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第14章迭代與分形

在我們所處的世界里，存在著許多極不規(guī)則的復(fù)雜現(xiàn)象，比如：彎彎曲曲的海岸線、變化的云朵、宇宙中星系的分布、金融市場上價格的起伏圖等，為了獲得解釋這些極端復(fù)雜現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，我們需要認(rèn)識其中蘊涵的特性，構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)則.曼德爾布羅特（Mandelbrot）在研究英國的海岸線形狀等問題時，總結(jié)出自然界中很多現(xiàn)象從標(biāo)度變換角度表現(xiàn)出對稱性.

Mandelbrot將這類幾何形體稱為分形(fractal)，意思就是不規(guī)則的、分?jǐn)?shù)的、支離破碎的，并對它們進行了系統(tǒng)的研究，創(chuàng)立了分形幾何這一新的數(shù)學(xué)分支.Mandelbrot認(rèn)為海岸、山巒、云彩和其他很多自然現(xiàn)象都具有分形的特性，因此可以說：分形是大自然的幾何學(xué).

分形幾何體一般來說都具有無限精細(xì)的自相似的層次結(jié)構(gòu)，即局部與整體的相似性，圖形的每一個局部都可以被看作是整體圖形的一個縮小的復(fù)本.

早在19世紀(jì)就已經(jīng)出現(xiàn)了一些具有自相似特性的分形圖形，比如：瑞典數(shù)學(xué)家科赫（vonKoch）設(shè)計的類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線，即Koch曲線（見圖14-1）；圖14-1Koch曲線

英國植物學(xué)家布朗通過觀察懸浮在水中的花粉的運動軌跡，提出來的布朗運動軌跡（見圖14-2）.

分形幾何把自然形態(tài)看作是具有無限嵌套的層次結(jié)構(gòu)，并且在不同尺度下保持某種相似的屬性，于是，簡單的迭代過程，就是描述復(fù)雜的自然形態(tài)的有效方法.圖14-2布朗運動軌跡

本章簡單介紹迭代和分形的基礎(chǔ)知識，利用MATLAB繪制Koch曲線、Sierpinski地毯、Mandelbrot集和分形樹枝，通過觀察這些圖形來了解數(shù)學(xué)之美.CO

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