第第頁6．3空間向量的應用課程標準學習目標（1）能歸納出用向量方法解決平行與垂直問題的一般思路.（1）能利用向量投影推導點到直線的距離公式、點到平面的距離公式．能把相互平行的直線間的距離、直線到平面的距離（直線與平面平行）、相互平行的平面間的距離轉化為點到直線的距離或點到平面的距離，進而求得距離，體會用向量方法解決距離問題的優(yōu)勢．（2）能通過實例歸納出利用向量的數量積求空間兩條異面直線所成角的一般方法；能夠利用向量的數量積得出直線與平面、平面與平面所成角的計算公式，并用于解決有關夾角問題．體會利用向量數量積解決空間角度問題的優(yōu)勢．（1）能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂直與平行關系.（2）能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、直線到平面（直線與平面平行）、相互平行的平面的距離問題．（3）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角（夾角）問題．知識點01直線的方向向量和平面的法向量1、直線的方向向量：點A是直線l上的一個點，是直線l的方向向量，在直線l上取，取定空間中的任意一點O，則點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使或，這就是空間直線的向量表達式．知識點詮釋：（1）在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．（2）在解具體立體幾何題時，直線的方向向量一般不再敘述而直接應用，可以參與向量運算或向量的坐標運算．2、平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量，那么過點A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合．知識點詮釋：一個平面的法向量不是唯一的，在應用時，可適當取平面的一個法向量．已知一平面內兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量．3、平面的法向量確定通常有兩種方法：（1）幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；（2）幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標系，然后用待定系數法求解，一般步驟如下：（i）設出平面的法向量為；（ii）找出（求出）平面內的兩個不共線的向量的坐標，；（iii）根據法向量的定義建立關于x、y、z的方程；（iv）解方程組，取其中的一個解，即得法向量．由于一個平面的法向量有無數個，故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量．【即學即練1】（2024·高二課時練習）若向量都是直線的方向向量，則.【答案】/【解析】根據題意可知，故存在唯一實數，使，即，則，解得，所以.故答案為：.知識點02用向量方法判定空間中的平行關系空間中的平行關系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．（1）線線平行設直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．（2）線面平行線面平行的判定方法一般有三種：①設直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．②根據線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內兩個不共線向量線性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉化為相應的線面平行、線線平行即可．②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．【即學即練2】（2024·全國·高三專題練習）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直．活動彈子M，N分別在正方形對角線和上移動，且和的長度保持相等，記．求證：平面【解析】如圖建立空間直角坐標系，則，，，．顯然平面的一個法向量為，而，∵，平面，∴MN//平面BCE．知識點03用向量方法判定空間的垂直關系空間中的垂直關系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．（1）線線垂直設直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．（2）線面垂直①設直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．②根據線面垂直的判定定理轉化為直線與平面內的兩條相交直線垂直．（3）面面垂直①根據面面垂直的判定定理轉化為證相應的線面垂直、線線垂直．②證明兩個平面的法向量互相垂直．【即學即練3】（2024·全國·高三專題練習）如圖，直三棱柱中，，，，D為BC的中點，E為上的點，且．求證：平面；【解析】證明：在直三棱柱中，，顯然射線兩兩垂直，以點為原點，射線的方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖，因為，，D為BC的中點，E為上的點，且，則，，于是，即，而平面，所以平面.知識點04用向量方法求空間角（1）求異面直線所成的角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，則．知識點詮釋：兩異面直線所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當兩方向向量的夾角是鈍角時，應取其補角作為兩異面直線所成的角．（2）求直線和平面所成的角設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．（3）求二面角如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，．若分別為面的法向量，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個面的法向量的夾角或夾角的補角．①當法向量與的方向分別指向二面角的內側與外側時，二面角的大小等于的夾角的大小．②當法向量的方向同時指向二面角的內側或外側時，二面角的大小等于的夾角的補角的大小．【即學即練4】（2024·江蘇無錫·高二輔仁高中?？计谀┰谒睦忮F中，底面是邊長為2的正方形，平面，，是棱上一點.(1)若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求點的位置.【解析】（1）如圖，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標系.則于是，,設平面的法向量為，則故可取.設直線與平面所成角為，則即直線與平面所成角的正弦值是.（2）如圖，設，，則，因，故，解得：，則,設平面的法向量為，則故可取.又,設平面的法向量為，則故可取.設平面與平面的夾角為，則，解得：或，因，故，即當點為的中點時，平面與平面的夾角的余弦值為.知識點05用向量方法求空間距離1、求點面距的一般步驟：①求出該平面的一個法向量；②找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應的向量；③求出法向量與斜線段向量的數量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．即：點到平面的距離，其中是平面的法向量．2、線面距、面面距均可轉化為點面距離，用求點面距的方法進行求解-即：點到平面的距離，其中是平面的法向量．直線與平面之間的距離：，其中是平面的法向量．兩平行平面之間的距離：，其中是平面的法向量．3、點線距設直線l的單位方向向量為，，，設，則點P到直線l的距離．【即學即練5】（2024·重慶黔江·高二重慶市黔江中學校?？茧A段練習）如圖，四棱錐的底面是邊長為的正方形，側面底面，且分別為棱的中點．

