2023年江西省萍鄉(xiāng)市成考專升本數(shù)學(xué)（理）

自考真題（含答案帶解析）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

1.在中事23?0|4?向（:用乙他（：的形狀一定是4.等腰直角三角形B.直

角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

2.在棱長為2的正方體中，M、N分別為棱的AA和BB，中點，若9為

直線CM與D，N所成的角，則sing（）

A.1/9

475

B.9

C.2/3

275

D.-9-

3.在△ABC中，若IgsinA-IgsinB-IgcosC=lg2,則4ABC是（）

A.以A為直角的三角形B.b=c的等腰三角形C.等邊三角形D.鈍角三

角形

4.圓x2+y2+2x-6y-6=0的半徑為（）。

A.而

B.4

C.V15

D.16

5.已知復(fù)數(shù)z=a+6i,其中a,b￡R,且屏0,則()

A.A.二

B.r*I=2Ir2*

C?lZ*I=/2L*/

D.」i=/*一i

6.過點(0,1)且與直線x+y+l=O垂直的直線方程為()。

A.y=x+1B.y=2x+1C.y=xD,y=x-1

A.A.l-iB.l+iC.-l+iD,-1-i

過點(2,1)且與直線y=o垂直的直線方程為

Q(A)x(B)x=l(C)>>=2(D)y=l

設(shè)甲：x=l,

乙：xJ=1?

則

(A)甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件

(B)甲是乙的充分必要條件

(C)甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件

9(D)甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件

10.

已知函數(shù)y=(1)”'(-0C則該函數(shù)

A.是奇函數(shù)，且在(-8,0)上單調(diào)增加

B.是偶函數(shù)，且在(s,0)上單調(diào)減少

C.是奇函數(shù)，且在(0,+與上單調(diào)增加

D.是偶函數(shù)，且在(0,+s)上單調(diào)減少

11.

設(shè)=3,則log,Y=()

A.3/2B.2/3C.-3/2D.-2/3

12.圓x2+y2=25上的點到直線5x+12y—169=0的距離的最小值是

()

A.A.9B,8C.7D.6

13.過點P(2-3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是

A.x+y+l=0或3x+2y=0

B.x-y-1或3x+2y=0

C.x+y-1或3x+2y=0

D.x-y+1或3x+2y=0

Z，

14.已知直線-2=。和心:尸一率用與Z2的夾角是()

A.45°B,60°C,120°D.150°

15.

若向量a=(x,2),b=(-2,4),且a,b共線，則x=()

A.-4B,-1C.lD.4

已知焦點在工軸上的橢畤十（=】的焦距等于2,則該橢圓上任一點P到兩焦點的距

16.

()

A.A.8

B.B.2/

C.4

D.D.2J3

17.設(shè)集合M={X￡R|X￡1},集合N={￡R|ZN-3},則集合MnN=()

A.{XGRB—3<X<-1}C.{ZeRD.Z<-l}E,{XeRF.X>—3}G.(p

(A)—(B)-(C)10(D)25

18.“,

19.■物線y=g2的準線方程是，=2,則。=()

A1

A.A.'

B.

C.8

D.-8

2Q設(shè)sin(r88a=耳.且彳■VaV1，則cosa-sinan)

A.A.-43/2BJ3/2C.3/4D.-3/4

(9)若8為第一象限角，且sin?-cos。=0,貝ljsinj+cos&=

(B),

(A)&

(潸（D）亨

21.

22.設(shè)函數(shù)f(x—2)=片一3x—2,則f(x)=()

A.A.x2+x-4

B.x2-x-4

C.x2+x+4

D.x2-x-4

工=4co研，

設(shè)Fi，F(xiàn)：分別是橢圓(0為參數(shù)）的焦點，并且B是該橢圓短軸的一個端

y=33in0

23.點球爾島的面積等于

A.A.\.

B.

CLT

D.S

i力或數(shù)砧?7?匕i（州i）I—2i剜實CfE

24.A'-⑴)I<C)

(9)設(shè)甲：k=IH5=1.

