shù)等，屬于綜合題，欲求某角的某三角函數(shù)值，首先想到的應(yīng)該是能否在直角三角形中進(jìn)行，如果沒(méi)有現(xiàn)成的直角三角形，則需要設(shè)法構(gòu)造(作輔助圖形)．題型2利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題5．（2023上·天津和平·九年級(jí)?？计谀┌霃綖?，弦，，，則與間的距離為（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作，為垂足，交與，連，，由，得到，根據(jù)垂徑定理得，，再在中和在中分別利用勾股定理求出，，然后討論：當(dāng)圓點(diǎn)在、之間，與之間的距離；當(dāng)圓點(diǎn)不在、之間，與之間的距離．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，為垂足，交與，連，，如圖，，，，，而，，，，在中，，；在中，，；當(dāng)圓點(diǎn)在、之間，與之間的距離；當(dāng)圓點(diǎn)不在、之間，與之間的距離；所以與之間的距離為7或1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的?。部疾榱斯垂啥ɡ硪约胺诸愑懻摰乃枷氲倪\(yùn)用．6．已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，，，，則與之間的距離為cm．【答案】7或1．【分析】分兩種情況考慮：當(dāng)兩條弦位于圓心O同一側(cè)時(shí)，當(dāng)兩條弦位于圓心O兩側(cè)時(shí)；利用垂徑定理和勾股定理分別求出OE和OF的長(zhǎng)度，即可得到答案．【詳解】解：分兩種情況考慮：當(dāng)兩條弦位于圓心O一側(cè)時(shí)，如圖1所示，

過(guò)O作OE⊥CD，交CD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連接OC，OA，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∴E、F分別為CD、AB的中點(diǎn)，∴CE=DE=CD=3cm，AF=BF=AB=4cm，在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，根據(jù)勾股定理得：OF=3cm，在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，根據(jù)勾股定理得：OE═4cm，則EF=OEOF=4cm3cm=1cm；當(dāng)兩條弦位于圓心O兩側(cè)時(shí)，如圖2所示，同理可得EF=4cm+3cm=7cm，綜上，弦AB與CD的距離為7cm或1cm．故答案為：7或1．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理，勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．7．（2022上·湖北黃岡·九年級(jí)英山縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，一下水管道橫截面為圓形，直徑為，下雨前水面寬為，一場(chǎng)大雨過(guò)后，水面寬為，則水位上升cm．【答案】70或170/170或70【分析】過(guò)圓心作垂直于弦的線段，構(gòu)造直角三角形，再分水位分別在圓心上方和下方的兩種情況去討論，垂徑定理與勾股定理結(jié)合求解即可．【詳解】解：如圖所示：，由題意，，根據(jù)垂徑定理，，，直徑為，半徑，在中，,在中，,①當(dāng)在圓心下方時(shí)，②當(dāng)在圓心上方時(shí)，故答案為：70或170【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂徑定理、靈活運(yùn)用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．8．（2022·黑龍江·統(tǒng)考一模）如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的☉O交于點(diǎn)G，B，F(xiàn)，E，GB=5，EF=4，那么AD=．【答案】【分析】連接OF，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥EF，垂足為H，根據(jù)垂徑定理，在△OHF中，勾股定理計(jì)算．【詳解】如圖，連接OF，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥EF，垂足為H，則EH=FH=EF=2，∵GB=5，∴OF=OB=，在△OHF中，勾股定理，得OH=，∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形OADH也是矩形，∴AD=OH=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握兩個(gè)定理是解題的關(guān)鍵．題型3利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題9．（2023下·廣東深圳·九年級(jí)深圳中學(xué)?？甲灾髡猩┤鐖D，已知的兩條弦、分別與的同心圓交于點(diǎn)E、F、X、Y，，，，則的長(zhǎng)度為．

【答案】5【分析】先設(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為r，的長(zhǎng)度為．連結(jié)、、、，然后過(guò)點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理和勾股定理，得，，即，則，同理得，則，即可作答．【詳解】解：設(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為r，的長(zhǎng)度為．連結(jié)、、、，然后過(guò)點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖所示：