(1)求證：；(2)求點到平面的距離．【解析】（1）在中，易知且是的中點，故，且在正方形中，，面面，面面，面面，故面，易知面，故，又，，綜上（2）如圖，以為坐標原點，過平行于的直線為軸，以，所在直線分別為軸和軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，．設平面的法向量為，由，得，取，得，．所以，又，所以點到平面的距離題型一：直線的方向向量【例1】（2024·陜西西安·高二?？计谀┮阎?，若直線的一個方向向量為，則.【答案】【解析】根據題意，,,，若直線的一個方向向量為,2,，則設,2,，即,,,2,,,，則，解得.故答案為：．【變式1-1】（2024·河北張家口·高二校聯考階段練習）已知，在直線上，寫出直線的一個方向向量：．（坐標表示）【答案】（答案不唯一）【解析】由題意，在直線中，，，∴直線的一個方向向量．故答案為：（答案不唯一）．【變式1-2】（2024·寧夏銀川·高二?？茧A段練習）已知向量，都是直線l的方向向量，則x的值是.【答案】-1【解析】由題意設，即，即，解得.故答案為：-1【方法技巧與總結】理解直線方向向量的概念（1）直線上任意兩個不同的點都可構成直線的方向向量．（2）直線的方向向量不唯一．題型二：平面的法向量【例2】（2024·全國·高二課堂例題）如圖，已知正方體中，的坐標分別為，，，．分別求平面與平面的一個法向量．

【解析】由于軸垂直于平面，而z軸可用方向向量表示，因此是平面的一個法向量；設是平面的法向量．由已知得，，因而取，得，則是平面的一個法向量．【變式2-1】（2024·全國·高二專題練習）如圖所示，在四棱錐中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立適當的空間直角坐標系，分別求平面與平面的一個法向量．

【解析】∵⊥底面，底面是直角梯形且，∴兩兩垂直．以A點為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，則，易知向量是平面的一個法向量．設為平面的法向量，則即，取，則，所以平面的一個法向量為.【變式2-2】（2024·高二課時練習）如圖，已知平面內有，，三點，求平面的法向量．【解析】不妨設平面的法向量，又，故可得，即，不妨取，故可得，故平面的一個法向量為.又平面的法向量不唯一，只要與向量平行且非零的向量均可.故答案為：.（結果不唯一）【變式2-3】（2024·高二課時練習）已知，，，求平面ABC的一個法向量的坐標，并在坐標平面中作出該向量．【解析】由題設，，，若是面ABC的一個法向量，所以，令，則.【方法技巧與總結】求平面法向量的步驟（1）設出平面的法向量為．（2）找出（求出）平面中兩個不共線的向量的坐標，．（3）根據法向量的定義建立關于，，的方程組（4）解方程組，取其中的一個解作為法向量（由于一個平面的法向量有無數多個，故可在方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量）．題型三：直線和直線平行【例3】（2024·高二課時練習）已知長方體中，，，，點S、P在棱、上，且，，點R、Q分別為AB、的中點．求證：直線直線．【解析】以點D為原點，分別以、與的方向為x、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標系．則、、、、、、、，由題意知、、、，∴，．∴，又，不共線，∴.【變式3-1】（2024·高二課時練習）如圖，在正方體中，棱長為2，M，N分別為，AC的中點，證明：.【解析】連接,如圖，由正方體知四邊形是正方形，且M是的中點，所以，即是的中點，又N是AC的中點，所以.【變式3-2】（2024·全國·高二專題練習）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．證明：.【解析】根據正四棱柱性質可知，以為坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：則，所以，可得，即向量與共線，又不在同一條直線上，所以.【方法技巧與總結】證明兩直線平行的方法方法一：平行直線的傳遞性．方法二：基向量法，分別取兩條直線的方向向量，，證明，即．方法三：坐標法，建立空間直角坐標佘，把直線的方向向量用坐標表示，如，，即證明，即且且．題型四：直線與平面的平行【例4】（2024·全國·高二課堂例題）如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，點M，N分別在對角線BD，AE上，且，．求證：平面CDE．

【解析】如圖，因為M在BD上，且，所以,同理．又，所以.又與不共線，根據共面向量定理，可知，，共面．因為MN不在平面CDE內，所以平面CDE．【變式4-1】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四面體中，平面，，，．是的中點，是的中點，點在線段上，且．證明：平面；