乙:直線y=加+4與)?="平行，

則

(A)甲是乙的必要條件但不是乙的充分條件

(B；甲是乙的充分條件但不是乙的必要條件

(C;甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

25.(D>甲是乙的充分必我條斗

若圓x'+y?=c與直線x+y=l相切，則9=

<A)-(B)1(C)2(D)4

26.

27.3人坐在一排8個座位上，若每人的左右兩邊都有空座位，則坐法

共有()

A.A.6種B.12種C.18種D.24種

28.不等式x2-2x<0的解集為()。

A.{x|x<0,x>2}B.{x|-2<x<0}C.{x|0<x<2}D.{x|x<-2,或x>0}

29.已知一個等差數(shù)列的第5項等于10,前3項的和等于3,那么這個

等差數(shù)列的公差為()

A.A.3B.lC.-lD.-3

30.在黑/=4上與直線4x+3y-12=0距離最短的點是

旦)

A.A.

.86、

B.、5

c.

D.

二、填空題(20題)

31.橢圓的中心在原點，-個頂點和一個焦點分別是直線x+3y-6=0與兩坐

標軸的交點，則此橢圓的標準方程為.

32.化簡而+(JP—而二

33.從一批某種型號的電子元件中隨機抽取樣本進行使用壽命測試，測得

數(shù)據(jù)如下(單位：h):

245256247255249260

則該樣本的樣本方差為———(保留小數(shù)點后一位).

34.(21)不等式12%+11>1的解集為一.

35.

若二次函數(shù)/(x)=cue2+2x的最小值為—?，則。=_________?

0

36.函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖像經(jīng)過點(-1,0),(3,0),則f(x)的最小值為

37.以點(2,-3)為圓心，且與直線X+y-l=O相切的圓的方程為

某射手有3發(fā)子彈，射擊一次,命中率是0.8,如果命中就停止射擊，否則一直射到

38干彈用完為止，那么這個射手用子彈數(shù)的期望值是_______

39.經(jīng)驗表明，某種藥物的固定劑量會使心率增加，現(xiàn)有8個病人服用

同一劑量的這種藥，心率增加的次數(shù)分別為131514108121311,則該

樣本的樣本方差為

40

41.橢圓x2+my2=l的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m的

值是.

42.已知|a|=2,|b|=4,|a+b|=3,貝！I<a,b>=

43屈數(shù)yslnx+cosx的導(dǎo)數(shù)y,=

44.已知A(2,1),B(3,-9),直線l:5x+y-7=0與直線AB交于P點,點

P分所成的比為.

45.

46.

I.2-1

2x4-1------------

已知防機變量€的分布列是

-1012

2

P

3464

48.已知正四棱柱ABCD-A，B，CD，的底面邊長是高的2位，則AC與

CC所成角的余弦值為

[-10121

設(shè)離散理隨機變量S的分布列為工J[1立.則E（Q=_______________，

49.

50.海上有A,B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60。

的視角，從B島望C島和A島成75。的視角，則B,C之間的距離是

三、簡答題（10題）

51.（本小題滿分12分）

在△A8C中.A8=8低,B=45°,C=60。.求AC.8c

52.

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/（*）=t-lnx,求（1）/（幻的單調(diào)區(qū)間；（2）人工）在區(qū)間[:,2]上的最小值.

53.(本小題滿分12分)

設(shè)兩個二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線X=1對稱，其中一個函數(shù)的表達式為

Y=x2+2x-l,求另一個函數(shù)的表達式

(23)(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)/G)=/-2x2+3.

(I)求曲線y=/-2/+3在點(2,H)處的切線方程；

。(II)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

55.(本小題滿分12分)

設(shè)數(shù)列l(wèi)a.滿足5=2.af=3a.-2("為正唯數(shù))?

a,-I

⑴求上~~

a,-1

(2)求數(shù)列；a.I的通項?

56.(本小題滿分12分)

已知等比數(shù)列l(wèi)a.｝中,a,=16.公比g=—.

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)若數(shù)列h”的前n項的和S.=124.求n的值.

57.

(24)(本小題滿分12分)

在AABC中,4=45。,8=60。,=2,求△ABC的面積.(精確到0.01)

58.