由垂徑定理可得，，在和，由勾股定理得，，即，則，那么，在和，由勾股定理得，，即，則，那么，因?yàn)?，所以，解得，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理以及勾股定理，解出和是本題解題的關(guān)鍵，難度適中．10．將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B． C． D．【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圓于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO為半徑，則OA=OD=4；然后運(yùn)用勾股定理即可求得AC的長(zhǎng)，即可求得AB的長(zhǎng).【詳解】解：作OD⊥AB于C，交小圓于D，則CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=，∴AB=2AC=.故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，作出輔助線、構(gòu)造出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.題型4利用垂徑定理求解其他問(wèn)題11．（2022·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，A、B、C是上的點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)D，且D為OC的中點(diǎn)，若，則BC的長(zhǎng)為．【答案】7【分析】根據(jù)垂徑定理可得垂直平分，根據(jù)題意可得平方，可得四邊形是菱形，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，連接，A、B、C是上的點(diǎn)，，，D為OC的中點(diǎn)，，四邊形是菱形，，．故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，菱形的性質(zhì)與判定，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．12．（2022·湖南株洲·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是．【答案】【分析】連接OD，交AC于F，根據(jù)垂徑定理的推論得出OD⊥AC，AF=CF，進(jìn)而證得DF=BC，根據(jù)三角形中位線定理求得OF=BC=DF，從而求得BC=DF，利用勾股定理即可求得AC．【詳解】解：如圖，連接OD，交AC于F，∵D是的中點(diǎn)，∴OD⊥AC，AF=CF，∴∠DFE=90°，∵OA=OB，AF=CF，∴OF=BC，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，在△EFD和△ECB中，，

∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF=BC，∴OF=DF，∵OD=3，∴OF=1，AB=2OD=6，∴BC=2，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和垂徑定理及其推論是解題的關(guān)鍵．13．已知：在圓O內(nèi)，弦與弦交于點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)，當(dāng)時(shí)，求證：四邊形為矩形．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）連結(jié)，由M、N分別是和的中點(diǎn)，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由，可得，可證，，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì);（2）設(shè)OG交MN于E，由，可得，可得，，可證可得，由CN∥OG，可得，由可得AM∥CN，可證是平行四邊形，再由可證四邊形ACNM是矩形．【詳解】證明：（1）連結(jié)，∵M(jìn)、N分別是和的中點(diǎn)，∴OM，ON為弦心距，∴OM⊥BC，ON⊥AD，，在中，，，在Rt△OMG和Rt△ONG中，，，∴，;（2）設(shè)OG交MN于E，，∴，∴，即，，在△CMN和△ANM中，，，∵CN∥OG，，，，∴AM∥CN，是平行四邊形，，∴四邊形ACNM是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線判定與性質(zhì)，矩形的判定，掌握垂徑定理，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線判定與性質(zhì)，矩形的判定是解題關(guān)鍵．題型5垂徑定理的推論14．如圖，的半徑為，將的一部分沿著弦翻折，劣弧恰好經(jīng)過(guò)圓心．則折痕的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)作與交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，根據(jù)折疊的性質(zhì)可求出的長(zhǎng)；根據(jù)垂徑定理的推論可得，根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)，即可求出的長(zhǎng)度．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作與交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，如圖：

根據(jù)題意可得：，∵，∴，在中，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了翻轉(zhuǎn)的性質(zhì)，垂徑定理的推論，勾股定理，掌握翻轉(zhuǎn)是一種對(duì)稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．15．如圖，的弦，為的中點(diǎn)，且，則的半徑為（

）

A．8 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】連接，，由和是的半徑，則，利用垂徑定理可得，，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，，如圖所示：

和是的半徑，，又為的中點(diǎn)，且，，，，在中，，，，的半徑為：5，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握勾股定理及垂徑定理，借助輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．16．已知點(diǎn)在上．則下列命題為真命題的是（

）A．若半徑平分弦．則四邊形是平行四邊形B．若四邊形是平行四邊形．則C．若．則弦平分半徑D．若弦平分半徑．則半徑平分弦【答案】B【分析】根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)、垂徑定理及其推論、特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)依次對(duì)各項(xiàng)判斷即可．【詳解】A．∵半徑平分弦，∴OB⊥AC，AB=BC，不能判斷四邊形OABC是平行四邊形，假命題；B．∵四邊形是平行四邊形,且OA=OC,∴四邊形是菱形，∴OA=AB=OB，OA∥BC，∴△OAB是等邊三角形，∴∠OAB=60o,∴∠ABC=120o,真命題；C．∵，∴∠AOC=120o，不能判斷出弦平分半徑，假命題；D．只有當(dāng)弦垂直平分半徑時(shí)，半徑平分弦，所以是假命題，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查命題與證明，涉及垂徑定理及其推論、菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是會(huì)利用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行推理證明命題的真假．17．下列命題中假命題是（