【解析】因為，平面BCD，故以C為原點，CB為x軸，CD為y軸，過點C作DA的平行線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，可得，，，，因為是的中點，則，則，因為，，可得，因為平面BCD的法向量可取為，則，且平面BCD，所以PQ平面BCD．【變式4-2】（2024·全國·高二專題練習）如圖，在三棱錐中，底面，．點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，．求證：平面；【解析】因為底面，，建立空間直角坐標系如圖所示，則，所以，設為平面的法向量，則，即，不妨設，可得，又，所以，即，因為平面，所以平面，【變式4-3】（2024·全國·高二專題練習）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點在棱上，點為中點.若，證明：直線平面.【解析】如圖所示，以點為坐標原點，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，若，則，，因為平面，平面，所以，又因為，，平面，所以平面平面的其中一個法向量為，所以，即，又因為平面，所以平面.【變式4-4】（2024·高二課時練習）如圖，已知是正方形所在平面外一點，分別是上一點，且，求證：平面.【解析】由題意知.在上取點，使，于是，所以.因為平面，平面，所以平面.【方法技巧與總結】利用空間向量證明線面平行一般有三種方法：（1）證明直線的方向向量與平面內任意兩個不共線的向量共面，即可用平面內的一組基底表示．（2）證明直線的方向向量與平面內某一向量共線，轉化為線線平行，利用線面平行判定定理得證．（3）先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．題型五：平面和平面平行【例5】（2024·高二課時練習）在正方體中，分別是的中點，試建立適當的空間直角坐標系，求證：平面平面.【解析】證明:如圖，以為坐標原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．設正方體的棱長為1，則有，，，，，，于是，，，，顯然有，，所以，，由，平面，平面，平面，同理平面，平面，，所以平面平面【變式5-1】（2024·全國·高二專題練習）如圖所示，平面平面，四邊形為正方形，是直角三角形，且，，，分別是線段，，的中點，求證：平面平面．【解析】因為平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則．所以，，，，設是平面EFG的法向量，則，，即，得，令，則，，所以，設是平面PBC的法向量，由，，即，得，令，則，，所以，所以，所以平面EFG∥平面PBC．【變式5-2】（2024·全國·高一專題練習）如圖所示，正四棱的底面邊長1，側棱長4，中點為，中點為．求證：平面平面.

【解析】以為原點，，，所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，如圖則,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,，，，同理，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又平面平面與平面平行．【變式5-3】（2024·湖南株洲·高二校考期末）如圖，已知在正方體中，，，分別是，，的中點．證明：

(1)平面；(2)平面平面．【解析】（1）證明：以D為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系.設正方體的棱長為2，則，，，，，．由正方體的性質，知平面，所以為平面的一個法向量．由于，則，所以．又平面，所以平面．（2）證明：因為為平面的一個法向量，由于，，則，即也是平面MNP的一個法向量，所以平面平面．【方法技巧與總結】證明面面平行問題的方法（1）利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．（2）將面面平行轉化為線線平行然后用向量共線進行證明．題型六：直線和直線垂直【例6】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，D為的中點，交于點E．證明：.【解析】因為平面，平面‖平面,所以平面，因為平面，所以,因為，所以兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，所以，所以，故【變式6-1】（2024·全國·高三專題練習）如圖，棱臺中，，底面ABCD是邊長為4的正方形，底面是邊長為2的正方形，連接，BD，.證明：.【解析】證明：由題意，該棱臺是正四棱臺.連接交于，以所在直線為軸，經過且垂直于平面的直線為軸，交上底面于，連接，建立空間直角坐標系如圖.根據正四棱臺的性質，過作底面的垂線，則垂足在上.由題意得，為上底面正方形對角線長的一半，顯然，故，又，則，故.于是，，則，所以.【變式6-2】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，平面，，E，F，M分別為AP，AC，PB的中點，求證：【解析】以為原點，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖：則由題意得，，，，，，∴，即：，∴．【變式6-3】（2024·全國·高三專題練習）斜三棱柱的各棱長都為，點在下底面的投影為的中點.在棱（含端點）上是否存在一點使？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由；【解析】因為點在下底面的投影為的中點，故平面，連接，由題意為正三角形，故，以為原點，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，可得，，，設，可得，假設在棱（含端點）上存在一點使，則，解得，所以存在，此時.【方法技巧與總結】利用向量方法證明線線垂直的方法（1）坐標法：建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，求出兩直線方向向量的坐標，然后通過數量積的坐標運算法則證明數量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直．（2）基向量法：利用空間向量的加法、減法、數乘運算及其運算律，結合圖形，將兩直線所在的向量用基向量表示，然后根據數量積的運算律證明兩直線所在的向量的數量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直．題型七：直線與平面垂直【例7】（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知直三棱柱為的中點，為側棱上一點，且，三棱柱的體積為32．過點作，垂足為點，求證：平面；【解析】由直三棱柱，得平面，又，可得三棱柱的體積，得．因為三棱柱為直三棱柱，所以，因為，所以兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，則．設，則，故．因為，所以，所以，解得，即．所以，所以，.所以．又因為平面ACQ，平面ACQ，，所以平面．【變式7-1】（2024·浙江·高二路橋中學?？计谀┮阎馀_中，，，、分別為、的中點.