(本小題滿分12分)

已知等差數(shù)列l(wèi)a.|中=9.a,+?,=0.

(1)求數(shù)列l(wèi)a.I的通項公式.

(2)當n為何值時.數(shù)列l(wèi)a1的前n項和S.取得最大值，并求出該最大值?

59.(本小題滿分12分)

分別求曲線y=-3x2+2x+4上滿足下列條件的點

(1)過這些點的切線與X軸平行；

⑵過這些點的切線與直線y=x平行.

60.(本小題滿分12分)

某服裝店將進價為40元一件的襯衫，按50元一件售出時，能賣出500

件，如果這種襯衫每件漲價1元，其銷售量就減少10件，商店為了獲

得大利潤，問售價應(yīng)為多少？

四、解答題(10題)

61.函數(shù)f(x)=ax3+bx?+cx+d,當x=-l時，取得極大值8,當x=2

時，取得極大值-19.

(I)求y=f(x)；

(II)求曲線y=f(x)在點(-1,8)處的切線方程.

已知點4(%,y)在曲線y=—[±-

(1)求o的值；

62.(2)求該曲線在點A處的切線方程.

64.已知橢圓x2/16+y2/9=l,問實數(shù)m在什么范圍內(nèi)，過點(0,m)存在

兩條互相垂直的直線都與橢圓有公共點.

65.如圖所示，某觀測點B在A地南偏西10。方向，由A地出發(fā)有一條

走向為南偏東12。的公路，由觀測點B發(fā)現(xiàn)公路上距觀測點10km的C

點有一汽車沿公路向A地駛?cè)?，到達D點時，測得NDBC=90。，BD=

10km,問這輛汽車還要行駛多少km才能到達A地.(計算結(jié)果保留到小

數(shù)點后兩位)

66.設(shè)函數(shù)f(x)=ex-x-l.

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(II)求f(x)的極值.

67.已知橢圓E的中心在坐標原點O,焦點在x軸上，長軸長為8,焦距

為亞

(I)求E的標準方程；

(II)若以O(shè)為圓心的圓與E交于四點，且這四點為一個正方形的四個

頂點，求該圓的半徑.

68.已知：/(力=28/工+2點sinHCOSjr+a(aWR,a為常數(shù)).(I)若x￡R,求f(x)的

最小正周(n)若八工)在［一字號］上的最大值與最小值之和為3,求a的值.

69.已知數(shù)列⑶｝的前n項和Sn=n(2n+1)

⑴求該數(shù)列的通項公式；

(H)判斷39是該數(shù)列的第幾項

70.設(shè)雙曲線$一的熱點分別為Fi.Fz，離心率為2.

⑴求此雙曲線的漸近線11,12的方程;<br>

(H)設(shè)A,B分別為il,12上的動點，K2|AB|=5|F1F2|,求線段AB

中點M的軌跡方程.并說明是什么曲線.

五、單選題(2題)

巳知a,b為任意正實數(shù)，則下列等式中恒成立的是()

(A)a*=力

(B)2"‘=2,+2*

(C)aU^=(空)+

71.(D)ak‘=6-

72.在△ABC中，已知AB=5,AC=3,ZA=120°,則BC長為

()

A.A.7

B.6

C.i.

D.」..■/街

六、單選題（1題）

i“為叁數(shù)）

[y=%inc

73.參數(shù)方程表示的圖形為0

A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線

參考答案

1.C

,解斯=4?，)B)X'-'ZAUeaa**1?(4-0)-0...4~5

2.B

取箋的中限為F，連MA'F.則MC〃A'F.界面直級MC與D'N所成的角馬A'F與D'N工成的角相立

2un

gi242X后_4賽

NA'OD'=/d???A'N-5.二A'N=反tan為=近=后."超二=]+售丁工.

