課時(shí)作業(yè)(七)二面角一、選擇題1．如圖，二面角α-l-β等于120°，A，B是棱l上兩點(diǎn)，BD，AC分別在半平面α，β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，且2AB＝AC＝BD＝2，則CD的長(zhǎng)等于()A．23B．13C．4D．52．已知△ABC和△BCD均為邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，且AD＝32a，則二面角A-BC-D的大小為(A．30°B．45°C．60°D．90°3.如圖所示，在正四棱錐P－ABCD中，若△PAC的面積與正四棱錐的側(cè)面面積之和的比為6∶8，則側(cè)面與底面所成的二面角為()A．π12B．C．π6D．4．已知二面角α-l-β中，平面α的一個(gè)法向量為n1＝(32，－12，－2)，平面β的一個(gè)法向量為n2＝(0，12，2)，則二面角αA．120°B．150°C．30°或150°D．60°或120°二、填空題5.已知正△ABC與正△BCD所在平面垂直，則二面角A-BD-C的正弦值為________．6.如圖，在底面邊長(zhǎng)均為2，高為1的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為BC、C1D1的中點(diǎn)，則異面直線A1E、CF所成角的大小為________；平面A1EF與平面A1B1C1D1所成銳二面角的余弦值為________．7．如圖，在Rt△ABC中，D，E分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，且AB＝4，BC＝2.現(xiàn)將△ABC沿DE折起，使得A到達(dá)A1的位置，且二面角A1-DE-B為60°，則A1C＝________．三、解答題8.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面ABCD為邊長(zhǎng)是1的正方形，PA＝1，求平面PCD與平面PAB夾角的大?。?.如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝2，點(diǎn)E是C1D1的中點(diǎn)．(1)求證：DE⊥平面BCE；(2)求二面角A-EB-C的大?。甗尖子生題庫]10.如圖所示，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝12AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD(1)證明：直線CE∥平面PAB；(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M-AB-D的余弦值．課時(shí)作業(yè)(七)二面角1．解析：過點(diǎn)D作OD∥l，OA∥BD，OD∩?OA＝O，因?yàn)锳C⊥l，BD⊥l，OD＝AB＝1，OA＝BD＝2，OC＝OA222+2CD＝OD2+OC2＝答案：B2．解析：如圖取BC的中點(diǎn)為E，連接AE，DE，由題意得AE⊥BC，DE⊥BC，且AE＝DE＝32a，又AD＝32∴∠AED＝60°，即二面角A-BC-D的大小為60°.答案：C3．解析：設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)面與底面所成的二面角為θ，高為h，斜高為h′，則12×2ah4×12ah'＝68，∴hh'＝答案：D4．解析：設(shè)所求二面角的大小為θ，則|cosθ|＝n1·n2n答案：C5．解析：取BC中點(diǎn)O，連接AO，DO，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)BC＝1，則A0，0，3B0，?12，0，所以O(shè)A＝0，0，32，BA＝0，12，32，BD設(shè)平面ABD的法向量為n＝(x，y，z)，則n所以1取x＝1，則y＝－3，z＝1，所以n＝(1，－3，1)，所以cos〈n，OA〉＝55，所以sin〈n，OA〉＝2答案：26．解析：以D為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則A1(2，0，1)，E(1，2，0)，C(0，2，0)，F(xiàn)(0，1，1)，所以A1E＝(－1，2，－1)，設(shè)異面直線A1E，CF所成角的大小為θ，所以cosθ＝A1E·CFA因?yàn)棣取?，π2，所以θ＝π6.又A1F＝(－2，1，0)，設(shè)平面A1EF的一個(gè)法向量為m＝(x，y則m·A1F=0m·平面A1B1C1D1一個(gè)法向量為n＝(0，0，1)，設(shè)平面A1EF與平面A1B1C1D1所成銳二面角為α，所以cosα＝m·nmn＝答案：π7．解析：∵D，E分別為AB，AC中點(diǎn)，∴DE∥BC，∴DE⊥BD，DE⊥A1D，又BD，A1D?平面A1BD，BD∩A1D＝D，∴DE⊥平面A∵二面角A1-DE-B的平面角為∠A1DB，∴∠A1DB＝60°，∵A1D＝BD＝2，∴A1B＝2，∵BC∥DE，∴BC⊥平面A1BD，又A1B?平面A1BD，∴BC⊥A1B，∴A1C＝A1B2+BC答案：228．解析：如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．故平面PAB的法向量AD＝(0，1，0)，DC＝(1，0，0)，PD＝(0，1，－1)．設(shè)平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，由n·DC令z＝1，所以n＝(0，1，1)，所以cos〈n，AD〉＝12＝2所以〈n，AD〉＝45°.即平面PAB與平面PCD的夾角為45°.9．解析：(1)證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，E(0，1，1)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，DE＝(0，1，1)，BE＝(－1，－1，1)，BC＝(－1，0，0)．因?yàn)镈E·BE＝0，DE·BC＝0，所以DE⊥BE，DE⊥則DE⊥BE，DE⊥BC.因?yàn)锽E?平面BCE，BC?平面BCE，BE∩BC＝B，所以DE⊥平面BCE.(2)AB＝(0，2，0)，設(shè)平面AEB的法向量為n＝(x，y，z)，則n·AB含x＝1，所以平面AEB的法向量為n＝(1，0，1)．因?yàn)镈E⊥平面BCE，所以DE＝(0，1，1)就是平面BCE的一個(gè)法向量．因?yàn)閏os〈n，DE〉＝n·DEn由圖形可知二面角A-EB-C為鈍角，所以二面角A-EB-C的大小為120°.10．解析：(1)證明：取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF.因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以EF∥AD，EF＝12AD由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD.又BC＝12AD，所以EF綊BC所以四邊形BCEF是平行四邊形，所以CE∥BF.又BF?平面PAB，CE?平面PAB，故CE∥平面PAB.(2)由已知，得BA⊥AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的方向?yàn)閤軸正方向，|AB|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，3)，PC＝(1，0，－3)，AB＝(1，0，0)．設(shè)M(x，y，z)(0<x<1)，則BM＝(x－1，y，z)，PM＝(x，y－1，z－3)．因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°，而n＝(0，0，1)是底面ABCD的法向量，所以|cos〈BM，n〉|＝sin45°，即zx?12+即(x－1)2＋y2－z2＝0.①又