(1)求該正三棱臺的表面積；(2)求證：平面【解析】（1）將正三棱臺補成正三棱錐，如圖所示：因為，且，則、分別為、的中點，則，，故是邊長為的等邊三角形，由此可知，、都是邊長為的等邊三角形，易知是邊長為的等邊三角形，是邊長為的等邊三角形，故正三棱臺的表面積為.（2）設點在底面的射影為點，則為正的中心，取的中點，連接，則，，則，因為平面，平面，則，所以，，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，則，，，所以，，，所以，，，因為，、平面，故平面.【變式7-2】（2024·全國·高三專題練習）如圖，直三棱柱的側面為正方形，，E，F分別為，的中點，．證明：平面；【解析】證明：因為三棱柱為直三棱柱，所以，又因為，，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為為正方形，所以，所以兩兩垂直，所以以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，則，因為，，所以，，因為平面，，所以平面，【變式7-3】（2024·廣東佛山·高二羅定邦中學?？计谀┤鐖D，在長方體中，分別是的中點．求證：(1)四邊形為平行四邊形；(2)平面．【解析】（1）以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，所以，，所以，又四點不共線，所以四邊形為平行四邊形．（2）由（1）知，，所以，所以，即，又因為平面．所以平面．【變式7-4】（2024·四川南充·高二南部縣第二中學校考階段練習）如圖，直三棱柱中，，，分別為，的中點．