判斷三角形的形狀，條件是用-個對數(shù)等式給出，先將對數(shù)式利用對數(shù)

的運算法則整理.,.,lgsinA-IgsinB-IgcosC=Ig2,由對數(shù)運算法則可得，左

=IgsinA/sinBcosC=Ig2,兩個對數(shù)底數(shù)相等則真數(shù)相等：

sinA/sinBcosC=2,BP2sinBcosC=sinA,在ZkABC中，*.*

A+B+C=180°,.*.A=180°-(B+C),XVsinA=sin[180°-

(B+C)]=sin(B+C)=sinBxcosC+cosBxsinC,.,.

sinA/sinBcosC=(sinBcosC+cosBsinC)/sinBcosCl+(cosBsinC/sinBcosC)=

2-l+cotBtanC=2,tanC/tanB=l-tanC=tanB=>c=b,故為等腰三角形.

4.B

本題考查了圓的方程的知識點。

圓x2+y2+2x-6y-6=0可化為(x+l)2+(y-3)2=16,故圓的半徑為4。

5.C

6.A該小題主要考查的知識點為直線的性質(zhì).【考試指導(dǎo)】與直線x+y+l=0

垂直的直線的斜率為1,又因為該直線過(0,1)點，故該直線方程為y-

l=lx(x—0)=>y=x+l.

7.A.

2i(-1-i>2i(-Li)-?

-2-—1一、(答案為A)

8.A

9.C

10.D

ll.C

12.B

HO=25的圈心為坐標原點（0,0）,半徑r-S,

0B心（0.0）到直線5J+12V169^0的距離是」@X0;;L經(jīng)等您!.=⑶

則B8/+，=25上的點到直線5x+12>-169=0的距離的最小值是

13-5>=8.（答案為B）

13.A

若直線在兩坐標軸上截距相等，將直線方程轉(zhuǎn)化為截距式容易判別.選

項A對.選項B錯，直線x-y-l=0不過點（2,-3）.選項C錯，直線x+y-

1=0不過點（2,-3）.選項D錯，直線x-y+l=0不過點（2,-3）.

14.B

直線/i與h相交所成的機角或直

角叫做/1與心的夾角,即0?4490°,而選項C,

D*大于90°.，C、D排除，

%的斜率不存在，所以不能用tan0=

與冬I求夾角,可昌圖觀察出8=60°?

15.B

16.B

由M意可知0tHm,〃-4,2c=2.則c-=i=l.解得al?m=5,

則該橢圈上任一點P到兩焦點的距出之和為為=2席.（答案力B）

17.A

18.D

19.B

由原方程可用/-于是有一2/?=；得a—L

a0匕p

乂由拋物線的準線方程可知?」2.戶=I.所以a答案為B)

20.A

.13

(cois一好引'=】一2sirtaCOM=1-2Xw1,

o4

由孑《卡,可知cosa<siM所以cosa-six=一察(答案為A)

21.A

22.A

令”一2=，?得/=，+2代入原式，得

/(八；V+2)'—3(f+2)—2-++r4?

即/3)=/+工一4.(答案為A)

23.B

消去參數(shù),將參數(shù)方程化為h通方程,F"分別是橢嗚+*=1的焦點.

a=4,6=3?c=/4,二歲二77,

則的面積等于｝乂2Q乂3=3>/7.(芥案為B)

24.A

25.B

26.A

27.D

28.C

本題考查了一元二次不等式的解集的知識點。

x2—2彳<0=>x(x?-2)V0=>0VzV

2,故解集為｛z|0<^<2｝.

29.A

30.A

31.x2/40+y2/4=l或y2/40+x2/36=l原直線方程可化為x/6+y/2=l,交點(6,0),

(0,2).當點(6,0)是橢圓一個焦點，點(0,2)是橢圓一個頂點時，c=6,b=2,

a2=40^x2/40+y2/4=l當點(0,2)是橢圓一個焦點，(6,0)是橢圓一個頂點時，

c=2,b=6,a2=40^y2/40+x2/36=l

32.

33.

7=252,J=28.7(使用科學(xué)計算器計算).(蘇案為28.7)

(21)(-x,-l)U(O,+oo)

，一?

35.【答案】3

【解析】該小題主要考查的知識點為二次函數(shù)的最小值.

【考試指導(dǎo)】

由于二次函數(shù)/(JT)=32十2]有支

Z

-.A-4aX0-2If_

小值，故a>0.故-----：---------------=>a-23.