）A．平分弦的半徑垂直于弦 B．垂直平分弦的直線必經(jīng)過(guò)圓心C．垂直于弦的直徑平分這條弦所對(duì)的弧 D．平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦【答案】A【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論分別進(jìn)行判斷．【詳解】A、平分弦（非直徑）的半徑垂直于弦，所以A為假命題；B、垂直平分弦的直線必經(jīng)過(guò)圓心，所以B選項(xiàng)為真命題；C、垂直于弦的直徑平分這條弦所對(duì)的弧，所以C選項(xiàng)為真命題；D、平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦，所以D選項(xiàng)為真命題．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理，也考查了垂徑定理的性質(zhì)．18．（2022·四川南充·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，將△ACD沿CD對(duì)折得△A′CD．連接，連接AA′交CD于點(diǎn)E，若，，則CE的長(zhǎng)為（

）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】B【分析】由折疊性質(zhì)得AA′⊥CD，AD=A′D，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可證得CD=AD=BD=A′D，可證得A、C、A′、B共圓且AB為直徑，利用垂徑定理的推論和三角形的中位線性質(zhì)證得DE=A′B，進(jìn)而可求解CE的長(zhǎng)．【詳解】解：由折疊性質(zhì)得AA′⊥CD，AD=A′D，∵，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴CD=AD=BD=A′D=AB，∴A、C、A′、B共圓且AB為直徑，又AA′⊥CD，∴AE=A′E，又AD=BD，∴DE是△ABA′的中位線，∴DE=A′B，∵，，∴CD=7cm，DE=2cm，∴CE=CD-DE=7-2=5cm，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、折疊性質(zhì)、垂徑定理的推論，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．題型6垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用19．（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測(cè)得弦長(zhǎng)20厘米，弓形高為2厘米，則鏡面半徑為厘米．【答案】26【分析】令圓O的半徑為OB=r，則OC=r-2，根據(jù)勾股定理求出OC2+BC2=OB2，進(jìn)而求出半徑．【詳解】解：如圖，由題意，得OD垂直平分AB，∴BC=10厘米，令圓O的半徑為OB=r，則OC=r-2，在Rt△BOC中OC2+BC2=OB2，∴（r-2）2+102=r2，解得r=26．故答案為：26．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和勾股定理求線段長(zhǎng)，熟練地掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．20．（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一個(gè)球放置在圓柱形玻璃瓶上，測(cè)得瓶高AB＝20cm，底面直徑BC＝12cm，球的最高點(diǎn)到瓶底面的距離為32cm，則球的半徑為cm（玻璃瓶厚度忽略不計(jì)）．【答案】7.5【分析】如詳解中圖所示，將題中主視圖做出來(lái)，用垂徑定理、勾股定理計(jì)算即可.【詳解】如下圖所示，設(shè)球的半徑為rcm，則OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，∵EG過(guò)圓心，且垂直于AD，∴G為AD的中點(diǎn)，則AG=0.5AD=0.5×12=6cm，在中，由勾股定理可得，，即，解方程得r=7.5，則球的半徑為7.5cm．【點(diǎn)睛】本題考查了主視圖、垂徑定理和勾股定理的運(yùn)用，準(zhǔn)確做出立體圖形的主視圖是解題的關(guān)鍵．21．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】先畫好一個(gè)圓，標(biāo)上直徑CD，已知AB的長(zhǎng)為8cm，可知分為兩種情況，第一種情況AB與OD相交，第二種情況AB與OC相交，利用勾股定理即可求出兩種情況下的AC的長(zhǎng)；【詳解】連接AC，AO，∵圓O的直徑CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，當(dāng)C點(diǎn)位置如圖1所示時(shí)，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM==3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=cm；當(dāng)C點(diǎn)位置如圖2所示時(shí)，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5?3=2cm，在Rt△AMC中，AC=cm．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和勾股定理，根據(jù)題意正確畫出圖形進(jìn)行分類討論，熟練運(yùn)用垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵．22．筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心為圓心的圓，如圖2，已知圓心在水面上方，且被水面截得的弦長(zhǎng)為6米，半徑長(zhǎng)為4米．若點(diǎn)為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)到弦所在直線的距離是（

）A．1米 B．米 C．2米 D．米【答案】B【分析】連接OC交AB于D，根據(jù)圓的性質(zhì)和垂徑定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根據(jù)勾股定理求得OD的長(zhǎng)，由CD=OC