(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點，使平面？若存在，求；若不存在，說明理由．【解析】（1）在直三棱柱中，，直線兩兩垂直，以C為原點，以直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設，則，，設是平面的一個法向量，則，令，得，顯然，即，而平面，所以平面.（2）假定線段上存在點滿足條件，由（1）設，，，則，，設是平面的一個法向量，則，令，得，由平面，得，即存在實數，滿足：，即，解得，因此，即Q是的中點，所以線段上存在點，使平面，.【方法技巧與總結】用向量法證明線面垂直的方法（1）證明直線的方向向量與平面內的兩條相交直線的方向向量垂直．（2）證明直線的方向向量與平面的法向量平行．題型八：平面與平面垂直【例8】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，點E在棱PD上，且.證明：平面平面ACE；【解析】證明：因為底面ABCD是菱形，所以，因為平面ABCD，平面，所以，所以BO，CO，PO互相垂直，所以以點O為坐標原點，所在的直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系，由，，可知相關點坐標如下：，，，，，因為平面，所以平面所以平面PBD的一個法向量為，因為，所以，故平面PBD，因為平面，所以平面平面ACE.【變式8-1】（2024·四川成都·高二?？计谀┮阎涸谒睦忮F中，底面為正方形，側棱平面，點M為PD中點，.求證：平面平面.（注：必須用向量法做，否則不得分）【解析】證明：在四棱錐中，底面為正方形，側棱平面，以A為坐標原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，，則，故,設平面的法向量為，則,令，則，，設平面的法向量為，則,令，則，則，故平面平面.【變式8-2】（2024·全國·高三專題練習）在正方體中，如圖、分別是，的中點．求證：平面平面；【解析】證明：設棱長為，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，，設平面的法向量，則，取，得，設平面的法向量，則，取，得，所以，所以，則平面平面．【變式8-3】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面，，，是PD的中點.求證：平面平面.【解析】證明：因為平面，平面，所以，因為四邊形為矩形，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示則所以所以即，所以即，又，平面PAD，所以平面PAD，又平面，所以平面平面PAD.【變式8-4】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，平面，，，，.為的中點，點在上，且.求證：平面平面.【解析】證明：如圖，以為原點，分別以，為軸，軸，過作平行線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，因為，所以，所以，即，所以，，設平面的法向量為，則，令，則，所以，平面的法向量為，則，令，則，所以，所以，所以，所以平面平面.【方法技巧與總結】利用空間向量證明面面垂直通常有兩個途徑：一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉化為線面垂直進而轉化為線線垂直；二是直接求解兩個平面的法向量，證明兩個法向量垂直，從而得到兩個平面垂直．題型九：兩條異面直線所成的角【例9】（2024·廣東河源·高二河源市河源中學?？奸_學考試）正四棱錐的側棱長為，底面的邊長為，E是的中點，則異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，交于點O，連接，以為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，正四棱錐的側棱長為，底面的邊長為，E是的中點，，，，，設異面直線與所成的角為，則，，異面直線與所成的角為．故選：C.【變式9-1】（2024·江蘇·高二校聯考階段練習）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，點是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，兩兩垂直，以A為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系.又因為，，所以，，，，因為是棱的中點，所以，所以，，可得，所以異面直線與所成角的余弦值是.故選：B.【變式9-2】（2024·福建廈門·高二校考期末）如圖，在中，分別為的中點，為的中點，，.將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖．(1)求證：．(2)線段上是否存在點，使得直線和所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【解析】（1），分別為中點，，即，為中點，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.（2）取中點，連接，，為中點，，即，，；則以為坐標原點，正方向為軸正方向，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，假設在線段上存在點，使得直線和所成角的余弦值為，設，則，，，整理可得：，解得：，存在滿足題意的點，此時.【變式9-3】（2024·江西·高二校聯考階段練習）手工課可以提高學生的動手能力、反應能力、創(chuàng)造力．某小學生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一個直三棱柱和一個正方體的組合體．其直觀圖如圖所示，，，、、、分別是棱、、、的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】在正方體中，以為原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，因為，，則、、、，所以，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值是.故選：B.【方法技巧與總結】運用向量法常有兩種途徑（1）基底法：在一些不適合建立坐標系的題型中，經常采用取定基底的方法，在由公式求向量，的夾角時，關鍵是求出及與，一般是把，用基向量表示出來，再求有關的量．（2）坐標法：根據題目條件建立恰當的空間直角坐標系，寫出相關各點的坐標，利用坐標法求線線角，避免了傳統(tǒng)找角或作角的步驟，使過程變得簡單．題型十：直線與平面所成的角【例10】（2024·安徽六安·高二?？计谀┤鐖D，在正方體中，E，F，G分別是，，的中點．(1)證明：．(2)求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）如圖，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長為，則，則，故，所以；（2）設平面的一個法向量為，，則，則，令，則，，則，又，設直線與平面所成角為，則，則直線與平面所成角的正弦值為.【變式10-1】（2024·重慶·高二重慶市楊家坪中學?？茧A段練習）已知在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是正三角形，平面平面，E、F、G分別是、、的中點.(1)求證：平面；(2)線段上是否存在一個動點M，使得直線與平面所成角為，若存在，求線段的長度，若不存在，說明理由.【解析】（1）因為平面平面ABCD，平面平面，，平面ABCD，所以平面PAD，又E、F分別是PA、PB的中點，則，故平面PAD；（2）取AD的中點O，連接OG，由題意，兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系，則，所以，設平面EFG的法向量為，則，即，令，則，故，設，因為，故，所以，因為直線GM與平面EFG所成角為，故，化簡可得，故方程無解，所以在線段PD上不存在一個動點M，使得直線GM與平面EFG所成角為．【變式10-2】（2024·四川涼山·高二校聯考期末）將長方體沿截面截去一個三棱錐后剩下的幾何體如圖所示，其中，，分別是，的中點.