4a3

36.-4

由于函數(shù)開口向上，故其在對稱軸處取得最小值，又函數(shù)過點(-1,

T+3

0),(3,0),故其對稱軸為x=,fmin(l)=l+b+C,而式-1)由1-

b+c=0,f(3)=9+3b+c=0,得b=-2,c=-3,故fmin(1)=123=4

37.

(x-2)l+(y+3)2=2

38/216

39.

40.

Z\ABC41?0<LA<C180*?sinA>0.sinA—/1—ax?A=J1—()*.

VAvtv

由正弦定理可知AB=再與C=以呼阻=3一空.(答案為印)

sinA91nAy/]Q乙2

41.

答案:

-r【解析】由二十叫/得/+￥*=1.

m

因其焦點在￥軸上，故

a1?—.

m

乂因為2a=2?2A.即2J^=4nm=+；

本題考查橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì).對于橢圓標準方程而言，應(yīng)注

意；

①焦點在x*上,=4+太Ka>*>O)i

atr

焦點在y軸上，+1=1儲>&>0).

②長**■&>.短牯長=2*.

42.

【答案】Xarccos

|。+—=(fl-F6>?《Q+力

?a?a4-2a?b+0?b

二|<i|'+2|a?b?coMa?b>+b\,

?4+2X2X4cos(a.b>+l6=9?

Mflfcos《a?b》■=-9,

io

即<a.b〉一arcco*(-?)""K—arccos|g.

43.

44.4由直線方程的兩點式可得，過A(2,1),B(3,-9)的方程為：

,^—2_y—1JlOx+y-21=0Jx=^

二一一9—1'邛5工+廣7=0(產(chǎn)、'

xt4-AXI2+A?3?142+3A_^,.

45.

△ABV為等由：用形.八8萬八（議的的為60.余弦值為）.（答案為

46.

則犯卜￡注「去（答案為f

47.

3

48.

49.

E（a=<7）x=+。嗎十】>孑+2嗚Y.（答案媚）

50.

5761X析】由已知條件,博在中.AB=

10（海里）,NA=60，NB=75?,則有NC=45：

由正弦定理總=京,即懸1n磊1'得

氏=嘿外5G.

51.

由已知可得A=75°.

區(qū)pr

又finli9=sin(450+30°)=sin45°c<M30o+(xw45o8in30o=―—?.......4分

在△ABC中，由正弦定理得

上=……8分

sin45°-sin75-sin6O°'

所以4c=16,8C=86+8........12分

（I）函數(shù)的定義域為（0,+8）.

/（?）=1令/⑴=0,得了=1.

可見,在區(qū)間（0.1）上/（工）<0;在區(qū)間（1.+8）上/（X）>0.

則/（X）在區(qū)間（0/）上為減函數(shù);在區(qū)間（1.+8）上為增函數(shù)?

（2）由（I）知，當x=l時取極小值,其值為夫1）=1-Ini=1.

又〃I）=y-ln4-=-y+ln21/"（2）=2-ln2.

由于InVc<In2<Ine.

即!<In2VL則/（；）>艮1）/（2）

因眼（外在區(qū)間：；.2］上的最小值址1.

53.

由已知，可設(shè)所求函數(shù)的表達式為y=(x-m)'+小

而+2工-1可化為丫=(工+1)'-2

又如它們圖像的頂點關(guān)于直線*=1對稱，

所以n=-2,m=3,

故所求函數(shù)的衰達式為y=(?-3)'-2,即廠/-6x+7.

(23)解：(I)](")=4/-4%

54.八2)=24,

所求切線方程為y-11=24(*-2),BP24x-y-37=0.……6分

(口)令/(*)=0,解得

=-19X2=Otz3=1.

當*變化時JG)J(x)的變化情況如下表：

X(-a?t-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+8)

r(?)-0?0-0

/U)、2z32z

人外的單調(diào)增區(qū)間為(-1.0),(1,+8),單調(diào)減區(qū)間為(-8,-1),(0,

1).……12分

55.解

⑴4.1=3“-2

a..t-1=3a.-3=3(a,-1)

(2)|a.-l|的公比為g=3,為等比數(shù)列

..0,-1=(?,?1)尸=尸=3-，

56.