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）連接，如圖所示，∵長方形中，，分別是，的中點，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴且，又∵長方體中且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，得.又∵平面，平面，∴平面（2）以點為原點，，所在直線為軸，軸，以點為垂足，垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設，則，，，，∴，，設平面的一個法向量為，則有，令，則，，即，設為直線與平面所成角，，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.【變式10-3】（2024·重慶黔江·高二重慶市黔江中學校?？茧A段練習）在正四棱柱中，為的中點，.(1)點滿足，求證：四點共面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）如圖：連接NM，，由，知，且，所以，且，即四邊形為平行四邊形，所以，．又因為，，所以，，故N，M，B，四點共面．（2）如圖：因為正四棱柱，故，，以兩兩相互垂直，以D為坐標原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，由，則，，，，，，，設平面的法向量為，則，即，令，可得．記直線CD與平面所成角為，則．【方法技巧與總結】若直線l與平面α的夾角為θ，利用法向量計算θ的步驟如下：題型十一：二面角【例11】（2024·四川南充·高二四川省南充高級中學?？茧A段練習）如圖，菱形的對角線與交于點，，，點，分別在，上，，交于點，將沿折到位置，．(1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．【解析】（1）由已知得，，又由得，故，因此，從而.由，得.由得.所以,.又已知，于是，故.又，且，平面.所以平面.（2）如圖，以為坐標原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，.設是平面的法向量，則，即，令,可得.設是平面的法向量，則，即，令,可得，設平面與平面的夾角為，于是，平面與平面的夾角的余弦值是.【變式11-1】（2024·安徽黃山·高二屯溪一中?？茧A段練習）在斜三棱柱中，，，在底面上的射影恰為的中點，又已知.(1)證明：平面．(2)求平面和平面的夾角的余弦值【解析】（1）證明：由已知得，平面，又平面，，，，，又，平面，平面，平面；（2）由及平面，得，以為原點，、所在直線分別為、軸，過與平面垂直的直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，，，，，，又由已知得，，得，，，設平面的法向量，則，，令，則，，又平面，平面，，，平面的一個法向量可以是，，易知二面角為銳二面角，二面角的余弦值為．【變式11-2】（2024·河南鄭州·高二校考期末）如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，點在棱上.(1)證明：平面平面；(2)當時，求二面角的余弦值.【解析】（1）因為底面，平面，所以.四邊形是直角梯形，，，因為，所以.所以，所以.又因為，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解法一：以點為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.設點的坐標為，因為，所以，即，所以.所以.設平面的一個法向量為，則，取，則，得.又因為平面，所以平面的一個法向量為.設平面與平面的夾角為，則.所以，二面角的余弦值為.解法二：取的中點，連接，以點為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.設點的坐標為，因為，所以，即，所以.所以.設平面的一個法向量為，則.取，則，則.又因為平面，所以平面的一個法向量為.設平面與平面的夾角為，則.所以二面角的余弦值為【變式11-3】（2024·廣東汕尾·高二海豐縣彭湃中學?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，，，，三棱錐的體積為.(1)求點到平面的距離；(2)若，平面平面，點在線段上，，求平面與平面夾角的余弦值.【解析】（1）設點到平面的距離為，則，由題可知，所以，所以點到平面的距離為.（2）取的中點，連接，因為，又平面平面且交線為，平面，，所以平面，由（1）知.由題意可得，所以，所以.以點為坐標原點，為軸，為軸，過點作的平行線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，依題意，所以.設平面的法向量為，則，故可設，平面的一個法向量為，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.【變式11-4】（2024·山東濟南·高二山東省濟南市萊蕪第一中學?？茧A段練習）如圖，在直三棱柱中，，，點在線段上.(1)當時，求線段的中點到平面的距離；(2)是否存在點，使得平面與平面的夾角為？若存在，請找出點的位置；若不存在，請說明理由【解析】（1）以為原點，，，所在直線分別問軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，則，，，，因為，所以，設平面的法向量，則，取，得是平面的一個法向量，所以點到平面的距離.（2）由題意，平面，設平面的法向量，則，取，得是平面的一個法向量，設，則，設平面的法向量，則，取，得是平面的一個法向量，則，解得，即當點為中點時，平面與平面的夾角為.【方法技巧與總結】利用向量法求二面角的步驟（1）建立空間直角坐標系．（2）分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量．（3）求兩個法向量的夾角．（4）判斷所求二面角的平面角是銳角還是鈍角．（5）確定二面角的大小．題型十二：點到平面的距離【例12】（2024·上海·高二?？计谀┤鐖D，四棱錐的底面為菱形，平面ABCD，，E為棱BC的中點．

(1)求證：平面PAD；(2)若，求點D到平面PBC的距離．【解析】（1）證明：連接BD，如圖，∵底面ABCD為菱形，，則，∴△BCD為等邊三角形，∵E為BC的中點，∴，∵，∴，∵平面ABCD，平面ABCD，∴，∵平面PAD，∴ED⊥平面PAD；（2）以D為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，∴，設平面PBC的法向量為，則，即，令，則，∴，又，∴點D到平面PBC的距離為：.【變式12-1】（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中學?？计谀┤鐖D，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，為的中點．(1)求證：平面平面；(2)求點到面的距離．【解析】（1）∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面.又平面，所以平面平面.（2）以為原點，，，分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，，.∵為的中點，∴，則，，，，∵，∴，又，∴，又，，平面，∴平面.所以為平面的法向量，則點到面的距離.【變式12-2】（2024·貴州銅仁·高二?？茧A段練習）如圖,在直角梯形中，，，且，現以為一邊向形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面互相垂直.

(1)求證：平面平面；(2)求點到平面的距離【解析】（1）結合題意：連接,在直角梯形中，，易得,,,四邊形為正方形，,由平面與平面互相垂直，且平面平面,平面面,面，，,且面,面,面,平面平面.（2）結合上問：由面，且面內，,以為原點，分別為建立如圖所示的空間直角坐標系.，.設面的法向量為，由,即，令，則，點到平面的距離為.【方法技巧與總結】求點到平面的距離的主要方法（1）作點到平面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離．（2）在三棱錐中用等體積法求解．（3）向量法：（為平面的法向量，A為平面上一點，MA為過點A的斜線段）題型十三：點到直線的距離【例13】（2024·廣東廣州·高二校考階段練習）在長方體中，，P為CD中點，則點P到直線的距離為．【答案】/【解析】如下圖，構造空間直角坐標系，則，所以，故點P到直線的距離為.故答案為：【變式13-1】（2024·黑龍江齊齊哈爾·高二統(tǒng)考期末）若空間三點，則點到直線的距離為．【答案】【解析】，，則，則.故答案為：.【變式13-2】（2024·廣東深圳·高二校聯考階段練習）在棱長為1的正方體中，為線段的中點，設平面與平面的交線為，則點A到直線的距離為.【答案】/【解析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：則，，，，，，所以，，，.設平面的法向量為，則，即，令，得.設平面的法向量為，則，即，令，得.設交線的方向向量為，則，即，令，得.因為，點，則，，所以點A到直線的距離為.【變式13-3】（2024·四川成都·高二樹德中學?？计谀┰诳臻g直角坐標系中，若一條直線經過點，且以向量為方向向量，則這條直線可以用方程來表示，已知直線的方程為，則點到直線的距離為.【答案】【解析】由題設，直線為，經過點，且為一個方向向量，所以，故到直線的距離為.故答案為：2【方法技巧與總結】用向量法求點到直線距離的步驟（1）建立適當的空間直角坐標系；（2）求所求點與直線上某一點所構成的向量；（3）若已知直線的方向向量，則利用公式求解；若已知直線的法向量，可利用求解．題型十四：直線（平面）到平面的距離【例14】（2024·山東淄博·高二?？茧A段練習）在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F為線段AB的中點．(1)求直線與所成角的余弦值；(2)求直線到平面的距離．【解析】（1）在正方體中，以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，所以直線與所成角的余弦值為.（2）由（1）知，，，，，顯然，所以，而平面，平面，于是平面，因此直線到平面的距離等于點到平面的距離，設平面的法向量為，則，令，得，所以點到平面的距離為，所以直線FC到平面的距離是.【變式14-1】（2024·全國·高二專題練習）設正方體的棱長為2，求：(1)求直線到平面的距離；(2)求平面與平面間的距離.【解析】（1）以D為原點，為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則所以，所以，即，又平面，平面，所以平面，所以直線到平面的距離等于點到平面的距離．設平面的一個法向量為，則，令，則，又，所以點到平面的距離.（2）由（1）知平面，同理，平面，又，平面，所以平面平面，即平面與平面間的距離等于點到平面的距離．由（1）知，點到平面的距離.所以平面與平面間的距離為.【變式14-2】（2024·全國·高二專題練習）直四棱柱中，底面為正方形，邊長為，側棱，分別為的中點，分別是的中點．

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的距離．【解析】（1）法一:證明：連接分別為的中點，分別是的中點，，平面，平面，平面，平行且等于，是平行四邊形，，平面，平面，平面，，平面平面；法二:如圖所示，建立空間直角坐標系，則，，，，，，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又，平面平面，（2）法一:平面與平面的距離到平面的距離．中，，，，由等體積可得，．法二:設平面的一個法向量為，則，則可取，，平面與平面的距離為【方法技巧與總結】用向量方法研究空間距離問題的一般步驟第一步，確定法向量；第二步，選擇參考向量；第三步，利用公式求解．一、單選題1．（2024·西藏拉薩·高二校聯考期末）如下圖所示，在正方體中，，分別是，的中點，則異面直線與所成的角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則，，，，，，設異面直線與所成的角為,，則,所以.故選：C2．（2024·福建泉州·高二?？茧A段練習）如圖，已知四邊形ABCD是菱形，，點E為AB的中點，把沿DE折起，使點A到達點P的位置，且平面平面BCDE，則異面直線PD與BC所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】解法一第一步：找到異面直線所成角因為四邊形ABCD是菱形，所以，則或其補角就是異面直線PD與BC所成的角．第二步：結合已知條件得出相關線段的長度連接AP，易知，．第三步：利用余弦定理求解在中，由余弦定理得，所以異面直線PD與BC所成角的余弦值為，故選：B．解法二

設，，，則，，兩兩垂直，且，，則，，則異面直線PD與BC所成角的余弦值為，故選：B．解法三

易知ED，EB，EP兩兩垂直，以E為坐標原點，ED，EB，EP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，得，，故異面直線PD與BC所成角的余弦值為，故選：B．3．（2024·湖北·高二湖北省紅安縣第一中學校聯考階段練習）直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則（

）A． B．C．或 D．與的位置關系不能判斷【答案】C【解析】易知，即的方向向量與平面的法向量垂直，所以有或.故選：C4．（2024·吉林長春·高二長春市第二中學校聯考期末）直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則（

）A． B．C．或 D．與的位置關系不能判斷【答案】C【解析】由題意直線l的一個方向向量與平面的一個法向量的數量積為，所以或.故選：C.5．（2024·甘肅隴南·高二校考期末）已知正方體中，是的中點，則直線與平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則，，，，，，，設平面的法向量為，則∴可取.設直線與平面所成角的，則，于是直線與平面所成角的余弦值為.故選：A.6．（2024·四川眉山·高二仁壽一中?？计谀┰诳臻g直角坐標系O-xyz中，點，，則（