(1)因為a,=5/.即16=5X：,得at=64.

所以，該數(shù)列的通項公式為a.=64x(^-)-'

(2)由公式-1--得124=---------f-

i-g1-f

化博得2”=32.解得n=5.

(24)解：由正弦定理可知

告券則

smAsinC

2,xay

48xsin45°

——=2(v^-l).

sin750~4~

5A4SC=-xBCxABxsinB

-yxacTT-i)x2x?

=3-4

57.*1.27.

58.

(I)設(shè)等比數(shù)列的公差為d,由巳知a,+a,=0,得2.+9d=0.

又巳知％=9,所以d=-2.

得數(shù)列Ia.I的通項公式為a.=9-2(n-1).即a.=11-2兒

(2)勤!||a」的前n項和S.=合(9+ll-2n)=-/+lOn=-(n-5)，+25.

則當n=5時.S.取得最大值為25.

59.

(l)設(shè)所求點為(x。.")..

y，=-6父+2，=-6x?+X

由于工軸所在直線的斜率為o,則-5+2=0.%=/

因此To=-3?(y)J4-2?y+4=y.

又點(牛母不在X軸上，故為所求.

(2)設(shè)所求為點(苑.九),

由=-6x+2.

I??《o0

1

由于y=”的斜率為1,則-6%+2=1.與=(?

因此%=-3■+2?/+4年

又點(高吊不在直線y=x匕故為所求.

60.解設(shè)襯衫每件提高X元售出時，利潤為丫元，此時賣出的件數(shù)為

500—10x件，獲得收入是(50+X)(500一10x)元，則利潤

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以當X=20時，利潤丫取得最大值9000元，此時售價

為50+20=70元

61.

(I)依題意有

又f(jr)*s3axi—1)=0,/(2)=0?則

,-c+d=8.

8a+4b+2u+d=-19?

<3a-26+c-0.

12a+4A+c=0.

解得a-2"--3?c=-12.d=l,

所以/(力-3xl12x+l.

([](工)=6/-6工./"(工)J.]=0,

曲線'=/(外在點(一1.8)處的切線方程為y—8=0,即y=8.

解(1)因為;=一匚，所以q=1.

2Xo+1…

(2)/=一(Lw，\=-I

(x+1)4

曲線尸=±在其上一點(1./)處的切線方程為

?_L_1/

2~-4*~,

62.即x+4y-3=o.

63.

(n證明：連結(jié)AC,因為四邊形ABC。為正方形，所以

BD1AC.

又由巳知PA1底而40CD$BD±PA.所以DDJ.平面

PAC,BD1PC.

因為平而MWQN〃BD,MN與BD共而，所以UD//MN.

MN^PC.……5分

(11)因為MN_LFC,又巳知AQJ,PC,MW與網(wǎng)相交，

所以PC人平面AMQM因此戶Q_LQM//WQ為所求的角.

因為丹1L平而MCD.AB±EC,

所以PBLRC.

因為AB=BC=a,AC=PA=-/2a,

所以PC=2“，,

所以乙PC3=60。.

因為HtAFECsRtAPQM.

所以Z.P"Q=4PC杵=60'.

所以戶8與平面4AIQN所成的施為6。。.

64.

由■隗方隸可知,當舊f即鬻器黑^囂:相垂出的公式&

及方W一下

/,與公共點的充要條件是

16T9

Wk9+l4i'>，-32>7+l6m"l4?0有實??

?*一9

得**?-1i一?

■一“1-9(51二?)yiJP；.l<5.

同理出與.1■商公共點的死要條忖是1r?16

65.

因為△CHD為等以宜角三角形,BC=8DlOkin.

所以/BDC=45:

于是ZADB-135'.z4BD-23*.

由正弦定理得

ADwAFI10Mn23"［八皿1、

“m2a°SW"1n22‘~10.43（km）.

66.

（1）雨數(shù)的定義域為（―