）A．直線AB∥坐標平面xOy B．直線AB⊥坐標平面xOyC．直線AB∥坐標平面 D．直線AB⊥坐標平面【答案】C【解析】由已知得，坐標平面的一個法向量是，坐標平面的一個法向量是，易判斷與，不平行，所以直線AB不垂直坐標平面，也不垂直坐標平面，故BD錯.因為，所以直線不平行坐標平面，故A錯因為，點A、B均不在坐標平面上，所以直線AB與坐標平面平行，故C對.故選：C7．（2024·貴州·高二統(tǒng)考階段練習）在棱長為2的正方體中，為的中點，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】以為坐標原點，所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，.設平面的法向量為，則由得令，得，則，故點到平面的距離為.故選：C.8．（2024·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）我們把平面內與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標系中，過點的直線的一個法向量為，則直線的點法式方程為：，化簡得.類比以上做法，在空間直角坐標系中，經過點的平面的一個法向量為，則該平面的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據題意進行類比，在空間任取一點，則平面法向量為，故選：A．二、多選題9．（2024·河北石家莊·高二?？计谀┫铝薪o出的命題正確的是（

）A．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則B．兩個不重合的平面的法向量分別是，則C．若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底D．已知三棱錐，點P為平面ABC上的一點，且，則【答案】BCD【解析】對A，，所以或，A錯誤；對B，，所以，B正確；對C，利用反證法的思想，假設三個向量共面，則，所以，若，則，則共線，與是空間的一組基底矛盾；若，則，則共面，與是空間的一組基底矛盾；所以假設不成立，即不共面，所以也是空間的一組基底，C正確；對D，因為P為平面ABC上的一點，所以四點共面，則由共面定理以及可得，，所以，D正確；故選:BCD.10．（2024·江蘇·高二校聯考階段練習）已知空間中三點，，，則（

）A．B．方向上的單位向量坐標是C．是平面ABC的一個法向量D．在上的投影向量的模為【答案】BC【解析】對于A：，則，A錯誤；對于B：方向上的單位向量坐標是，B正確；對于C：，，又與不平行，故是平面ABC的一個法向量，C正確；對于D：在上的投影向量的模為，D錯誤.故選：BC.11．（2024·安徽黃山·高二屯溪一中?？茧A段練習）已知正方體的棱長為，，分別為，的中點，在直線上，且，的重心為，則（

）A．若在平面內，則 B．若，，三點共線，則C．若平面，則 D．點到直線的距離為【答案】ACD【解析】以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系如下圖：因為正方體的棱長為，，分別為，的中點，在直線上，且，的重心為，所以，，，，，，，，．對于A，因為在平面內，所以，解得，故A正確；對于B，因為，，所以要，，三點共線，則，解得，故B錯誤；對于C，因為平面，而，平面，所以且．因為，，，所以由得，解得，故C正確；對于D因為，，所以點到直線的距離為，故D正確．故選：ACD12．（2024·重慶·高二統(tǒng)考期末）類比平面解析幾何中直線的方程，我們可以得到在空間直角坐標系中的一個平面的方程，如果平面的一個法向量，已知平面上定點，對于平面上任意點，根據可得平面的方程為．則在空間直角坐標系中，下列說法正確的是（

）A．若平面過點，且法向量為，則平面的方程為B．若平面的方程為，則是平面的法向量C．方程表示經過坐標原點且斜率為的一條直線D．關于x，y，z的任何一個三元一次方程都表示一個平面【答案】ABD【解析】對于A：根據題設可知平面的方程為，即為，故A正確；對于B：因為平面的方程為，由題設可知平面的一個法向量為，且即共線，所以是平面的法向量，故B正確；對于C：，該方程可表示：一個法向量為且過的平面，故C錯誤；對于D：設，其等價于，該方程可表示：一個法向量為且過的平面，故D正確；故選：ABD.三、填空題13．（2024·山西呂梁·高二校聯考階段練習）已知平面的法向量為，點為平面內一點，點為平面外一點，則點P到平面的距離為．【答案】1【解析】由題意得，故點P到平面的距離故答案為：114．（2024·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）在空間直角坐標系中，為坐標原點，已知空間中三點分別為，，，則到平面的距離為.【答案】/【解析】，，，，，，，設平面的一個法向量為，取，則，，，到平面的距離為.故答案為：.15．（2024·上?！じ叨偷└街行？计谀┮阎矫娴囊粋€法向量，直線的方向向量，則直線與平面所成角的正弦值為.【答案】/【解析】設直線與平面所成角為，則，即直線與